CÔNG THỨC GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

Bộ công thức giải nhanh trắc nghiệm môn Toán được bien soạn bài bản, theo chủ đề cong thuc giai nhanh mon toan×cong thuc giai nhanh toan×công thức giải nhanh toán 12×cong thuc giai nhanh toan 11×công thức giải nhanh hoá×

CHUYÊN TOÁN 10-11-12-LT H

Ph§m ào Thanh Tú (Xem chi ti∏t m∞t trong)

1 Công th˘c l˜Òng giác

1.1 Hª th˘c cÏ b£n

• sin2x + cos2x = 1 •1 + tan2x = 1

cos2x •1 + cot2x = 1

sin2x

• tan x = cos xsin x • cot x =cos xsin x • tan x cot x = 1

1.2 Công th˘c cÎng

• sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a • tan(a ± b) =1tan a± tan b

⌥ tan a tan b

• cos(a ± b) = cos a cos b ⌥ sin a sin b

1.3 Công th˘c nhân ôi

• cos 2x = cos2x sin2x = 2 cos2x 1 = 1 2 sin2x

1.4 Công th˘c nhân ba

1.5 Công th˘c h§ b™c

• cos2x = 1 + cos 2x

2

1.6 Công th˘c tính theo t = tanx

2

• sin x = 1 + t2t 2 • cos x =1 t

2

1 + t2 • tan x = 12tt2

1.7 Công th˘c tÍng thành tích

• sin a + sin b = 2 sina + b2 cosa b

2 • sin a sin b = 2 cosa + b

2 sin

2

• cos a + cos b = 2 cosa + b2 cosa b

2 • cos a cos b = 2 sina + b

2 sin

2

1.8 Công th˘c tích thành tÍng

• cos a cos b =12[cos(a b) + cos(a + b)] • sin a sin b = 12[cos(a b) cos(a + b)]

• sin a cos b =12[sin(a b) + sin(a + b)]

1.9 MÎt sË công th˘c khác

• sin x + cos x =p2 cos⇣

4

⌘

• sin x cos x =p

2 sin⇣

4

⌘

•(sin x ± cos x)2= 1± sin 2x • sin4x + cos4x = 1 sin

22x 2

• sin6x + cos6x = 1 3 sin

22x 4

2 Các l˛ thuy∏t v∑ §o hàm

2.1 ‡nh nghæa và các tính chßt

1 ‡nh nghæa Cho hàm sË y = f(x) xác ‡nh trên kho£ng (a, b), x02 (a, b), x0+

x2 (a, b), n∏u tÁn t§i giÓi h§n (h˙u h§n)

lim

x!0

f (x0+ x) f (x0)

x

˜Òc gÂi là §o hàm cıa f(x) t§i x0, kí hiªu là f0(x0) hay y0(x0), khi ó

f0(x0) = lim

x !0

f (x0+ x) f (x0)

x = limx !x 0

f (x) f (x0)

x x0

2 Các qui t≠c tính §o hàm

(a) [f(x) ± g(x)]0 = f0(x)± g0(x)

(b) [f(x).g(x)]0= f0(x)g(x) + f (x)g0(x).

(c) [kf(x]0= kf0(x) vÓi k2 R

(d) ✓f (x)

g(x)

◆0

=f0(x)g(x) f (x)g0(x)

[g(x)]2 vÓi g(x) 6= 0

(e) y0

x= y0

u.u0

x vÓi y = y(u), u = u(x)

2.2 B£ng các §o hàm cÏ b£n

§o hàm cıa hàm sÏ cßp §o hàm cıa hàm hÒp u = u(x)

• (c)0= 0 vÓi c2 R

• (x↵)0 = ↵.x↵ 1

• (u↵)0= ↵.u↵ 1u0

•

✓

1 x

◆0

✓ 1 u

◆0

0

u2

• (px)0= 1

0

2pu

• (ex)0= ex

• (eu)0= eu.u0

• (ax)0= axln a • (au)0= au ln a.u0

• (sin x)0 = cos x • (sin u)0 = u0 cos u

• (cos x)0= sin x • (cos u)0= u0 sin u

• (tan x)0= 1

cos2x • (tan u)0= u

0

cos2u

• (cot x)0= 1

sin2x • (cot u)0= u0 1

sin2u

2.3 Vi phân

Cho hàm sË y = f(x) xác ‡nh trên (a, b) và có §o hàm t§i x 2 (a, b) Gi£ s˚ x là

sË gia cıa x sao cho x + x 2 (a, b) Tích f0(x) x ˜Òc gÂi là vi phân cıa hàm sË

f (x) t§i x, ˘ng vÓi sË gia x, k˛ hiªu là df (x) hay dy Nh˜ v™y dy = df (x) = f0(x)dx.

3 L˛ thuy∏t kh£o sát hàm sË

3.1 Tính Áng bi∏n - ngh‡ch bi∏n cıa hàm sË

Gi£ s˚ hàm f(x) có §o hàm trên kho£ng (a; b), khi ó:

1 f0(x) > 0,8x 2 (a, b) thì f(x) Áng bi∏n trên kho£ng (a, b)

2 f0(x) < 0,8x 2 (a, b) thì f(x) ngh‡ch bi∏n trên kho£ng (a, b)

3 f(x) Áng bi∏n trên kho£ng (a, b) thì f0(x)> 0, 8x 2 (a, b)

4 f(x) ngh‡ch bi∏n trên kho£ng (a, b) thì f0(x)6 0, 8x 2 (a, b)

3.2 C¸c tr‡ cıa hàm sË

Gi£ s˚ hàm f(x) có §o hàm trên kho£ng (a; b) và x02 (a; b)

1 N∏u

(

f0(x) > 0,8x 2 (x0 h; x0)

f0(x) < 0,8x 2 (x0; x0+ h) thì x0là i∫m c¸c §i cıa f(x)

2 N∏u

(

f0(x) < 0,8x 2 (x0 h; x0)

f0(x) > 0,8x 2 (x0; x0+ h) thì x0là i∫m c¸c ti∫u cıa f(x)

3 N∏u

(

f0(x0) = 0

f00(x0) > 0 thì x0 là i∫m c¸c §i cıa f(x)

4 N∏u

(

f0(x0) = 0

f00(x0) < 0 thì x0 là i∫m c¸c ti∫u cıa f(x)

3.3 Giá tr‡ lÓn nhßt - nh‰ nhßt cıa hàm sË

1 Xét trên mÎt o§n:

(a) Tìm xi2 [a, b], i = 1, 2, , n là các i∫m t§i ó có §o hàm b¨ng 0 ho∞c không xác ‡nh

(b) Tính f(a), f(b), f(xi), vÓi i = 1, 2, , n

(c) So sánh ∫ suy ra giá tr‡ lÓn nhßt và giá tr‡ nh‰ nhßt

2 Xét trên mÎt kho£ng : Dùng b£ng bi∏n thiên ∫ kh£o sát hàm sË

3.4 ˜Ìng tiªm c™n

Kí hiªu (C) là Á th‡ cıa hàm sË y = f(x)

1 ˜Ìng tiªm c™n ˘ng

N∏u mÎt trong các i∑u kiªn sau x£y ra

2 6 6 6 6

lim

x !x + 0

f (x) = +1 lim

x !x+0

f (x) = 1 lim

x!x 0

f (x) = +1 lim

x !x 0

f (x) = 1 thì ˜Ìng thØng x = x0 là tiªm c™n ˘ng cıa (C)

2 ˜Ìng tiªm c™n ngang

N∏u lim

x !+1f (x) = y0 ho∞c lim

x ! 1f (x) = y0 thì ˜Ìng thØng y = y0 là tiªm c™n ngang cıa (C)

3.5 Các b˜Óc kh£o sát hàm sË y = f (x)

1 Tìm t™p xác ‡nh cıa hàm sË

2 S¸ bi∏n thiên

(a) Chi∑u bi∏n thiên

i Tính y0

ii Tìm các nghiªm cıa ph˜Ïng trình y0= 0 và các i∫m t§i ó y0không xác ‡nh

iii Xét dßu y0 và suy ra chi∑u bi∏n thiên cıa hàm sË

(b) Tìm các i∫m c¸c tr‡ (n∏u có)

(c) Tìm các giÓi h§n vô c¸c, các giÓi h§n t§i +1, 1 và t§i các i∫m mà hàm sË không xác ‡nh Suy ra các ˜Ìng tiªm c™n ˘ng và ngang (n∏u có)

(d) L™p b£ng bi∏n thiên

3 V≥ Á th‡: Tính thêm tÂa Î mÎt sË i∫m ∞c biªt, l™p b£ng giá tr‡ và d¸a vào b£ng bi∏n thiên ∫ v≥ Á th‡

3.6 T˜Ïng giao cıa hai Á th‡

1 Biªn lu™n sË nghiªm cıa ph˜Ïng trình b¨ng Á th‡

Gi£ s˚ (C1) là Á th‡ cıa hàm sË y = f (x) và (C2) là Á th‡ cıa hàm sË y = g(x) Khi ó sË nghiªm cıa ph˜Ïng trình f(x) = g(x) t˜Ïng ˘ng vÓi sË giao i∫m cıa (C1) và (C2)

2 Ti∏p tuy∏n vÓi Á th‡ cıa hàm sË

(a) D§ng 1

Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa Á th‡ hàm sË y = f(x):

i T§i mÎt i∫m (x0; y0) trên Á th‡

ii T§i i∫m có hoành Î x0trên Á th‡

iii T§i i∫m có tung Î y0 trên Á th‡

iv T§i giao i∫m cıa Á th‡ vÓi trˆc tung

v T§i giao i∫m cıa Á th‡ vÓi trˆc hoành

Ph˜Ïng pháp gi£i: Tìm ı các giá tr‡ x0; y0 = f (x0) và f0(x0) Khi ó, ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa Á th‡ hàm sË y = f(x) t§i (x0; y0) là

y y0= f0(x0)(x x0) (b) D§ng 2

Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa Á th‡ hàm sË y = f(x) bi∏t ti∏p tuy∏n song song ho∞c vuông góc vÓi ˜Ìng thØng y = ax + b Ph˜Ïng pháp gi£i nh˜ sau

i Tính y0= f0(x)

ii N∏u ti∏p tuy∏n song song vÓi ˜Ìng thØng y = ax + b thì hª sË góc cıa ti∏p tuy∏n b¨ng a, t˘c là gi£i ph˜Ïng trình f0(x) = a ∫ tìm x0 N∏u ti∏p tuy∏n vuông góc vÓi ˜Ìng thØng y = ax + b thì hª sË góc cıa ti∏p tuy∏n b¨ng 1

a, t˘c là gi£i ph˜Ïng trình f0(x) = 1

a ∫ tìm

x0

iii Tính y0= f (x0)

iv Thay vào ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n y y0= f0(x0)(x x0)

(c) D§ng 3

Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n i qua mÎt i∫m cho tr˜Óc ∏n Á th‡ hàm

sË y = f(x) Ph˜Ïng pháp s˚ dˆng i∑u kiªn ti∏p xúc: Á th‡ hàm sË

y = f (x) và ˜Ìng thØng y = g(x) ti∏p xúc t§i i∫m có hoành Î x0khi

x0 là nghiªm cıa hª

(

f (x) = g(x)

f0(x) = g0(x)

4 Các l˛ thuy∏t v∑ nguyên hàm

4.1 Nguyên hàm và các tính chßt

1 Cho hàm sË f(x) xác ‡nh trên kho£ng K ✓ R Hàm sË F (x) gÂi là nguyên hàm cıa hàm f(x) trên kho£ng K n∏u

F0(x) = f (x),8x 2 K

2 MÂi hàm sË liên tˆc trên kho£ng K ✓ R ∑u có nguyên hàm trên o§n ó

3 N∏u F (x) là mÎt nguyên hàm cıa hàm sË f(x) trên kho£ng K ✓ R thì vÓi mÈi h¨ng sË C, hàm sË G(x) = F (x) + C cÙng là mÎt nguyên hàm cıa f(x) trên

K Ng˜Òc l§i, n∏u F (x) là mÎt nguyên hàm cıa hàm sË f (x) trên K thì mÂi nguyên hàm cıa f(x) trên K ∑u có d§ng F (x) + C vÓi C là mÎt h¨ng sË Kí hiªu h tßt c£ các nguyên hàm cıa hàm sË f(x) làRf (x)dx, Âc là tích phân bßt ‡nh cıa f(x) Khi óRf (x)dx = F (x) + C vÓi C 2 R

4 Các tính chßt cÏ b£n

(a) Rf0(x)dx = f (x) + C vÓi C là h¨ng sË th¸c

(b) Rkf (x)dx = kR

f (x)dx vÓi k là h¨ng sË th¸c

(c) R[f (x)± g(x)]dx =Rf (x)dx±Rg(x)dx

4.2 Ph˜Ïng pháp tính nguyên hàm

1 Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n sË N∏uRf (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm

sË có §o hàm liên tˆc thìRf (u(x))u0(x)du = F (u(x)) + C

2 Ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng ph¶n N∏u hai hàm sË u = u(x) và v = v(x)

có §o hàm liên tˆc trên K thìRu(x)v0(x)du = u(x)v(x) R

u0(x)v(x)du

4.3 B£ng các nguyên hàm cÏ b£n

Nguyên hàm cıa hàm sÏ cßp Nguyên hàm cıa hàm hÒp u = u(x)

•R x↵dx = x↵+1

↵ + 1+ C •R u↵du = u↵+1

↵ + 1 + C

•R 1xdx = ln |x| + C •R 1udu = ln |u| + C

•R exdx = ex+ C •R eudu = eu+ C

•R axdx = ax

ln a+ C •R audu = au

ln a+ C

•R cos xdx = sin x + C •R cos udx = sin u + C

•R sin xdx = cos x + C •R sin udu = cos u + C

•R cos12xdx = tan x + C •R cos12udu = tan u + C

sin2xdx = cot x + C •R 1

sin2udu = cot u + C

5 Các l˛ thuy∏t v∑ tích phân

5.1 Tích phân và các tính chßt

1 ‡nh nghæa Cho hàm sË f(x) liên tˆc trên o§n [a, b] Gi£ s˚ F (x) là mÎt nguyên hàm cıa f(x) trên o§n [a, b] Hiªu sË F (b) F (a) ˜Òc gÂi là tích phân t¯ a ∏n b (hay tích phân xác ‡nh trên [a, b]) cıa hàm sË f(x) K˛ hiªu

làZ b

a

f (x)dx Khi ó

Z b a

f (x)dx = F (x)

b

a = F (b) F (a)

Tr˜Ìng hÒp a = b ta ‡nh nghæa Z a

a

f (x)dx = 0 Tr˜Ìng hÒp a > b ta ‡nh nghæaZ b

a

f (x)dx =

Z a b

f (x)dx

2 Các tính chßt cıa tích phân.

(a) Z b

a

kf (x)dx = k

Z b a

f (x)dx vÓi k là h¨ng sË

(b) Z b

a

[f (x)± g(x)]dx =

Z b a

f (x)dx±

Z b a

g(x)dx

(c) Z b

a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx vÓi a < c < b

(d) Tích phân không phˆ thuÎc vào ch˙ dùng làm bi∏n sË trong dßu tích phân, t˘c là

Z b a

f (x)dx =

Z b a

f (t)dt =· · ·

5.2 Ph˜Ïng pháp tính tích phân

1 Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n sË

(a) Gi£ s˚ hàm sË x = '(t) có §o hàm liên tˆc trên o§n [↵, ] sao cho '(↵) = a, '( ) = b và a6 '(t) 6 b, 8t 2 [↵, ] Khi ó

Z b a

f (x)dx =

Z b a

f ('(t))'0(t)dt

(b) Gi£ s˚ hàm sË u = u(x) có §o hàm liên tˆc trên o§n [a, b] sao cho

↵6 u(x) 6 , 8x 2 [a, b] N∏u f(x) = g(u(x))u0(x),8x 2 [a, b], trong ó g(u) liên tˆc trên o§n [↵, ] thì

Z b a

f (x)dx =

Z u(b) u(a)

g(u)du

2 Ph˜Ïng pháp tích phân t¯ng ph¶n N∏u u = u(x) và v = v(x) là hai hàm

sË có §o hàm liên tˆc trên o§n [a, b] thì

Z b a

u(x)v0(x)dx = [u(x)v(x)]b

a

Z b a

u0(x)v(x)dx

ho∞c

Z b a

udv = [uv]b

a

Z b a

vdu

5.3 Ÿng dˆng cıa tích phân

1 Tính diªn tích cıa hình phØng

(a) Diªn tích hình phØng giÓi h§n bi Á th‡ cıa hàm sË y = f(x), hai ˜Ìng thØng x = a, x = b và trˆc Ox là

S =

Z b

a |f(x)|dx

x

y

O

Z b

a |f(x)|dx

y = f (x)

(b) Diªn tích hình phØng giÓi h§n bi Á th‡ cıa hai hàm sË y = f(x), y = g(x)

và hai ˜Ìng thØng x = a, x = b là

S =

Z b

a |f(x) g(x)|dx

x

y

O

y = f (x)

y = g(x)

2 Tính th∫ tích cıa v™t th∫ tròn xoay

(a) Gi£ s˚ hình phØng giÓi h§n bi các ˜Ìng y = f(x), y = 0 (trˆc Ox), x =

a, x = b khi quay quanh trˆc Ox t§o thành mÎt v™t th∫ tròn xoay Th∫ tích cıa v™t th∫ ó là V = ⇡Z b

a

[f (x)]2dx

(b) Xét ˜Ìng cong có ph˜Ïng trình x = g(y) liên tˆc vÓi mÂi y 2 [a; b] N∏u hình giÓi h§n bi các ˜Ìng x = g(y), x = 0 (trˆc Oy), y = a, y = b quay quanh trˆc Oy thì th∫ tích cıa v™t th∫ tròn xoay t§o thành xác ‡nh bi

V = ⇡

Z b a

[g(y)]2dy

6 LÙy th¯a và logarit

6.1 LÙy th¯a

1 LÙy th¯a vÓi sË mÙ nguyên d˜Ïng VÓi a 2 R, n 2 N⇤ ta có

an= a.a a| {z }

n th¯a sË

2 LÙy th¯a vÓi sË mÙ nguyên âm VÓi a 6= 0, n 2 N ta có

a n= 1

an

3 LÙy th¯a vÓi sË mÙ 0 VÓi a 6= 0 ta có a0= 1

4 C´n b™c n

Cho sË th¸c b và sË nguyên d˜Ïng n= 2 Khi ó

(a) SË a ˜Òc gÂi là c´n b™c n cıa b n∏u an= b, k˛ hiªu a = pn

b

(b) Khi n l¥ thì tÁn t§i duy nhßt pn

b vÓi mÂi b2 R

(c) Khi n chÆn thì

i N∏u b < 0 thì không tÁn t§i c´n b™c n cıa b

ii N∏u b = 0 thì có mÎt c´n pn

0 = 0

iii N∏u b > 0 thì có hai c´n pn

b và pn

b

5 LÙy th¯a vÓi sË mÙ h˙u tø VÓi a > 0, m, n 2 Z, n > 2, ta có

amn = pn

am

6 LÙy th¯a vÓi sË mÙ vô tø Cho a > 0, ↵ là mÎt sË vô tø và (rn) là mÎt dãy

sË h˙u tø sao cho lim

n !+1rn = a, khi ó a↵= lim

n !+1arn

7 Các tính chßt Cho a > 0, b > 0, ↵, 2 R, khi ó

(a) a↵.a = a↵+ ; a

↵

a = a

↵ (b) (ab)↵= a↵.b↵; ⇣ a

b

⌘↵

= a

↵

b↵; (a↵) = a↵ (c) N∏u a > 1 thì a↵> a () ↵ >

(d) N∏u 0 < a < 1 thì a↵> a () ↵ <

6.2 Logarit

1 ‡nh nghæa Cho a > 0, b > 0, a 6= 1, sË ↵ th‰a Øng th˘c a↵= b ˜Òc gÂi là logarit cÏ sË a cıa b và k˛ hiªu là logab, nh˜ v™y

↵ = logab() a↵= b

2 Các tính chßt

loga1 = 0; logaa = 1; aloga b= b; logaa↵= ↵

3 Các quy t≠c

(a) VÓi các sË a, b1, b2> 0, a6= 1, ta có

loga(b1b2) = logab1+ logab2

loga

✓b

1

b2

◆

= logab1 logab2

(b) VÓi các sË a, b > 0, a 6= 1, ↵ 2 R, n 2 N⇤, ta có

loga

✓ 1 b

◆

= logab; logab↵= ↵ logab; loga pn

b = 1

nlogab (c) VÓi các sË a, b, c > 0, a 6= 1, c 6= 1 ta có

logab = logcb

logca; logab =

1 logba(b6= 1); loga ↵b = 1

↵logab(↵6= 0)

4 Logarit th™p phân và logarit t¸ nhiên VÓi x > 0 ta vi∏t gÂn

log10x = lg x ho∞c log10x = log x; logex = ln x

6.3 Ph˜Ïng trình mÙ và ph˜Ïng trình logarit

1 Ph˜Ïng trình mÙ d§ng cÏ b£n

ax= b (a > 0, a6= 1) (a) N∏u b6 0 thì ph˜Ïng trình vô nghiªm

(b) N∏u b > 0 thì ph˜Ïng trình có nghiªm duy nhßt x = logab

(c) Các ph˜Ïng pháp ∫ bi∏n Íi v∑ d§ng cÏ b£n: ˜a v∑ cùng cÏ sË, ∞t ©n phˆ, lßy logarit hai v∏,

2 Ph˜Ïng trình logarit d§ng cÏ b£n

logax = b (a > 0, a6= 1) (a) Ph˜Ïng trình logarit cÏ b£n luôn có nghiªm duy nhßt x = ab

(b) Các ph˜Ïng pháp ∫ bi∏n Íi v∑ d§ng cÏ b£n: ˜a v∑ cùng cÏ sË, ∞t ©n phˆ, mÙ hóa hai v∏,

6.4 Bßt ph˜Ïng trình mÙ và bßt ph˜Ïng trình logarit

1 Bßt ph˜Ïng trình mÙ cÏ b£n

(a) N∏u a > 1 thì af (x)= ag(x)() f(x) = g(x) (tính chßt Áng bi∏n) (b) N∏u 0 < a < 1 thì af (x)= ag(x)

() f(x) 5 g(x) (tính chßt ngh‡ch bi∏n)

2 Bßt ph˜Ïng trình logarit cÏ b£n

(a) N∏u a > 1 thì logaf (x)= logag(x)() f(x) = g(x) > 0 (tính chßt Áng bi∏n)

(b) N∏u 0 < a < 1 thì logaf (x)= logag(x)() 0 < f(x) 5 g(x) (tính chßt ngh‡ch bi∏n)

7 SË ph˘c

7.1 CÏ b£n v∑ sË ph˘c

1 SË ph˘c có d§ng

z = a + bi trong ó

(a) a là ph¶n th¸c, b là ph¶n £o, a, b 2 R

(b) i là Ïn v‡ £o và i2= 1

2 Hai sË ph˘c b¨ng nhau khi và chø khi ph¶n th¸c và ph¶n £o t˜Ïng ˘ng b¨ng nhau, t˘c là

a + bi = c + di,

(

a = c

b = d

3 SË ph˘c z = a + bi ˜Òc bi∫u diπn bi i∫m M(a; b) trên m∞t phØng tÂa Î Oxy Khi ó, Î dài cıaOM gÂi là mô un cıa sË ph˘c z ó, t˘c là!

|!z| = OM =! p

a2+ b2

4 SË ph˘c liên hÒp cıa z = a + bi là z = a bi

7.2 Các phép toán vÓi sË ph˘c

1 Phép cÎng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2 Phép tr¯: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

3 Phép nhân:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2

= (ac bd) + (ad + bc)i

4 Phép chia:

(a + bi) (c + di) =

(a + bi)(c di) (c + di)(c di)

=(a + bi)(c di) (c2+ d2) .

7.3 Ph˜Ïng trình b™c hai vÓi hª sË th¸c

1 SË th¸c a < 0 v®n có các c´n b™c hai là ip|a| và ip|a|.

2 Xét ph˜Ïng trình b™c hai

ax2+ bx + c = 0 trong ó a, b, c 2 R, a 6= 0 ∞t = b2 4ac

(a) N∏u = 0 thì ph˜Ïng trình có nghiªm kép (th¸c) x = b

2a (b) N∏u > 0 thì ph˜Ïng trình có 2 nghiªm th¸c x1,2= b±p

(c) N∏u < 0 thì ph˜Ïng trình có 2 nghiªm ph˘c x1,2 = b± ip| |

GV chuyên toán: Ph§m ào Thanh Tú T: 0985750746

X Nh™n d§y kèm t§i nhà t¯ lÓp 6 ∏n lÓp 12, luyªn thi vào §i hÂc

X Ph˜Ïng pháp s˜ ph§m dπ hi∫u, kinh nghiªm luyªn thi §i hÂc 10 n´m

X Rèn luyªn hÂc sinh t¯ trung bình thành khá, gi‰i

X Tài liªu phát cho hÂc sinh miπn phí và ˜Òc biên so§n rõ ràng, dπ hi∫u b¨ng ph¶n m∑m thông minh Latex