lược đồ vô hướng hóa pascoletti serafini và bài toán tối ưu véctơ tuyến tính

Một cách vô hướng cổ điển là xét bài toán tổng có trọng của các hàmmục tiêu, hay tổng quát hơn là xét bài toán tối ưu vô hướng ở đó hàm mụctiêu là hợp của hàm mục tiêu véctơ và một phiếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA PASCOLETTI-SERAFINI

VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA PASCOLETTI-SERAFINI

VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoá luận

TS Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 2 of 161.

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trìnhhọc tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốtnghiệp

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn VănTuyên đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành khóa luận này

Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạnchế Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo vàtoàn thể bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn VănTuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nàokhác

Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thành tựucủa các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2016

Sinh Viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Footer Page 4 of 161.

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự 8

1.3 Điểm hữu hiệu 10

1.4 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu 13

1.5 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) 14

2 Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini và Bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính 16 2.1 Một số tính chất cơ bản của lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 16

2.2 Ứng dụng cho bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính 22 2.3 Tính chất liên thông của tập nghiệm của các bài toán bổ trợ 28

Lời mở đầu

Vô hướng hóa là công cụ rất mạnh trong tối ưu véctơ , nó thay thế mộtbài toán tối ưu véctơ bởi một họ các bài toán tối ưu vô hướng Kĩ thuật nàykhông chỉ cho phép nghiên cứu định tính bài toán tối ưu véc tơ mà còn chophép ta có thể sử dụng các phương pháp giải số cho các bài toán tối ưu vôhướng Một cách vô hướng cổ điển là xét bài toán tổng có trọng của các hàmmục tiêu, hay tổng quát hơn là xét bài toán tối ưu vô hướng ở đó hàm mụctiêu là hợp của hàm mục tiêu véctơ và một phiếm hàm tuyến tính (một nhântử) được lấy trong nón đối ngẫu của nón sinh thứ tự Một cách khác đó làxét điều kiện tối ưu bậc nhất, ở đó các nhân tử Lagrange đóng vai trò là cáctham số vô hướng hóa

Năm 1984, dựa trên một ý tưởng mới, Pascoletti-Serafini [2] đã đề xuấtmột lược đồ vô hướng hóa hình học, ở đó hàm mục tiêu véctơ của bài toánđược xét được tích hợp trong hệ ràng buộc Hàm mục tiêu của bài toán bổtrợ của Pascoletti-Serafini là một số thực biểu diễn độ lớn của khả năng dichuyển của một véctơ được lấy từ phần trong tương đối của nón sinh thứ tự

Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ , bài toán bổ trợ Pascoletti-Serafini là mộtbài toán quy hoạch tuyến tính chính vì vậy nó có thể giải quyết được bằngcác thuật toán như thuật toán điểm trong hoặc thuật toán đơn hình Dantzig.Đặc trưng này là một điểm quan trọng trong việc sử dụng phương pháp củaPascolettin-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tuyến tính

Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini được Helbing [3, 4] sử dụng đểđưa ra một thuật toán lặp cho bài toán tối ưu véctơ phi tuyến tính và để giảiquyết các bài toán quy hoạch toàn phương véctơ Sau đó, Stema-Karwat [5]

đã khảo sát tính liên tục, tính Lipschitz, tính khả vi theo tham số của nghiệm

Footer Page 6 of 161.

của bài toán vô hướng trong lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Gầnđây, bằng cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa này, Eichfelder đã phát triểntrong một các bài báo [6, 7] và trong một cuốn sách [8] một phương phápgiải với một điều khiển tham số cải biên cho bài toán tối ưu véctơ tuyến tính.Phương pháp này đã được áp dụng cho các bài toán đa mục tiêu hai mức vàcho một số bài toán trong y học.

Mục đích của khóa luận này là trình bày một số tính chất của lược đồPascoletti-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tổng quát Một số đặc trưng vềtính chất liên thông của tập nghiệm của các bài toán bổ trợ cho cả trườnghợp bài toán tối ưu véctơ tuyến tính và phi tuyến cũng được khảo sát

Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày trên cơ sở bài báo [9]gần đây của Huong và Yen đăng trên tạp chí Jourual of Optimization Theoryand Application năm 2014

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chính củachương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi và bài toántối ưu véctơ

Chương 2 trình bày về lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini và bàitoán tối ưu véctơ tuyến tính Mục 2.1 nhắc lại một số tính chất cơ bản củalược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Mục 2.2 trình bày một số tính chấtcủa lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tuyếntính Mục 2.3 trình bày về tính chất liên thông của tập nghiệm của các bàitoán bổ trợ của bài toán tối ưu véctơ tuyến tính

Chương 1

Bài toán tối ưu véctơ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực

Định nghĩa 1.1 Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:

∀x1, x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0 6 λ 6 1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A

Ví dụ 1.1 Các nửa không gian là các tập lồi Hình tam giác, hình tròn trongmặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tậplồi

Định nghĩa 1.2 Giả sử A ⊂ X Tương giao của tất cả các tập lồi chứa Ađược gọi là bao lồi của tập A, kí hiệu là coA

Nhận xét 1.1 a) coA là một tập lồi Đó là tập lồi bé nhất chứa A;

b) A lồi khi và chỉ khi A = coA

Định nghĩa 1.3 Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C

C được gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0

Footer Page 8 of 161.

Định nghĩa 1.4 Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một tậplồi, nghĩa là:

là các nón lồi có đỉnh tại 0 Đó là nón lồi quan trọng trong Rn

Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D đượcxác định bởi:

D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗, x >> 0, ∀x ∈ D} Cho a, b ∈ Rm, a >D b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a > 0 khi và chỉ khi

ai > 0, i = 1, , m Kí hiệu Rm+ := {x ∈ Rm : x > 0} và cho g : X → Rm.Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :

∀x1, x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃bx ∈ S

sao cho

(1 − α)g(x1) + αg(x2) − g(x) ∈ D.bĐiều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi và chỉkhi tập g(S) + D là lồi

Định nghĩa 1.5 Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu

(1 − λ)x + λy ∈ A(∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R)Định nghĩa 1.6 Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập A ⊂ Rn đượcgọi là bao affine của A và kí hiệu là af f A

Định nghĩa 1.7 Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong của Atrong af f A (bao affine); kí hiệu là riA Các điểm thuộc riA được gọi là điểmtrong tương đối của tập A.

Nhận xét 1.2

intA := {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A} ,riA := {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A} ,trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặpCho C là nón lồi trong không gian véctơ tôpô E Kí hiệu l(C) :=

C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con

A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là Ac = E\A

Định nghĩa 1.8 Chúng ta nói nón C là:

(a) Nhọn nếu l(C) = 0;

(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;

(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian mởthuần nhất;

(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương

clC + C\l(C) ⊆ C\l(C)

Ví dụ 1.3 theo định nghĩa 1.8

1 Cho Rn là không gian Euclide n-chiều Khi đó, nón orthant không

âm Rn+ gồm tất cả các vectơr của Rn với toạ độ không âm là nón lồi, sắc,đóng, có giá chặt và là nón đúng

Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường

Footer Page 10 of 161.

Tập là hợp của 0 và các véctơ với toạ độ đầu tiên dương là một nónđúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.

Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt nhưngkhông là nón nhọn

2 Cho Ω là không gian vectơr gồm tất cả dãy x = {xn} số thực Cho

C = {x ∈ Ω : xn > 0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi Tuy nhiên, ta chưa biết nón

C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên không giannày

Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của dãy

là dương Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển Nó là nón nhọnnhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt

Mệnh đề 1.1 Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện sauthoả mãn:

(a) C là đóng;

(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;

(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không gianđóng trong E

Chứng minh (a) Hiển nhiên,

(b) Nếu C\l(C) mở thì intC 6= ∅ và intC = C\l(C) Do đó, ta có

clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,hay C là nón đúng

(c) Giả sử C = {0} ∪ (∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ở đây Hλ là nửa không gian đóng hoặc

mở trong E Nếu tất cả Hλ là đóng thì điều này tương đương với C là đóng

Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì l(C) = {0} và

b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ Hλ, ∀λ ∈ Λ Hơn thế nữa, ta thấy a ∈ clC khi

và chỉ khi a ∈ clHλ, ∀λ ∈ Λ nên clHλ+ Hλ ∈ Hλ

Vậy Hλ là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C) Mệnh đềđược chứng minh

Định nghĩa 1.9 Cho một nón C trong không gian E Một tập B ⊆ E sinh

ra nón C và viết C = cone(B) nếu

C = {tb : b ∈ B, t > 0} Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c 6= 0, tồn tại duy nhất

b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C Khi B là một tậphữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện

Nhận xét 1.3 Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở sở làlồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng Tuy nhiên nó không đúngtrong không gian vô hạn chiều

Mệnh đề 1.2 Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ sở lồi,đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng

Chứng minh Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng Cho dãy{cα} là một lưới

từ C hội tụ tới c Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {bα} từ B và mộtlưới {tα} các số dương mà cα = tαbα Dễ thấy tα là bị chặn Thật vậy, giả sửngược lại limtα = ∞ Vì E là không gian Hausdorff nên lưới

n

bα = cα

t α

ohội

tụ tới 0 Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu thuẫn: 0 = limbα ∈ B Bằngcách này, ta có thể giả sử {tα} hội tụ tới điểm to > 0 Nếu to = 0 thì từ tính

bị chặn của B, limtαbα = 0 Do đó c = 0 và hiển nhiên c ∈ C Nếu to > 0,ta

Footer Page 12 of 161.

có thể giả sử tα > , ∀α,  > 0 Từ bα = cα

t α hội tụ tới tc

o và hơn nữa B đóngnên véctơ tc

o ∈ B Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển nhiên

1.2 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được địnhnghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E Điều này có nghĩa là mộtphần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B

Định nghĩa 1.10 Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan hệnày là:

(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;

(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;

(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;

(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈

1 (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi

2 (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau

3 (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ

Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ B2 khôngphản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ B3 là phản xạ, không bắccầu, đối xứng, không đầy đủ.

Định nghĩa 1.11 Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản

Footer Page 14 of 161.

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với i = 1, , n;

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với i = 1, , n và ít nhất một bất đẳngthức là ngặt;

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1, , n

2 Trong R2 Nếu C = R1, 0
thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính,đóng và đối xứng Trong trường hợp này x >C y khi và chỉ khi hai thànhphần của các véctơ trùng nhau Thứ tự này không đầy đủ

3 Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính đầy

đủ trong lp

1.3 Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự (>) được sinhbởi một nón lồi C

Định nghĩa 1.12 Cho A là một tập con khác rỗng của E Ta nói rằng:(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tươngứng với C nếu y > x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C);(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứngvới C nếu x > y, y ∈ A thì y > x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C);

(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếutồn tại một nón lồi K 6= E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);

Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rM in(A | C);(d) Giả sử intC 6= ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với C

nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ intC);

Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C)

P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3 Cho A ⊆ E thì :

(a) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;

(b) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương:

6 ∃y ∈ A sao cho x > y Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi

P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).

Hơn nữa, nếu IM in(A) 6= ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập mộtđiểm khi C là nhọn

Chứng minh Lấy x ∈ P rM in(A) Nếu x 6∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈C\l(C) Lâý nón lồi K, K 6= E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K) Thì

x − y ∈ intK ⊆ K\l(K) Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy ra

P rM in(A) ⊆ M in(A)

Lấy x ∈ M in(A) Nếu x 6∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại y ∈ Asao cho x−y ∈ intC Do C 6= E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x−y ∈ C\l(C).Điềunày mâu thuẫn với x ∈ M inA Vậy M in(A) ⊆ W M in(A)

Rõ ràng IM in(A) ⊆ M in(A) Nếu IM in(A) 6= ∅, cho x ∈ IM in(A)thì x ∈ M in(A) Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x > y Lấy một điểmbất kì z ∈ A có z > x vì x ∈ IMin(A) suy ra z > y là y ∈ IMin(A) Do đó

IM in(A) = M in(A) Ngoài ra, nếu C là nhọn x > y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y Vậy IM inA là tập một điểm

Định nghĩa 1.13 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt Atại x và kí hiệu Ax

Mệnh đề 1.5 Cho x ∈ E với Ax 6= ∅ Ta có :

(a) IM in(Ax) ⊆ IM inA nếu IM inA 6= ∅;

(b) M in(Ax) ⊆ M inA (tương tự cho W M in)

Chứng minh (a) Cho y ∈ IM in(Ax) và z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C và

A ⊆ z + C Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra

A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C

Do đó y ∈ IM inA

(b) Giả sử y ∈ M in(Ax) Theo Mệnh đề 1.4 có Ax∩ (y − C) ⊂ y + l(C) suy

ra y − C ⊆ x − C nên

A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax∩ (y − C) ⊆ y + l(C)

Do đó y ∈ M inA

Chứng minh tương tự cho W M in

Nhận xét 1.4 Quan hệ P rM in(Ax) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừmột số trường hợp đặc biệt

1.4 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.14 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm( tươngứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α

Định nghĩa 1.15 Cho A ⊆ E được gọi là đầy đủ (tương ứng đầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα− clC)c : α ∈ I} (tương ứng{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα} là một lưới giảm trong A

C-Định lý 1.1 Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong

E Thì M in(A | C) 6= ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khácrỗng

Chứng minh Nếu M in(A | C) 6= ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhátcắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm Ngược lại, cho Ax khác rỗng làmột nhát cắt C- đầy đủ của A Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng minh

M in(Ax | C) 6= ∅ Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A Vì A 6= ∅suy ra P 6= ∅ Với a, b ∈ P ta viết a  b nếu b ⊆ a Rõ ràng () là quan hệthứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên Thật vậy, giả sử{aλ; λ ∈ Λ} là một xích trong P Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn B

Footer Page 18 of 161.

của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt

aB = ∪ {aα; α ∈ B} Và

ao = ∪ {aB : B ∈ B} Thì ao là một phần tử của P và ao  aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là một cậntrên của xích này Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn nhất của P , kí hiệu

là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P Bây giờ, giả sử ngược lại M in(Ax | C) = ∅ Chúng

ta sẽ chứng minh {(xα− clC)c : α ∈ I} phủ Ax Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax

có α ∈ I mà (xα − clC)c chứa y Giả sử phản chứng y ∈ xα − clC, ∀α ∈ I

Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z Do tính đúng của C nên

x − α >C z, (α ∈ I) Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớnnhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lí được chứng minh

1.5 Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là mộtánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được sắpthứ tự bởi nón lồi C

Xét bài toán (VOP)

Min F (x)với ràng buộc x ∈ X

Một điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của (VOP)nếu F (x) ∩ M in(F (X) | C) 6= ∅, ở đó F (X) là hợp của các tập F (x) trên

X Các phần tử của M in(F (x) | C) được gọi là giá trị tối ưu của (VOP).Tập các điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X; F ) Thay thế IM in,

P rM in, W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X; F ),

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ Điều này cónghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho {(aα− cl(C))c : α ∈I} là phủ của F (X) Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα) Không mất tính tổng quát,giả sử lim xα = x ∈ X Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong E có mộtchỉ số β ∈ I sao cho