Tìm hiểu bài toán tối ưu hàm hạng và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN THÙY LINH TÌM HIỂU BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM HẠNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2K

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THÙY LINH

TÌM HIỂU BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM HẠNG

VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THÙY LINH

TÌM HIỂU BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM HẠNG

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HẢI YẾN

Hà Nội – Năm 2016

Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học

và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của TS Lê Hải Yến

Em xin chân thành cảm ơn cô Lê Hải Yến đã tận tình giúp đỡ em trongquá trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoaToán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa và tổ Toán ứng dụng – TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình emhọc tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thùy Linh

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Bài toán tối ưu hàm hạng vàứng dụng”, là kết quả nghiên cứu của bản thân Tất cả những số liệu vàkết quả nghiên cứu trong khóa luận này là hoàn toàn trung thực và khôngtrùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việcthực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trongkhóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thùy Linh

LỜI MỞ ĐẦU iii

1.1 Hàm hạng của ma trận 1

1.2 Chuẩn của vectơ và chuẩn của ma trận 7

1.2.1 Chuẩn vectơ 7

1.2.2 Chuẩn ma trận 8

1.3 Khái niệm giá trị kì dị 15

1.3.1 Định lí 15

1.3.2 Một số tính chất 18

2 Hàm lồi và bao lồi 27 2.1 Tập lồi 27

2.1.1 Tập lồi 27

2.1.2 Bao lồi 30

2.1.3 Nón lồi 31

2.1.4 Định lý Caratheo’dory 31

2.2 Hàm lồi và bao lồi của một hàm 33

2.2.1 Hàm lồi 33

2.2.2 Bao lồi của một hàm 35

2.3 Đối ngẫu Fenchel 36

2.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel (Hàm liên hợp) 36

2.3.2 Tính chất của hàm liên hợp 37

3 Bài toán tối ưu hàm hạng và ứng dụng 42 3.1 Bài toán tối ưu hàm hạng 42

3.1.1 Bài toán tối ưu của hàm hạng (RMP) 42

3.1.2 Ứng dụng 43

3.2 Bao lồi của hàm hạng 45

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm hạng là một trong số những hàm cơ bản nhất của ma trận vàcác tính chất của nó đã được nghiên cứu và giới thiệu trong hầu hết cáctài liệu về Đại số tuyến tính Bài toán tối ưu hàm hạng đã và đang thuhút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Candès, Tao, Fazel, Bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong việc xử lí dữ liệu, thống kê,điều khiển, kinh tế Tuy vậy, bài toán tối ưu hàm hạng lại được chứngminh là một bài toán NP-khó

Vào năm 2002, Fazel đã chứng minh được rằng bao lồi của hàm hạngtrên một hình cầu ứng với chuẩn phổ chính là chuẩn nguyên tử Nhờ đó,thay vì giải quyết trực tiếp bài toán tối ưu của hàm hạng, người ta cóthể giải quyết bài toán tối ưu lồi với hàm mục tiêu là chuẩn nguyên tử.Với tầm quan trọng trên, đề tài của luận văn được lựa chọn để tìmhiểu và nghiên cứu về: “Bài toán tối ưu hàm hạng và ứng dụng”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn giới thiệu về bài toán tối ưu của hàm hạng và các ứng dụngđồng thời cũng giới thiệu kết quả về bao lồi của hàm hạng

3 Đối tượng nghiên cứu

• Hàm hạng và bài toán tối ưu của hàm hạng

• Hàm lồi và bao lồi

• Bao lồi của hàm hạng

4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lý luận

5 Cấu trúc của khóa luận

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày lại các khái niệm cơ bản củaĐại số tuyến tính

Chương 2: Hàm lồi và bao lồi, trình bày các khái niệm cơ bản củaGiải tích lồi, định lý quan trọng trong chương này là định lý 2.6

Chương 3: Bài toán tối ưu hàm hạng và ứng dụng, giới thiệu bài toántối ưu của hàm hạng và tìm hiểu cách giải cho bài toán dựa vào sự xấp

xỉ bao lồi

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày lại một số khái niệm cơ bản của đại số tuyến tínhnhư hạng của ma trận, chuẩn véc tơ, chuẩn ma trận, ma trận trực giao,khai triển thành giá trị kì dị và một số tính chất phục vụ cho chương 3.Nội dung chương được tham khảo từ tài liệu [2], [3]

Ta kí hiệu Rm×n là tập hợp các ma trận thực cấp m × n Xét A ∈ Rm×n

và A 6= 0

Định nghĩa 1.1 Hạng của ma trận A là số tự nhiên r,

1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0

2 Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đềubằng 0

Ta kí hiệu hạng của ma trận A là rank(A)

Qui ước: hạng của ma trận không là 0

Định nghĩa 1.2 Coi mỗi cột (dòng) của ma trận A là một vectơ ta

được n vectơ (m vectơ) thuộc không gian vectơ Rn(Rm) Ta gọi hạng của

hệ n vectơ (m vectơ) này là hạng của ma trận A Kí hiệu: rank(A).Nhận xét 1.1 Hai định nghĩa trên tương đương với nhau

Các phương pháp tìm hạng của ma trận sẽ được nhắc lại sau đây:Phương pháp 1

Từ định nghĩa [1.1], ta có thể suy ra ngay thuật toán sau để tìm hạngcủa ma trận A cấp m × n (A 6= 0):

Bước 1: Tìm một định thức con cấp k, Dk 6= 0 Số k càng lớn càng tốt.Bước 2: Xem tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức

Dk

1 Không có một định thức cấp k + 1 nào của A Khả năng này xảy

ra khi và chỉ khi k = min{m, n} Khi đó: rankA = k

2 Tất cả các định thức cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đềubằng 0 Khi đó: rankA = k

3 Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thứccon Dk khác 0 Khi đó lặp lại bước 2 với Dk+1 thay cho Dk Tiếp tụcnhư vậy cho đến khi xảy ra trường hợp 1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc

Ta thấy A có định thức con cấp 2

D2 =

−1 2

Xét

det[C − λ.I3] = 0

⇔

... phép biến đổi sơ cấp dòng

Như vậy, muốn tìm hạng ma trận A, ta dùng phép biến đổi

sơ cấp để đưa A dạng bậc thang sử dụng nhận xét để tìmhạng ma trận A

* Thuật tốn đưa ma trận...

=

Do đó: rankA =

Việc tìm hạng ma trận theo phương pháp phải tính tốn kháphức tạp nên thực tế người ta sử dụng

Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp

Nhắc lại... ||A||2.Chứng minh Theo định nghĩa chuẩn 2, ta có:

( lý giải tương tự phần chứng minh Định