Đề thi và đáp án chuẩn học sinh giỏi môn Toán rất hay của tỉnh Bắc giang các em học sinh dùng làm tài liệu ôn thi Học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia đạt điểm cao. Giáo viên dùng làm tài liệu ôn thi giáo Viên giỏi tình và quốc gia. Sinh viên mới ra trường dùng ôn thi công chức viên chức
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP
TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 Ngày thi: 21/ 3/ 2017
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,5 điểm)
1) Tìm m để hàm số y= cos3x+ 6 cos 2m x− 21cosx+ 2m− 8 đồng biến trên khoảng ( ) 0; π
2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
f x =x + m - x m+ + -m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2.
2
y= x
-Câu 2 (4,5 điểm)
1) Giải phương trình 3 2 3 2
tan x− tan x+ 4 tanx+ cot x− cot x+ 4 cotx = 8.
2) Giải phương trình 4 ( ) ( )
log x + 7x− = 3 log x + 7x− 4 ,
(x∈ ¡ )
3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang Tính xác suất để giữa hai bạn
nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải
và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình 3 x+ + 3 3 x+ = 2 3 2x2 + 4x+ + 3 3 2x2 + 4x+ 2,
(x∈ ¡ )
2) Tính tích phân 4 2( )
0
log 2sin cos
1 cos 2
x
π
+
=
+
Trang 2Câu 4 (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y− + 3 2 3 0 − = và hai đường tròn
C x +y + x− y+ = ; ( ) 2 ( ) 2
C x + +y = Viết phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với đường thẳng d, tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )C1 , đồng thời ( )C cắt ( )C2 tại hai điểm A B, phân biệt mà AB⊥d
2) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thoi,
· 90o
ABC> Góc giữa A C' và mặt đáy (ABCD) bằng 30o; góc giữa hai mặt phẳng (A BC' ) và (ABCD) bằng 45o; khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (A CD' ) bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE'
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;9;0), M(4;3;25) và cắt hai tia
,
nhất
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực x y z, , không âm đôi một phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
HẾT
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và
ký)
Trang 3Giám thị 2 (Họ tên và
ký)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH
NGÀY THI 21/3/2017 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
Câ
Câ
u 1
4.5 đ 1.1.
(2.
5
điể
m)
cos3 6 cos 2 21cos 2 8
4cos 3cos 6 2cos 1 21cos 2 8
-0 5
Đặt t= cosx, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( ) 0; π khi và chỉ khi hàm số f t( ) =t3 + 3mt2 - 6t m- - 2
nghịch biến trên ( - 1;1 )
0.5
-Hàm số f t( ) =t3 + 3mt2 - 6t m- - 2 nghịch biến trên ( - 1;1 )
( )
Û + - £ " Î
-0.5
Trang 4( ) ( )
' 1 0 ' 1 0
'
f f
m
ìï + >
ïï
ïï
Û íï - £
ïïî
=
0.5
.
m
m m
ìï - - £
ï
Û íï- + £ïî Û - £ £
1.2
(2.
0
điể
m)
Ta có 2 2
y = x +m − Để hàm số có cực đại và cực
tiểu thì 2
Giả sử A x y B x y( ; ), ( ; 1 1 2 2 )là hai điểm cực trị
Tính được hệ số góc của đường thẳngAB là
( 2 )
( ) ( ) 2
3 3
−
−
0.5
Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
1 2 2
y= x- suy ra
( 2 )
k = − ⇔ m − = − ⇔ =m
0.5
Câ
u 2
4.5 đ
2.1
(1.
5
điể
m)
tan x− tan x+ 4 tanx+ cot x− cot x+ 4cotx= 8
Điều kiện: sin cos 0 ,
2
Phương trình tương đương
(tanx+ cot )x − (tanx+ cot )x + (tanx+ cot ) 6 0x − = (1)
0.5
Đặt t = tanx+ cot , | | 2x t ≥ , phương tình (1) trở thành
6 0
Giải được t = 2
Suy ra tanx cotx 2 sin 2x 1 x π 4 kπ
+
4
π
= + ∈ ¢ là nghiệm của phương trình đã cho
0.5
Trang 5(1.
5
điể
m
4
log x + 7x− = 3 log x + 7x− 4
Điều kiện: 22
7 3 0
7 4 0
+ − >
+ − >
Viết lại phương trình dưới dạng
log x 7x 3 log x 7x 4 (1)
0 5
4
log ( 7 4)
y= x + x− Từ phương trình (1) ta có hệ:
2
2
7 3 5
y
y
Hàm số f y( ) = 45 y+ 15 y
÷ ÷
là hàm nghịch biến
Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó
là duy nhất Nhận thấy y=1 là một nghiệm
8
x
x
=
= ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ = −
Vậy phương trình có nghiệm x= − 8 àv x= 1.
0.5
2.3
(1.
5
điể
m)
13!
W =
Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1
đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế số
1,5,9,13
Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần
nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và
bạn Minh không ngồi cạnh nhau”
0.2 5
Xét các trường hợp
- Bạn Minh ngồi ở ghế 1
+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!
+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải
+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn
lại
Suy ra số cách xếp là 3!.8.8!
- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là
3!.8.8!
0.5
Trang 6- Bạn Minh ngồi ghế 5 (ghế 9 làm tương tự)
Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của
Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại
Suy ra số cách xếp là 3!.7.8!
0.5
3!.7.8! 3!.8.8! 3!
2 2 2 15 8 !
W =
( ) 2.15.13!3!8! 8158
0.2 5
Câ
3.1
(2.
0
điể
m)
3 x+ + 3 3 x+ = 2 2x + 4x+ + 3 2x + 4x+ 2
Đặt u= 3 x+ 2;v= 3 2x2 + 4x+ 2
Phương trình đã cho trở thành 3u3 + + = 1 u 3v3 + + 1 v.
0 5 Xát hàm số f t( ) = 3 3t + + 1 t. Có ( )
2 2 3 3
1
t
t
Suy ra hàm số f t( ) luôn đồng biến Nên
( ) ( )
2
x+ = x + x+ ⇔ x + x= ⇔ =x x=−
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 0; 3.
2
3.2
(2.
0
điể
m)
2
2
log 2sin cos 1 ln 2sin cos
1 cos 2 2ln 2 cos
+
2
ln 2sin cos 1
cos
x
ïï ïïí
ï = ïïïî
2 os sin 2sin cos
1 tan
2
-ïï =
ïï
Þ í
ïï = +
ïïïî
2 os sin 2sin cos 2sin os 2cos
x c x v
x
-ïï =
ïï
ï = ïïïî
0.5
Trang 7( ) 4 4
0 0
4
0
tan ln 2sin cos
2 ln 2 2 2 2cos
x dx x
π π
π
+
∫
∫
0.5
0
1 27 ln 4ln 2 2 2
π
π
0.5
Câ
4.1
(2.
0
điể
m)
( )C1 có tâm I -1 ( 1;3 ) , bán kính R =1 2 ; ( )C2 có tâm
( )
2 0; 3
I - , bán kính R =2 1
Khẳng định tâm I của đường tròn ( )C nằm trên
đường thẳng l qua I2 và song song với d , l có
phương trình x y- - 3 = 0.
0.5
Tính được đường tròn ( )C có bán kính R =3. 0.5 Gọi I t( + 3;t) Î l Sử dụng II1 =R +R1 = 5 được t =0 hoặc
1.
t =
-( ) 3;0
I hoặc I ( 2; 1 - )
0.5
Kiểm tra ( )C cắt ( )C2 tại hai điểm phân biệt, ta có
( 2; 1 )
-KL: Đường tròn ( ) ( ) ( 2 ) 2
0.5
Trang 8(2.
0
điể
m)
Hạ AI ^BC suy ra góc( (A BC' ) ( ; ABCD) ) = góc(A I AI' , ) =
· ' 45o
Góc (A C ABCD' ; ( ) )=A CA =· ' 30o (2)
Hạ AJ ^CD, AH ^A J'
Khẳng định khoảng cách từ điểm C' đến mặt
phẳng (A CD' ) bằng AH =a.
0.5
Từ (1) suy ra AI =AA'. Đáy ABCD là hình thoi nên
.
AJ =AI
Xét tam giác vuông A AJ' , từ AH =a được AJ =a 2.
Đặt AB =x x, ( > 0 ) Þ BC =x. Từ (2) suy ra AC =a 6.
0.2 5
Xét tam giác vuông AIC IC: = AC2 - AI2 = 2 a
IB =IC - BC = a x
-Xét tam giác vuông AIB AB: 2 =AI2 +IB2
( )2 ( ) 2
2
a
Û = + - Û = ×
0.5
2
a
' ' ' '
3 2
3 2
a
5 Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
và đường thẳng d qua F vuông góc với (ABCD)
Mặt phẳng trung trực của AA' cắt d tại G thì G là
0.2 5
Trang 9tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE'
Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE' là
GA= GF +FA với GF = a2×
Tính được 57
4
a
2
ADE
FA
× ×
GA = +FA = +æççç ö÷÷÷÷=
0.2 5
4.3
(2.
0
điể
m)
Giả sử B a( ;0;0), (0;0; )C b (a b, > 0)
Phương trình mặt phằng (P)qua các điểm
(0;9;0), ( ;0;0), (0;0; )
A B a C b có dạng
1.
9
a+ + =b
0.5
Điểm M(4;3;25) (P) Î nên 4 25 2.
3
a+ b = Ta có OB OC a b+ = + 0.5
Mà 3( ) 4 25 87 3 4 25 87 30 147.
Dấu ‘=’ đạt được khi 21; 105.
2
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là
2 1.
21 9 105
Câ
(1.
0
điể
m)
Không mất tính tổng quát, giả sử 0 £ x< <y z.
Đặt a= -y x b; = -z y thì a> 0,b> 0.
( )
( )
2
2
2
2
2 2
a b a b
=êë + + + + + úûê + + ú
+
+
Đẳng thức xảy ra Û x= 0.
0.2 5
( )
( ) ( )
2
2 2
1
a b a b
Trang 10Đặt t a 2 a,t 0
æö÷
ç ÷
= ç ÷ç ÷çè ø + > thì P (2t 1)(2t 1)2.
t
³
2
( ) ( 3 )
3
f t
t
-
2
Lập bảng biến thiên ta được f t( ) ³ fæççç1+2 5ö÷÷÷÷=11 5 5+2 ×
Do đó 11 5 5
2
0.2 5
Đẳng thức xảy ra khi 1 5
2
t= + × Suy ra
1 3 2 5 2
a
b
Kết hợp với (1), P nhỏ nhất khi
0
1 3 2 5 2
x y
z y
ìï = ïï
ïï -ïî
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 11 5 5
2
+
×
0.2 5
20 điểm
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của
học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc
không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.