Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt

66 6.2.3 Các cách xác định nghiệm của phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn.. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng do đó mà phần lớnphương trình nghiệm nguyên không có cách giải tổn

KHOA TOÁN

*************

PHẠM THỊ NGA

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội – Năm 2016

KHOA TOÁN

*************

PHẠM THỊ NGA

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Ths Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2016

Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn vàchỉ bảo tận tình của cô giáo Ths Dương Thị Luyến, khóa luận của emđến nay đã được hoàn thành.

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo Ths DươngThị Luyến, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán Trường Đạihọc Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thứcnên đề tài không tránh những thiếu sót Em rất mong được sự góp ý củacác thầy cô, các bạn sinh viên và các bạn đọc để đề tài này được hoànthiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viênPhạm Thị Nga

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trìnhhọc tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô,các bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt

là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Luyến

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liênquan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo

Khóa luận tốt nghiệp "Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt"không có sự trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viênPhạm Thị Nga

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

1.1 Tính chất chia hết trong tập số nguyên 4

1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 5

1.3 Số nguyên tố 6

1.4 Đồng dư 7

1.5 Thuật toán Euclide 8

1.6 Một số định lí cơ bản của số học 10

1.6.1 Định lí Euler 10

1.6.2 Định lí Fermat 10

1.6.3 Định lí Wilson 10

1.7 Phương trình nghiệm nguyên 11

1.8 Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số 11

2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 13 2.1 Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn 13

2.1.1 Định nghĩa 13

2.1.2 Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm 13

2.1.3 Các cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn 16

2.2 Phương trình vô định bậc nhất nhiều ẩn 20

2.2.1 Định nghĩa 20

2.2.2 Điều kiện có nghiệm 20

2.2.3 Cách giải 21

3 PHƯƠNG TRÌNH PELL 23 3.1 Phương trình Pell loại I 23

3.1.1 Định nghĩa 23

3.1.2 Công thức nghiệm của phương trình Pell loại I 23

3.1.3 Giải phương trình Pell loại I sử dụng liên phân số vô hạn và liên phân số vô hạn tuần hoàn 28

3.2 Phương trình Pell loại II 35

3.2.1 Định nghĩa 35

3.2.2 Điều kiện có nghiệm của phương trình Pell loại II 36 3.2.3 Công thức nghiệm của phương trình Pell loại II 38 3.2.4 Sử dụng liên phân số để giải phương trình Pell loại II 42

3.3 Phương trình Pell với tham số n 46

3.3.1 Định nghĩa 46

3.3.2 Công thức nghiệm của phương trình Pell với tham số n 46

4 PHƯƠNG TRÌNH PYTHAGORE 50 4.1 Định nghĩa 50

4.2 Nghiệm của phương trình Pythagore 50

4.2.1 Tính chất của bộ ba Pythagore nguyên thủy 53

4.2.2 Cách chế ra bộ ba Pythagore 55

5 PHƯƠNG TRÌNH FERMAT 58 5.1 Định lí Fermat lớn với n = 4 60

5.2 Ví dụ 62

6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN 65 6.1 Các khái niệm 65

6.2 Phương trình đồng dư bậc nhất 66

6.2.1 Định nghĩa 66

6.2.2 Điều kiện có nghiệm và số nghiệm 66

6.2.3 Các cách xác định nghiệm của phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn 68

6.3 Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod m) 70

6.4 Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod pα) 73

6.4.1 Nghiệm của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα) 73

6.4.2 Cách giải của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα) 75 6.5 Ví dụ 76

Tài liệu tham khảo 83

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong toán học hiện đại, Số học đóng một vai trò quan trọng Các bàitoán Số học luôn luôn là các bài toán hay và khó lôi cuốn các nhà Toánhọc lớn cũng như những người yêu thích và say mê toán học đi sâu tìmhiểu và nghiên cứu

Phương trình nghiệm nguyên là một trong những đề tài hay, lí thúcủa Số học Được nghiên cứu từ thời Diophante thế kỉ thứ III, đến nayphương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toánhọc Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng do đó mà phần lớnphương trình nghiệm nguyên không có cách giải tổng quát, mỗi bài toánvới số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Bên cạnh đó

có một số phương trình có cách giải riêng như: phương trình Diophante,phương trình Pythagore, phương trình Pell nhưng chưa được hệ thốngmột cách đầy đủ và rõ ràng

Với những lí do trên cùng với lòng đam mê và được sự giúp đỡ nhiệttình của cô giáo hướng dẫn Th.s Dương Thị Luyến, em đã chọn đề tài

"Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt"

2 Mục đích yêu cầu của đề tài

Đề tài nhằm hệ thống một cách đầy đủ, chính xác định nghĩa cũngnhư cách giải của một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt như:phương trình Diophante, phương trình Pell, phương trình Pythagore,phương trình đồng dư một ẩn

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt.Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về mặt thời gian cũng như tài liệu

và năng lực nghiên cứu nên đề tài của em chỉ dừng lại ở việc nghiên cứumột số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số phương trình có cách giải tổng quát

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp, so sánh, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Hệ thống khái quát các vấn đề

6 Cấu trúc khóa luận

Lời nói đầu

Mục lục

Phần 1 Mở đầu

Phần 2 Nội dung

Chương 1 Các kiến thức cơ bản

Chương 2 Phương trình Diophante

Chương 3 Phương trình Pell

Chương 4 Phương trình Pythagore

Chương 5 Phương trình Fermat

Chương 6 Phương trình đồng dư một ẩn

Phần 3 Kết luận

Tài liệu tham khảo

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Tính chất chia hết trong tập số nguyên

Định nghĩa 1.1 Cho a, b là 2 số nguyên, b 6= 0 Nếu có 1 số nguyên qsao cho a = bq thì ta nói b chia hết a hay b là ước của a và kí hiệu b \ a

Ta cũng nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu a b.Tính chất 1.1.1 Các tính chất của tính chia hết

1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.2 Một số nguyên d được gọi là ước chung của các sốnguyên a1, a2, , an nếu d là ước của mỗi số nguyên đó

Định nghĩa 1.3 Ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, , an

là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng

Kí hiệu d = (a1, a2, , an)

Định nghĩa 1.4 Một số nguyên m được gọi là bội chung của các sốnguyên a1, a2, , an nếu d là bội của mỗi số nguyên đó

Định nghĩa 1.5 Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1, a2, , an

là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung dương của chúng



= 1

Trong sự phân tích n thành thành tích của các thừa số nguyên tố thì cóthể xảy ra trường hợp là nhiều thừa số nguyên tố bị lặp lại Gọi pi, i = 1, k

là các ước nguyên tố đôi một phân biệt của n, với các bội tương ứng là

αi, i = 1, k, αi > 0 thì ta được n = pα1

1 pα1

2 pαk

k gọi là dạng phân tích

tiêu chuẩn của n.

Định nghĩa 1.7 Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ Ta nói 2 số a, b đồng dư vớinhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta được cùng

số dư Kí hiệu a ≡ b (mod m)

Hệ thức a ≡ b (mod m) gọi là đồng dư thức

Mệnh đề 1.1 Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ Các điều kiện sau tương đương:

a ≡ b (mod m) , b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)

2 a ≡ b (mod m) ⇒ a.k ≡ b.k (mod m) , k ∈ Z

mod m

c



9 Nếu a ≡ b (mod mi) , ∀ i = 1, k và m = [m1, m2, , mk] thì

a ≡ b (mod m)

1.5 Thuật toán Euclide

Tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên

Chú ý: Nếu cho a, b, q, r ∈ Z, a = bq + r thì ta có (a, b) = (b, r)

• Cho a, b ∈ Z Nếu a \ b hoặc b \ a thì ta có (a, b) = a hoặc (a, b) = b

• Nếu trường hợp trên không xảy ra ta có các hệ thức sau biểu diễnmột dãy hữu hạn các phép chia có dư

a = bq0 + r1 ,0 < r1 < |b|

b = r1q2 + r2 , 0 < r2 < r1

Theo chú ý trên ta có (a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = = (rn−1, rn) = rn.Như vậy ƯCLN của hai số nguyên a và b là số dư cuối cùng khác 0 trongthuật toán Euclide thực hiện trên a và b.

Nhận xét 1.1 Thuật toán Euclide mở rộng

Dựa vào thuật toán Euclide, từ các đẳng thức ta rút được

ri = ri−2− ri−1qi−1, ∀i = 1, n

Ta có đẳng thức cuối cùng rn = rn−2− rn−1qn−1 (1.1)Thay rn−1 = rn−3 − rn−2qn−2 vào (1.1) ta được

rn = rn−2 − (rn−3 − rn−2qn−2) qn−1 = (qn−2qn−1+ 1) rn−2 − rn−3 (1.2)Thay rn−2 = rn−4 − rn−3qn−3 vào (1.2) ta được

rn = (qn−2qn−1 + 1) (rn−4 − rn−3qn−3) − rn−3 (1.3)

Cứ tiếp tục như thế thay lần lượt rn−3, , r1 vào và cuối cùng ta đượcđẳng thức ax + by = c

1.6 Một số định lí cơ bản của số học

1.6.1 Định lí Euler

Định nghĩa 1.8 Cho m là số tự nhiên khác 0 ta định nghĩa ϕ (m) là

số các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố với m

Ta có ϕ (m) được xác định như sau



1 − 1

pn

.Đặc biệt nếu m là số nguyên tố thì ϕ (m) = m − 1

1.7 Phương trình nghiệm nguyên

Giải phương trình chứa các ẩn x, y, z, với nghiệm nguyên là tìm tất

cả các bộ số nguyên (x, y, z, ) thỏa mãn phương trình đó Khi giảiphương trình nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập sốnguyên Z nên ngoài việc biến đổi tương đương ta còn dùng đến các biếnđổi mà giá trị của ẩn chỉ thỏa mãn điều kiện cần của nghiệm, trongtrường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử trực tiếpvào phương trình đã cho

Một phương trình nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạnnghiệm, có vô số nghiệm trong trường hợp có vô số nghiệm nguyên,các nghiệm nguyên của phương trình đã cho được biểu thị bằng côngthức có chứa tham số là một số nguyên

1.8 Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số

Định nghĩa 1.9 Định nghĩa liên phân số hữu hạn

Cho a0 là số nguyên, a1, a2, , an, an > 1 là các số nguyên dương Khi

đó biểu thức dạng

a0 + 1

a1 + 1

a2+ + 1

an−1+ 1

anđược gọi là một liên phân số hữu hạn có độ dài n

Kí hiệu [a0; a1, a2, , an]

Định nghĩa 1.10 Định nghĩa liên phân số vô hạn

Liên phân số vô hạn là biểu thức có dạng

a0 + 1

a1 + 1

a2+ + 1

Định nghĩa 1.11 Định nghĩa giản phân

Cho liên phân số hữu hạn hoặc vô hạn Giả sử hai dãy số nguyên dương

p0, p1, , pn, và q0, q1, , qn, được xác định như sau:

trong đó a, b, c là các số nguyên, x và y là các ẩn nguyên cần tìm.

2.1.2 Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm

Định lý 2.1 Điều kiện có nghiệm

Cho phương trình ax + by = c, trong đó a, b, c là các số nguyên, a, b 6= 0,

d = (a, b) Khi đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi d \ c

Chứng minh

• Giả sử phương trình đã cho có nghiệm tức là ∃ x0, y0 ∈ Z sao cho

ax0 + by0 = c (2.1.1)

Lại có d = (a, b) nên ∃ r, s ∈ Z : ar + bs = d.

Khi đó c = (ar + bs) e ⇔ c = a (re) + b (se)

Do đó (x0, y0) là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Định lý 2.2 Công thức nghiệm

Cho phương trình ax + by = c (2.1), trong đó a, b, c là các số nguyên,

a, b 6= 0, d = (a, b) và (x0, y0) là một nghiệm của phương trình (2.1)thì mọi nghiệm của (2.1) có dạng

• Chứng minh mọi nghiệm của phương trình (2.1) có dạng

Do (x0, y0) là nghiệm của phương trình (2.1) nên ax0 + by0 = c (2.1.1)Giả sử (x1, y1) là một nghiệm tùy ý của phương trình (2.1).

Khi đó ta có ax1 + by1 = c (2.1.2)Trừ hai vế của 2 đẳng thức (2.1.1) và (2.1.2) ta được



= 1

Từ (4) ta có (y0 − y1) a

d.Suy ra ∃t ∈ Z sao cho y0 − y1 = a

dt ⇒ y1 = y0 − a

dt Thay vào (∗) ta được x1 = x0 + b

2.1.3 Các cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách 1 Phương pháp biến số nguyên

• Rút gọn phương trình chú ý đến tính chia hết của ẩn

• Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ theo ẩnkia: ví dụ x theo y

• Tách biểu thức của x thành phần nguyên và phần chưa nguyên

• Đặt điều kiện để phần chưa nguyên trong biểu thức của x bằngmột số nguyên t ta được phương trình bậc nhất hai ẩn y và t

• Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi ta được một biểu thứcnguyên

Ví dụ 2.1.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Khi đó thay trở lại (2.2.1) ta được 11k − 3 (11t − 6) = 29 ⇔ k = 3t + 1Suy ra x = 5k = 5 (3t + 1) = 15t + 5

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Với một số phương trình đơn giản ta có thể nhìn ra ngay nghiệm của nó

Ví dụ 2.1.2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau

5x − 3y = 7 (2.3)

Lời giải

Ta thấy phương trình đã cho có 1 nghiệm là (2, 1) vì 5.2 − 3.1 = 7

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

+) Dùng thuật toán Euclide mở rộng

Ví dụ 2.1.3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Từ đẳng thức (2.4.1) và (2.4.2) ta có 9 = 85 − 19.4

1 = 19 − 9.2

Do đó 1 = 19 − 9.2 = 19 − (85 − 19.4).2 = 19.9 − 85.2

Suy ra 121 = 19.9.121 − 85.2.121 = 19.1089 − 85.242

Khi đó phương trình đã cho có một nghiệm riêng là (1089, 242)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

Xét phương trình ax + by = c với a, b, c ∈ Z, (a, b) = 1, b > 0

Chúng ta biết rằng tập hợp nghiệm của phương trình vô định bậc nhấtmột ẩn hoàn toàn được xác định nếu biết một nghiệm riêng của nó Bằngcông cụ liên phân số ta sẽ xác định được một nghiệm riêng của phươngtrình này

Lưu ý chỉ sử dụng liên phân số tìm nghiệm riêng với những phương trình

Do đó phương trình đã cho có nghiệm riêng là

Ta có (11, 8) = 1 nên phương trình đã cho có nghiệm

Ta biểu diễn phân số 11

8 thành liên phân số hữu hạn

Từ phương trình ax + by = c , suy ra ax ≡ b (mod c) Sau đó sử dụngtính chất và phương pháp giải phương trình đồng dư ta suy ra x, y.

Ví dụ 2.1.5 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

5x + 3y = 2 (2.6)

Lời giải

Từ phương trình (2.5) ta có 5x ≡ 2 (mod 3) ⇔ x ≡ 1 (mod 3)

Suy ra x = 1 + 3t, t ∈ Z

Thay trở lại phương trình (2.5) ta được y = −1 − 5t

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

2.2.2 Điều kiện có nghiệm

Định lý 2.3 Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.7) có nghiệmnguyên là (a1, a2, , an) \ b

Vậy nghiệm của (2.7) là (c − a2x2 − a3x3 − − anxn, x2, x3, , xn).

• Có hai hệ số nguyên tố cùng nhau

Giả sử (a1, a2) = 1

Khi đó phương trình (2.7) ⇔ a1x1 + a2x2 = c − a3x3 − − anxn

Ta đi giải phương trình vô định bậc nhất hai ẩn x1, x2

Thực chất phương pháp này là từ phương trình vô định bậc nhất

n ẩn, ta đưa về phương trình vô đinh bậc nhất n − 1 ẩn, và tiếptục như vậy cuối cùng nhận được phương trình vô định bậc nhấthai ẩn Mỗi lần giảm số ẩn như vậy ta lại giải phương trình vô địnhbậc nhất hai ẩn ( nhưng phải qua tham số) Do đó ta thu được hệnghiệm phụ thuộc vào n − 1 tham số

Ví dụ 2.2.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Khi đó phương trình (1) trở thành t + 5z = 7 (2.8.2)Đặt t − y

trong đó d là số nguyên dương không phải là số chính phương.

Ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên dương của phương trình (vìnếu (x, y) với x, y > 0 là nghiệm của phương trình (3.1) thì ta cũng có(−x, y), (x, −y), (−x, −y) là nghiệm của phương trình (3.1))

3.1.2 Công thức nghiệm của phương trình Pell loại I

Định lý 3.1 Xét dãy {xn} , {yn} được cho bởi công thức truy hồi sau

Với (a, b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình (3.1).Khi đó (xn, yn) với n = 0, 1, 2, là tất cả các nghiệm dương củaphương trình Pell loại I.

Chứng minh

Theo lí thuyết về dãy số, thì phương trình đặc trưng của các dãy trên là

λ2 − 2aλ + 1 = 0 (3.1.1)Phương trình (3.1.1) có hai nghiệm là λ1 = a +√

∆0, λ1 = a −√

∆0 với

∆0 = a2 − 1

Vì (a, b) là nghiệm của phương trình (3.1) nên ta có a2 − 1 = db2

Do đó phương trình (3.1) có 2 nghiệm đặc trưng là λ1 = a + b√

d < a + b√

d (3.1.8)

Ta có u2 − dv2 = (xxm − dyym)2 − d(xmy − xym)2

Ta thấy (2, 1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (3.2).

Do đó phương trình (3.2) có dãy nghiệm nguyên dương là

x1 < x2 < x3 < x4 < ⇒ xn < xn+1, ∀n = 1, 2,

y1 < y2 < y3 < y4 < ⇒ yn < yn+1, ∀n = 1, 2,

Do đó với điều kiện 80 < x < 120 thì (97, 56) là nghiệm nguyêndương duy nhất của phương trình (3.2)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (97, 56)

3.1.3 Giải phương trình Pell loại I sử dụng liên phân số vô

hạn và liên phân số vô hạn tuần hoàn

Xét phương trình Pell loại I x2 − dy2 = 1

Giả sử chu kì biểu diễn liên phân số của √

d là r Gọi pk

qk là giản phânthứ k của √

Ta có p2 = 6.10 + 3 = 63 ⇒ p3 = 3.63 + 10 = 199.

q2 = 6.3 + 1 = 19 ⇒ q3 = 3.19 + 3 = 60

Suy ra (x, y ) = (199, 60) là một nghiệm của phương trình

Ví dụ 3.1.3 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

• Với k = 1 thì nghiệm nguyên dương bé nhất của phương trình (3.4)

Ví dụ 3.1.4 Tìm tất cả các số nguyên dương x > 2 sao cho tam giác

có độ dài 3 cạnh là x − 1, x, x + 1 thì diện tích của nó cũng là một sốnguyên

Vì S, y ∈ Z+ ⇒ p3 (y2 − 1) ∈ Z+.

Do đó tồn tại h ∈ Z+ sao cho 3 y2 − 1
= h2 (3.4.2)

Ta thấy h2 3 ⇒ h = 3z, z ∈ Z+

Khi đó phương trình (3.4.2) trở thành y2 − 3z2 = 1 (3.4.3)Đây là phương trình pell loại I Ta có phương trình (3.4.3) có dãy nghiệmlà

Vì x > 2 nên nghiệm của bài toán là

Do đó mn + 1, (m + 1) n + 1 là số chính phương khi và chỉ khi

Nghĩa là ta chứng minh x2i+3 ≡ (2m + 1) (mod 2m (m + 1))

Ta có x2i+3 = 2 (2m + 1) x2i+2− x2i+1