Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác... Biết rằng phương trình có một trong các nghiệm là z = bi, với b là số thựC.. Modun của số phức là một số thực không âm.. Phương trình bậc
Trang 1SỐ PHỨC Định nghĩa.
Số phức z là một biểu thức có dạng z = a + bi, trong đó a, b là số thực, i là một số thỏa mãn i² = –1
a là phần thực; b là phần ảo; i là đơn vị ảo
Tập hợp các số phức có kí hiệu là C.
Số phức z = a có phần ảo bằng 0 được coi là số thựC Số phức z = bi có phần thực bằng 0 được gọi là số
ảo Số phức z = 0 vừa là số thực, vừa là số ảo
Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i <=> a a '
b b '
=
=
Số phức z = x + yi được biểu diễn bởi M(x; y) trong mặt phẳng Oxy
Mô đun số phức z = a + bi là |z| = a2+b2
Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a – bi
Cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di
Cộng hai số phức: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Trừ hai số phức: (a + bi) – (c + di) = (a – a’) + (b – b’)i
Nhân hai số phức: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Chia hai số phức: z a bi ac bd bc ad2 2 2 2 i
Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với hệ số thực a, b, c và a ≠ 0
Khi Δ < 0 phương trình có hai nghiệm phức là b iΔ
2a
− ± − .
Dạng lượng giác của số phức.
z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) là dạng lượng giác của số phức z = a + bi, z ≠ 0
Trong đó r = 2 2
a +b là mô đun của z; φ là một acgumen của z thỏa cos φ = a/r; sin φ = b/r
Nếu z = r(cos φ + i sin φ), z’ = r’(cos φ’ + i sin φ’) thì
z.z’ = r.r’[cos (φ + φ’) + i sin (φ + φ’)] z r [cos(φ φ ') i sin(φ φ ')]
Công thức Moivre: Với mọi n nguyên dương thì [r(cos φ + i sin φ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ)
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) là w = r (cosφ i sin )φ
Trang 2TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC.
Câu 1: Mô đun của số phức z = 1 + 4i + (1 – i)³ là
Câu 2: Cho hai số phức z = 3 – 5i và w = 3 – i Tính tỉ số z
w
A 2 – 2i B 3 + 2i C 2 + i 5 D 2 – i 3
Câu 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z² + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức
sau: A = |z1|² + |z2|²
Câu 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện |z – (2 + i)|² = 10 và z z = 25
A z = 3 – 4i hoặc z = 3 + 4i B z = 3 + 4i.
C z = 5 hoặc z = 3 + 4i D z = 5 hoặc z = 3 – 4i.
Câu 5: Cho số phức z = 3 + 4i Tính
2
z z
4 3i
−
−
Câu 6: Phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: z + 2 z = (1 + 5i)² lần lượt là
A –10 và –4 B –8 và –10 C –3 và 4 D 4 và –5.
Câu 7: Tìm căn bậc hai của số phức z = 1 3i
− +
A (1 3i)
± + B ( 3 1i)
± + C ( 3 1i)
± − D ( 2 2i)
Câu 8: Tìm các căn bậc hai của số phức: z = 21 – 20i
A ±(5 + 2i) B ±(5 – 2i) C ±(3 – 4i) D ±(4 – 3i).
Câu 9: Giải phương trình trên tập số phức C: z² – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = 0
A z = 2 + 3i hoặc z = 2 – 3i B z = 2 – 3i hoặc z = 2 + i.
C z = 2 + 3i hoặc z = 2 – i D z = 2 – i hoặc z = 2 + i.
Câu 10: Giải phương trình trên tập số phức C: z³ – z² + 2 = 0
A z = –1 hoặc z = 1 ± i B z = –1 hoặc z = 2 ± i.
C z = –1 hoặc z = i ± 1 D z = –1 hoặc z = ±i.
Câu 11: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: |z – (3 – 4i)| = 2 là
A đường tròn tâm I(3; –4) và bán kính 2 B đường tròn tâm I(–3; 4) và bán kính 2.
C đường tròn tâm I(3; –4) và bán kính 4 D đường tròn tâm I(–3; 4) và bán kính 4 Câu 12: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 2|z – i| = | z – z + 2i| là
A gốc tọa độ (0; 0) B trục tung.
C đường thẳng có phương trình y = x D đường tròn có tâm I(0; 0) và bán kính 1 Câu 13: Xác định phần thực và phần ảo của số phức z =
9 5
( 3 i) (1 i)
− +
A –64 + 64i B –64 – 64i C 64 – 64i D 64 + 64i.
Câu 14: Giá trị của A = (1 + i)20 bằng
Trang 3A 1024 B 220 C –1024 D 1024 – 1024i.
Câu 15: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = i2017
A 0 và 2017 B 0 và 1 C 0 và –1 D 1 và –1.
Câu 16: Cho số phức z = a + bi (với a, b là các số thực) Xét các phát biểu sau
(1) z² – z ² là số thực (2) z² + z ² là số ảo
(3) z z là số thực (4) |z| – z là bằng 0
Số câu phát biểu đúng là
Câu 17: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2016i2015 + 2015i2016
A 2015 và –2016 B 2016 và –2015 C 2015 và 2016 D –2015 và –2016 Câu 18: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức C: z² – 2(1 + 2i)z + 8i = 0
A z = 2 V z = 4i B z = 4 V z = 2i C z = 2 V z = 2i D z = 4 V z = –2i Câu 19: Tính z = 1 3 6
− + A –1 B 1 C i D –i.
Câu 20: Có bao nhiêu số phức z sao cho z = z³
Câu 21: Cho hai số phức z = x + (x² + 1)i và w = x² – 2 + (4x – 6)i Tìm x sao cho z + w là số thực
A x = 1 V x = 5 B x = 1 V x = –5 C x = 2 V x = 3 D x = –2 V x = 3 Câu 22: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z sao cho i
z i− là số ảo
A Tập hợp là trục tung B Tập hợp là đường thẳng x = 1.
C Tập hợp là đường thẳng y = 1 D Tập hợp là đường thẳng y = x.
Câu 23: Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z² + z ²
= 0 là
A các đường thẳng y = ±x B đường tròn tâm I(0; 0) bán kính bằng 1.
C các đường thẳng y = x + 1; y = x – 1 D các trục tọa độ.
Câu 24: Tìm căn bậc hai của số phức z = 7 – 24i
A ±(3 + 4i) B ±(3 – 4i) C ±(4 + 3i) D ±(4 – 3i).
Câu 25: Tìm số phức z sao cho z³ = –i
A 3 1i
2 ±2 và –i D 1 3i
2± 2 và –i
Câu 26: Giải phương trình sau trên tập số phức: z4 – 3z² – 4 = 0
A ±i và ±2i B ±i và ±2 C ±1 và ±2i D ±1 và ±i.
Câu 27: Acgumen của số phức z = –sin(π
8) – i cos(
π
8) là
A π
π
5π
5π 8
−
Câu 28: Phần thực và phần ảo của số phức z = 2³ [cos (π/6) + i sin (π/6)]3 là
Trang 4Câu 29: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 7 i n
4 3i
+
− là số thực.
Câu 30: Phương trình z³ – az² + 3az + 37 = 0 có một nghiệm là –1 Gọi các nghiệm còn lại là z1 và z2
Gọi điểm A, M, N lần lượt là các điểm biểu diễn cho –1, z1, z2 Tính chất của tam giác AMN là
A tam giác cân B tam giác đều C tam giác vuông D tam giác thường Câu 31: Tìm phần ảo của số phức z, biết z ( 2 i)(1 i 2)= + −
Câu 32: Tính giá trị của biểu thức: P =
i i i
i i i
+ + + + + +
Câu 33: Tìm số phức z thỏa z² + |z| = 0
A z = 0 V z = ±1 B z = 0 V z = ±i C z = 0 V z = 1 ± i D z = –1 V z = ±i Câu 34: Nếu x + yi là căn bậc hai của số phức a + bi thì
A x – yi là căn bậc hai của số phức a – bi B x – yi là căn bậc hai của số phức a + bi.
C x + yi là căn bậc hai của số phức b – ai D x + yi là căn bậc hai của số phức a – bi Câu 35: Các căn bậc hai của số phức –5 + 12i là
A 3 – 2i và –3 + 2i B 2 – 3i và –2 + 3i C 2 + 3i và –2 – 3i D 3 + 2i và –3 – 2i Câu 36: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: z² + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
A z = 2i V z = i – 1 B z = 2 V z = i + 1 C z = i – 1 V z = 2 D z = i + 1 V z = 2i Câu 37: Cho phương trình: z³ + (2 – 2i)z² + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) Biết rằng phương trình có một trong
các nghiệm là z = bi, với b là số thựC Tìm b.
Câu 38: Cho phương trình z³ – (5 + i)z² + 4(i – 1)z – 12 + 12i = 0 có nghiệm thực z = A Tìm a.
Câu 39: Giải phương trình trên tập số phức: (z² + 3z + 5)² + 2z(z² + 3z + 5) – 3z² = 0
A {–1; –5; –2 + i; 2 – i} B {–1; –5; 1 – 2i; 1 + 2i}.
C {–1; –5; –2 – i; –2 + i} D {–1; –5; –1 – 2i; –1 + 2i}.
Câu 40: Số nghiệm thực của phương trình (i + z)³ = (i – z)³ là
Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: |z – i| = |(1 +
i)z|
A Tập hợp là đường tròn tâm I(0; 1) và bán kính là 2.
B Tập hợp là đường tròn tâm I(0; 1) và bán kính là 2.
C Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1) và bán kính là 2 .
D Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1) và bán kính là 2.
Câu 42: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện: 2|z – 4 + 3i| = 5 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
A z = 2 + (3/2)i B z = –2 + (3/2)i C z = –2 – (3/2)i D z = 2 – (3/2)i.
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = 1 – 9i Tìm modun của z
A |z| = 3 B |z| = 3 C |z| = 13 D |z| = 13.
Trang 5Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn 2z – i z = 2 + 5i Tìm phần thực và phần ảo của z.
A a = 3 và b = 4 B a = –3 và b = 4 C a = –4 và b = 3 D a = –3 và b = –4 Câu 45: Phần thực của số phức z thỏa mãn (1 + i)²(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z là
Câu 46: Phần thực của số phức (1 + i)6 là
Câu 47: Phần ảo của số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³ + + (1 + i)20 là
Câu 48: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?
A Modun của số phức là một số thực không âm.
B Mọi số thực đều là số phức.
C Phương trình bậc hai luôn có nghiệm là số phức.
D Số phức luôn có hai căn bậc hai khác nhau.
Câu 49: Cho phương trình sau (z + i)4 + 4z² = 0 Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau
1 Phương trình không có nghiệm thực
2 Phương trình vô nghiệm trong tập hợp số phức
3 Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức
4 Phương trình chỉ có 2 nghiệm là số phức
5 Phương trình có 2 nghiệm là số thực
Câu 50: Khẳng định nào dưới đây là không đúng?
A Tập hợp số thực là tập con của số phức.
B Tổng của hai số thực là số phức.
C Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
D Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau trục tung.
Câu 51: Tìm các căn bậc hai của số phức z = 1 9i 5i
1 i+ −
−
A ±(2 + i) B ±2i C ±(1 + 2i) D ±(1 + i).
Câu 52: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (7 – i)(3 – 4i)z = (8 + 6i)²
A –2 và 2 B 3 và –4 C 4 và –3 D –1 và 1.
Câu 53: Tính modun của số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z + (1 – z )i = 15
Câu 54: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = 2 + 9i
A 4 và –3 B –4 và 3 C 4 và 3 D –4 và –3.
Câu 55: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z² – 4z + 5 = 0 Tính |z1 – z2|
Câu 56: Tìm b, c sao cho phương trình z² + bz + c = 0 có một nghiệm là z1 = 1 – 3i
A b = –2 và c = 10 B b = 2 và c = –5 C b = 10 và c = 5 D b = –5 và c = 2 Câu 57: Cho số phức z1 = 2 – 3i là nghiệm của phương trình az² + bz – 13 = 0 Tìm a, b
A a = –1 và b = 3 B a = 4 và b = 3 C a = –1 và b = 4 D a = 4 và b = 4.
Trang 6Câu 58: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (4 – i)z + (3 + 2i) z = 7 + 5i
A –7 và 2 B –2 và 7 C 2 và 7 D –2 và –7.
Câu 59: Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – 5 – 5i = 0 Tìm số phức w = z 10
z +
Câu 60: Biết z1 = 2 – i là nghiệm của phương trình z³ – 3z² + az + b = 0 Tìm nghiệm là số thực của PT
Câu 61: Biết z1 = 1 + i là nghiệm của phương trình z³ + az² + bz + a = 0 Tìm a và b
A a = 3 và b = –4 B a = 4 và b = –3 C a = –4 và b = 6 D a = 4 và b = –6 Câu 62: Biết z1 = –1 + 2i là nghiệm phức của phương trình az³ + az² + bz – 5 = 0 Tìm các nghiệm còn
lại
A z2 = –1 và z3 = –1 – 2i B z2 = 1 và z3 = –1 – 2i
C z2 = 2 và z3 = –1 – 2i.D z2 = 2 và z3 = 1 + 2i
Câu 63: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 + 3i)z – (1 – 2i) z + 2 – 9i = 0
A 1 và –2 B 2 và –1 C 2 và 1 D –1 và –2.
Câu 64: Cho số phức z = 1 i 3
2− 2 Xác định phần thực và phần ảo của số phức w = 4z³ – 3i z ³
A 3 và 4 B –3 và –4 C –4 và 3 D 4 và –3.