PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO và ỨNG DỤNG TRONG bài TOÁN nội SUY hàm NHIỀU BIẾN

Lời cảm ơnTrong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn "Phươngpháp Monte-Carlo và ứng dụng trong bài toán nội suy hàm nhiềubiến" tôi đã nhận được sự giúp đỡ và động viên củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Văn Khải

Hà Nội - 2016

M ỤC LỤC

Trang

1.1 Không gian xác suất 1

1.2 Đại lượng ngẫu nhiên và các số đặc trưng 2

1.3 Vectơ ngẫu nhiên và sự độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên 4 1.4 Sự hội tụ của dãy các đại lượng ngẫu nhiên 4

1.4.1 Kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên 4

1.4.2 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên 5

1.4.3 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên 5

Chương 2 Phương pháp Monte-Carlo 7 2.1 Nội dung phương pháp Monte-Carlo 7

2.1.1 Khái niệm về phương pháp Monte-Carlo 7

2.1.2 Các nội dung của phương pháp Monte-Carlo 10

2.2 Sai số của phương pháp Monte-Carlo 11

2.3 Đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều và sự mô hình hóa các phép thử 19

2.3.1 Các phương pháp tạo ra số ngẫu nhiên 19

2.3.2 Thể hiện đại lượng ngẫu nhiên 26

2.4 Thể hiện các mô hình rời rạc 31

Chương 3 Ứng dụng trong bài toán nội suy hàm nhiều biến 353.1 Nội suy hàm nhiều biến 35

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn "Phươngpháp Monte-Carlo và ứng dụng trong bài toán nội suy hàm nhiềubiến" tôi đã nhận được sự giúp đỡ và động viên của nhiều cá nhân và tậpthể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáokhoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã đem lại cho tôi nhữngkiến thức cơ bản, vô cùng có ích trong những năm học vừa qua

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Nguyễn Văn Khải - ngườithầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trìnhnghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những người đãluôn bên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đềtài nghiên cứu của mình

Mặc dùng đã có nhiều cố gắng song do trình độ và thời gian có giới hạnnên khóa luận không tránh khỏi còn những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mongnhững ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoànthành hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2016Bounchanh NORHER

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp Monte-Carlo ra đời cùng thời với thế hệ máy tính điện tửđầu tiên Kể từ khi xuất hiện vào khoảng những năm 1950, phương phápMonte-Carlo đã được quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết và ứng dụng.Phương pháp Monte-Carlo là hiệu quả cho những bài toán phức tạp cókhối lượng tính toán lớn mà không dễ dàng giải được các phương phápkhác Một trong các ứng dụng của phương pháp Monte-Carlo là giải bàitoán nội suy hàm nhiều biến Về mong muốn tìm hiểu về phương phápMonte-Carlo, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải, tôi nghiên cứu

đề tài “Phương pháp Monte-Carlo và ứng dụng trong bài toán nội suy hàmnhiều biến”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về phương pháp Monte-Carlo và ứng dụng trong bàitoán nội suy hàm nhiều biến

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một số kiến thức cơ sở trong lý thuyết xác suất vàthống kê toán học, về phương pháp Monte-Carlo (nội dung phương pháp,sai số phương pháp và ứng dụng trong bài toán nội suy hàm nhiều biến )

4 Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp Monte-Carlo và các vấn đề liên quan

- Ứng dụng trong bài toán nội suy hàm nhiều biến

5 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó thống lại cácvấn về liên quan

6 Luận văn có cấu trúc 3 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị : Chương này trình bày một số kiếnthức cơ bản trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học

• Chương 2 Cơ sở lý thuyết phương pháp Monte-Carlo : Chương nàytrình bày nội dung phương pháp Monte-Carlo và mô hình hóa cácphép thử

• Chương 3 Ứng dụng trong bài toán nội suy hàm nhiều biến : Chươngnày trình bày ứng dụng của phương pháp Monte-Carlo cho bài toánnội suy hàm nhiều biến

Hà Nội, tháng 10 năm 2016Bounchanh NORHER

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Xét tập Ω 6= ∅ Một σ - đại số các tập con của Ω

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử F là σ - đại số các tập con của Ω Ta gọi

P : F −→ [0, 1] là một độ đo xác suất nếu :

Điều này kéo theo rằng A1, A2 ∈ F : A1 ⊆ A2 thì P(A1) ≤ P(A2)

Định nghĩa 1.1.3 Bộ ba (Ω, F ,P) được gọi là một không gian xác suấtnếu Ω là một tập bất kì khác ∅, F là một σ− đại số các tập con của Ω và

P là một độ đo xác suất trên F

Giả sử A, B ∈ F là 2 biến cố với P(B) > 0, xác suất để biến cố A xảy

ra biết rằng biến cố B xảy ra là :

Ví dụ 1.1.1 Đem gieo một đồng xu liên tiếp 2 lần

Gọi A1 là biến cố : "Lần gieo thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt ngửa",gọi A2 là biến cố : "Lần gieo thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp" Khi

đó A1, A2 là 2 biến cố độc lập

Định nghĩa 1.2.1 Cho (Ω, F ,P) là một không gian xác suất Một ánh

xạ X : Ω −→ R được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu B ∈ B (với B làtập các tập con Borel của R) ta có X−1(B) ∈ F Khi đó ta nói X là

Định nghĩa 1.2.3 Biến ngẫu nhiên X có phân bố đều trên đoạn [a, b]

Định nghĩa 1.2.4 Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số

λ > 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng :

P[X = k] = λ

ke−λk! , k = 0, 1, 2

1.3 Vectơ ngẫu nhiên và sự độc lập của các đại

lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.1 ChoX = (X1, , Xn) là một vectơ ngẫu nhiên nchiềukhi mỗi thành phần Xk(k = 1, 2, , n) là một biến ngẫu nhiên xác địnhtrên (Ω, F ,P)

(x1, x2, , xn) ∈Rn được gọi là hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên X =(X1, , Xn) hay phân phối đồng thời của n biến ngẫu nhiênX1, X2, , Xn

1.4.1 Kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là khả tích nếu:

1.4.2 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.2 Cho Xi : Ω −→ R là một dãy các biến ngẫu nhiên(i = 1, 2 ) Các biến ngẫu nhiên X1, X2 được gọi là độc lập với nhaunếu với mọi số nguyên k ≥ 2 và mọi tập Borel B1, B2, , Bk ∈ B ta có :

1.4.3 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên (Xn) cùng xác địnhtrên một không gian xác suất (Ω, F ,P)

Định nghĩa 1.4.3 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ hầu chắcchắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X nếu :

P

n

ω ∈ Ω : lim

n→∞|Xn(ω) − X (ω)| = 0o = 1

Ví dụ 1.4.1 Cho không gian xác suất Lebegue trên [0, 1] với Ω = [0, 1],

F = B[0, 1] Xét dãy biến ngẫu nhiên :

Định nghĩa 1.4.4 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ theotrung bình bình phương đến biến ngẫu nhiên X nếu :

limn→∞E(|Xn − X|)2 = 0

P(|Mn− 1| > ε) = P(Mn > 1 + ε) +P(Mn < 1 − ε)

= P(Mn < 1 − ε) =P(max (X1, , Xn) < 1 − ε)

= [P(X1) < 1 − ε]n = [FX (1 − ε)]n

= (1 − ε)n → 0 khi n → +∞

Chương 2

Phương pháp Monte-Carlo

2.1.1 Khái niệm về phương pháp Monte-Carlo

Tinh thần cơ bản của phương pháp Monte-Carlo là đặt một mối quan

hệ giữa bài toán bằng số với lược đồ xác suất nào đó Nghĩa là cần chỉ ralời giải bằng số y của kì vọng E{ξ} của một đại lượng ngẫu nhiên ξ nào

đó (hoặc xác suất P(A) của biến ngẫu nhiên A nào đó)

Từ đó để tính giá trị của y về mặt thực hành ta lấy N giá trị củađại lượng ngẫu nhiên ξ : ξ(1), , ξ(N ) (N đủ lớn ), sau đó dùng giá trịtrung bình ξN = 1

N

N

P

j=1

ξ(j) của chúng thay cho kỳ vọng E{ξ} = y Nếu

y = P(A) thì làm N phép thử độc lập để lấy tần xuất m

N thay cho xác

suất P(A) = y của biến cố ngẫu nhiên A, trong đó m là số lần xuất hiệnbiến cố A trong N phép thử Quan điểm cơ bản nói trên phương phápMonte-Carlo có thể minh họa một cách cụ thể hơn bằng các ví dụ sau đây:

Ví dụ 2.1.1 tính diện tích

Một mảnh đất S ( có hình thù phức tạp ) nằm trên một khu đất hìnhchữ nhật R với diện tích đã cho là mesR

Để tính diện tích mesS của mảnh đất S, người ta tung ngẫu nhiên n

lần cùng một hòn sỏi trên khu đất R Trong n lần tung có m lần hòn sỏirơi vào mảnh đất S

Nếu gọi A là biến cố để hòn sỏi rơi vào mảnh đất S trong một lần tung

ngẫu nhiên thì với n đủ lớn ta có thể xấp xỉ các xác suất P(A) của biến

Ví dụ 2.1.2 Bài toán Buffon

Trên mặt phẳng của một chiếc bàn ta kẻ các đường thẳng song song vàcách đều nhau một khoảng là một đơn vị dài Trên mặt phẳng đó ta tungngẫu nhiên một cái kim AB có độ dài là l (l < 1)

Tính xác suất P(Ω) của biến cố Ω để chiếc kim AB cắt một trong cácđường thẳng kẻ trên mặt bàn

Giải : Để biểu diễn biến cố Ω ta gọi :

η - là khoảng cách từ trung điểm O của chiếc kim AB (đã rơi trên mặtbàn sau khi tung ngẫu nhiên ) đến đường thẳng gần nhất trong các đường

khả năng, nghĩa là ϕ có phân phối đều trên đoạn [0,π



0 khi x /∈



0,12



Từ tính độc lập của η, ϕ và từ các hàm một độ trên ta suy ra hàm mật

độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (η, ϕ) có dạng :

là diện tích hình chữ nhật đáy là đoạn [0,π

2], chiều cao là đoạn [0,

1

2] Nếu

xảy ra biến cố Ω thì điểm ngẫu nhiên (ϕ, η) rơi vào trong diện tích S0 và

ngược lại Do đó :

P(Ω) = S0

S =

π 2

´

− π 2

1

2cos ϕ dϕ1

2π

= 1π

π 2

ˆ

− π 2

của bài toán tất định xác định được từ lời giải x của bài toán xác suất bởimột quan hệ hàm y = f (x) nào đó

• Nội dung thứ hai

Sau khi thiết lập bài toán xác suất tương ứng cho bài toán tất định, tacần giải đúng bài toán xác suất tương ứng trong mô hình thông qua cácphép thử ngẫu nhiên Đây là quá trình thể hiện mô hình xác suất tươngứng Từ kết quả các phép thử có thể thiết lập đại lượng ngẫu nhiênX ∈ Rm

xấp xỉ với lời giải x ∈ Rm của mô hình xác suất Nếu lời giải y ∈ Rn củabài toán tất định được xác định từ xbởi quan hệ hàm y = f (x) với hàmf

liên tục thì ta có thể xấp xỉ nó bởi đại lượng ngẫu nhiên Y = f (X) ∈Rn,nghĩa là :

X ≈ x ∈ Rm; Y = f (X) ≈ f (x) = y ∈ Rn

trong đó Y, X được gọi là ước lượng Monte-Carlo đối với lời giải y, x củalần lượt các bài toán tất định và bài toán xác suất tương ứng.

• Nội dung thứ ba

Ứng dụng của phương pháp Monte-Carlo vào việc giải bằng số các bàitoán xác suất với các hiện tượng ngẫu nhiên không quan sát được như một

số bài toán quan trọng của lý thuyết thông tin, vật lý hật nhân

Như vậy, sử dụng phương pháp Monte-Carlo để giải bài toán nào

đó ta cần : Bước 1: Xây dựng mô hình xác suất của quá trình thực tiễncần nghiên cứu

Bước 2: Mô hình hóa đại lượng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước.Bước 3: Giải bài toán theo lý thuyết ước lượng thống kê

Giả sử vectơ ngẫu nhiên ξ là xấp xỉ đối với lời giải hữu hạn y ∈ Rn củamột bài toán nào đó :

#12

(2.2)

Định nghĩa 2.2.2 Xấp xỉ ξ = ξN = (ξ1N, , ξnN) đối với y ∈ Rn gọi làước lượng tiệm cận không chệch hay ước lượng hội tụ theo trung bình nếu :

Định nghĩa 2.2.3 Xấp xỉ ξ = ξN = (ξ1N, , ξnN) đối với y ∈ Rn gọi

là ước lượng hội tụ theo trung bình bình phương hay ước lượng trung bìnhbình phương, nếu :

)#12

(2.6)

và gọi là sai số trung bình bình phương của ξN ≈ y

Định nghĩa 2.2.4 Xấp xỉ ξ = ξN đối với y ∈ Rn được gọi là ước lượngvững, hay ước lượng hội tụ theo xác suất về y và kí hiệu :

Sai số của ước lượng vững ξN được hiểu là độ lệch k∆ (ξN)k của ξN.

Định nghĩa 2.2.5 Xấp xỉ ξ = ξN đối với y ∈ Rn gọi là ước lượng hội tụhầu chắc chắn, hay ước lượng hội với xác suất 1, nếu :

của ξN Theo nghĩa này, ta có thể sử dựng công thức (2.9) để đánh giá sai

là một ước lượng thử lặp lại hay ước lượng thử thống kê đối với y ∈ Rn

Bổ đề 2.2.1 Nếu ξN là ước lượng thử thống kê thì nó cũng là một ướclượng không chệch Nếu y ∈ R1, D(ξ) < +∞ thì ξN cũng là một ước lượngvững

Từ bổ đề trên ta nhận thấy rằng sai số của ξN được xác định bởi độlệch của nó, nghĩa là bởi đại lượng :

Không làm mất tính tổng quát ta có thể xét các ước lượng thử thống

kê trong trường hợp n = 1 Khi đó công thức (2.12) có dạng :

∆ ξN
=

... mơ

hình hóa phép thử

2.3.1 Các phương pháp tạo số ngẫu nhiên

Trong thực hành, áp dụng phương pháp Monte- Carlo cần phải mơhình hóa phép thử q trình tính tốn Để làm... Eξ(j) = E{ξ} phương sai Dξ(j) = D {ξ} < +∞ nêntheo định lý giới hạn trung tâm ta suy :

Trong F (x) hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên... áp E từ dụng

cụ vô tuyến điện tử Các thiết bị phát chữ số ngẫu nhiên kể trênđược gắn với máy tính chuyên dụng; chữ số ngẫu nhiên đượctạo q trình vận hành máy tính Đây phương pháp thứnhất