Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy.. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy.. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om.. a Tính số đo góc mOn b Tính số đo của góc k
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6
(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017
Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề
Câu 1: (4,0 điểm).
1 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 68.74 + 27.68 – 68
b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
c) C =
9 10
d) D = 12 1 12 1 12 1 12 1
Câu 2: (2,0 điểm) Tìm số nguyên x, biết:
a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78+ + + + + + + + + = 39
Câu 3: (3,0 điểm)
a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0
Câu 4: (4,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư
28
b) Tìm số nguyên n để phân số 4n 5
2n 1
+
− có giá trị là một số nguyên
Câu 5: (5,0 điểm) Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của
các góc xOy và góc zOy Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om
a) Tính số đo góc mOn
b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết ·m 'Oz 30= 0
c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình
để tạo thành tất cả 300 góc
Câu 6: (2,0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225
1 3 1 3 5 1 3 5 7+ + + +1 3 5 7 2017
Chứng minh A 3
4
<
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1: (4,0 điểm).
1
a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]}
B = 1000 – 3.{539 – 239}
B = 1000 – 3.300
B = 1000 – 900
B = 100
c) C =
9 10
C = 15.10101 1 15 16.101
16.10101 17 16 17.101
C = 15 1 15 16
16 17 16 17+ − +
C = 15 15 1 16
C = 0 + 1
C = 1
d) D = 12 1 12 1 12 1 12 1
D = 23 8 15 2 2 99992
D = 1.3 2.4 3.52 2 2 99.1012
−
D = (1.2.3 99)(3.4.5 101)
(2.3.4 100).(2.3.4 100)
−
D = 1.101
100.2
−
D = 101
200
−
Câu 2:
Trang 3a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 63
25 – (3x + 2) = 2016 : 63
25 – (3x + 2) = 32
3x + 2 = 25 – 32
3x + 2 = – 7
3x = – 9
x = – 3
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78+ + + + + + + + + = 39
3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 39
⇔ 2x 1 1 220
⇔ 2x.10 220
39 = 39
⇔ 2x 220 10:
39 39
=
⇔ 2x 22=
⇔ x = 11
Câu 3:
a) A có 90 số hạng mà 90 M 5 nên:
A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390
A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390)
A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34)
A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121
A = 121(3 + 36 + … + 386)
A = 11.11(3 + 36 + … + 386) M 11
⇒ AM 11
A có 90 số hạng mà 90 M 3 nên:
A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390
Trang 4A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390)
A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32)
A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13
A = 13(3 + 34 + … + 388) M 11
⇒ AM 13
b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0
⇔ x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2
⇔ (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1 (– 3) = ( – 3).1
Ta có bảng sau:
Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a N,100 a 999∈ ≤ ≤ )
Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên:
Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 M (8.31) hay a + 65 M 248 ⇔ a = 248k – 65 (k ∈ N*) Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927
Vậy số cần tìm là 927
b) Ta có: 4n 5
2n 1
+
n
Vì n nguyên nên để 4n 5
2n 1
+
− nguyên thì
7 2n 1− nguyên hay 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}
⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4}
Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì 4n 5
2n 1
+
− có giá trị là một số nguyên
Câu 5: (5,0 điểm)
a) Vì ·xOy kề bù với ·zOy nên: ·xOy + ·zOy = 1800
Vì tia Om là tia phân giác của ·xOy nên:
2
=
Vì tia On là tia phân giác của ·zOy nên:
2
=
Vì ·xOy kề bù với ·zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của
·xOy và tia On là tia phân giác của ·zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó:
Trang 5·mOy + ·yOn = ·mOn ⇔ 1xOy·
1 zOy
2 = ·mOn ⇔ 1(· · )
xOy zOy
⇔ 1 0
.180
2 = ·mOn ⇔ ·mOn = 900
b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó ·m 'Oz kề bù với ·zOm
⇒ ·m 'Oz + ·zOm = 1800
⇔ 300 + ·zOm = 1800
⇔ ·zOm = 1500
Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó ·zOm kề bù với ·mOx
⇒ ·zOm + ·mOx = 1800
⇔ 1500 + ·mOx = 1800
⇔ ·mOx = 300
Vì tia Om là tia phân giác của ·xOy nên: ·mOy mOx= · = 300
Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó ·yOm kề bù với ·yOm '
⇒ ·yOm + ·yOm ' = 1800
⇔ 300 + ·yOm ' = 1800
⇔ ·yOm ' = 1500
c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình
để tạo thành tất cả 300 góc
Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6
Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành:
(n + 5)(n + 6) góc
Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:
(n 5 n ) ( 6)
2
góc
Vì có 300 góc được tạo thành nên: (n 5 n ) ( 6)
2
= 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25
⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19
Câu 6:
Trang 6a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên 100a 3b 1a
2 10a b
*) Với a = 0:
(1) ⇔ (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225
⇔ (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52
Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 3b 1 25 b 8
1 b 9
+ =
+ =
*) Với a là số tự nhiên khác 0:
Khi đó 100a chẵn, từ (2) ⇒3b + 1 lẻ ⇒ b chẵn ⇒ 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b ∈∅ Vậy: a = 0 ; b = 8
1 3 1 3 5 1 3 5 7+ + + +1 3 5 7 2017
A =
(1 3).2 (1 5).3 (1 7).4 (1 2017).1009
2.4 3.6 4.8+ + + +1009.2018
2.2 3.3 4.4+ + + +1009.1009
2.2 2.3 3.4 1008.1009
A < 1 1 1 1 1 1 1
A < 1 1 1
A < 1 1
4 2+
A < 3 4