Một số bài toán về áp dụng định lý vi et

+ Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :Luật Giáo dục quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người

+ Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :

Luật Giáo dục quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người họcnăng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".Với mục tiêu giáo dục là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trítuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tínhnăng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủnghĩa, xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếptục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổquốc" Chương trình giáo dục phổ thông "Phải phát huy tính tích cực, tự giácchủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đốitượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớphọc; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm , đem lại niềmvui , hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh "

+ Phương pháp dạy học tích cực :

Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông làthay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phương pháp dạyhọc tích cực Phương pháp dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy tínhtích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinhthần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong

học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập Làmcho "Học" là quá trình kiến tạo , học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện luyện tậpkhai thác và sử lý thông tin… Học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực vàphẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân

lý Chú trọng hình thành các năng lực ( tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phươngpháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng những yêucầu của cuộc sống hiện tại và tương lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích chobản thân học sinh và cho sự phát triển xã hội

Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy quyết định cáchhọc, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của học sinh cũng ảnh hưởng đếncách dạy của thầy Mặt khác, cũng có trường hợp học sinh mong muốn đượchọc theo phương pháp dạy học tích cực nhưng giáo viên chưa đáp ứng được

Do vậy, giáo viên cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo phươngpháp dạy học tích cực , tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phứctạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh Trong đổi mới phươngpháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạtđộng học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục

Trong việc nâng cao chất lượng dạy toán học ở trường phổ thông,việc cải tiến phương pháp dạy học có ý nghĩa rất quan trọng.Sự phát triển nhanh như vũ bão của khoa học kỹ thuật đang đặt ra cho người thầy nhiều yêu cầu về phương pháp dạy học.Trong những năm qua nhiều GV ở trường phổ thông đã có nhiều

cố gắng cải tiến phương pháp dạy học toán theo các phương pháp : “tinh

giản,vững chắc” “vừa giảng vừa luyện” “phát huy trí lực của HS” “gắn với đời sống và lao động sản xuất”

Học sinh học toán,một mụn khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi HS phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướng dẫn của GV

Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạy cho HS cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗi dạng bài, suy luận các dạng câu hỏi có thể

tao ra trong dạng toán mà phạm vi kiến thức chỉ vẻn ven trong SGK, khi đó đứng trước một dạng toán học sinh không bị bất ngờ.Ta thấy hệ thức vi – et được trỡnh bày ơ SGK lớp 9 thật đơn giản nhưng nếu khai thác đi sâu vào

nghiờn cứu thỡ ta thấy rất nhiều cỏc loại cõu hỏi cú thể dặt ra

b) Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm :

Sau đây tôi xin phép được trình bày những đúc rút kinh nghiệm của mìnhthông qua bài viết rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp

Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện học sinh lớp 9 là lớp cuối cấp cực kỳquan trọng Để chuẩn bị tốt về kiến thức cho cấp học này cũng như có thể hoànthành tốt nhất các kì thi có tính chất quan trọng và then chốt của các em như kìthi hết học kì II kì thi vào lớp 10 kì thi vào các trường chuyên, lớp chọ lớp chấtlượng cao qua nghiên cứu và sưu tập đề thi, cũng như tham khảo y kiến của cácđồng nghiệp có nhiều năm kinh nghiệm tôi thấy trong đề thi thường xuất hiệnbài toán gắn liền với 1 dạng toán mà rất quen thuôc và đơn giản được học ởchương III Đại số lớp 9 nội dung của nó không giải phương trình hãy tính tổng

và tích 2 nghiệm nếu có của một phương trình bậc 2 khi đó 1 phương tiện màhọc sinh có thể được dùng trong phạm vi kiến thức là hệ thức viet Nhưng cácnhà làm đề thi lại không dừng lại ở đó mà đã đòi hỏi mức suy luận của học sinh

tư duy toán học của các em

Nếu đi sâu nghiên cứu thông qua các đề thi và tài liệu có liên quan thì ta cóthể phát triển hệ thức viet ở mức độ cao hơn các nhà làm đề thi sẽ có hàng loạtcách đặt câu hỏi khác nhau mà nội dung áp dụng của nó chỉ xung quanh hệ thứcviet Tôi có thể nêu cụ thể 1 số dạng câu hỏi có liên quan và áp dụng hệ thức vietđối với 1 phương trình bậc 2 và áp dụng của nó:

- Xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà không cần phải giải nghiệm cụ thểcủa phương trình

- Tìm điều kiện để 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm thoả mãn 1 điều kiệnnào đó về dấu như “phương trình có 2 nghiệm trái dấu, cùng dấu, 2

nghiệm dương phân biệt, 2 nghiệm âm phân biệt”.

- Tính giá trị của 1 biểu thức cho trước mà trong đó có mối quan hệ giữa 2nghiệm của phương trình

- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm mà giữa 2 nghiệm của nó có 1mối quan hệ giàn buộc VD như nghiệm này gấp 3 nghiệm kia, nghiệmnày bằng bình phương nghiệm kia

- Bài toán tổng quát được suy luận từ định lý viet nó cho phép chúng ta ápdụng vào 1 số bài toán trong hàm số, tìm phần nguyên cũng như tìm sốtận cùng của 1 biểu thức luỹ thừa số vô tỷ, tìm số tận cùng, chứng minhbiểu thức chia hết hay không chia hết cho 1 số nào đó

Từ hàng loạt kiến thức khai thác như trên ta thấy việc giải quyết 1 bài toán đốivới các em học sinh không hề đơn giản

Khi đó để đáp ứng được về kiến thức cách giải các dạng toán như trên tôi lầnlượt cho học sinh tiếp cận và được làm quen các bài toán dạng trên thông quakinh nghiệm giảng dạy của mình

2 - Mục đích nghiên cứu

* Dựa trên cơ sở lý luận , cơ sở thực tiễn , tôi tự đúc rút ra kinh nghiệm vàmạnh dạn viết đề tài này nhằm mục đích :

+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh

+ Rèn luyện kĩ năng quan sát , phân tích , tìm mối quan hệ giữa các dữkiệu trong bài toán

+ Hướng dẫn học sinh biết dựa vào các dấu hiệu để phõn tớch hỡnh thành lờigiải

+ Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải một bài toán của ứng dụngđịnh lý vi – ét

+ Hướng dẫn học sinh biết tổng quát hoá bài toán và ỏp dụng nú trong cỏcbài cụ thể

+ Một điều chắc chắn rằng việc ứng dụng của mỗi bài toỏn cụ thể sẽ kớch

thớch hứng thỳ học tập, úc sỏng tạo của cỏc em , làm cho cỏc em khụng cảmthấy e ngại trước cỏc bài toỏn dạng này nữa Từ đú giỳp học sinh cú cơ sở khoahọc khi phõn tớch , định hướng lời giải cho cỏc bài toỏn vềcácách tìm chữ số tậncùng , Giỳp cỏc em củng cố được niềm tin và yờu mụn toỏn học hơn

3- Đối tượng nghiên cứu và phạm vi áp dụng :

+ Đề tài này của tôi được thực hiện trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng

HS giỏi lớp 9 cũng như ôn luyên vào lớp 10

Năm học 2014 - 2015 : 30 học sinh

+ phạm vi áp dụng : chương trình lớp 9 chương 3 “ Đại số lớp 9”

4- Thời gian nghiên cứu :

Đề tài này chính thức được thực hiện :

5- Phương pháp nghiên cứu :

- Đọc sách, tham khảo tài liệu

- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm

- Thông qua học tập bồi dưỡng thường xuyên các chu kì

Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinhnghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân

đã rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến

Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề

mà học sinh mắc phải Qua quá trình bồi dưỡng học sinh khá , giỏi , qua làm bàikiểm tra khảo sát Tôi đã nắm được khó khăn khi phải giải bài tập dạng này Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành ba nhóm cơ bản

Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng nhữngphương pháp sau :

- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề

mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đềđó

- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh với tổng số 30 học sinh đểthống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán,quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về các bài toán có ứng dụngđịnh lý Vi - ẫt

- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của giáo viên và học sinh để phát hiệntrình độ nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải phápnâng cao chất lượng giáo dục

- Thực nghiệm giáo dục trong khi bồi dưỡng học sinh khá , giỏi Tôi đãđưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hìnhthức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinhbiết phát hiện ra cách áp dụng định lý Vi – Ét Từ đó hình thành lời giải Yêucầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa , sách thamkhảo rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xétmức độ nhận thức và suy luận của học sinh

- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đangnghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm hướng dẫn học sinh tìm ra quy luậtcủa các bài toán dạng này Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp

6- Đồ dùng và tài liệu tham khảo :

* Đồ dùng : Bảng phụ , phấn màu , phiếu học tập , phiếu sinh hoạt nhóm

* Tài liệu tham khảo :

1 Sách giáo khoa , sách bài tập lớp 9 ( tập 2 - BGD&ĐT)

2 Sách “Nâng cao và phát triển Toán 9 ” (Tác giả : Vũ Hữu Bình )

3 Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007)môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo

4 Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của

Bộ giáo dục và Đào tạo

5 Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng BGD&ĐT

-6 Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 “ tác giả Lê Thống Nhất “

7 Một số tạp trí toán học

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I - KHẢO SÁT THỰC TẾ HỌC SINH KHI CHƯA THỰC HIỆN

1 Tình trạng học sinh khi chưa thực hiện đề tài

Khi chưa thực hiện đề tài , trong giảng dạy luyện tập , ôn tập , bồi dưỡnghọc sinh Tôi chủ yếu cho học sinh làm một số bài tập từ đơn giản đến bài toánnâng cao hơn của áp dụng định lý Vi - Ét Yêu cầu học sinh phải tìm ra nóthuộc ở dạng nào trong định lý thì mới giải được Tôi thấy đa số học sinh cònlúng túng , không có phương pháp giải , nhiều em còn bị bế tắc không có địnhhướng khi gặp phải những bài toán dạng này , học sinh chưa biết tự tìm tòi ,khám phá kiến thức , không có sự kết hợp giữa cá nhân và hoạt động nhóm , tậpthể để thống nhất phương pháp giải Vì thế kết quả còn nhiều hạn chế

2- Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài

* Bài toán khảo sát trước khi thực hiện đề tài :

Bài 1 : Giải phương trỡnh ( 2009 + 2010)x2 − 3 2010x− 2009 + 2 2010 = 0

Bài 2: Giải hệ phương trỡnh

= +

5

6 2 2

2 2

y x

xy y x

Bài 3: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x2 − 2x− 2 = 0

Kết quả khảo sát 30 học sinh cho thấy :

* Đối với giáo viên :

- Trước hết phải áp dụng đúng phương pháp đổi mới trong mỗi giờ học Hướng dẫn học sinh biết khám phá , tìm tòi , suy nghĩ

- Tăng cường luyện tập trong loại bài tập , đưa ra phương pháp giải phùhợp

- Soạn bài đúng phương pháp , đúng quy định , sử dụng các dồ dùng dạyhọc : Phiếu học tập , bảng phụ , máy tính , phấn màu ,….phù hợp với yêu cầumục tiêu của bài toán và hoàn cảnh hiện có

- Ra câu hỏi hợp lí , đưa ra các hoạt động hợp lí nhằm phát huy tính độclập , sáng tạo của học sinhgiúp các em tự khám phá , bước đầu làm quen vớiphương pháp tự nghiên cứu

- Phân chia nhóm học sinh để các em kiểm tra , giúp đỡ , kích thích nhautrong học tập

- Tiến hành thi đua giành nhiều điểm tôt , biểu dương khen thưởng những

2 GIẢI PHÁP KHOA HỌC TIẾN HÀNH

Trong giảng dạy tôi cho học sinh thấy cùng một nội dung có nhiều dạngbài dưới nhiều hình thức Vì thế đầu tiên là học sinh phải biết nhận dạng các bàitập cùng loại , phương pháp giải Học sinh thấy được cái chung của dạng này và

dạng kia , các khác của dạng này và dạng kia để thêm bước này , bớt bước kiahoặc mở rộng nâng cao trong bài

Đối với một số bài toán về áp dụng định lý Vi – Ét

Dạng 1 : Tỡm nghiệm của phương trỡnh mà khụng cần giải phương trỡnh.Dạng 2 : Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chỳng

Dạng 3 : Giải hệ phương trỡnh đối xứng kiểu 1

Dạng 4 : Ứng dụng vào bài toỏn hàm số

Dạng 5: Tỡm giỏ trị một biểu thức thụng qua bài toỏn tổng quỏt

Dạng 6: xét dấu nghiệ của phương trỡnh bậc hai

Dạng 7; Tỡm điều kiện của tham số để hai nghiệm thỏa mó một hệ thức.Dạng 8: Tỡm quan hệ giữa hai nghiệm mà độc lập với tham số

Sau khi tôi hướng dẫn cho học sinh cụ thể trong từng dạng bài Hướngdẫn cách suy luận để tìm ra lời giải thỡ học sinh tự hình thành được lời giảicủabài toỏn , rút ra được phương pháp giải và biết so sánh giữa các dạng Học sinhđược kiểm tra kiến thức và tự kiểm tra kiến thức thông qua các hoạt động cánhân hoặc hoạt động nhóm

III ) NỘI DUNG ĐỀ TÀI

4) Xet dâu nghiêm phương trỡnh bậc hai.

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

a) Điều kiện để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu là: a.c <0

b) Điều kiện để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu là:

p s

d) Điều kiện để phương trỡnh cú hai nghiệm õm phõn biệt là:

p s

B ) CÁC DẠNG BÀI TÂP ĐƯỢC ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH Lí VI – ẫT.

Đối với những loại bài toán nay chỳng có một đặc điểm chung mà khi làm bài

ta phải nhận xét được đó là các hệ số a, b, c, của phương trình bậc hai có mộttrong các đặc điểm sau “a+b+c=0 hoặc a-b+c=0”với nhận xột trên ta có lời giải.a) Ta có hệ số của phương trỡnh : a = 2009; b = 2010; c = 1

c)Ta có a =( 2009 + 2010);b= − 3 2010 ;c= − 2009 + 2 2010

Ta thấy a+b=c=( 2009 + 2010)− 3 2010 − 2009 + 2 2010 = 0

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2009 2010

2009 2010

2)Dạng2: Toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Bài tập 2.1 : Tìm hai số x y biết

x = 4 thì y = 7

Bài tập 2.2 : Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12

Ta có x và y là nghiệm của phương trình x2 +7x +12 = 0

Giải phương trình ta được x3 = -3 ; x4= - 4

= +

5

6 2

2

2 2

=

− +

−

−

0 3 2 2

6 2 1

= +

35

30

y y x x

x y y x

Nhận xột

- Ta thấy những hệ phương trình trên đều có một đặc điểm chung là khi ta cháo

đổi các vị trí giữa ân x và y cho nhau trong mỗi phương trỡnh của hệ thì hệphương trình không thay đổi, khi đó người ta gọi những hệ phương trình có tínhchất như trên là hệ phương trình đối xứng kiểu 1

- Môt đặc điểm nữa là các phương trình trên đều có thể bién đổi vế trái củachung thành những tông và tích của các biểu thức Chinh vì những nhận xột đó

mà ta có thể ứng dụng định lí vi-et để giải những bài toán có cùng tính chất trên

a) Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta đưa hệ trở thành

= +

5 2

6 2

xy y

x

y x xy

khi đó ta đi đặt s = x + y và p = x.y

) 1 ( 6

s

p s

Từ (1) ta có p =6/s thế vào (2) ta thu được phương trình 2 −12 = 5 (s≠ 0 )

s s

=

2

3

y x p

y x s

theo định lý vi – ét thỡ x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai sau:

X2- 3X + 2= 0 giải phương trình ta thu được X1 = 1 ;X2 = 2

Vậy nghiêm của hệ đã cho là (x, y)=(1,2),(2,1)

−

=

− +

−

−

−

5 1 1 2 1 1

6 1 1

) 1 )(

1 (

y x

y x

y x

khi đó ta đi đặt s = (x- 1) + (y-1) và p = (x-1).(y-1)

) 1 ( 6

s

p s

Tương tự câu (a) ta có: s= 3 và p =2 khi đó ta có

−

=

2 ) 1 ).(

1 (

3 ) 1 ( ) 1 (

y x p

y x

s

Hay x-1, y-1 là hai nghiệm của phương trình bậc hai sau:

X2- 3X + 2= 0 giải phương trình ta thu được X1 = 1 ⇒x= 2 ;X2 = 2 ⇒ y= 3

− +

= +

35 3

30 3

y x xy y

x

y x xy

( Đk: x,y≥ 0)

) 1 ( 30

3 sp s

p s

vậy Từ (1) thế vào (2) ta thu được phương trình s3 = 125 ⇒s = 5 ⇒ p= 6

=

6

5

y x p

y x s

Hay x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai sau: X2- 5X + 6= 0

Giải phương trình ta thu được X1 = 2 ⇒x= 4 ;X2 = 3 ⇒ y= 9

HoặcX1 = 3 ⇒x= 9 ;X2 = 2 ⇒ y= 4

Vậy nghiêm của hệ đã cho là (x, y)=(4,9),(9,4)

Trên đây là 3 ví dụ về ap dung định lí vi- ét vào giải hệ phương trình sau đâyxin mời các ban làm các bài tập áp dụng sau:

Giải các hệ phương trình sau:

1)  ( + )( + )=

= + + +

12 1 1

8 2 2

y x xy

y x y x

= +

35

30 3

3

2 2

y x

xy y x

5) Dạng 4: Ứng dụng vào giải một số bài toỏn về hàm số

Sau đây tôi đưa ra một số ví dụ cụ thể và phân tích cách làm quen thuộc cũngnhư cách làm có sử dụng định lí vi- ét để chúng ta cùng so sánh

y x

P A

y x

P B

võy B( 2 ; 4 )Gọi phương trỡnh đường thẳng AB cần tỡm cú dạng y = ax + b

4

1

b

a b a

b a

Vậy đường thẳng AB là: y= x + 2

(*) Cỏch 2: Suy nghĩ đến định lí VI – Et thỡ ta cú lời giải đẹp sau đây:

2

1

a b

x x

a x x

B A

B A

Vậy đường thăng AB là: y= x + 2

y x

P A

võy A( 2 ;1 )Phương trỡnh đường thẳng cần tỡm cú dạng y = ax + b (D)

a b

b a D

A∈ ( ) ⇔ 1 = 2 + ⇔ = 1 − 2 Vậy y = ax + 1 – 2a (D)

Phương trỡnh xỏc định hoành độ giao điểm của (D) và (P) là

( )2 2

,

2 2

1 4 8 4

4

0 8 4

2 1

=

∆

= +

a

a a ax x

a ax

x

(D) tiếp xỳc với (P) ⇔ ∆ , = 0 ⇔ 4(a− 1)2 = 0 ⇔a = 1 ⇒b= 1 − 2 1 = − 1

Vây phương trỡnh đường thẳng cần tỡm y = x - 1 (D).

(*) Cỏch 2 - Sau đây là lời giải nếu sử dụng định lớ vi – ột.

Phương trỡnh đường thẳng cần tỡm cú dạng y = ax + b (D)

Phương trỡnh xỏc định hoành độ giao điểm của (D) và (P) là

) 2 ( 0 4 4 4

1x2 =ax+b⇔ x2 − ax− b=

Mà x = 2 là nghiệm kép của phương trỡnh (2) theo hệ thức vi-ột ta cú.

2 4

.

4

2 1 2

Nhận xột: Qua hai bài toán trên với hai cách giải khác nhau ta thây việc sử

dụng định lí vi-ét cho ta lời giải “đep” và ngắn gọn hơn cách thông dụng

6) Dạng 5- Tớnh giỏ trị của biểu thức,tỡm chữ số tận cựng,tỡm phần nguyờn .

3.1 Bài toỏn tụng: Cho phương trỡnh : ax2+bx + c = 0 ( a≠ 0)

1 1

2 2

2 1 2

n n n

n n

x

…

(*) Sau đây là ứng dụng của bài toỏn trờn.

VD5.1: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh x2 − 2x− 2 = 0

416 ,

152 ,

56 ,

Với n = 0 thỡ s0 = 2 ∈Z

Với n = 1 thỡ s1 = 6 ∈Z

Giả sửs k ∈Z,s k+1∈Z(k∈N), ta đi chứng minhs k+2∈Z

Thật vậy theo bài toán mở đầu ta cós k+2 − 6s k+1+s k = 0 hays k+2 = 6s k+1−s k

s k ∈Z,s k+1∈Z nờn từ kết quả trờn ta cú s k+2∈Z

b) Từ kết quả:s n+2 = 6s n+1 −s n = 6 ( 6s n −s n−1 ) −s n = 35s n − 5s n−1 −s n−1

suy ra s n+ 2và −s n− 1 khi chia cho 5 có cùng số dư

Từ đó s n, −s n+3,s n+6, −s n+9, khi chia cho 5 có cùng số dư

Mà s0 = 2 ,s1 = 6 ,s2 = 34 đều không chia hết cho 5 do đó s nkhụng chia hết cho 5

VD5.3: Tớnh giỏ trị của biểu thức

6 6

2 3 2

1 2

3

2

1

2 3 2 2

3

2

−

+ +

=

− + +

=

B

A

Lời giải.

Đặt x1 = 2 + 3 2 ;x2 = 2 − 3 2 thỡ khi đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh

x2-4x – 14 = 0 khi đó theo bài toán tổng quát ta có:

) 4 , 3 , 2 , 1 ( 14

14 1544 4

1544 44

14 232 4

232 4 14 44 4 , 44 ,

4

5 4

3 2

1

= +

=

= +

=

= +

=

=

=

s s

s s

s

Vậy

470596

3707 16470596

59312 14

59312 1544

14 9424 4 6