Nhân chia đa thức - hằng đẳng thức_bài tập cơ bản và nâng cao

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨCNhắc Lại Kiến Thức Lớp 7: xm... NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ 1... Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5.. 4 Chứng min

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Nhắc Lại Kiến Thức Lớp 7:

xm xn = xm + ni

Ví dụ:

a) x3.x5 = x8

b) 2x3.5x2 = 2.5.x3.x2 = 10x5

c) 3xy2.(– 4x2y) = 3.(– 4).x.x2.y2.y

= –12 x3.y3

(xm)n = xm n ; (x y)n = xn yni

Ví dụ:

x = x = x

b) (2x)3 = 23.x3 = 8x3

3xy =3 x y = 9x y

Lưu ý:

• 2x2 ≠ (2x)2 nên cần chú ý khi trình bày bài giải

• (– 2x)2 = (2x)2 (tổng quát: luôn đúng với số mũ chẵn)

• (– 2x)3 = – (2x)3 (tổng quát: luôn đúng với số mũ lẻ)

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

 Quy Tắc:

iA.(B + C – D) = A.B + A.C – A.Di

 Ví Dụ:

Thực hiện các phép nhân:

 Bài Tập Tự Luyện :

Bài 1: Thực hiện phép nhân(rút gọn nếu được):

1) 5x4(4x2 – 3x + 1) 3) 3y2(4y3 + 23y2 – 13) 6) 3x(2x – 7) + 2x(5 – 3x) 2) (– 4x5)( – 2x3 + 5x2 – 3) 4) (– 2a3 –14b – 5bc)8ab2 7) 3x(x – 4y) –125 y(y – 5x)

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1) 5x(4x2 – 2x + 1) – 2x(10x2 – 5x – 2) với x = 15

2) 2x(x – y) – y(y – 2x) với x = –13 ; y = –23

3) 3x(x – 4y) – (y – 5x)125 y với x = – 4; y = – 5

Bài 3: Tìm x:

2

1x - 1x -4 1x = -14 -3 x -8

3) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 7) 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0

5) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5)

4) x(x – 13) –12x(2x – 3) = 14

Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

1) x(x2 + x + 1) – x2(x + 1) – x + 5

2) x(x3 + 2x2 – 3x + 2) – (x2 + 2x)x2 + 3x(x – 1) + x – 12

3) 3x(x – 5y) + (y – 5x).(– 3y) – 1 – 3(x2 – y2)

 Bài Tập Nâng Cao :

Bài 1: Thực hiện phép tính:

1) (3xn + 1 – 2xn) 4x2 3) 3xn – 2(xn + 2 – yn + 2) + yn + 2(3xn – 2– yn – 2)

2) 2(x2n + 2xnyn +y2n) – yn(4xn + 2yn) 4) (3x2m – 1 – 37 y3n – 5 + x2my3n – 3y2)8x3 – 2m.y6 – 3n

Bài 2: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi

n là số nguyên

Bài 3: Xác định a, b để: x2 + bx – c = 2x(x – 1) – x(x + b) + 1

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

 Quy tắc:

Ví dụ: Thực hiện phép nhân:

2) – (x + 3)(2x – 3) 4) – ( 5y2 – 11y + 8)(3 – 2y) 6) – x(x + 1)(x – 2)

7) (x + 1)(x – 2)(2x – 1)

 Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép nhân(rút gọn nếu được):

1) (5x2 – 4x)(x – 2) 4) (x2 + 5x + 2)(x2 – 3x + 4) 7) (x + 3)(x – 3)5x

(x – 2)(3x + 1)(x + 1)

3) (x2 – xy + y2)(x + y) 6) – 4(3x + 2)(x + 3) 9) (x3 + x2y + xy2 y3)(x – y)

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau:

1) (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) với x = – 4

2) (x + 3)(x2 – 3x + 27) – x(x – 1)(x + 1) với x = – 2

Bài 3: Tìm x:

4(3x + 2)(x + 3) =38

(x + 2)(x2 – 2x + 4) =3

3) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x(x2 + 2) = 5 6) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27

Bài 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

1) (x – 3)(x + 2) + (x – 1)(x + 1) – (2x – 1)x

2) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

3) x(x + x – 3x + 2) – (x – 2)(x + x + 3) + 4(x – x – 2)

Bài 5: Chứng minh đẳng thức:

2) (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 5) (a – b)2= a2 – 2ab + b2

3) (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 6) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

7) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

 Bài tập nâng cao

Bài 1: Chứng minh đẳng thức:

1) (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz – 2xz

2) (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2xz

3) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b

4) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (a.b + b.c + c.a)x + a.b.c

Bài 2: (cùng một dạng)

1) Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích 2 số sau lơn hơn tích hai số đầu là 192 2) Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích hai số sau lơn hơn tích hai số đầu là 180 3) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số sau lơn hơn tích hai số đầu là 34

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

1) (n2 + 3n – 1)(n + 2) – n3 + 2 chia hết cho 5

2) n(n + 5) – (n – 3)(n + 2) chia hết cho 6

3) (n – 1)(n + 1) – (n – 7)(n – 5) chia hết cho 12

Bài 4: cho a, b là hai số tự nhiên Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2 Chứng minh: a.b

chia 5 dư 2

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ

1 Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2

2 Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2

4 Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

5 Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phần I (nhằm làm quen với hằng đẳng thức)

Bài 1: Tính:

1) (x + 1)2 6)  −3 

2

1 x y

2

2

3

1 x+

3

3

1

3

4)  ÷

2

3x + y4

2

2

2

1

3

1

5

Bài 2: Điền vào chổ trống để được các hằng đẳng thức:

3) 16x2 + … + 9y2 = (… + 3y)2 12) x3 + … + … + 1 = ( x + 1 )…

4) x2 + … + … = 1

3

2

5) x2 – 8xy + … = ( … – … )2 14) 8x3 – … + 6x – … = (… – 1)3

6) … – 10

3 xy2 + … = 1

3

2

3

1

3

7) x2 – … = ( … + 1)(… – …) 16) x3 – … = (x – 2)(… + … + …)

8) … – … = ( … + 3)( x – …) 17) … + 27 = ( 2x + …)(… – … + …)

9) 16x2 – … = ( … – 5y)( … + … ) 18) 64x6 + … = ( … + … )(… – … + 9y2)

Bài 3: Viết các đa thức sau thành dạng tích:

1

6) 4

9x2 – 25

4 y2

Phần II: Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức

A – BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 1: Tính nhanh

1) 1012 3) 47.53 5) (31,8)2 – 2 31,8 21,8 + (21,8)2 7) 742+ 242 – 48.74

2) 1992 4) 29,9 30,1 6) 342 + 68.66 + 662

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

1) Tính giá trị các biểu thức sau:

b) x3 + 3x2 + 3x + 1 với x = 99

2) Rút gọn:

b) (a + b) – (a – b) f) (x + y+ z) – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y)2

c) (x + y)2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 g) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

d) (2x + 5)2 – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5)2 h) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

Dạng 3: Tìm x biết

Dạng 4: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

1) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 3) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1) 2) (2x – 1)2 – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2 4) (x – 2)2 – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3)

5) (x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

1) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2 5) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 6) (a – b)2 = (b – a)2

3) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 7) (– a – b)2 = (a + b)2

4) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Lưu ý: (a – b)2 = (b – a)2 Tổng quát: (a – b) n = (b – a) n với n là số mũ chẵn

(a – b)3 = – (b – a)3 Tổng quát: (a – b) n = – (b – a) n với n là số mũ lẻ

B – BÀI TẬP NÂNG CAO:

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

1) Rút gọn:

a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2)

b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x3 – 3x(x + 1)(x – 1)

c) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) – 64x6

2) Cho x – y = 7 Tính giá trị các biểu thức sau:

3) Cho x + 2y = 5 Tính giá trị biểu thức sau:

C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y

4) Cho a + b = 5 và ab = 6 không tính a, b hãy tính:

5) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 4 Tính giá trị của biểu thức x3 + y3

6) Cho x – y = 3 và x2 + y2 = 15 Tính giá trị của biểu thức x3 + y3

7) a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1 Tính giá trị của biểu thức: M = a4 + b4 + c4

Dạng 3: Tìm x biết

2) (x + 2) – x + 4 = 0 6) (x + 2) – 9 = 0

3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 3 7) (x + 2)2 = (2x – 1)2

0

Dạng 5: Chứng minh đẳng

1) Chứng minh đẳng thức:

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2

b) (a + b + c)2 + (b + c – a)2 + (c + a – b)2 + (a + b – c)2= 4(a2 + b2 + c2)

2) Cho x2 – y2 – z2 = 0 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)(5x – 3y – 4z) = (3x – 5y)2

3) Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng: (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2

4) Cho a + b + c = 2p Chứng minh rằng: 2bc + b2 + c2 – a2= 4p(p – a)

5) Cho a + b + c = abc và 1 1 1+ + = 2

1 + 1 + 1 = 2

Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

d) D = (x – 3)(x + 5) + 4

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

c) C = – 9x2 + 24x – 18

Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương

1) Chứng minh rằng:

a) Nếu a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) thì a = b = c = 1

b) Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c

c) Nếu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì a = b = c

2) Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2 – 2a + b2 + 4b + 4c2– 4c + 6 = 0

Dạng 8: Áp dụng vào số học

1) Tìm số dư của n2 khi chia cho 5, biết n chia 5 dư 2

2) Tìm số dư của n2 khi chia cho 3, biết n không chia hết cho 3

3) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2 Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5

4) Chứng minh: tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9

Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số

Chứng minh rằng với mọi x, y:

3) x2 + 4xy + 4y2 + 5 > 0; 6) 5x2 + 10y2 – 6xy – 4x – 2y + 3 > 0