TÍCH PHÂN 2017 đủ DẠNG THẦY huy

cos.sin.Sau đó dùng đồng nhất thức... Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng... sinsin .2 Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau... 4Tính

Trang 1

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH Thanh Trì - HN - 0969141404 - Face : Lương Văn Huy

cos x

1cot x '

Trang 2

I f x g x dx uv vdu

Trang 3

 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b;  Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), trục

Ox (y 0) và hai đường thẳng xa, xb quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là:  ( )2

b

a

V  f x dx

I-Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  a; b có nguyên hàm là F (x)

Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là  a; b thì ta có :

1

x x

e

dx e

e

x

dx x I

1 3

ln1

Bài làm :

Trang 4

a) Đặt

22

1

xdx xdx

dt x

10

t x

2

1ln2

12

11

2 1 2

1

2 1 2

11

2

e t x

1

1 1 1

1 1

0

2

2 2

dx e

I

e

e e

e x x

x tdt x

t e x

t x

1.Tích phân lượng giác :

Dạng 1 : 





nxdx mx

cos.sin.Cách làm :

1cos1

2sin2

tan

t

t x t

t x x

x b x a

cos.sin

Cách làm :

Đặt :

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos.sin

)sin.cos.(cos

.sin

cos.sin

23

2ln

1 2

1

2 3 1

x

dx x

I

e

Trang 5

m x b x a

cos.sin

cos.sin.Cách làm :

Đặt :

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a

.sin

)sin.cos.(cos

.sin

cos.sin.Sau đó dùng đồng nhất thức

)1(sin

6

3 tan



xdx I

10

t x



Vậy :

24

73

1)

1(sin

1 3 2

1 4 2

00

t x

25

21

1cos

1

0

1 0 3 5

1 0

2 4 2

2 2

0

5 2

dt t t dt

t xdx

00

t x



Vậy :

415

133

5

1

111

tan

4 0 1 0

3 5

1 0

2 2

4 2

6 4

0

6 3

t t

dt t

t t t

dt t xdx I

Trang 6

cos.sin



dx x b

x a

x x

3 0 2

2cos2cos



dx x

2

0

b t x

a t x



Nếu a  b

b a a b

b a t

a b

t

dt a b

dx x b x a

x x I

2

1cos

.sin

cos.sin

2 2 2

2

2 0

2 2 2

2 1

xdx a

a

xdx x

dx x b

x a

x x I

2

12

cos4

12

sin21

cos.sincos

.sin

cos.sin

2 0

2 0 2

0

2 2 2 2 1

00

t x

2 3

0

2 3

0

2

32

12

32

cos2

cos

t

dt t

dt dx

x

x I



2

3cos

3

20



u t

Trang 7

Vậy :

242

12

1

cos123

sin232

12

32

2

2 3

u

udu

t

dt I

4

1



dx x x

2 0 2

5cos3sin4

6cos7sin



dx x x

x x

2

tan2

x dt

x t

00

t x



6

121

15

1

131

24

12

1 0

1 0 2 1

0

2 2 2

2 1

t

t t

t

t I

b)Đặt :

5cos3sin45cos3sin4

sin3cos45

cos3sin

4

6cos7sin

C x

x

x x

B A x

x

x x

9ln25

cos3sin4ln

5cos3sin4

15

cos3sin4

sin3cos415

cos3sin4

6cos7sin

1 2 0

2 0 2

x x

dx x

x x

x

x x

dx x x

x x

x

2 0

3

2 cos sin



xdx x

2 0 3

2sin



x dx I

Trang 8

sin

4



dx x

x

2 0 5

3cos2sin

1



dx x x

2 0 6

3cos2sin

1cossin



dx x x

x x

1

với a,nCN 0,1 ta có :

Nếu n ,1 aR ta có : x C

a x

,,,,2

ac b

R c b a

dx b

a a

dx c bx ax

b ax a

dx c bx ax

b

a b ax a

I

2 2

2

22

n n

n

t

dt a

a dx c bx ax

dx I

2

2 2

12

x P I

b x b x

b

a x a x

a x

Q

x

P

n n

m m n

x R x A x Q

x P

n

r n

m n

m



  trong đó phân số  

 x Q

x R

n n

x m

a x

A a

x

A a

x

A a

i n

i

i i

m

a x

A a

x

x P

1 1

Vdụ 1b :  

 2 2

))(

)(

D c

x

C b x

B a x

A c

x b x a x

n n

n m

c bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

x P

1 1

2 1 1

Trang 9

n k

i i

i i n

m t

c bx ax

B x A x

A c

bx ax x

x P

A c

bx ax x

1 1 2

2

c bx ax

C x B c

bx ax

C x B x

A c

bx ax x

2 2

2

3x x

0 1

12

dx x

x

dx

I

1 0

2 2

1

0

2 2

2

21

22

11

12

11

21

24

dx x

a x

dx

I0 2 2 1arctan với a0

dx x

1 0

2 2

2 2 1

12

1313

3

9 2 3

23

arctan3

1arctan

12

24

2 2

A C C B x B A x x

C Bx x

A x

2

42

0

C B A

A C

C B B A

Trang 10

2 2

2

1

22

1

24

dx x

x x

dx x

0 2

x

I b)   

5 2 2 2

3

2x x

dx

x x

2 4 3

2

3x dx x

B x

A x

x

b)

31

32

12

A x

41

x

x x

x

d)

22

112

3 24

C x

B x

A x

x x

3-Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng

BÀI TẬP

1.Chứng minh rằng :        

1 0

1 01

10

t x

Vậy :            

0 1

1 0 1

0

11

Trang 11

f

Bài làm :

     1)

x

f

I

02

3.Cho a0 và f x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R

x f

x

01

t t

x

a

t f a dt a

t f dx

1

x f dx a

x f a dx a

x f

x x

x f dx a

x f dx

a

x

f

x x

x

Trang 12

t x

.sin

 xdx f xdx f

x

dx x f dx x f x

0 0

sin2

sin

sinsin

.2

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau

Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và fabx f x Thì ta luôn có :

       

b

a

dx x f b a dx x f

x



02

5.Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T

Chứng minh rằng :      





T a

a

T

dx x f dx x f

T T

a

T a

x

f

0 0

0Xét   

T t

T

dt t f dt T t

Trang 13

Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T, thì ta luôn có :

2 2

x x

I d)  



0

2 4

cos1

sin

dx x

x x

I x f) 



1 1

2 2 61

sin

dx x

x x

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt ulnxhay uloga x

2

2 cos



xdx x

e

xdx I

e v dx

e dv

dx du x

u

0 1

0

1 0 1

dv

xdx du

x

u

sincos

22

Trang 14

4sin

.2cos

2 0 2

0

2 2

xdx x

x x dx e

x

Ta đi tính tích phân 

2 0sin



xdx x

xdx dv

dx du x

u

cossin

Vậy : .sin cos cos cos 2 sin2 1

2 0 2 2

x xdx

x

Thế vào (1) ta được :

4

8

2 1

0 1

dv

dx x du x

1 1 1

e e e

x x x dx x

x xdx I

cos



dx x

xdx dv

dx e du e

cossin

1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1

dv

dx e du e

sincos

sin.sin

.cos

Thế vào (1) ta được :

2

11



I e

dx x dv

dx du x

u

tancos

12

2

2ln4cos

ln4tan

tan.cos

4 4

0 4 4

x x dx x x I

Trang 15

dv

dx x x

du x

u cosln 1sinln

Vậy : I  xdx x  x  xdx e  J

e e e

dv

dx x x

du x

u sinln 1cosln

1 1 1

3 sinlnx dx x.sinlnx coslnx dx 0 I

I

e e e



I e

1

e

dx x x

I d)     

1 0

I f)   

e

dx x I

I h)   

2 0

7

cos1

sin1



dx e x

x

II* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ

Câu 1: Một nguyên hàm (x 2) sin 3xdx (x a) cos 3x 1sin 3x 2017

x

0

sin 39

x

Trang 16

Theo sơ đồ ta có

2cos 3 sin 3

Trang 17

Bài 1.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 x sin xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdx

5 xsin2xdx 6 xcos2xdx 7 x e x dx

8 lnxdx

9 x ln xdx 10 ln2 x dx 11 lnxdx x 12 e x dx

Trang 18

cos)1(



xdx

x 3)  

6 0

3sin)2(



xdx

x 4) 

2 02sin

1

2.ln)

1( 7) 

3 1

.ln

4x x dx 8)  

1 0

2)

3ln(

2 0

2.cos



dx x

2 0

2

.sin)

2(



dx x x x

x cos xdx



1 x 0

e sin xdx

2

0sin xdx

x sin x

dxcos x

(x 1) e dx

e

2 1

(x ln x) dx

2 0cos x.ln(1 cos x)dx

xtg xdx

1 0

2)2(x e x dx 28)  

1 0

2)1ln( x dx



xdx x

2 0

)1ln(

)72( x x dx 32)  

3 2

2)ln(x x dx

III-Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính   

b

a

dx x f

I ta đi xét dấu f x trên đoạn a, b, khử trị tuyệt đối

Muốn tính       

b

a

dx x g x f

I max , ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b

Muốn tính       

b

a

dx x g x f

I min , ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b

Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)

1.Tính các tích phân sau :

Trang 19

2

1 x 2x 3dx I

2 2 1

2 4

2 2

1 4

1

22

122

0 2 2

1 0

2 3 2

1

12

3

a ax

x dx ax x dx a x x

1

0

223

1323

2

3 2 1

3 2 0

3 2

a a x

ax x

1 0

2 3 2

1

12

3

a ax

x dx ax x dx

a x x

I a

43

33

3

2 1

3 2 1

0

3 2

Trang 20

2.Tính : a)   

2 0

2

1 min1,x dx

I b)   

3 0

2

2 max x ,x dx I

,1

2 0

3 2

1 1

0 2 2

2,

max

3 1

3 1 0

2 3

1 2 1

0 3

2 maxsin ,cos



dx x x

4 3 0



dx x x

IV- Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

a c bx ax

a

x ax bx cdx St t dt

R

b ax t

1,

a c bx ax a

R

b ax t

1,

40

a c bx ax a

R

b ax t

1,

bx ax x

dx

Một số cách đặt thường gặp :

Trang 21

2 2

a t

x a c

bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

b ax

7

4x x

dx I

2

37

dt x

udu u

du u I

tan 3 tan

3

3 2

2

cos3

11tan.33

1tan3

C x

x

x C

t

t C

23

11

3

1sin

3

1

2 2

x x

x x x

dx I

2 2

1

132

14

32

1

t

dt t t

x

xdx x

x

xdx

C x

x x

x

C t

t t

dt t

1ln2

11

1ln

2

112

31

13

2

1

2 2

Trang 22

t t

dt x

21

2

C

x C

11

arcsin

3.Tìm các nguyên hàm sau

a)    

31

2 3 5

116

61

dt t x

x

dx I

C x

x x

x

C t

t t t

2

1ln6632

6 6

3

2 3

x dx

x

x x x

12

11

2 1

 11

2

12

1

dx x

x x

t

x x

x

2 2

1

21

11

x

x x t

t x t

x

2 2

2

92

9



Trang 23

x

C t

t

t dt

t t t

dt t

t dt

t

t t

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2 2 1

94

65619

ln1624

916

1

4

6561ln

162416

16561

16216

1

8116

14

9.2

9

29

t

t dx t

t x t

x

2 2

2

42

x

C t t

t dt t t

t

dt t

t dt t

t t

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2

4

644

ln364

4

64ln364

25636

164

4.2

4

2

416

2

1 x dx x

2 1

dx x

02

1



t x

0 2

12cos18

1cos

Trang 24

23

t x

2 2 8

3

2

1

21

2

dt t

t

tdt dx

x x

dx I

4

x

dx I

x I

11

12 6

2 21

21

11

1

0

1 0

Đạo hàm :

2ln1ln2

1ln1

1ln

3 2

Trang 25

1

12 2 2

x

x x

f

x

x x

2

11

2

115

2

2,12

115

1 2 2

x

dx dx

x

x dx

x x

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

 0,12

11111

1 x x dx (đpcm)

2.Chứng minh rằng :

e

dx x

x

e x

121

sin.3 1 2

1 2

1

11

sin

dx x

e

dx x

41



t x

sin

2 2

x

e x

Trang 26

3.Bạn đọc tự làm :

Chứng minh rằng :

a)

10cos

4

3 3 6

x

c)

8

24

63 6

3 2

0

2 1

0

g x dx f x dx g x dx x

b x x

y

b x a

i i x

i i

x x

Trang 27

n

i f n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y  f x thì độ dài đường cung nó được tính như sau :

 y dx l

b

a

  

 1 2 với a, b là hoành độ các điểm đầu cung

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton

Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

5) Tính quãng đường đi của 1 vật với vận tốc thay đổi v f t( )

Quãng đường mà vật đó đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là

2 2

x R y

R y

Trang 28

Do tính đối xứng của đồ thị nên :S R x dx

R

0

2 24Đặt : xRsint  dxRcostdt



t R x

t x



t R x

t x

Vậy :

dvdt

R t

x R

dt t R

tdt R t R

S

2 2 0 2

2 0 2 2

0

2 2

2sin2

12

2cos12cossin

1

42

34

1

1 2 2

1 2 1 2 2 1

2

2 3 2

2

1 2

x k x

x x x x

x

x k x

k x dx x x

4

2 1 2

2 1 2 2 1 2

1 2

k k x x x

x x x

k x x

Thế vào  * ta được :

 4 16

1646

1

42

1443

1164

2 2

k k

k k k

Vậy : minS4 3 khi k 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

Trang 29

x

ay

y ax

2 2

2

a

x ay

a y x y x

n a x

a

x ay

a ax x

a

x ay

a y

x

00

0

2

2 2

2

a a

x y

ax y

x x a

dx a

x x a dx

a

x ax S

a

a a

2 0

3 2 3

0

2 2 1 0

2

3

13

01

y

x y

y x

12 2 2 2

b a b

y a

x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

Trang 30

hình a hình b

hình c hình d

4.Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

6

5 5

321

0x0x1x2  x n1x n  và chiều dài phân hoạch

n x x

x x

n

i n

i

i i i

6

1lim

lim

1 0

n n l

n

5.Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

Trang 31

n n n

n n

111

13

112

11

n n

Ta lập phân hoạch đều trên  0,1 với các điểm chia :

1

0x0x1x2  x n1x n  và chiều dài phân hoạch

n x x

1lim

1 1

1

n

i n f

x x

n

i n

i

i i i

2ln1ln1lim

0 1

0 0

S

n n l

n

6 ( Đề minh họa 2017 )Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ

lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

Giải: Quãng đường ô tô đi được là

2 0

n t dt

 con/tuần

Câu 2 Cho f(1)12,f '( )x liên tục và

4 1'( ) 17,

f x dx 

 giá trị của f(4)là bao nhiêu?

Trang 32

Câu 3 Tính tích phân:

12 0( 12 sin )

I  x x dx

A.I 60 12 cos 2 B.I 602 cos12 C.I 60cos12 D.I 60 12 cos12

( ) 2200 52, 3 0, 74

s t   t t người/năm và tỷ lệ tử là ( ) 1460 28,8

c t   t người/năm Hãy tìm diện tích nằm giữa các đường cong này, biết rằng 0 t 10

A Xấp xỉ 8022 B Xấp xỉ 8282 C Xấp xỉ 2882 D Xấp xỉ 8822

Câu 5 Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng 30km h/ đến 40km h/ Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh để xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )10 5 ( t m s/ ) Hỏi khi gặp chướng ngại vật, người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước khi đến chướng ngại vật

A 10m B.15m C.20m D.5m

Câu 6 Tích phân

1

2 0

R t dt

24 0( )

R t dt D

24 0'( )

R t dt

Câu 8 Nếu f liên tục và

4 0( ) 10,

f x dx 

2 0(2 )

Câu 10 Luồng gió thổi ổn định con diều về hướng tây Chiều cao của con diều phụ thuộc vào vị trí

tính theo phương ngang từ x 0 đến x 80m được cho bởi phương trình 150 1 ( 50) 2

Trang 33

C Dịch chuyển về phía bên trái 4.5m và quãng đường di chuyển là 11

f x dx 

3 2 0( )

xf x dx

Câu 16 Khi đèn nháy của camera tắt, bộ pin bắt đầu nạp lại tụ điện của đèn, với mức điện tích nạp

được tính theo công thức /

0( ) (1 t a)

Q t Q e

  Mất bao lâu để nạp lại tụ điện đến 90% điện tích nếu 2

a 

A Khoảng 4,60giây B Khoảng 4,16giây

C Khoảng 4,01giây D Khoảng 4,61giây

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	4,15 MB