Phát triển tư duy logic qua một số bài toán suy luận logic

Các bài toán này có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú và phát huy năng lực sáng tạo của người giải nhưng nó không có một khuôn mẫugiaiả mà tuỳ thuộc vào nội dung bài toán để lập luận

Là giáo viên được phân công giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá , giỏilớp 6 môn toán nên đề tài năm nay tôi chọn viết về chuyên đề “Phát triển tư duylogic qua một số bài toán suy luận logic”.

Những bài toán suy luận logic là những bài toán đòi hỏi suy luận đúngđắn, hợp lý , chặt chẽ Các bài toán này có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú

và phát huy năng lực sáng tạo của người giải nhưng nó không có một khuôn mẫugiaiả mà tuỳ thuộc vào nội dung bài toán để lập luận tìm ra cách giải thích hợp Nếu học sinh không được làm quen và luyện tập nhiều các bài toán dạng này rấtlúng túng và khó biết cách giải Chính vì vậy nên tôi chọn để tài : “Phát triển tưduy logic qua một số bài toán suy luận logic” Giúp các em luyện tập được nhiềubài bài toán dạng này và trở thành quen thuộc đối với các em học sinh

3 Phạm vi thời gian thực hiện đề tài

Phạm vi : Học sinh khá , giỏi lớp 6

Thời gian : 12 tiết (Trong đó có 2 tiết kiểm tra )

III QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỂ TÀI

1 Dựa vào yêu cầu của đề bàI để căn cứ vào các dữ liệu mà tìm ra mối liên hệnhằm làm cho lập luận không vấp phải mâu thuẫn

2 Cách lập luận một mặt phải phù hợp với thực tế , mặt khác phải phù hợp vớilogic , các bước chuẩn bị cho cái sau , cái sau do cái trước mà có

Khi giải ta thường sử dụng các lập luận ngắn ngọn chặt chẽ , có thể minh hoạ lờigiải bằng các bảng , các sơ đồ , hìmh vẽ

Ta sẽ tìm hiểu một số bài toán và phương pháp giải chúng qua các ví dụ sau đây

B Một số bài toán suy luận logic

Bài toán 1: Làm thế nào để đem 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 cái

thùng, một thùng dung tích 4 lít , một thùng dung tích 9 lít và không thùng nào

Bài toán 2 : Trong một can có 16 lít xăng Làm thế nào để chia số xăng đó

thành 2 phần bằng nhau , mỗi phần 8 lít , nếu chỉ thêm một can 11 lít và một can

6 lít để không ?

Giải :

Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái can 16 lít có a lít xăng , can 11 lít có b lít xăng , can 6lít có c lít xăng

Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bắng nhau được diễn tả qua các trạng thái sau:(16;0;0) => (10;0;6) =>(10;6;0) => (4;6;6) => (4;11;1)=> (15;0;1)=> (15;1;0) =>(9;1;6) =>(9;7;0) =>(3;7;6)=>(3;11;2) =>(14;0;2) =>(14;2;0)=>(8;2;6)=>(8;8;0)Vậy cuối cùng can 16 lít và can 11 lít chứa 8 lít xăng.

Bài toán 3 : Một hiệu bán sữa tươi có 2 thùng A và B bằng nhau , mỗi thùng

chứa đầy 40 lít sữa Hai khách hàng , mỗi người mang can 5 lít , một ngườimang can 4 lít đến mua 2 lít sữa , người bán sữa không có dụng cụ đo lường nàokhác Hỏi phải san sẻ làm sao để bán cho khách hàng ? ( không thùng nào cóvạch chia dung tích)

Giải : Gọi (a,b ) là trạng thái bình dung tích 5 lít có a lít sữa và bình 4 lít có b lít

Bài toán 4: Có 3 rổ táo Rổ thứ nhất có 11 trái , rổ thứ 2 có 7 trái , rổ thứ 3 có 6

trái Cần phải chuyển các trái táo sao cho số táo trong 3 rổ bằng nhau , với điềukiện việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia thoả mãn số táo chuyển vào rổ đóphải đúng bằng số táo đã có trong 3 rổ đó

Giải : Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái rổ thứ nhất có a quả táo , rổ thứ 2 có b quả táo,

Cuối cùng số táo trong 3 rổ đã bằng nhau và có 8 trái

Bài toán 5: Có 7 can bia đầy , 7 can đầy một nửa , 7 can không Làm thế nào để

chia số can bia thành 3 phần bằng nhau , để phần nào cũng có số can đầy , số canđầy một nửa , số can không như nhau ?

Giải : Vấn đề là phải làm thế nào để chia được số can đầy bia , số can đầy một

nửa , số can không làm ba

Cách 1: Từ 4 can đầy bia một nửa ta có thể được 2 can bia đầy và 2 can không Thế thì ta được 9 can bia đầy , 3 can đầy một nửa , 9 can không

Vậy mỗi phần gồm 3 can bia đầy , 1 can đầy một nửa , 3 can không

Cách 2 : Từ một can đầy và một can không ta được 2 can đầy một nửa Thế thì

ta có 6 can bia đầy , 9 can đầy một nửa , và 6 can không

Vậy mỗi phần gồm 2 can đầy , 3 can đầy một nửa , 2 can không

Cách 3 : Mỗi phần gồm 1 can đầy , 5 can đầy một nửa , 1 can không

Bài toán 6: Trong 4 đồng tiền có 3 đồng tiền thật có khối lượng như nhau , 1

đồng tiền giả có khối lượng khác Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng 2lần cân? ( Cân đĩa không có quả cân )

Giải : Đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền : Xảy ra 1 trong 2 trường hợp

a) Cân thăng bằng

b) Cân không thăng bằng

- Nếu cân thăng bằng theo trường hợp (a) thì 2 đồng tiền đó là thật , thay mộtđồng tiền đã cân bằng 1 trong 2 đồng tiền còn lại Nếu cân vẫn thăng bằng thìđồng tiền thứ 4 là giả Nếu cân không thăng bằng thì đồng tiền vừa thay là giả

- Nếu cân jkhông thăng bằng trường hợp (b) thì một trong 2 đồng tiền trên đĩa làgiả Trong lần cân thứ 2 chỉ việc thay một đồng tiền đã cân bằng một trong haiđồng tiền còn lại ( Cả 2 đồng tiền này đều là thật ) Xác định được đồng tiền giả

Bài toán 7: Có 16 chai rượu trong đó có một chai nhẹ hơn tất cả các chai còn

lại Làm thế nào chỉ 3 lần cân xác định được chai nào nhẹ ?

Giải : Chia 16 chai rượu thành 3 nhóm : 2 nhóm 6 , 1 nhóm 4

* Lần 1 đặt nên mỗi đĩa cân 6 chai , xảy ra 1 trong 2 trường hợp

a) Cân bằng (1)

b) Cân không thăng bằng (2)

* Lần cân 2:

a) Nếu cân thăng bằng (1) thì lấy 2 chai ở nhóm 4 chai đặt nên cân

- Nếu cân thăng bằng thì đặt 2 chai còn lại nên cân , lần 3 xác định được chai nhẹ

- Nếu cân không thăng bằng xác định ngay được chai nhẹ

b) Nếu cân không thăng bằng (2) thì lấy 6 chai ở bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân 3chai, xác định được nhóm 3 chai bên nhẹ để cân lần 3

* Lần cân 3 : Với 3 chai bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân một chai

- Nếu cân thăng bằng thì chai nhẹ là chai thứ 3

- Néu cân không thăng bằng thì xác định ngay chai nhẹ

Bài toán 8: Có 10 gói kẹo hình thức giồng hệt nhau , số lượng kẹo trong mỗi gói

bằng nhau (>10 cái) Trong đó có 9 gói kẹo thật và 1 gói kẹo giả Mỗi cái kẹothật nặng 6g , mỗi cái kẹo giả nặng 5g Làm thế nào chỉ một lần cân em hãy xácđịnh được gói kẹo giả ?

Giải : Đánh số thứ tự từ 1 đến 10 vào 10 gói kẹo Lấy số kẹo trong mối gói rabằng đúng số thứ tự của gói đó Như vậy tổng số kẹo lấy ra là : 1+2+3+…+10 =

55 cái

- Cho 55 cái kẹo nên cân thì sẽ xảy ra các trường hợp : 320g,321g,322g, 329g ( Nếu 55 cái kẹo là thật thì có khối lượng là 330g)

Như vậy : Khối lượng cân được là 329g thì có 1 cái kẹo giả và gói đánh số thứ tự

1 sẽ là gói kẹo giả

Khối lượng 328 g thì có 2 cái kẹo giả và gói kẹo giả là gói thứ 2

Khối lượng 320 g thì gói kẹo giả là gói đánh số 10

Vậy chỉ dùng 1 lần cân ta đã xác định được gói kẹo giả

Bài toán 9 : Cân đĩa không chính xác vì khi 2 đĩa cân không chứa vật gì thì cân

không thăng bằng Dùng quả cân làm thế nào để cân một vật mà xác định đượckhối lượng chính xác vật đó ?

Giải : Trước hết bỏ thêm một vật gì đó vào một đĩa cân để cân thăng bằng Bây

giờ chỉ việc đặt vật phải cân vào một đĩa cân và cho quả cân vào đĩa cân kia chotới khi cân thăng bằng

Từ đó ta xác định được ngay khối lượng chính xác của vật

Bài toán 10: Có 3 hộp : Hộp thứ nhất đựng 2 quả cam, hộp thứ 2 đựng 2 quả

quít hộp thứ 3 đựng 1 quả cam và 1 quả quít Nhưng khi đóng hộp kín người tadán nhầm các nhãn CC, QQ, CQ, cho nên các nhãn dán ở bên ngoài hộp khôngđúng với các quả đựng trong hộp Làm thế nào để chỉo cần lấy ra 1 quả trong 1hộp ( không nhìn vào trong hộp ) mà biết được chính xác các quả đựng trong 3hộp ?

Giải : Lấy 1 quả trong hộp dán nhãn CQ ( không nhìn vào trong hộp )

- Nếu quả lấy ra là quả cam thì do nhãn dán nhầm nên hộp đó đựng 2 trái cam,hộp dán nhãn CC đựng 2 trái quítvà hộp dánh nhãn QQ đựng 1 cam 1 quít

-Nếu quả lấy ra là quả quít thì hộp đó đựng 2 trái quít , hộp dán nhãn QQ đựng 2trái camvà hộp dán nhãn CC đựng 1 cam , 1 quít

Bài toán 11: Trong giỏ đựng 3 loại cam Hỏi không nhìn vào giỏ phải lấy ra ít

nhất bao nhiêu quả để có 2 quả cùng loại ?

Giải : Vì có 3 loại cam nên lấy ra 3 quả thỉ có thể 3 quả đó mỗi quả thuộc một

loại Nếu lấy ra ít nhất 4 quả thì sẽ được 2 quả cùng loại

Bài toán 12: Một hộp đựng 52 viên bi , trong đó có 13 viên màu xanh , 13 viên

màu đỏ , 13 viên màu vàng, 13 viên màu trắng Cần phải lấy ít nhất bao nhiêuviên bi ( không nhìn vào hộp) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên

bi cùng màu

Giải : Vì có 4 loại bi nên lấy : 6.4 +1 =25 viên bi thì chắc chắn có 7 viên bi cùng

màu

Bài toán 13:Bạn An uống 1/6 cốc ca cao rồi pha thêm sữa cho đầy cốc sau đó lại

uồng 1/3 cốc ca cao sữa rồi thêm sữa cho đaày cốc , lại uồng tiếp 1/2 cốc ca caosữa rồi lại pha sữa cho đầy cốc Cuối cùng uồng hết ca cao sữa này Hỏi bạn An

đã uỗng nhiều Ca Cao hơn hay nhiều sữa hơn ?

Giải : Lúc đầu bạn An có đầy cốc Ca Cao rồi cứ uống dần cho tới khi hết nên

lượng Ca Cao bạn An uống bằng nhiều lần đúng bằng lượng Ca Cao có từ đầu ,tức là 1 cốc đầy Ca Cao

Bây giờ đến lượt sữa lần đầu khi uống 1/6 cốc Ca Cao rồi pha thêm chođầy cốc thì rõ ràng lượng sữa pha thêm đúng bằng 1/6 cốc để bù lượng Ca Cao

đã uống, lần thứ 2 lượng sữa pha thêm đúng bằng 1/3 cốc và lần thứ 3 lượng sữapha them đúng bằng 1/2 cốc Như vậy lượng sữa bạn An đã uống trong 3 lần là :

1 + + = Tức là bạn An đã uống 1 cốc sữa đầy.

Vậy bạn An đã uỗng một lượng sữa lượng Ca Cao bằng nhau

Bài toán 14: Ba bà chung nhau mua mộy sọt xoài : Bà thứ nhất mua 1/3 số xoài

cộng thêm 8 quả , bà thứ 2 mua 1/3 số xoài còn lại và cộng thêm 8 quả , bà thứ 3mua 1/3 số xoài còn lại lần thứ 2 cộng thêm 8 quả cuối cùng Hỏi mỗi bà đã muabao nhiêu quả xoài ?

Giải : Hãy tính ngược từ dưới nên bằng cách tìm số xoài còn lại sau lần thứ 2 là

đầu khi chưa mua bán Bà thứ nhất mua 27 quả , bà thứ 2 mua 18 quả , bà thứ 3mua 12 quả

Bài toán 15: Chuyện xưa kể rằng : Một người đàn ông giàu có chết trong lúc vợ

đang có thai , đã để lại bài chúc thư về chia gia tài , dặn vợ nếu sinh con trai thì2/3 gia tài cho con trai và 1/3 cho người mẹ ; Còn nếu sinh con gái thì 1/3 gia tàicho con gái và 2/3 cho người mẹ

Oái oăm thay , người vợ lại đẻ sinh đôi , một trai và một gái ! Người vợ phải chianhư thế nào để thực hiện được bài chúc thư của chồng ?

Giải : Qua bức chúc thư ta thấy ý muốn của người chồng là :

Nếu đẻ con trai thì phần gia tài con trai được chia gấp đôi của người mẹ ; nếu đẻcon gái thì phần gia tài của người mẹ lại gấp đôi của con gái

Như vậy gia tài phải được chia thành 7 phần bằng nhau Với 2 đứa consinh đôi thì con trai hưởng 4/7 gia tài , con gái hưởng 1/7 còn người mẹ hưởng2/7 gia tài Rõ ràng phần của con trai gấp đôi phần của người mẹ , phần củangười mẹ gấp đôi phần của con gái

Bài toán 16: Trong 3 thúng cam có 200 quả Ta lấy 1/3 số cam của thúng thứ

nhất, 2/5 số cam của thúng thứ 2 , và 13/15 số cam của thúng thứ 3 thì được 70quả Hỏi nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5 số cam của thúng thứ 3 thìđược bao nhiêu quả ?

Giải : Theo đề bài ra ta có(

thì ta được 70 3 = 210 ( quả) số cam này bằng tất cả số cam của thúng 1 cộng

Theo bài ra ta có số cam của cả 3 thúng là 200 quả Vậy 210 - 200 = 10 chính là1/5 số cam của thúng 2 và 8/5 số cam của thúng 3 Đối chiếu với câu hỏi ta thấy1/10 số cam của thúng 2 ( tức là 1/2 của 1/5 ) và 4/5 số cam của thúng 3 ( tức là1/2 của 8/5) sẽ bằng 1/2 của 10 quả cam tức là 5 quả cam

Vậy nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5 số cam của thúng thứ 3 thìđược 5 quả

Bài toán 17:

Sau khi trả bài kiểm tra bốn bạn Ánh, Bình, Cường, Dũng nhận được 4điểm 7 ; 8 ; 9 ; 10 (không nhất thiết theo thứ tự đó)

Trả lời câu hỏi ai được điểm mấy các bạn ấy trả lời như sau:

Ánh: Tôi được 9, Bình được 10

Bình: Tôi được 9, Dũng được 8

Cường: Tôi được 9, Dũng được 7

Dũng: Ba bạn tôi đều hay nói đùa Trong câu trả lời của mỗi bạn có 1 phầnđúng, 1 phần sai Theo câu trả lời thành thật của Dũng hãy tìm số điểm của mỗibạn

Giải: Để tiện suy luận ta lập 1 bảng trong đó I, II, III theo thứ tự là câu trảlời của Ánh, Bình, Cường

Trong câu trả lời của Ánh có phần đúng, có phần sai Giả sử “Ánh được 9

là đúng” Như vậy ta thấy qua bảng Bình và Cường được 9 là sai (các câu II vàIII) Do đó Dũng được 8 (câu II) và được 7 (câu III) là đúng Vậy mâu thuẫnDũng vừa được 8 lại vừa được 7 Như vậy điều giả sử “Ánh được 9 ” là sai Do

đó câu trả lời của Ánh (câu I) “Bình được 10” là đúng (in đậm trên bảng) Tathấy qua bảng “Ánh và Bình được 9 ” là sai (câu I và câu II) và “Dũng được 8”(câu II) là đúng “Cường được 9” (câu III) là đúng còn “Ánh được 7”

Vậy số điểm của Ánh, Bình, Cường, Dũng theo thứ tự là 7;10;9;8

Bài toán 18:

Trong cuộc đua xe đạp, 3 vận động viên Minh, Quang, Phương đã chiếm 3giải đầu có các thông tin sau:

a) Vận động viên Phương không về nhất

b) Vận động viên Quang không về nhì

c) Vận động viên Minh về nhì

Biết rằng 3 câu trên chỉ có 1 câu là đúng còn 2 câu sai Hỏi vận động viênnào về thứ mấy ?

Vậy Minh về nhất, Quang về nhì và Phương về ba

Bài toán 19: cho 2 số nguyên dương a và b Biết rằng trong 4 mệnh đề P,

Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất 1 mệnh đề sai:

P = “a = 2b +5” Q = “a + 1 chia hết cho b”

R = “a + b chia hết cho 3” S = “a + 3b là số nguyên tố”

1 Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong 4 mệnh đề trên (có giải thích)

2 Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thoả mãn 3 mệnh đề đúngcòn lại

Giải:

1 Nhận xét: a + b = 3b +5 và a + 7b = (a + b) +6b Do đó nếu mệnh đề Rđúng thì cả hai mệnh đề P và S đều sai (vô lý)

Vậy mệnh đề R sai còn mệnh đề P,Q,S đúng

2 a + 1 chia hết cho b ⇔a + 1 = nb với n ∈z* mà a = 2b +5 ⇒b (n-2) = 6

⇒b ∈{1 ; 2 ; 3 ; 6} Để S đúng thì b ∈{ }2 ; 6

Đáp số: (a,b) = (9;2 ) và (17;6)

Bài toán 20: Cho A là số nguyên dương Biết rằng trong 3 mệnh đề sau

đây P, Q, R chỉ có duy nhất 1 mệnh đề sai Tìm A ?

P = “A + 51 là bình phương của 1 số tự nhiên”

=

− 89

1

y x

2 A chia hết cho 23

3 A + 7 là số chính phương

4 A – 10 là số chính phươngGiải: Dễ dàng nhận thấy rằng các cặp (1 ; 2 ) ; (1 ; 3) ; (2 ; 3 ) khôngthể cùng đúng Do vậy chỉ cần xác định A sao cho các cặp sau (1 ; 4); (2 ; 4); (3 ; 4) cùng đúng

Ta có: Cặp (1 ; 4 ) đúng nếu A = 10 hoặc 35

Cặp (2 ; 4 ) đúng nếu A = 46 Cặp (3 ; 4) đúng nếu A = 74Đáp số: Có 4 số A = 10; 35 ; 46 ; 74 thoả mãn

Bài toán 22: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hiệu

giữa số đó và số viết theo thứ tự ngược lại

Giải: Gọi số đó là ab = 10 a + b Số viết theo thứ tự ngược lại là ba = 10b+a

Theo bài ra ta có: a = 10a + b – (10b + a) = 9a – 9 b ⇒8a = 9b do đó a = 9; b =

8

Vậy số đó là 98

Bài toán 23: Một hội thảo được tổ chức trong một căn phòng có ghế 4 chân và

ghế đẩu 3 chân Biết rằng số người dự ngồi vừa hết chỗ và đếm được cả thảy 39chân Hỏi có bao nhiêu ghế 4 chân và ghế đẩu 3 chân ? Số người dự là baonhiêu?

Giải: Số chân đếm được trong đó có cả chân người Nếu số ghế 4 chân là a, sốghế đẩu là b thì số chân người ngồi dự là 2 (a+b)

Cả thảy có 39 chân tức là : 4a + 3b +2(a+b) = 39 ⇒6a +5b = 39

Tức là a +5 (a+b) = 39 Thoả mãn với a = 4 ; b = 3 vậy có 4 ghế 4 chân, 3 ghếđẩu 3 chân và 14 người ngồi dự

Bài toán 24: Có 8 bạn đi chơi với nhau Biết rằng trong bất cứ nhóm 3 người

nào của 8 bạn ấy cũng có 1 người quen với 2 người kia Chứng minh rằng cócách sắp xếp sao cho 8 bạn ấy đi chơi trên 4 xe mà mỗi xe đều có 2 người quennhau

Giải : Lấy 3 bạn bất kỳ, xếp 2 bạn ấy quen nhau đi cùng 1 xe Lại lấy 3 bạn bất

kỳ trong 6 người còn lại xếp 2 bạn quen đi xe thứ 2 Còn lại 4 bạn chẳng hạn 4bạn là A, B, C,D Nếu như có 2 bạn không quen nhau, ví dụ A và B không quennhau thì xét nhóm 3 bạn (A,B,C) Từ giả thiết ⇒C quen cả A và B Xét nhóm

( A,B,D ) tương tự ta có D quen cả A và B Như vậy ta xếp A và C đi xe thứ 3còn B và D đi xe thứ 4

Bài toán 25: Có 10 người dự họp Mỗi người quen với ít nhất là 5 người khác.

Chứng tỏ rằng, nếu cần sắp xếp 4 người vào 1 bàn tròn 4 chỗ ngồi thì có thể sắpxếp sao cho người nào cũng ngồi giữa 2 người quen của mình

Giải: Nếu cả 10 người quen nhau thì sắp xếp thế nào cũng đạt yêu cầu

Giả sử có 2 người A và B không quen nhau Trong số 8 người còn lại A quen ítnhất 5 người, B quen ít nhất 5 người, do đó A và B phải quen chung với 2 người,chẳng hạn là C và D Khi đó ta sắp xếp như sau:

A và B đối diện với nhau C và D đối diện với nhau