Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHẠM THỊ HỒNG NGỌC

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ

THUỘC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

CHO HỌC SINH LỚP 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI – 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHẠM THỊ HỒNG NGỌC

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ

THUỘC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

CHO HỌC SINH LỚP 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI – 2016

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa đã

tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình em thực hiện đề tài

Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11” không có sự trùng lặp với

các khóa luận khác và kết quả thu được trong đề tài này là hoàn toàn xác thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 2

7 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Khái niệm định lí Toán học 3

1.2 Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí 5

1.3 Hai con đường dạy học định lí 6

1.4 Hoạt động củng cố định lí 14

1.5 Phát triển năng lực chứng minh Toán học 16

CHƯƠNG 2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ THUỘC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CHO HỌC SINH LỚP 11 23

2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề quan hệ vuông góc 23

2.1.1 Hai đường thẳng vuông góc 23

2.1.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 23

2.1.3 Hai mặt phẳng vuông góc 23

2.1.4 Khoảng cách 24

2.2 Những định lí cơ bản về chủ đề quan hệ vuông góc trong chương trình Toán lớp 11 bậc trung học phổ thông 24

2.3 Một số khó khăn khi tổ chức dạy học các định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11 26 2.4 Thiết kế các tình huống dạy học cho từng định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11 31

2.4.1 Dạy học định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 31 2.4.2 Dạy học định lí ba đường vuông góc: 52 2.4.3 Dạy học định lí về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau 57

KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Thế kỉ XXI là kỉ nguyên của sự phát triển khoa học, công nghệ và kinh tế tri thức Sức mạnh và sự phồn vinh của mỗi quốc gia phụ thuộc vào trí tuệ và năng lực sáng tạo của nguồn nhân lực xã hội Trong bối cảnh đó, con người muốn đáp ứng được nhu cầu của xã hội thì phải được đào tạo bởi một nền giáo dục tiên tiến, khoa học hiện đại và biết tự giáo dục, tự học suốt đời Chính vì lẽ đó việc chuyển

từ dạy học thụ động sang dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung tâm nhằm phát huy cao độ tính chủ động, sáng tạo của người học là xu thế phát triển tất yếu của giáo dục hiện nay Nhận thức đúng xu thế phát triển của thời đại, Đảng ta khẳng định: “Giáo dục - đào tạo là quốc sách hàng đầu” Ngày 4/11/2013, Nghị quyết số

29 – NQ/TW về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế ” đã được Hội nghị TW 8 (khóa XI) thông qua

Trong nhà trường phổ thông, Hình học là một bộ phận cấu thành nên Toán học Đây là một môn học thú vị nhưng tương đối khó đối với học sinh bởi Hình học là một môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng cao độ

Trong chương trình toán trung học cơ sở, các em đã được làm quen với các quan hệ vuông góc trong mặt phẳng Khi lên bậc trung học phổ thông, đặc biệt là lớp 11 thì các quan hệ vuông góc được mở rộng nghiên cứu trong không gian

Các định lý thuộc chủ đề “Quan hệ vuông góc” có vai trò rất quan trọng trong việc học tập chủ đề này, không những giúp học sinh củng cố các khái niệm

và nắm vững các tính chất cơ bản thuộc chủ đề mà còn là công cụ thiết yếu để giải các bài toán hình học không gian Vậy làm thế nào để học sinh hiểu và vận dụng nội dung của các định lí đó khi học chủ đề này là một vấn đề cần được quan tâm

Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp dạy học được giáo viên lựa chọn Cùng một nội dung nhưng tùy thuộc vào phương pháp sử dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội tri thức, sự phát triển trí tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển biến thái độ hành

vi mà học sinh lĩnh hội Từ những lí do trên đây, đồng thời xuất phát từ sự say mê

của bản thân, ham muốn tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu sâu hơn về quan hệ vuông góc trong không gian nhằm phục vụ cho việc giảng dạy sau khi ra trường và giúp

đỡ các em học sinh học tốt hơn chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian, tôi đã chọn đề tài: “Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11”

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế, phân tích và sử dụng những tình huống dạy học định lí thuộc chủ

đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11 nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học chủ đề này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận, thực tiễn dạy học định lí

- Hệ thống các định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc

- Thiết kế các tình huống dạy học các định lí đó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc

- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học 11 cơ bản bậc trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Quan sát, điều tra

- Tổng kết kinh nghiệm

6 Giả thuyết khoa học

Nếu thiết kế và sử dụng được tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan

hệ vuông góc cho học sinh lớp 11 thì sẽ nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề này

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm định lí Toán học

- Định lí Toán học:

Trên phương tiện tri thức khoa học, định lí được hiểu là:

- “Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó đã được khẳng định hay phủ định qua chứng minh” [7]

- “Mệnh đề toán học đã được chứng minh” (Le Petit larousse, Nhà xuất bản Larouss – Bordas 1999)

Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trường phổ thông định lí được hiểu là một mệnh đề đã được chứng minh là đúng

Nói chung trong chương trình toán ở trường phổ thông, các định lí thường được đưa vào một cách tường minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dưới một cái nhãn

“định lí”

Ví dụ 1: Định lí:

“Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó” [5]

Nhưng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là được chứng minh là đúng) nhưng lại không được nêu thành định lí

Ví dụ 2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến đổi

tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng…

Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá trình suy luận, là những cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công nhận (Tiên đề là những điều được công nhận đúng mà không cần chứng minh)

- Thành phần định lí: Định lí gồm hai phần đó là giả thiết và kết luận

Trong đó: Giả thiết là những điều đã cho; kết luận là những điều cần suy ra [6]

Định lí được đưa ra dưới hai dạng:

Dạng 1: Những định lí được hình thành thông qua các hoạt động đo đạc, gấp hình, thao tác trực quan và đi đến công nhận định lí mà không cần chứng minh

Ví dụ: Định lí pytago, định lí về tính chất ba đường trung tuyến của một

tam giác, định lí về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp,…

Dạng 2: Định lí được hình thành cho học sinh trên cơ sở học sinh hoạt động xác định định lí và chứng minh định lí hoàn chỉnh

Ví dụ: Định lí ba đường vuông góc

“Cho đường thẳng a không vuông góc với (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu á của a trên (P)” [5]

Nhưng dù định lí được diễn ra dưới dạng nào thì người giáo viên cần linh hoạt, áp dụng với từng mức độ yêu cầu của chương trình để phù hợp với lứa tuổi học sinh, tránh sự chán nản trong hoạt động học của học sinh (Đặc biệt là những định lí buộc học sinh phải thừa nhận mà không được chứng minh.)

- Chứng minh định lí: Giả sử G là tập hợp những mệnh đề toán học và φ

là một mệnh đề toán học nào đó Ta nói rằng φ được chứng minh từ giả thiết G nếu tồn tại một dãy hữu hạn các mệnh đề toán học , ,…., (1) sao cho các yêu cầu sau được thỏa mãn:

a) là φ

b) Với mọi i, 1 i n, hoặc là một mệnh đề, hoặc một định nghĩa, hoặc một định lí, hoặc là một phần tử của G, hoặc được suy ra từ các mệnh đề đứng trước nó trong dãy (1) nhờ vào một quy tắc suy luận logic

Nói cách khác, quá trình suy diễn xác nhận tính chân thực hoặc bác bỏ một mệnh đề nào đó nhờ vào các mệnh đề đúng đã biết gọi là một chứng minh [4]

Gọi ( ) là mặt phẳng xác định bởi hai

1.2 Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí

Vị trí của định lí:

Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất đạo đức [3]

Yêu cầu dạy học định lí

Việc dạy học các định lí toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau đây:

+ Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ

đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

+ Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán học

+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh

d

β

d’

α

+ Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội dung môn toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rèn luyện được kĩ năng này [3]

1.3 Hai con đường dạy học định lí

Trong việc dạy học định lí Toán học, người ta phân biệt hai con đường: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ:

Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn

Dưới đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường:

Con đường có khâu suy đoán

Thực hiện dạy học định lí theo con đường có khâu suy đoán bao gồm 5 bước:

Bước 1: Gợi động cơ học tập định lí

Xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy được sự cần thiết, lợi ích và vai trò của định lí trong giải toán cũng như trong thực tiễn cuộc sống [3]

Phát biểu định lí Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí

+ Gợi động cơ xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn:

Giả sử đường thẳng ở góc tường là giao của hai mặt tường chứa bảng và chứa cửa ra vào Cho một điểm O nằm trên đường thẳng đó và mặt phẳng sàn của chúng ta là mặt phẳng cho trước Nhìn vào ta thấy có bao nhiêu đường thẳng chứa điểm O đó vuông góc với mặt sàn của chúng ta?

+ Gợi động cơ từ nội bộ Toán học: Từ định lí: “Có duy nhất một mặt phẳng

đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước” Vậy nếu tôi thay từ “mặt phẳng” thành từ “đường thẳng” và thay từ “đường thẳng” thành từ “mặt phẳng” thì đường thẳng đó có duy nhất không?

Giáo viên: Như vậy khi biết A là góc vuông và biết độ dài hai cạnh kề thì ta

có thể tính được cạnh còn lại Nếu vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề của nó nhưng góc A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh thứ ba không?

Ví dụ 3: Sau khi học xong định lí: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại

điểm thì nó liên tục tại điểm đó.”

Vậy ngược lại: Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm thì liệu nó có đạo hàm tại điểm đó không?

Bước 2: Dự đoán và phát biểu định lí

Dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc, …Từ đó chúng ta

dự đoán ra nội dung định lí và phát biểu nội dung định lí [3]

Ví dụ 1: Dự đoán và phát biểu định lí “Phép quay là phép dời hình” bằng

quan sát thực tế [5]

Giáo viên: Gắn hai điểm A, B trên chiếc vô lăng của xe ô tô Khi chiếc vô lăng quay thì vị trí của hai điểm A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B có bị thay đổi không?

Học sinh: Vị trí của hai điểm A, B thay đổi nhưng khoảng cách giữa chúng thì không thay đổi

Giáo viên: Từ tình huống trên, dự đoán mối liên hệ giữa phép quay và phép dời hình?

Học sinh: Phép quay là phép dời hình

Ví dụ 2: Dự đoán bằng tương tự hóa tính chất “Hai mặt phẳng phân biệt

cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” [1]

Gợi động cơ: Ta đã biết hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau Vậy ngoài cách nhận biết hai mặt phẳng song song bằng cách này, ta còn có cách nào khác để nhận biết được hai mặt phẳng song song không?

Dự đoán: Trong mặt phẳng, ta có tính chất: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”

Giáo viên: Tương tự, trong không gian, nếu cho hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng có song song với nhau không?

Học sinh: Dự đoán hai mặt phẳng đó có song song với nhau

Khi trình bày xong một dự đoán, học sinh đứng trước hai câu hỏi cần trả lời (hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách khác học sinh đứng trước một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không chắc chắn về mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai) Tính không chắc chắn này là động

cơ để học sinh hình thành những phép thử, những mò mẫm, Đó chính là cơ hội

để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng nghiên cứu khoa học

Bước 3: Chứng minh định lí

Hướng dẫn cho học sinh tìm đường lối chứng minh định lí và cách trình bày chứng minh định lí, đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng [3]

Ví dụ 1: Định lí: “Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và

cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

=

với k 2

Hướng dẫn chứng minh:

Giáo viên: Giả sử ( ) là cấp số cộng với công sai d, ta có:

với n 1 (1)

Sử dụng công thức (1) với k 2, hãy biểu diễn và qua và d ? Học sinh:

Giáo viên: Tính tổng với , từ đó suy ra điều phải chứng minh Học sinh: = 2 ⇒ =

Giáo viên: Đƣa ra sơ đồ chứng minh và yêu cầu học sinh về nhà trình bày hoàn chỉnh lời giải vào vở là cấp số cộng với công sai d 



Chứng minh rằng: = 2



Chứng minh rằng: =

(với k 2) Ví dụ 2: Định lí: “Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và M’N’ = | |.MN” (xem [1]) Chứng minh: Giáo viên: Giả sử O là tâm phép vị tự tỉ số k Theo định nghĩa của phép vị tự hãy biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?

Học sinh: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Giáo viên: Hãy biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ đó suy ra điều phải chứng minh ? Học sinh:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ đó suy ra M’N’ = | |MN

Bước 4: Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt

ra khi gợi động cơ [3]

Ví dụ: Ở bước 1 ta đã lấy ví dụ về việc gợi động cơ khi dạy học định lí

Vậy vận dụng định lí, ta có thể trả lời được hai câu hỏi đã nêu ra ở phần gơi động

Ví dụ: Khi học sinh học xong định lí về số hạng tổng quát của cấp số cộng

thì giáo viên đưa ra hoạt động củng cố định lí như sau:

Giáo viên: Cho ( ) là cấp số cộng có = 18 và công sai d = -5 Hãy tính Học sinh: Áp dụng công thức: = + (n – 1)d Ta có:

= 18 + (68 - 1).(-5) = - 317 Vậy = - 317

Đây chính là hoạt động thể hiện định lý nhằm giúp học sinh hiểu và vận dụng định lí để giải bài tập toán

 Dạy học bằng con đường có khâu suy đoán có những ưu diểm và nhược điểm sau:

 Ưu điểm:

- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề

- Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh

và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn

- Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán

và chứng minh

- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…

 Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

Điều kiện sử dụng: thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát

hiện định lí mà học sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định [3]

Con đường suy diễn

Con đường suy diễn là con đường xuất phát từ những tri thức toán học đã biết để dẫn đến định lí Thực hiện dạy học định lí bằng con đường suy diễn bao gồm 5 bước:

Bước 1: Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh

trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học Giáo viên chỉ cho học sinh thấy được

sự cần thiết, lợi ích và vai trò của định lí trong giải toán cũng như trong thực tiễn cuộc sống [3]

Ví dụ 1: Đối với định lý (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc): “Nếu

một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau” [5]

+ Ta có thể gợi động cơ từ thực tế: Ta nhận thấy chân bàn vuông góc với mặt bàn Vậy mặt phẳng chứa chân bàn có vuông góc với mặt bàn không? Từ đây,

ta có định lí sau nói về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

+ Ta cũng có thể gợi động cơ từ nội bộ môn toán: Ta đã biết hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng Vậy muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì ta phải chứng minh góc giữa chúng bằng Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là rất khó khăn, thậm chí không thể xác định được.Vậy ngoài cách xác định

số đo góc giữa hai mặt phẳng, ta còn có cách nào khác để chứng minh được hai mặt phẳng vuông góc với nhau không?

Ví dụ 2: Định lí: “Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó”

Gợi động cơ: Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó Vậy phép tịnh tiến có tính chất này không?

Bước 2: Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết, dùng suy diễn logic

dẫn tới định lí [3]

Ví dụ:

Giáo viên: Các em vừa được học định lí: “Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm

M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN” Giả sử phép tịnh tiến biến

ba điểm A, B, C thành 3 điểm A’, B’, C’ thì theo định lí trên ta có điều gì?

Học sinh : Ta có: A’B’ = AB; B’C’= BC; A’C’= AC

Giáo viên: Nếu A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C thì ta có điều gì?

Từ đó suy ra mối quan hệ giữa A’, B’ và C’

Học sinh: Ta có AB+ BC= AC ⇒ A’B’+ B’C’= A’C’⇒ A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và B’

Giáo viên: Như vậy phép tịnh tiến làm cho vị trí của ba điểm thẳng hàng không thay đổi Từ đó ta có định lí sau: “Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó”[5]

Bước 3: Phát biểu định lí

Ví dụ: Từ suy diễn trên ta có định lí sau: “Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng

hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó”

Bước 4: Vận dụng định lí vừa tìm được, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi

động cơ

Ví dụ:

Giáo viên: Thông qua định lí về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc đã nêu ở bước 1, hãy trả lời câu hỏi: Nếu chân bàn vuông góc với mặt bàn thì mặt phẳng chứa chân bàn có vuông góc với mặt bàn không?

Học sinh: Mặt phẳng chứa chân bàn có vuông góc với mặt bàn

Bước 5: Củng cố định lí thông qua các hoạt động: nhận dạng và thể hiện

định lí; hoạt động ngôn ngữ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những định lí; Ngoài ra, việc vận dụng định lí để giải bài tập toán không những có tác dụng củng cố định lí mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí [3]

Ví dụ: Sau khi học xong định lí ba đường vuông góc, giáo viên đưa ra hệ

thống câu hỏi để củng cố định lí như sau:

<?1> Hãy phát biểu định lí theo ý hiểu?

<?2> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh

bên SA vuông góc với đáy Chứng minh các mặt bên (SBC), (SCD) của hình chóp

đã cho là những tam giác vuông

Dạy học bằng con đường suy diễn có những ưu diểm và nhược điểm sau:

 Ưu điểm: ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dượt tự học theo những sách báo toán học

 Nhược điểm: đối lập với ưu điểm của con đường có khâu suy đoán

Điều kiện sử dụng: Thường được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ

hiểu để học sinh có thể tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn dẫn tới định lí là đơn giản và ngắn gọn Ví dụ: dạy học một số công thức tính toán như tính sin 2a, cos2a, tan 2a và cot 2a dựa vào công thức cộng cung [3]

Phân biệt hai con đường:

Giống nhau: Cả hai con đường đều có cùng thứ tự các bước 1 (gợi động cơ), bước 4 (vận dụng định lí), bước 5 (củng cố định lí)

Khác nhau: Đối với bước hai và ba ở con đường có khâu suy đoán thì phần

dự đoán và phát biểu định lí đưa ra trước rồi mới đến phần chứng minh định lí Còn ở con đường suy diễn thì phần suy diễn để dẫn tới định lí (thực chất là phần chứng minh định lí) lại được diễn ra trước rồi mới đến phần phát biểu định lí Do

đó, bước hai và bước ba của hai con đường là ngược nhau

S

A

B

1.4 Hoạt động củng cố định lí

Nhận dạng và thể hiện định lí:

- Nhận dạng và thể hiện định lí là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí

+ Nhận dạng một định lí: là cho học sinh xét xem một tình huống cho trước

có ăn khớp với định lí đó hay không

+ Thể hiện một định lí: là xây dựng cho học sinh một tình huống ăn khớp với định lí cho trước [6]

Ví dụ: Định lí về điều kiện để đường thẳng

song song với mặt phẳng: “Nếu đường thẳng a

không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với

một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song

+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định lí dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau

+ Phân tích nội dung định lí nhằm chỉ cho học sinh thấy ý chính, đặc trưng chứa đựng trong định lí

Ví dụ: Định lí ba đường thẳng vuông góc: “Cho đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ

để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)” [5]

Củng cố định lí trên bằng các hoạt động ngôn ngữ sau:

 Phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa chính của định lí là giúp chúng ta nhanh chóng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc trong không gian

 Diễn tả ngắn gọn định lí ba đường vuông góc bằng lời để học sinh dễ vận dụng (đường thẳng đã vuông góc với đường xiên thì vuông góc với hình chiếu

và ngược lại)

 Tại sao định lí lại có tên là định lí ba đường vuông góc? (Vì định lí liên quan đến ba đường: đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu)

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa, lật ngược vấn đề,… Các hoạt động này cũng cho phép củng cố định lí, vì nó giúp hiểu rõ hơn các đặc trưng của định lí, mối quan hệ của định lí với các định lí đã học, với định lí mới mà ta công nhận hay sắp chứng minh và cả với những mệnh đề dự đoán mà ta mong muốn học sinh đi nghiên cứu sâu dự đoán [3]

Khái quát hóa: Ở trường phổ thông, khái quát hóa định lí thường được

hiểu là mở rộng định lí

Ví dụ: Khái quát hóa định lí về mối liên hệ giữa trung bình cộng và trung

bình nhân Chẳng hạn mở rộng công thức:

≥ √ ( a ≥ 0, b ≥ 0 ) thành công thức:

√ ( 0, i = ̅̅̅̅̅ )

Đặc biệt hóa: Theo G Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu

một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [6]

Ví dụ: Phương trình bậc hai a + bx + c = 0 có = - 4ac

+ Nếu 0, phương trình vô nghiệm

+ Nếu 0, phương trình có nghiệm kép x =

+ Nếu 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt: = √

Đặc biệt, nếu phương trình trên có những dấu hiệu sau:

- Nếu a + b + c = 0 thì lúc đó nghiệm của phương trình là: = 1, =

- Nếu a - b + c = 0 thì lúc đó nghiệm của phương trình là: = -1, =

- Nếu ac thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Hệ thống hóa: chủ yếu là biết sắp định lí mới vào hệ thống định lí đã học,

nhận biết mối quan hệ giữa những định lí khác nhau trong một hệ thống định lí

Ví dụ1: Liên hệ giữa định lí “Dấu của tam thức bậc hai” với định lí “Dấu

của nhị thức bậc nhất” ta thấy chúng có chung đặc điểm khi xét dấu là đều tuân thủ quy tắc: ngoài cùng dấu, trong trái dấu với hệ số a

Ví dụ 2: Sau khi học xong công thức tính thể tích của tứ diện:

V = h, chúng ta có thể suy ra được với công thức tính thể tích lăng trụ tam giác vì một lăng trụ tam giác tách được thành ba tứ diện Do vậy, công thức tính thể tích lăng trụ tam giác là: V = h Từ đó, ta suy ra mối quan hệ giữa công thức tính thể tích lăng trụ tam giác với công thức tính thể tích của tứ diện như sau:

=

1.5 Phát triển năng lực chứng minh Toán học

Gợi động cơ chứng minh

Những lần đầu chứng minh một định lí hay giải một bài tập chứng minh theo yêu cầu của giáo viên, học sinh thường chưa thấy rõ sự cần thiết phải làm việc này Do đó, vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề Toán học?

+ Cần cho học sinh thấy rằng những điều quan sát trên hình vẽ chỉ là trên một hình vẽ, không thể kết luận trong trường hợp tổng quát, đối với một mệnh đề tổng quát không thể thử trên vô số trường hợp, do đó cần phải chứng minh nó

+ Từ yêu cầu trên thực tế cũng giúp học sinh thấy cần thiết phải chứng minh

+ Ngoài việc gợi động cơ chứng minh thì việc chọn ví dụ và vẽ hình giúp cho học sinh thấy được sự chứng minh

+ Tồn tại một số định lí của hình học phẳng mà nếu phát biểu nguyên văn thì sẽ không đúng trong hình học không gian, chẳng hạn: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau”

+ Trong một số trường hợp, để tính toán hoặc xác định vị trí của một điểm hoặc tìm quỹ tích trước hết người ta phải chứng minh một tính chất nào đó [3]

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD, trong đó AB = AC = AD = m và BC = CD =

DB = n Tính thể tích của tứ diện ?

Hướng dẫn:

Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A của tứ diện, để tính thể tích của tứ diện đó, trước hết ta cần chứng minh rằng H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh

- Trước hết, cần có ý thức tập luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ chung như : phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…thường xuất hiện như những hoạt động thành phần trong chứng minh

- Cần tập luyện cho học sinh những quy tắc kết luận logic thường dùng, thường dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ đồ . Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy luật

, giáo viên cần quan tâm dùng những ví dụ cụ thể bác

bỏ những sai lầm do học sinh hay ngộ nhận [3]:

̅ ̅

Ví dụ: Áp dụng quy tắc

, ta có:

Các số nguyên có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 5 Vậy có 100 thì

100 chia hết cho 5

Trong tình huống này, học sinh có thể sai lầm như sau:

Các số nguyên có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 5 Vậy những số nguyên không có chữ số tận cùng là 0 thì sẽ không chia hết cho 5

Ở đây, học sinh đã vi phạm quy tắc ̅

̅ . Điều mà học sinh đưa ra là không đúng vì những số nguyên có chữ số tận cùng là 5 thì cũng chia hết cho 5

Hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh

Trong quá trình dạy học chứng minh, cần hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh Toán học

Thứ nhất, là những tri thức về các quy tắc kết luận logic nhưng ở trường

phổ thông, chúng chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh: tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc đó [3]

Thứ hai, cần giúp cho học sinh hình thành những tri thức về những

phương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược, suy xuôi, quy nạp toán học và chứng minh bằng phản chứng Đặc biệt, cần cho học sinh nắm được các tri thức sau:

 Phép suy xuôi có sơ đồ: A = → → …→ = B

Thứ ba, cần làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành và ba yêu cầu

đảm bảo chứng minh

+ Một chứng minh bao gồm ba bộ phận:

 Luận đề: là mệnh đề cần chứng minh

 Luận cứ: là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết

 Luận chứng: là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh + Ba yêu cầu đảm bảo chứng minh là đúng:

i) Luận đề không được đánh tráo

ii) Luận cứ phải đúng

iii) Luận chứng phải hợp logic [3]

Thứ tư, người giáo viên cần có ý thức phát hiện và sửa chữa những sai lầm

vi phạm ba yêu cầu của học sinh mà sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ: Sai lầm về luận đề bị đánh tráo

Chứng minh rằng với m - 4 thì phương trình:

m – (2m +1) + m + 4 = 0 luôn có 2 nghiệm trái dấu

Một học sinh đưa ra lời giải như sau: Đặt = t thì bài toán trở thành

chứng minh rằng với m - 4 thì phương trình: m – (2m +1)t + m + 4 = 0 luôn

có 2 nghiệm trái dấu Khi đó ta phải có m(m+4) 0  -4 m 0

Vậy với m - 4 thì phương trình: m – (2m +1) + m + 4 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu ⇒ đề bài ra bị sai

Cách khắc phục những sai lầm trong chứng minh định lí:

+ Ra những bài tập có khả năng mắc sai lầm để sửa chữa

Ví dụ: Khi giải bài toán:

x - √ - √ ⇒ x + √ y + √ Đó là điều cần phải chứng minh

Chứng minh này vi phạm yêu cầu luận cứ không đúng vì không thể trừ hai

vế của bất đẳng thức Lời giải đúng như sau:

Đặt f(t) = t - √ , t 1

(t) = 1 -

√ ⇒ (t) 0 t 1 ⇒ f(t) đồng biến

Do x y 1 ⇒ f(x) f(y) ⇒ x - √ y - √ ⇒ x + √ y + √ Đó là điều cần phải chứng minh

+ Cho những lời giải có sai lầm để yêu cầu học sinh sửa chữa

Ví dụ: Chứng minh: Nếu các cạnh và góc của tam giác thỏa mãn điều kiện:

- = - = - (*) thì tam giác đó là tam giác đều

Có lời giải: Muốn chứng minh tam giác là đều, chỉ cần chứng minh: ̂ = ̂

= ̂ = ; a = b = c Có thể giả thiết a = b = c = 1, ta cần chứng minh: = = = (1), = = = 0 (2) Đem (1), (2) thay vào (*):

- = - = - (3)

Hiển nhiên (3) được thành lập, các bước ở trên có thể làm ngược được nên vấn đề được chứng minh

Sai lầm ở lời giải này ở chỗ: Lấy (1), (2) là điều đã biết, suy ra (1), (2) phù

hợp với (*) và khẳng định các bước ở trên có thể làm ngược được Thực chất lời giải chưa chứng tỏ được điều gì, vì mấu chốt của vấn đề là làm sao từ điều kiện

(*), suy ra ̂ = ̂ = ̂ = hoặc a = b = c Không thể khẳng định các bước làm trên

có thể làm ngược khi chưa có căn cứ Có thể nói sai lầm ở đây là coi phép phân tích đi xuống là một chứng minh, thừa nhận điều cần chứng minh là đã biết và lấy

nó làm xuất phát của quá trình chứng minh

Lời giải đúng: ABC đều khi có ̂ = ̂ = ̂ = , điều này có được khi có

= = , điều này có được khi có

=

=

0, điều này có được khi có

=

=

0, điều này có được khi có = = 0; , , 0 Điều này có được khi có:

=

=

0, điều này có được khi có: - =

- = - Kết quả này phù hợp với giả thiết, do đó ta có điều phải chứng minh [4]

+ Nhấn mạnh đến những kiến thức quan trọng dễ mắc sai lầm

Ví dụ: Khi chứng minh bất đẳng thức mà muốn áp dụng bất đẳng thức

Cauchy, cần lưu ý đến điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy là chỉ đúng khi áp dụng đối với các số thực dương

Phân bậc hoạt động chứng minh

Dựa trên những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển học sinh học tập hoạt động này Sự phân bậc theo một tiêu chí bao quát là căn cứ vào tính độc lập của hoạt động của học sinh, thể hiện ở ba mức độ:

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương 1 đã nghiên cứu được một số vấn đề cơ bản về cơ sở lí luận của việc dạy học định lí của môn toán ở trường phổ thông Cụ thể là ở chương này, chúng ta đã đạt được một số kết quả như sau: Hệ thống hóa được một số khái niệm về định lí Toán học, đồng thời có các ví dụ đi kèm giúp người đọc hiểu khái niệm hơn; Hiểu được tầm quan trọng của định lí và yêu cầu dạy học định lí; Hiểu sâu hơn về hai con đường dạy học định lí và phân biệt được sự giống và khác nhau giữa hai con đường; Nghiên cứu được một số vấn đề xoay quanh việc phát triển năng lực chứng minh Toán học Đây được coi là chương tiền đề của khóa luận, là

cơ sở cho chương 2

CHƯƠNG 2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ THUỘC CHỦ ĐỀ

QUAN HỆ VUÔNG GÓC CHO HỌC SINH LỚP 11

2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề quan hệ vuông góc

2.1.1 Hai đường thẳng vuông góc

Về kiến thức: Biết được

- Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

- Khái niệm và điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau

Về kĩ năng:

- Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Xác định góc giữa hai đường thẳng

Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

2.1.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Về kiến thức: Biết được

- Định nghĩa và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Khái niệm về phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

- Khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

- Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng

- Khái niệm và điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

- Tính chất hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

- Khái niệm hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Về kĩ năng:

- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng

- Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

- Vận dụng được tính chất của hình lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, hình chóp cụt đều để giải một số bài tập

2.1.4 Khoảng cách

Về kiến thức, kĩ năng: Biết và xác định được

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

- Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

2.2 Những định lí cơ bản về chủ đề quan hệ vuông góc trong chương trình Toán lớp 11 bậc trung học phổ thông

Tìm hiểu tài liệu [1] về những định lí cơ bản thuộc chủ đề “quan hệ vuông góc” ta

có các định lí sau:

Định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

Định lí về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng

nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc nhau Nếu từ một điểm

thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm trong (α)

Định lí

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao

tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó

2.3 Một số khó khăn khi tổ chức dạy học các định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11

Việc dạy học định lí thuộc chủ đề “quan hệ vuông góc” để học sinh có thể hiểu và vận dụng tốt vào trong hoạt động giải toán là một trong những vấn đề cần đặt ra khi dạy học chủ đề này ở phổ thông Tuy nhiên, là một sinh viên sắp ra trường, khi thực hiện dạy học các định lí thuộc chủ đề này em nhận thấy còn gặp nhiều khó khăn đối với cả người dạy và người học, cụ thể như sau:

Đối với học sinh:

+ Không nắm được dấu hiệu đặc trưng của định lí

Ví dụ: Đối với định lí: “Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc

với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.”

Từ định lí ta thấy dấu hiệu đặc trưng của hai mặt phẳng vuông góc là: mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Do không nắm được dấu hiệu đặc trưng của định lí nên học sinh sẽ không nhớ được định lí, đồng thời không biết áp dụng định lí vào giải bài toán cụ thể

+ Không thấy rõ mối liên hệ giữa các định lí

Ví dụ: Sau khi học xong định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của

tam thức bậc hai, học sinh không rút ra được mối liên hệ giữa chúng Ở đây, chúng có mối liên hệ với nhau là: đều áp dụng quy tắc ngoài khoảng nghiệm thì cùng dấu với hệ số a, trong khoảng nghiệm thì trái dấu với hệ số a

+ Không thấy được ý nghĩa của định lí

Ví dụ: Do không thấy được ý nghĩa của định lí dẫn đến học sinh không nhớ

công thức tính tích phân nên khi áp dụng vào bài toán thực tế để tính diện tích của một thửa ruộng hình thang cong thì học sinh đã không làm được

+ Khả năng vận dụng định lí vào hoạt động giải toán và các hoạt động khác còn hạn chế

Ví dụ: Sau khi học xong định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân, giáo

viên cho một bài toán sau:

Cho cấp số nhân ( ) với = 3; q = Tính ?

Mặc dù vừa học xong định lí nhưng một số học sinh vẫn không áp dụng được định lí để giải bài toán này Chứng tỏ khả năng vận dụng định lí vào hoạt động giải toán là rất hạn chế

Lời giải của bài toán này như sau:

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân:

= với n 2 Ta có: = = 3. =

Vậy =

Đối với giáo viên: Khóa luận đề cập đến những khó khăn đối với sinh viên

thực tập, giáo viên ít kinh nghiệm

+ Khó khăn trong việc xây dựng hệ thống câu hỏi nhằm khơi gợi năng lực

tư duy của học sinh

+ Có khi chỉ giới thiệu định lí cho học sinh và yêu cầu học sinh chứng minh định lí đó mà không tạo điều kiện cho học sinh phát hiện định lí

+ Khi chứng minh định lí, chưa gợi động cơ chứng minh, ít hướng dẫn học sinh chứng minh

+ Việc củng cố định lí cho học sinh chưa được giáo viên chú ý

Nguyên nhân:

+ Chủ quan khi tiến hành dạy học chủ đề

Ví dụ: Khi dạy học định lí về ba đường vuông góc, do chủ quan nên giáo

viên không nghiên cứu kĩ định lí dẫn đến việc giáo viên chỉ chứng minh định lí

theo một chiều mà không chứng minh theo chiều ngược lại mặc dù định lí phải được chứng minh cả hai chiều mới đúng

+ Do kiến thức chuyên môn chưa đủ sâu, rộng nên trong khi giải các bài tập thuộc chủ đề “quan hệ vuông góc”, giáo viên chỉ dừng lại ở một cách giải mà chưa khai thác sâu bài toán, đôi khi còn hiểu sai kiến thức

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác

SAB vuông tại A Mặt phẳng (SBD) vuông góc với

mặt phẳng đáy Tìm góc tạo bởi SB và mặt phẳng

đáy?

Do hiểu sai kiến thức, giáo viên đã đưa ra lời

giải đối với bài toán này như sau:

Do giả thiết cho: tam giác SAB vuông tại A

nên AB chính là hình chiếu vuông góc của SB lên

(ABCD), do đó kết luận ngay rằng: Góc giữa SB và

mặt phẳng đáy chính là ̂

Sai lầm của giáo viên đó là: Coi AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD) mặc dù SA không vuông góc với (ABCD)

Câu trả lời đúng phải là: Do (SBD)  (ABCD) nên từ S, ta kẻ đường cao

SH (H BD) Khi đó, SH  (ABCD) ⇒ Góc tạo bởi SB và (ABCD) chính là ̂

+ Nghiệp vụ còn hạn chế, chưa có nhiều kinh nghiệm dạy học

Ví dụ: Do chưa có nhiều kinh nghiệm nên giáo viên phân bố thời gian chưa

hợp lí dẫn đến việc chưa dạy hết kiến thức đã hết thời gian hay kiến thức đã dạy hết mà con thừa nhiều thời gian mà giáo viên không tổ chức được hoạt động củng

cố hay đưa các ví dụ vào, khiến cho giờ học kém hiệu quả

Vì những lí do trên làm cho học sinh không hiểu rõ tầm quan trọng của chương “quan hệ vuông góc”, đồng thời làm cho giáo viên khó khăn trong việc truyền đạt kiến thức và hướng dẫn học sinh giải các bài tập thuộc chủ đề này

Ví dụ: Ta đã được học định lí: “Qua một điểm có duy nhất một đường

thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” Mở rộng hơn, ta xét xem qua một điểm có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước? Câu hỏi này khơi gợi khả năng tư duy của học sinh, mở rộng phạm vi nghiên cứu của định

lí, giúp tăng khả năng tưởng tượng hình học không gian của học sinh, giúp học sinh có thể đưa ra được câu trả lời đúng, đó là: có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

+ Tiến hành giải các bài toán thuộc chủ đề bài dạy, cố gắng khai thác các bài tập đó

Ví dụ: Khi gặp bài toán yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với

nhau, ta có thể khai thác các cách giải sau để giải bài toán đó:

Cách 1: (P)  (Q)  ((P), (Q)) =

Cách 2:

 } ⇒ (P)  (Q) Cách 3: 

} ⇒ (P)  (Q) + Dự kiến những khó khăn học sinh có thể gặp phải khi học các định lí này:

Ví dụ: Khi học định lí ba đường vuông góc, những khó khăn mà học sinh

có thể gặp phải là:

- Không trả lời được những câu hỏi mà giáo viên đưa ra để khơi gợi khả năng tư duy của học sinh

- Không nắm được dấu hiệu đặc trưng của định lí

- Không vẽ được hình minh họa cho định lí

- Không biết cách chứng minh đinh lí, thậm chí không hiểu cách chứng minh định lí

+ Thiết kế và lựa chọn cách thức dạy học phù hợp với nội dung định lí, với đối tượng học sinh

Ví dụ: Khi dạy học bài: “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”, nên sử

dụng máy chiếu vì trong bài gồm rất nhiều hình vẽ Để vẽ hình trên bảng thì sẽ mất nhiều thời gian, lượng kiến thức lại nhiều Do đó, nếu sử dụng máy chiếu, giáo viên sẽ có nhiều thời gian chuẩn bị hơn Hơn nữa, các hình trong không gian

nếu được vẽ bằng máy sẽ dễ nhìn hơn so với vẽ bảng, gây hứng thú cho học sinh hơn, lượng kiến thức được truyền đạt đảm bảo hơn vì có nhiều thời gian hơn so với cách viết bảng

+ Chỉ ra những tình huống thực tiễn có liên hệ với định lí

Ví dụ: Một gia đình muốn bắn mái tôn để chống nóng, biết diện tích trần

nhà là 50 , độ lệch của mái tôn so với trần nhà là Vậy cần bao nhiêu mét tôn để lợp hết mái nhà?

Đây là một tình huống có trong thực tế liên quan trực tiếp đến định lí: “Cho

đa giác H nằm trong (α) có diện tích S và H’ là hình chiếu vuông góc của H trên (β) Khi đó diện tích S’ của H’ được tính theo công thức:

S’ = S.cosφ với φ là góc giữa (α) và (β)”

Dựa vào công thức này, người ta có thể tính

được số mét tôn để lợp hết mái nhà là:

S =

=2

= 71( ) + Cần hệ thống các kiến thức cơ bản thuộc chủ đề “quan hệ vuông góc” Các kiến thức cơ bản bao gồm:

- Các định lí, tính chất, hệ quả và phần chứng minh tương ứng (nếu có) của chủ đề quan hệ vuông góc

- Đưa ra các ví dụ tiêu biểu để học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

- Chuẩn bị hệ thống các câu hỏi hướng dẫn học sinh chứng minh các định lí

và giải các bài toán liên quan

Ví dụ: Tính chất: “Cho hai mặt phẳng song

song Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này

thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia”

Ngoài ra, trong quá trình dạy có thể kết hợp đưa vào các câu toán đố hay các trò chơi liên quan đến chủ đề vừa giúp học sinh khắc sâu kiến thức vừa không gây cảm giác nhàm chán cho học sinh

2.4 Thiết kế các tình huống dạy học cho từng định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11

2.4.1 Dạy học định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí “Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy”

(Định lí này có trình bày phần chứng minh trong sách giáo khoa trang 99)

Tình huống 1:

Giáo viên: Nếu ta dựa vào định nghĩa để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta phải chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng Điều này là rất khó khăn vì trong mặt phẳng có vô số đường thẳng Vậy có cách nào khác để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nữa không? Định lí sau cho chúng ta cách chứng minh khác đó

<?> Yêu cầu học sinh đọc nội dung định lí và xác định rõ phần đã cho, phần cần chứng minh Từ đó, ghi giả thiết, kết luận của định lí bằng kí hiệu?

Học sinh: Đọc định lí “Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy”

+ Phần đã cho: Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng

+ Phần cần chứng minh: Đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau đó

Giả thiết: d  a, d  b, a cắt b, a

Kết luận: d  (P)

Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh:

<?1> Để chứng minh hai đường thẳng bất kì vuông góc với nhau ta

<?2> Trong bài toán này có dữ kiện gì liên quan đến số đo góc và đường thẳng song song không?

Học sinh: Không có dữ kiện nào

liên quan đến số đo góc và đường thẳng

song song

Giáo viên: Do bài toán không đề

cập gì đến số đo góc và đường thẳng song

song nên nếu dùng cách 1) và 2) ở trên để

chứng minh thì sẽ gặp nhiều khó khăn

Vì c là đường thẳng bất kì nằm trong (P) nên d vuông góc với mọi đường thẳng trong (P) ⇒ d  (P)

Giáo viên: Yêu cầu học sinh trình bày chứng minh định lí

Học sinh: Theo giả thiết, ta có: d  a, d  b, a cắt b, a

Để chứng minh: d  (P), ta cần chứng minh d  c với c (P) (theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)

Gọi , ⃗ , ⃗⃗ , lần lượt là các véc tơ chỉ phương của các đường thẳng a, b,

} ⇒ d  (ABC) + Hoạt động ngôn ngữ:

<?3>Yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí theo ý hiểu?

Giáo viên nhấn mạnh ý quan trọng trong định lí: Định lí chỉ đúng với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng và không đúng khi hai đường thẳng đó song song hoặc trùng nhau

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện: Giáo viên đưa ra những câu hỏi sau:

<?1> Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta phải làm thế nào?