ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG

Vì vậy, sự khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử có nhiều điện tử dưới tác dụng của laser phân cực thẳng là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của các nhà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



TRẦN NGỌC LIÊN HƯƠNG

ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA

ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



TRẦN NGỌC LIÊN HƯƠNG

ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA

ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG

Ngành: VẬT LÝ

Mã số: 105

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

MỤC LỤC

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt i

Danh mục hình vẽ, đồ thị ii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 6

1.1 Quá trình tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử 6

1.2 Quá trình ion hóa 6

1.3 Quá trình ion hóa kép 8

1.3.1 Quá trình ion hóa kép liên tục 8

1.3.2 Quá trình ion hóa kép không liên tục 9

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH 12

2.1 Mô hình tập hợp ba chiều cổ điển 12

2.2 Các phương pháp giải số 15

2.2.1 Bài toán Cauchy 15

2.2.2 Phương pháp Euler 16

2.2.3 Phương pháp Euler cải tiến 16

2.2.4 Phương pháp tích phân liên tiếp 17

2.2.5 Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 18

2.2.6 Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 18

2.2.7 Phương trình vi phân cấp cao 18

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 20

3.1 Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán 20

3.1.1 Bài toán dao động tắt dần 20

3.1.2 Tính chính xác của thuật toán 23

3.2 Khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon bằng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển 27

3.2.1 Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử

Argon 27

3.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ laser của NSDI của nguyên tử Argon

31

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

PHỤ LỤC 37

Phụ lục 1 Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 37

Phụ lục 2 Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 39

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

r : khoảng cách từ electron thứ hai tới hạt nhân

r : khoảng cách giữa hai electron

DI Quá trình ion hóa kép Double Ionization

NSDI Quá trình ion hóa kép không liên tục Nonsequential Double

Danh mục hình vẽ, đồ thị

Danh mục hình vẽ

Hình 1.1 Sự ion hóa đa photon……… ….7

Hình 1.2a Cơ chế ion hóa xuyên ngầm……… …….……… 7

Hình 1.2b Cơ chế ion hóa vượt rào……… …….….7

Hình 1.3 Ví dụ về quá trình ion hóa kép liên tục……… 9

Hình 1.4 Mô hình ba bước của NSDI………10

Hình 3.3 Điện trường của xung laser 800nm với xung (2, 6, 2) ……… 27

Hình 3.4 Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (N 1 , N 2 , N 3 ) = (2, 2, 2) (a), (2, 4, 2) (b), (2, 6, 2) (c) ……… 28

Hình 3.5 Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (2,1) (a), (2,2) (b), (2,3) (c), (2,4) (d), (2,5) (e), (2,6) (f) ……… 30

Hình 3.6 Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm với độ dài xung (2, 4, 2) mang cường độ 110 14 W/cm 2 (a), 210 14 W/cm 2 (b), 310 14 W/cm 2 (c) ……….31

Danh mục đồ thị Hình 3.1 Đồ thị dao động tắt dần kiểm chứng sự khác biệt giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10xét tại N=50 (a) và tại N = 500 (b) ……… 25

Hình 3.2 Đồ thị biểu diễn sai số tỉ đối giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10 xét tại N = 50 (a), N = 100 (b), N = 500 (c) và N = 1000 (d) ……… 26

MỞ ĐẦU Những nghiên cứu liên quan

Ngày nay, vật lý nguyên phân tử đã và đang là một trong những ngành thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, bởi nó cung cấp nhiều thông tin về cấu trúc của vật chất, đặc biệt là các quá trình tương tác giữa vật chất với điện trường bên ngoài Khi laser phân cực thẳng tương tác với nguyên tử, phân tử thì có nhiều hiệu ứng phi tuyến xảy ra như quá trình phát xạ sóng điều hòa bậc cao, quá trình ion hóa kép

nguyên tử, phân tử, Trong đó quá trình ion hóa kép (DI – Double Ionization) của

nguyên tử, phân tử đáng được xét đến Quá trình ion hóa kép không liên tục cung cấp thông tin thuần khiết về tương tác giữa hai electron trong lớp vỏ nguyên tử, phân tử Vì vậy, sự khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử có nhiều điện tử dưới tác dụng của laser phân cực thẳng là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới, ví dụ như ngày càng nhiều kết quả thực nghiệm liên quan đến đề tài này được công bố [1], [5], [12]

Ngoài ra, việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Heli đã được một nhóm nghiên cứu tại trường Đại học Sư phạm TP.HCM phân tích và cũng đạt được một số kết quả như sau:

 Bằng việc sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển cho bài toán khảo sát quá

trình ion hóa kép không liên tục (NSDI – Nonsequential Double Ionization), đây

là mô hình tập hợp được đưa ra vào năm 2011 bởi S L Haan, nhóm tác giả đã

mô phỏng lại thành công cấu trúc chữ V trong sự phân bố động lượng tương quan

hai electron (CTEMD – Correlated Two Electron Momentum Distribution) của

nguyên tử Heli dưới tác dụng của trường laser cường độ cao Kết quả phân tích

cho thấy rằng cả tương tác hạt nhân và lực đẩy giữa electron – electron (e – e) [5]

sau khi bị ion hóa đều không phải là nguồn gốc tạo nên cấu trúc chữ V trong

CTEMD của nguyên tử mà nguồn gốc của cấu trúc chữ V này là do sự phân bố năng lượng bất đối xứng giữa hai electron khi xảy ra quá trình tái va chạm [6]

 Bằng phép phân tích quỹ đạo, nhóm tác giả đã giải thích thành công cấu trúc chữ

V trong phân bố động lượng tương quan electron đối với quá trình ion hóa kép không liên tục của Heli Trong trường hợp trường laser có cường độ yếu tương tác hạt nhân và lực đẩy của hai electron sau khi bị ion hóa đóng vai trò nổi bật trong việc hình thành nên cấu trúc chữ V Trong trường hợp trường laser có cường

độ mạnh, kết quả cho thấy rằng sự khác nhau trong phân bố động lượng vuông góc của electron tái va chạm và electron liên kết là do sự phân bố năng lượng bất đối xứng Khi xảy ra quá trình tương tác, electron liên kết rời khỏi nguyên tử với động lượng ban đầu rất nhỏ nghĩa là động lượng vuông góc của nó đã bị mất rất nhiều trong quá trình tương tác với hạt nhân Cùng lúc đó electron tái va chạm rời khỏi nguyên tử với động lượng rất lớn, nghĩa là tương tác hạt nhân không ảnh hưởng đến động lượng vuông góc của nó Sự khác nhau trong phân bố động lượng vuông góc của electron tái va chạm và electron liên kết không chỉ đóng vai trò như dấu hiệu nhận biết quá trình này mà còn cung cấp cái nhìn sâu hơn về quá trình tương tác ba vật thể trong khung thời gian 10-18 giây [7]

 Bằng phép phân tích quỹ đạo, nhóm tác giả đã chỉ ra rằng thời điểm ion hóa kép

và lực đẩy giữa hai electron ion hóa chính là nguyên nhân gây ra sự thay đổi mạnh trong phổ động lượng tương quan của hai electron đó theo phương song song với trục phân cực của trường laser 800nm khi pha tương đối của laser thay đổi [2] Hay như việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục đối với nguyên tử Argon vẫn còn là một thách thức đối với các nhà nghiên cứu Năm 2015, nhóm nghiên cứu của Yueming Zhou và cộng sự đã thực hiện thành công khảo sát phổ động lượng tương quan của hai eletron dọc theo trục phân cực laser đối với quá trình NSDI của Argon dưới tác

nguyên tử Ar phụ thuộc mạnh vào cường độ trường laser Ở cường độ 0.81014 W/cm2, phổ động lượng hai electron có dạng bất đối xứng, ở cường độ cao hơn 1.31014 W/cm2, phổ động lượng có dạng gần giống như hai đường thẳng song song nằm trên đường chéo chính ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba Ở cường độ cao của xung laser 2.31014 W/cm2, phổ động lượng hai electron tồn tại cấu trúc chữ thập [10]

Từ những kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã nêu trên, tác giả mong muốn được tham gia vào nghiên cứu vấn đề này, vì vậy tác giả chọn đề tài “ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG” làm đề tài luận văn tốt nghiệp

Mục đích của luận văn

Tìm hiểu thuật toán Runge – Kutta để lập trình giải phương trình vi phân cấp cao

Áp dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển dựa trên nền thuật toán Runge – Kutta để khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon dưới tác dụng của laser phân cực thẳng

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải số: sử dụng thuật toán Runge – Kutta cho bài toán cổ điển Newton

để thu được các thông số về vị trí, vận tốc của hai electron trước và sau khi xảy ra hiện tượng ion hóa kép không liên tục

Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng phần mềm Fortran để lập trình tính toán, xử lý số liệu và mô tả sự phân bố động lượng tương quan của hai electron bằng hình vẽ

Nội dung nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở toán học của thuật toán Runge – Kutta

Lập trình để giải phương trình vi phân cấp cao bằng phương pháp Runge – Kutta Kiểm chứng độ tin cậy và tính chính xác của chương trình

Ứng dụng chương trình tính toán để khảo sát 2 vấn đề sau:

 Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử Ar

 Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ trường laser của quá trình NSDI của nguyên

tử Ar

Đối tượng nghiên cứu: Bài luận văn này tiến hành khảo sát trên hàng triệu nguyên tử

Argon dưới tác dụng của trường laser phân cực thẳng mang các thông số về cường độ trường laser, độ dài xung laser khác nhau

Nội dung của luận văn bao gồm:

Chương 1 Tổng quan Trình bày về tương tác giữa laser với vật chất, trong đó nhấn mạnh vào quá trình ion hóa của nguyên tử, phân tử thông qua ba cơ chế là ion hóa đa photon, ion hóa xuyên ngầm và ion hóa vượt rào Ngoài ra trong chương này còn đi sâu tìm hiểu về quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử, phân tử

Chương 2 Cơ sở lý thuyết và phương pháp tính Trình bày về mô hình tập hợp ba chiều

cổ điển [3] Đây là một công cụ toán học hiệu quả để khảo sát các quá trình vật lý xảy ra khi vật chất chịu tác dụng của trường laser Ngoài ra trong chương này tác giả còn đề cập đến thuật toán Runge – Kutta để giải quyết bài toán Cauchy cơ bản nhất, từ đó mở rộng khảo sát cho phương trình vi phân cấp cao Ngoài ra trong chương này còn cho thấy mức độ tin cậy cao của thuật toán Runge – Kutta so với phương pháp giải tích phương trình vi phân cấp hai trong bài toán cổ điển Newton

Chương 3 Kết quả nghiên cứu Kiểm chứng tính chính xác của chương trình tính toán thông qua việc khảo sát cho hệ dao động tắt dần Đồng thời trong chương này còn trình bày kết quả khảo sát sự ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon dưới tác dụng của trường laser khi thay đổi độ dài xung và cường độ điện trường

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

1.1 Quá trình tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử

Hiện nay, quá trình tương tác giữa trường laser với nguyên tử, phân tử là một trong những đề tài hấp dẫn thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi nó có nhiều ứng dụng trong khoa học công nghệ và trong cuộc sống Theo lý thuyết lượng tử, trường laser được xem như là những dòng hạt photon có năng lượng, động lượng và spin xác định Vì vậy khi tương tác với nguyên tử phân tử, laser sẽ làm cho các trạng thái nguyên

tử bị thay đổi Khi đó nhiều hiệu ứng phi tuyến được xảy ra như quá trình ion hóa, phát

xạ sóng điều hòa bậc cao, quá trình ion hóa kép không liên tục Tùy thuộc vào cường

độ của trường laser mà cơ chế tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử sẽ khác nhau

1.2 Quá trình ion hóa

Khi cường độ trường laser yếu hơn nhiều so với thế ion hóa của nguyên tử, trường laser chỉ có tác dụng gây ra sự nhiễu loạn các trạng thái electron của nguyên tử Trong trường hợp này, các mức năng lượng của nguyên tử bị thay đổi tỉ lệ với bình phương cường độ của trường laser, hiện tượng này gọi là sự dịch chuyển Stark Do đó, vùng này được gọi là vùng nhiễu loạn của quang học phi tuyến Trong vùng này, sự ion hóa chủ yếu diễn ra theo cơ chế đa photon, nghĩa là nguyên tử hấp thụ liên tiếp nhiều photon làm cho năng lượng của nó tăng dần đến khi lớn hơn năng lượng liên kết thì electron được chuyển sang trạng thái tự do Như vậy, khi cường độ trường laser yếu hơn nhiều so với trường Coulomb của nguyên tử thì nguyên tử chỉ hấp thụ một cách tự phát N photon và xảy ra sự ion hóa đa photon Trong trường hợp ion hóa đa photon thế của nguyên từ không bị biến dạng do điện trường không đủ mạnh

Hình 1.1 Sự ion hóa đa photon [13]

Khi cường độ trường laser lớn hơn so với trường Coulomb của nguyên tử Khi đó thế của nguyên tử sẽ bị biến dạng Lúc đó các electron liên kết yếu với hạt nhân và sẽ thoát khỏi nguyên tử hoặc phân tử thông qua một rào thế xác định bởi cơ chế xuyên ngầm Rào thế này trở nên thấp và mỏng hơn khi cường độ trường laser tăng lên Trong hình 1.2a, đường mảnh ứng với thế của điện trường, đường cong dày ứng với thế năng hiệu dụng và đường nằm ngang đặc trưng cho năng lượng liên kết của nguyên tử khi không

có trường laser

Hình 1.2 Cơ chế ion hóa: xuyên ngầm (a), vượt rào (b) [4]

Khi điện trường tiếp tục tăng rào thế sẽ bị hẹp lại và hạ thấp xuống, đến khi nó hạ xuống thấp hơn năng lượng liên kết của electron thì electron sẽ đi từ trạng thái liên kết sang trạng thái tự do Sự ion hóa lúc này diễn ra theo cơ chế vượt rào (hình 1.2b) Cường

độ trường laser tới hạn Fc xác định giao điểm giữa vùng ion hóa xuyên ngầm và vùng ion hóa vượt rào Giá trị Fc này có thể được ước lượng bằng cách cho thế năng hiệu dụng cực đại bằng với thế năng ion hóa của electron liên kết

1.3 Quá trình ion hóa kép

Như chúng ta đã biết, khi chiếu một chùm laser vào trong nguyên tử thì các electron trong nguyên tử có thể bị ion hóa theo các cơ chế như ion hóa đa photon, xuyên ngầm hay vượt rào tùy thuộc vào cường độ của chùm laser Trong đó khi các electron trong nguyên tử bị ion hóa xuyên ngầm qua rào thế tạo bởi thế ion hóa của nguyên tử và cường

độ chùm laser sẽ có nhiều hiện tượng phi tuyến xảy ra Khi đó electron tự do bứt ra khỏi ion mẹ được gia tốc trong trường laser, nó quay lại va chạm với ion mẹ khi trường laser đổi chiều

Quá trình ion hóa kép là quá trình hai electron bị bứt ra khỏi ion mẹ dưới tác dụng của trường laser khi bức xạ của trường laser tác dụng vào nguyên tử hay phân tử trung hòa Quá trình ion hóa kép được chia thành hai cơ chế khác nhau: quá trình ion hóa kép liên tục và quá trình ion hóa kép không liên tục

1.3.1 Quá trình ion hóa kép liên tục

Trong đó quá trình ion hóa kép liên tục được hiểu là cả hai electron trong nguyên tử bứt ra cùng một thời điểm dưới tác dụng của trường laser hoặc sau một thời gian electron thứ nhất bứt ra thì electron thứ hai cũng bứt ra khỏi ion mẹ Trong quá trình ion hóa kép liên tục không xảy ra sự tái va chạm của electron và ion mẹ

Hình 1.3 Ví dụ về quá trình ion hóa kép liên tục [14]

1.3.2 Quá trình ion hóa kép không liên tục

Còn quá trình ion hóa kép không liên tục có cơ chế khác hoàn toàn, được hiểu đó là quá trình electron thứ nhất bứt khỏi ion mẹ, sau một thời gian khi trường laser đổi chiều,

nó quay lại va chạm với ion mẹ, khi đó electron thứ hai mới được giải phóng

Khi đó động năng cực đại để electron quay lại va chạm với ion mẹ được tính là 3.17 p

E U , do đó năng lượng của photon là:

Hiện tượng ion hóa kép không liên tục được phát hiện bằng thực nghiệm bởi Suran

và Zapesochny cho nguyên tử kiềm thổ vào đầu năm 1975 Mặc dù được nghiên cứu sâu

(1.1)

rộng nhưng chi tiết về quá trình ion hóa kép của nguyên tử kiềm thổ này vẫn chưa được tìm hiểu kỹ Quá trình ion hóa kép trong trường hợp này được thực hiện bởi sự chuyển mức của cả hai electron thông qua phổ trạng thái nguyên tử, nằm giữa thế của electron thứ nhất và thứ hai Đối với các nguyên tử khí hiếm, quá trình ion hóa kép không liên tục đầu tiên được quan sát bởi L’Huillier Hiện tượng này nhanh chóng thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu sau khi nó được tìm thấy trong trường hồng ngoại và đối với cường độ cao hơn Cơ chế của quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử khí hiếm khác với các nguyên tử kiềm thổ Sau khi electron thứ nhất bị ion hóa, electron được giải phóng có thể quay lại va chạm với ion mẹ Electron này đóng vai trò như một

“atomic antenna”, hấp thụ năng lượng từ trường laser giữa quá trình ion hóa và quá trình tái va chạm, cơ chế này được gọi là mô hình ba bước của quá trình ion hóa kép không liên tục [5]

Hình 1.4 Mô hình ba bước của NSDI [15]

Trong tương tác giữa nguyên tử với laser, quá trình ion hóa kép không liên tục thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi những tín hiệu ghi nhận được từ phổ động lượng tương quan của hai electron cung cấp rất nhiều thông tin về sự tương tác giữa laser với vật chất cũng như sự tương quan giữa electron – electron trong nguyên tử khi electron thứ nhất quay lại va chạm với electron thứ hai thông qua va chạm không đàn hồi

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

2.1 Mô hình tập hợp ba chiều cổ điển

Trong tương tác giữa nguyên tử, phân tử với trường laser, quá trình ion hóa kép không liên tục thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi những tín hiệu ghi nhận được từ phổ động lượng tương quan của hai electron cung cấp rất nhiều thông tin về sự tương tác giữa laser với vật chất cũng như sự tương quan giữa electron – electron trong nguyên tử khi trải qua quá trình ion hóa kép Hiện nay có hai cách phổ biến để tiếp cận bài toán NSDI Cách thứ nhất là dựa theo nền tảng của cơ học lượng tử, trong đó những tính chất của các electron ion hóa được thu nhận từ việc sử dụng phương pháp giải chính

xác nghiệm phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE – Time Dependent Schrödinger Equation) với sự góp mặt của trường laser Trong phương pháp giải số, đây

là phương pháp cho kết quả chính xác Tuy nhiên, với phương pháp này việc lập trình khá phức tạp và chỉ cho kết quả cuối cùng mà không cung cấp các thông tin về quá trình động lực học vật lý của các electron diễn ra trong suốt quá trình tương tác với laser Vì vậy phương pháp này không được sử dụng phổ biến để khảo sát bài toán NSDI Cách tiếp cận thứ hai là sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển thông qua việc giải phương trình Newton cho từng electron chịu sự tác dụng của trường laser và trường tương tác hạt nhân của nguyên tử Từ khi được giới thiệu vào năm 2001 [3], mô hình tập hợp ba chiều này được xem là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu quá trình DI trong trường mạnh Với phương pháp này, vai trò của lực đẩy electron – electron và lực hút electron – ion trong việc quan sát phổ electron của quá trình ion hóa kép không liên tục cũng được xác định một cách thành công và năng lượng bất đối xứng trong quá trình tái va chạm cũng được phát hiện Mô hình cổ điển này cũng đạt được thành công trong việc tiên đoán các hiện tượng mới trong quá trình ion hóa kép trường mạnh Ngoài ra, mô

trình đang khảo sát Phương pháp cổ điển này có những ưu điểm so với phương pháp TDSE như sau: thời gian tính toán nhanh, có thể khảo sát và phân tích được trạng thái của electron tại một thời điểm bất kỳ trong suốt quá trình nguyên tử tương tác với trường laser

Trong mô hình tập hợp ba chiều cổ điển, sự phát triển của hệ hai electron được xác định bởi phương trình chuyển động của Newton (đơn vị nguyên tử được sử dụng trong toàn bộ quá trình tính toán)

1.5

a  a.u và 2

0.05

a.u Lúc đầu, cả hai electron của mô hình nằm tại trạng thái có năng lượng -1.5911 a.u

là tổng thế ion hóa của hai electron của nguyên tử Ar Vị trí ban đầu của hai electron được gán là (0.85, 0) và (-0.85, 0) Động năng khả dĩ của hai electron được phân bố ngẫu nhiên giữa chúng trong không gian động lượng Sau đó, hệ thống các phân tử được cho

(2.2)

(2.3) (2.1)

chuyển động tự do trong một khoảng thời gian đủ dài (200 a.u.) khi chưa có sự góp mặt của trường laser để thu được phân bố tọa độ và động lượng ổn định của cả hai electron

Đó là điều kiện ban đầu của hệ electron Sau khi xác định được điều kiện ban đầu của hệ electron, chúng tôi giải phương trình (2.1) cho từng electron một cách độc lập khi có sự tồn tại của trường laser bằng phương pháp Runge – Kutta, được trình bày chi tiết trong mục 2.2

Để giải các phương trình trên, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge – Kutta Và năng lượng của hệ hai electron trong đoạn cuối của xung được xác định như sau:

với x y zi, ,i i và v v vxi, yi, zi tương ứng là vị trí và vận tốc của electron i trong hệ tọa độ

Descartes Vào cuối quá trình tương tác, năng lượng của hai electron được phân tích, khi này nguyên tử được xem là đã bị ion hóa kép nếu năng lượng của cả hai electron ở cuối quá trình đều mang giá trị dương Điều đáng lưu ý trong phương pháp cổ điển này là cả hai electron đều bị ion hóa bởi cơ chế ion hóa vượt rào, sự ion hóa xuyên ngầm không được xét đến do đây là quá trình hoàn toàn cổ điển Trong bài nghiên cứu này, trường laser được sử dụng có cường độ đủ lớn để làm biến đổi mạnh thế ion hóa nên nguyên tử

có thể chuyển sang trạng thái có mức năng lượng dương theo cơ chế vượt rào Để tạo ra kết quả ổn định với sai số thống kê nhỏ, chúng tôi đã sử dụng tập hợp nguyên tử có kích thước hai triệu hạt

(2.4)

(2.5)

2.2 Các phương pháp giải số

2.2 1 Bài toán Cauchy

Một phương trình vi phân bậc một có thể được viết dưới dạng y x'  f x y x ,   

mà ta có thể tìm được hàm y x   từ đạo hàm của nó Trong thực tế có vô số nghiệm thỏa mãn phương trình trên, mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tùy ý cho trước Khi cho trước giá trị ban đầu y0 của hàm y x   tại x0ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của phương trình Bài toán tìm hàm y x   khi biết giá trị ban đầu trên được gọi là bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu và được mô tả như sau:

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (2.6) ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước nhảy h b a

Công thức (2.8) trên được gọi là công thức Euler Công thức này cho phép ta tính giá trị của y  x k1 khi đã biết y x  k mà không cần phải giải một phương trình nào

Trong thực tế, phương pháp trên chỉ sử dụng đến khai triển Taylor bậc nhất, vì vậy

sẽ không khỏi mắc phải sai số rất lớn Để hạn chế được sai số trên, người ta đã sử dụng

phương pháp Euler cải tiến để hạn chế tối đa sai số mắc phải

2.2.3 Phương pháp Euler cải tiến

2.2.4 Phương pháp tích phân liên tiếp

Xét bài toán Cauchy (2.6)      

,

x

x x

(2.12)