PHÁT TRIỂN văn hóa TOÁN học CHO học SINH THÔNG QUA dạy học PHÁT HIỆN và GIẢI QUYẾT vấn đề

đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề, thông qua đó lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác.PPDH PH và GQVĐ mang tính phổ biến, bởi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Vương Dương Minh

2 TS Lê Ngọc Sơn

HÀ NỘI - 2016

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vương Dương Minh, thầy đã hết lòng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng sau đại học, cùng các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Phương pháp giảng dạy Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và làm luận án.

Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Toán, các em học sinh trường THPT Đông Du và THPT Phú Xuân, Buôn Ma Thuột, ĐăkLăk đã nhiệt tình giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong suốt thời gian thực nghiệm sư phạm.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới ba mẹ, tới những người thân, bạn bè đồng nghiệp cũng như các anh chị trong nhóm Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán K33 đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.

Hà Nội, tháng 8 năm 2016

Tác giả

Đỗ Thị Lan Anh

MỤC LỤC

2.1 Nội dung Hình học không gian lớp 11 ở trường THPT 44

sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc” để hoàn thành mục tiêu đó, luật giáo dục chương II, mục 2, điều 28, quy định: “ PPDH phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của HS bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”

Với định hướng đó, PPDH theo định hướng đổi mới phải đảm bảo phát huy tính năng động, sáng tạo và tích cực của HS, biến quá trình giáo dục, rèn luyện thành tự giáo dục, tự rèn luyện”

Hiện nay, DH ở nhà trường nói chung và DH Toán nói riêng đã có nhiều đổi mới, tuy nhiên, vẫn còn hiện tượng học tập máy móc, rập khuôn, nhồi nhét, sự giao lưu giữa thầy và trò, giữa trò và trò chưa được như mong muốn Trong nhà trường hiện nay chưa chú trọng nhiều đến văn hóa toán học, hay nói cách khác là văn hóa toán học mới chỉ được phát triển một cách tự nhiên Vì vậy, văn hóa toán học cần được phát triển một cách chủ động

Vấn đề đặt ra là, làm thế nào xây dựng văn hóa toán học một cách chủ động Để giải quyết vấn đề này, có thể sử dụng PPDH PH và GQVĐ, một cách thường xuyên, như một phương tiện để hình thành văn hóa toán học cho HS

Phương pháp “dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề” là PPDH mà người GV tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn

đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề, thông qua đó lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác.

PPDH PH và GQVĐ mang tính phổ biến, bởi lẽ, có thể sử dụng trong mọi khâu của quá trình dạy học, mọi loại bài học Không những thế PPDH

PH và GQVĐ còn mang giá trị giáo dục, không chỉ là phương tiện để hình thành kiến thức, kĩ năng mà còn phát triển năng lực PH và GQVĐ cho HS, trong đó có yếu tố văn hóa toán học

Với các lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển văn

hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề”.

3 Để đạt được mục tiêu, phải giải đáp được các câu hỏi khoa học sau:

Câu hỏi 1: Văn hóa toán học là gì?

Câu hỏi 2: Thực trạng về trình độ văn hóa toán học của học sinh ở

trường THPT? Vì sao văn hóa toán học cần được phát triển trong trường THPT?

Câu hỏi 3: Dạy học PH và GQVĐ được vận dụng như thế nào nhằm phát

triển văn hóa toán học?

Câu hỏi 4: Áp dụng những kết quả của câu hỏi 3 vào thực tiễn dạy học sẽ

mang lại những kết quả gì về yêu cầu phát triển văn hóa toán học và những yêu cầu dạy học khác

4 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và các tài liệu về Tâm lý học, Giáo dục học, về văn hóa toán học để làm rõ các quan điểm về văn hóa nói chung

và văn hóa toán học nói riêng.

Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và PPDH môn Toán làm điểm tựa để

đề xuất các phương pháp phát triển văn hóa toán học cho HS; để làm sáng tỏ vai trò của PPDH PH và GQVĐ đối với sự hình thành và phát triển văn hóa toán học cho HS; để có cách thức vận dụng PPDH PH và GQVĐ vào phát triển văn hóa toán học cho HS

b) Phương pháp điều tra, quan sát:

Phỏng vấn, thu thập các ý kiến của các chuyên gia, GV đang trực tiếp nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường về các vấn đề: văn hóa toán học là gì?; vai trò của PPDH trong việc phát triển văn hóa toán học cho HS; cách lựa chọn và sử dụng PPDH nhằm phát triển văn hóa toán học cho HS…

Tổ chức điều tra thông qua phiếu hỏi, quan sát giờ dạy, tổng kết kinh nghiệm thực tiễn về sự hình thành và phát triển văn hoá toán học cho HS; về việc thông qua dạy học PH và GQVĐ phát triển văn hoá toán học cho HS

Phỏng vấn, thu thập các ý kiến của các chuyên gia, GV đang trực tiếp nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường; và những nhận thức

về dạy học PH và GQVĐ của GV; kĩ năng vận dụng PPDH này vào nội dung

cụ thể để thông qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS Việc tổ chức điều tra thực hiện trên phiếu hỏi bao gồm những yêu cầu sau:

+ Mục đích: Khảo sát mức độ hiểu về văn hóa toán học của chuyên gia,

GV đang trực tiếp nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường; và những nhận thức về dạy học PH và GQVĐ của GV; kĩ năng vận dụng PPDH này vào nội dung cụ thể để thông qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS

+ Nhiệm vụ: Thiết kế phiếu hỏi, xây dựng nội dung phỏng vấn; Tổ chức

thu thập, xử lí, phân tích số liệu; Rút ra kết luận

+ Đối tượng và phạm vi khảo sát, điều tra: Các chuyên gia, GV đang

trực tiếp nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường trong tỉnh Đăk Lăk

+ Nội dung khảo sát, điều tra: Khó khăn và thuận lợi trong công tác

phát triển văn hóa toán học cho HS của GV; Nhu cầu cần bồi dưỡng: Kiến thức về văn hóa toán học; Những nhận thức về dạy học PH và GQVĐ của GV; Kĩ năng vận dụng dạy học PH và GQVĐ vào nội dung cụ thể để thông qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS; Những đề nghị khác của GV và cán bộ quản lí ở các cấp có liên quan

+ Lập và thực hiện kế hoạch điều tra, quan sát: Xây dựng kế hoạch

khảo sát; Thiết kế phiếu hỏi, xây dựng nội dung phỏng vấn; Khảo sát thử; Xử

lý kết quả khảo sát thử và hoàn chỉnh phiếu hỏi; Khảo sát diện rộng ; Xử lí và phân tích số liệu khảo sát

c) Thực nghiệm sư phạm và thống kê trong khoa học giáo dục:

Tiến hành thực nghiệm một số biện pháp đã đề xuất, nhằm minh họa bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp Thực nghiệm sư phạm tại một số lớp tại trường THPT nhằm kiểm định giả thuyết khoa học, kiểm định tính khả thi và hiệu quả của đề tài

5 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong trong quá trình dạy học môn toán ở trường THPT nhằm phát triển văn hóa toán học một cách chủ động thì văn hóa toán học sẽ được phát triển ở mỗi HS góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở trường phổ thông, hình thành nên những con người vừa có đức vừa có tài cho xã hội

6 Những đóng góp của đề tài

- Luận án giúp cho GV có những căn cứ và nguyên tắc để phát triển văn hóa toán học cho HS thông qua PPDH PH và GQVĐ

- Luận án là tài liệu tham khảo cho GV, sinh viên sư phạm toán;

- Sản phẩm là các biện pháp phát triển văn hóa toán học cho HS thông qua PPDH PH và GQVĐ

7 Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

Chương 1: Văn hóa toán học

Chương 2: Thực trạng về trình độ văn hóa toán học của học sinh khi dạy học hình học không gian lớp 11 ở trường THPT hiện nay

Chương 3: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề với việc phát triển văn hóa toán học cho học sinh khi dạy học hình học không gian lớp 11 ở trường THPT hiện nay

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 VĂN HÓA TOÁN HỌC 1.1 Khái niệm văn hóa.

Về khái niệm “văn hóa”, có nhiều ý kiến khác nhau Từ năm 1952, A.L Kroeber và Kluckhohn xuất bản quyển sách Culture, a critical review of concept and definitions (Văn hóa, điểm lại bằng cái nhìn phê phán các khái niệm và định nghĩa), trong đó, tác giả đã trích lục khoảng 160 định nghĩa về văn hóa do các nhà khoa học ở nhiều nước khác nhau đưa ra Điều này cho thấy, khái niệm “Văn hóa” rất phức tạp

Năm 1871, E.B Tylor đưa ra định nghĩa “Văn hóa hay văn minh, theo nghĩa rộng về tộc người học, nói chung gồm có tri thức, tín ngưỡng, nghệ thuật, đạo đức, luật pháp, tập quán và một số năng lực và thói quen khác được con người chiếm lĩnh với tư cách một thành viên của xã hội” Theo định nghĩa này thì văn hóa và văn minh là một; nó bao gồm tất cả những lĩnh vực liên quan đến đời sống con người, từ tri thức, tín ngưỡng đến nghệ thuật, đạo đức, pháp luật… Có người ví, định nghĩa này mang tính “bách khoa toàn thư” vì

đã liệt kê hết mọi lĩnh vực sáng tạo của con người

F Boas định nghĩa “Văn hóa là tổng thể các phản ứng tinh thần, thể chất và những hoạt động định hình nên hành vi của cá nhân cấu thành nên một nhóm người vừa có tính tập thể vừa có tính cá nhân trong mối quan hệ với môi trường tự nhiên của họ, với những nhóm người khác, với những thành viên trong nhóm và của chính các thành viên này với nhau” Theo định nghĩa này, mối quan hệ giữa cá nhân, tập thể và môi trường là quan trọng trong việc hình thành văn hóa của con người Một định nghĩa khác về văn hóa

mà A.L Kroeber và Kluckhohn đưa ra là “Văn hóa là những mô hình hành động minh thị và ám thị được truyền đạt dựa trên những biểu trưng, là những yếu tố đặc trưng của từng nhóm người… Hệ thống văn hóa vừa là kết quả hành vi vừa trở thành nguyên nhân tạo điều kiện cho hành vi tiếp theo”…

Ở Việt Nam, văn hóa cũng được định nghĩa rất khác nhau Hồ Chí Minh cho rằng “Vì lẽ sinh tồn cũng như mục đích của cuộc sống, loài người mới sáng tạo và phát minh ra ngôn ngữ, chữ viết, đạo đức, pháp luật, khoa học, tôn giáo, văn học, nghệ thuật, những công cụ cho sinh hoạt hằng ngày về mặt ăn, ở và các phương thức sử dụng Toàn bộ những sáng tạo và phát minh

đó tức là văn hóa”[5] Với cách hiểu này, văn hóa sẽ bao gồm toàn bộ những

gì do con người sáng tạo và phát minh ra Cũng giống như định nghĩa của Tylor, văn hóa theo cách nói của Hồ Chí Minh sẽ là một “bách khoa toàn thư”

về những lĩnh vực liên quan đến đời sống con người

Trần Ngọc Thêm cho rằng: Văn hóa là một hệ thống hữu cơ các giá trị vật chất và tinh thần do con người sáng tạo và tích lũy qua quá trình hoạt động thực tiễn, trong sự tương tác giữa con người với môi trường tự nhiên và

xã hội của mình”

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Văn hóa là tổng thể nói chung những giá trị vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá trình lịch sử; là những hoạt động của con người nhằm thỏa mãn nhu cầu đời sống tinh thần; là tri thức, kiến thức khoa học; trình độ cao trong sinh hoạt xã hội, biểu hiện của sự văn minh; nền văn hóa của một thời kì lịch sử cổ xưa, được xác định trên cơ sở một tổng thể những di vật tìm thấy được có những đặc điểm giống nhau”.

Trong những năm gần đây, một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam và kể cả

ở nước ngoài khi đề cập đến văn hóa, họ thường vận dụng định nghĩa văn hóa

do UNESCO đưa ra vào năm 1994 Theo UNESCO, văn hóa được hiểu theo hai nghĩa: nghĩa rộng và nghĩa hẹp Theo nghĩa rộng thì “Văn hóa là một phức hệ- tổng hợp các đặc trưng diện mạo về tinh thần, vật chất, tri thức và tình cảm… khắc họa nên bản sắc của một cộng đồng gia đình, xóm làng, vùng, miền, quốc gia, xã hội… Văn hóa không chỉ bao gồm nghệ thuật, văn chương

mà còn cả lối sống, những quyền cơ bản của con người, những hệ thống giá trị, những truyền thống, tín ngưỡng…”; còn hiểu theo nghĩa hẹp thì “Văn hóa

là tổng thể những hệ thống biểu trưng (ký hiệu) chi phối cách ứng xử và giao tiếp trong cộng đồng, khiến cộng đồng đó có đặc thù riêng”…

Nhìn chung, các định nghĩa về văn hóa hiện nay rất đa dạng Mỗi định nghĩa đề cập đến những dạng thức hoặc những lĩnh vực khác nhau trong văn hóa Như định nghĩa của Tylor và của Hồ Chí Minh thì xem văn hóa là tập hợp những thành tựu mà con người đạt được trong quá trình tồn tại và phát triển, từ tri thức, tôn giáo, đạo đức, ngôn ngữ,… đến âm nhạc, pháp luật… Còn các định nghĩa của F Boas, tổ chức UNESCO… thì xem tất cả những lĩnh vực đạt được của con người trong cuộc sống là văn hóa Chúng tôi dựa trên các định nghĩa đã nêu để xác định một khái niệm văn hóa cho riêng mình Văn hóa là sản phẩm của con người được sinh ra trên cái nền tự nhiên bao gồm những giá trị vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá trình lịch sử; là hệ quả của sự tiến hóa nhân loại

Giá trị vật chất do con người sáng tạo ra nhằm đáp ứng nhu cầu vật chất ăn, mặc, ở, đi lại, công cụ sản xuất, phương tiện sản xuất … nói lên trình

độ phát triển của con người trong lĩnh vực sản xuất vật chất, thể hiện trình độ chiếm lĩnh và khai thác những vật thể trong tự nhiên, ví dụ: xe, nhà, quần áo, bàn ghế,…

Giá trị tinh thần bao gồm toàn bộ những sản phẩm do hoạt động tinh thần của con người tạo ra, ví dụ: phẩm chất, đạo đức, ngôn ngữ, phong tục, lễ hội, nghệ thuật, tín ngưỡng, văn chương, …

Với cách hiểu này cùng với những định nghĩa đã nêu thì văn hóa chính

là nấc thang đưa con người vượt lên trên những loài động vật khác; và văn hóa là sản phẩm do con người tạo ra trong quá trình lao động nhằm mục đích sinh tồn Văn hóa chỉ được bộc lộ khi con người tương tác với cộng đồng xã hội, với thế giới tự nhiên Nhờ có văn hóa mà con người trở nên độc đáo trong thế giới sinh vật và khác biệt so với những con vật khác trong thế giới động vật, và do được chi phối bởi môi trường xung quanh và tính cách tộc người nên văn hóa ở mỗi tộc người sẽ có những đặc trưng riêng

1.2 Khái niệm văn hóa toán học

Văn hóa toán học, trước hết là văn hóa, và là cái được tạo nên từ việc học tập và nghiên cứu toán học Trong thực tế, có nhiều người ít dùng trực tiếp kiến thức toán học vào thực tiễn, nhưng không ai phủ nhận rằng, những người học toán tốt thường có tư duy tốt, những phẩm chất của tư duy được hấp thụ qua việc học toán, làm toán và bền vững đến mức dù có quên các kiến thức toán học thì các phẩm chất đó vẫn còn được gọi là văn hóa toán học

Theo Trần Kiều, ông nêu lên định nghĩa về văn hoá thuật toán (vốn

đã có) để từ đó tìm cách biểu đạt khái niệm văn hoá toán học Văn hoá thuật toán (văn hoá angorit) là tập hợp những ý niệm, kỹ năng, thói quen cần thiết

về thuật toán cần phải hình thành và phát triển trong mỗi con người để sống

và làm việc trong một xã hội hiện đại Căn cứ vào những thuộc tính bản chất của các khái niệm văn hoá toán học, đồng thời sử dụng cách diễn đạt nói

trên, có thể tạm đưa ra một định nghĩa như sau: “Văn hoá toán học là tập hợp những tri thức, kỹ năng toán học, những thói quen suy nghĩ mang đặc trưng toán học để thích ứng một cách văn hoá với các tình huống (khi cấn thiết) trong cuộc sống”.

Theo Bùi Văn Nghị: “Văn hóa toán học bao gồm tổng thể những tri thức giá trị, tri thức phương pháp của toán học và những giá trị tinh thần ẩn chứa trong những tri thức đó”.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “ Văn hoá toán học bao gồm tất cả những phẩm chất và năng lực đã hình thành bền vững qua việc học tập và nghiên cứu toán học, độ bền vững đạt đến mức dù cho có quên hết kiến thức toán học thì những phẩm chất và năng lực ấy vẫn còn” (2009)

Các tác giả trên đã nghiên cứu về văn hóa toán học, đưa ra những định nghĩa khác nhau về văn hóa toán học, nhưng chúng đều có một đặc điểm chung đó là “tư duy và phẩm chất” của con người Chúng tôi đặc biệt chú ý

và lấy định nghĩa về văn hóa toán học của Nguyễn Cảnh Toàn làm cơ sở lí thuyết cho luận án

Sản phẩm của quá trình học tập và nghiên cứu toán học bao gồm kiến thức, năng lực tư duy và phẩm chất Qua thời gian nếu không có điều kiện thường xuyên tiếp xúc với các kiến thức toán học thì người ta dễ quên đi nhiều điều, song điều quý giá nhất mà toán học dành cho mọi người đó chính

là năng lực tư duy và phẩm chất đã hình thành bền vững qua việc học tập và nghiên cứu, độ bền vững đạt đến mức dù cho có quên hết kiến thức toán học thì những phẩm chất và năng lực tư duy ấy vẫn còn, được gọi là văn hóa toán học Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của vốn văn hóa chung, liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người nâng cao chất lượng cuộc sống Có thể hình thành văn hóa toán học từ nhiều con đường, dưới nhiều hình thức, nhưng đều có nguyên tắc chung là “theo suốt cuộc đời” của mỗi con người

1.3 Thành phần cơ bản của văn hóa toán học.

Thành phần cơ bản của “văn hóa toán học” chính là “năng lực tư duy” và

“phẩm chất” của con người nói chung, của người làm toán và học toán nói riêng Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của vốn văn hóa chung, liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người nâng cao chất lượng cuộc sống

1.3.1 Tư duy

1.3.1.1 Khái niệm tư duy

Trong tác phẩm “Rèn luyện tư duy trong DH toán” , PGS.TS Trần

Thúc Trình có định nghĩa: “TD là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”

Như thế ta có thể coi TD là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan

TD có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có

vấn đề Dù cho TD có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung của

TD cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính

Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của TD Ngôn ngữ được xem là phương tiện của TD

Sản phẩm của TD là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu, , ký hiệu, công thức, mô hình

TD mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng

Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức

Ví dụ 1: Bài toán “Cho các số a, b, c thỏa mãn a2011(a b c+ + <) 0 Chứng minh b2 −4ac>0” Trong tư duy, HS liên tưởng đến sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai nhưng lại gặp chướng ngại: chưa có tam thức bậc hai trong bài toán Từ đó kích thích học sinh tư duy biến đổi:

a (a b c+ + < ⇔) 0 a a b c( + + <) 0,do a >0

1.3.1.2 Đặc điểm của tư duy

Thứ nhất là tính “có vấn đề”: Muốn kích thích được TD cần có hai điều kiện:

Trước hết là phải gặp tình huống có vấn đề, tức hoàn cảnh chứa đựng mục đích mới, vấn đề mới, cách thức mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả năng giải quyết Sau nữa vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân

Thứ hai là tính gián tiếp: TD phát hiện được bản chất nhờ các phương tiện, công cụ, kết quả nhận thức, kinh nghiệm của chủ thể; được biểu hiện thông qua ngôn ngữ

Ngoài ra còn một số đặc điểm khác như tính trừu tượng, khái quát; tính liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ; tính chất quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính; …

Từ những đặc điểm trên ta có một số kết luận sư phạm sau:

- Muốn thúc đẩy HS TD thì phải đặt họ vào tình huống “có vấn đề”

- Phát triển TD phải song song với truyền thụ tri thức

- Phát triển TD phải gắn với trau dồi ngôn ngữ

- Phát triển TD phải gắn liền với rèn luyện cảm giác, tri giác, tính nhạy cảm, năng lực quan sát và trí nhớ

1.3.1.3 Quá trình tư duy

Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy thường gồm các bước sau:

- Xác định và biểu đạt vấn đề

- Huy động các tri thức, kinh nghiệm

- Sàng lọc các liên tưởng, hình thành giả thuyết

- Kiểm tra các giả thuyết

- Giải quyết nhiệm vụK.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng, hình thành giả thuyết

Khẳng định Phủ định

Hành động TD mới Chính xác hoá

Giải quyết vấn đề

Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp,

so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá

Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ở khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn liền với sự trình bày của những quy luật tương ứng

1.3.1.4 Các loại hình tư duy

Các nhà nghiên cứu đã đặt cho tư duy rất nhiều loại hình tư duy như tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lí luận, …Sự phân chia

ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh Theo tâm lí học, người ta phân chia thành ba loại hình tư duy :

i, Tư duy trực quan (còn gọi là tư duy cụ thể): Trong đó có thể phân

chia thành tư duy trực quan hành động (tư duy bằng các thao tác chân tay đối với vật thật, hướng vào giải quyết một số tình huống cụ thể) và tư duy trực quan hình ảnh (tư duy hướng vào việc GQVĐ dựa trên các hình ảnh của sự vật, hiện tượng)

ii, Tư duy trừu tượng (còn gọi là tư duy ngôn ngữ - lôgic): là tư duy

mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic gắn

bó chặc chẽ với ngôn ngữ Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy, nó cũng được coi là cái vỏ của tư duy Các sản phẩm của tư duy như khái niệm, phấn đoán, suy luận tương ứng được biểu đạt bằng những từ, người, câu, … Ngày nay, người ta biết đến nhiều loại hình ngôn ngữ hình thể, sơ đồ - biểu

đồ, … Những loại hình ngôn ngữ này góp phần làm phong phú hơn phương tiện biểu đạt của tư duy Tư duy và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết định lẫn nhau: Tư duy chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ; Tư tưởng của con người tồn tại vì có từ, có tiếng nói Theo C Mác, ngôn ngữ là hiện thực trực tiếp của ý thức, là vật chất tự nhiên của tư duy Tư duy thuộc phạm trù nội dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức

Ngôn ngữ Toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:

- Ngôn ngữ toán học chủ yếu là kí hiệu, chữ số, dấu thể hiện phép tính hay quan hệ, gọn gàng hơn ngôn ngữ tự nhiên (Do một dấu, một chữ số, chữ cái, dấu phép tính, … có thể biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến một mẫu câu hay một cụm từ mới biểu thị hết được)

- Mỗi kí hiệu toán học hay mỗi kết hợp kí hiệu đều có một ý nghĩa duy nhất, làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác hơn ngôn ngữ tự nhiên

- Ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ “biến”, “công thức” làm cho nó rất thích hợp để khái quát, diễn đạt các quy luật chung

Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức, … Tư duy con người sử dụng khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hóa Nhờ trừu tượng hóa mà tư duy đã chỉ ra được những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật, hiên tượng, nêu ra được những khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản ánh các mối liên hệ, quan hệ nội tại của các sự vật, hiện tượng đó Trên cơ sở những nhận thức ban đầu, bộ óc xuất hiện những phán đoán, suy luận

iii, Tư duy trực giác: là tư duy đặc trưng bởi trực tiếp nắm bắt được

chân lí một cách bất ngờ, đột nhiên, chớp nhoáng, không dựa vào hoạt động lôgic của ý thức, gắn với tưởng tượng Sản phẩm của tư duy trực giác mang tính chất dự báo, cần kiểm tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm và lôgic, nó thường dẫn đến những nhận thức mới mẻ, sáng tạo

1.3.1.5 Các hình thức tư duy

i, Khái niệm

Khái niệm là một hình thức TD phản ánh một lớp đối tượng và do đó

nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng

đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.

ii, Phán đoán

Phán đoán là hình thức TD, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi

Trong TD, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm

iii, Suy luận

Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra các kết luận hợp lí từ các thông tin được cho sẵn Suy luận làm nền tảng cho sự thăm dò và khám phá các ý tưởng mới, đồng thời đóng vai trò trung tâm trong chứng minh

Polya (1887-1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng có nhiều đóng góp cho giáo dục Polya đặc biệt quan tâm đến con đường để mỗi HS có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà HS đó đưa ra Khi HS hình thành được con đường này, các em sẽ cảm thấy thích thú với toán

học, hiểu lí do tại sao các ý tưởng được vận hành, phát triển một chuỗi kiến thức được kết nối và đầy sức mạnh.

Polya (1954) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn dịchvà suy luận có lí Suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối cải được, và dứt khoát Còn suy luận có lí là suy luận không chắc chắn và có thể gây tranh cải

- Suy luận diễn dịch không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí

- Suy luận diễn dịch có những tiêu chuẩn chặc chẽ và nhất quán, được ghi lại thành quy tắc và được giải thích bằng lôgic Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động

Mặc dù khác nhau như vậy, nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề cập đến hai loại suy luận có lí là suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy

i, Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch là suy luận có hai thuộc tính cơ bản: thứ nhất, xuất phát từ những tiền đề khái quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu Tùy thuộc tính chất của phán đoán tiền đề để phân loại suy diễn nhất quyết, hay có điều kiện hoặc lựa chọn Có thể hiểu:

Suy luận diễn dịch là suy luận theo một quy tắc thỏa mãn điều kiện:

Nếu tiền đề đúng thì kết luận đúng Kí hiệu: A

Ví dụ: Số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 3.

đúng với mọi x X∈ và P(a) đúng thì Q(a) cũng là một mệnh đề đúng

Ví dụ: Mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc với nhau

Tứ giác ABCD là hình thoi Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

Suy diễn trực tiếp là loại suy diễn xuất phát từ một tiên đề, rút ra kết luận từ tiên đề đó, chẳng hạn: “Mọi hình thang đều có hai đáy nằm trên hai đường thẳng song song, vậy không có hình thang nào mà không có hai đáy song song”, hoặc “Một số hình bình hành là hình thang cân, vậy một số hình thang cân là hình bình hành”, …

Suy diễn gián tiếp thường rút ra kết luận không dựa vào trực tiếp từ tiền

đề, chẳng hạn qua phủ định của nó Trong toán học, chúng ta thường gặp chứng minh phản chứng

ii,Suy luận có lí

- Suy luận quy nạp

Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều

có chung bản chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một số trường hợp cụ thể (Polya)

Ví dụ: Khi quan sát thấy tổng ba góc trong một vài tam giác cụ thể luôn

bằng 1800, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả thuyết bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng

1800 Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lí cơ bản trong hình học

- Suy luận ngoại suy

Ngoại suy là loại suy luận trung tâm của tất cả các lĩnh vực như triết học, khoa học máy móc, trí tuệ nhân tạo, khảo cổ học, luật, khoa học tội phạm…Nói một cách đơn giản thì ngoại suy là suy luận để giải thích cho một quan sát

Ví dụ: Dùng ngoại suy để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: có

thể đưa ra giả thuyết như sau, phải chăng hai đoạn thẳng này là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau và tìm xem hai tam giác nào chứa hai cạnh đó mà bằng nhau không? Đó là kết quả của suy luận ngoại suy và kết quả này chưa chắc chắn đúng Hoặc, trong cuộc sống hằng ngày, sau một đêm thức dậy nếu nhìn thấy cỏ trước sân bị ướt, chúng ta có thể đưa ra giả thuyết bằng suy luận ngoại suy: có thể trời đã mưa, hay ai đó đã tưới cây

Theo Patokorpi (2006), suy luận ngoại suy là quá trình suy luận nhằm tìm kiếm những giả thuyết phù hợp nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được Nói cách khác, suy luận ngoại suy trả lời cho câu hỏi: Đây là trường hợp của quy tắc nào? Điều gì dẫn đến kết quả này?

Vậy ngoại suy là suy luận đi ngược lại từ các kết quả (các hệ quả) đến nguyên nhân hay điều xảy ra trước đó, nhằm giải thích cho một kết quả gây ngạc nhiên với người suy luận Giả thuyết của ngoại suy là có lí nhưng không chắc chắn đúng Ngoại suy là suy luận mở đầu cho quá trình khám phá

1.3.1.6 Một số hoạt động tư duy ngoài suy diễn

i, Khái quát hóa

Khái quát hoá là thao tác TD nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo G.Polya: “ Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập hợp ban đầu”.

Trong “ Phương pháp dạy học môn Toán”, tác giả Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy có nêu rõ:“Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối

tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”.

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những dự đoán mang tính tổng quát

Ví dụ: Chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức

bậc hai sang việc nghiên cứu đa thức với bậc tùy ý Chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường

Trong hai ví dụ trên khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có tính chất khác nhau Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hóa được thực hiện bằng cách thay hằng số 2 bởi biến số n (n∈N) Ở ví dụ thứ hai, khái quát hóa được

thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tùy ý Các kết luận rút ra từ khái niệm hóa mang tính giả thuyết, dự đoán Vì vậy sau khi hình thành một giả thuyết nào đó từ khái quát hóa thì cần phải sử dụng suy diễn để chứng minh giả thuyết là đúng hay sai

Trong toán học có nhiều con đường khái quát hóa khác nhau, ta có thể hệ thống theo sơ đồ sau:

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng

quát

Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa tới cái tổng quát

đã biết

Khái quát hóa tới cái tổng quát chưa biết

+ − + −

n

1

(ax + b) (cx d+ )m hay chứng minh một số đẳng thức về tổ hợp).

Nói về vai trò của khái quát hóa ta có thể khẳng định: “ Là một thông

số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy và là cơ sở duy nhất

để phân biệt giữa tư duy lí luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hóa ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập và nghiên cứu, khi được phát triển tới mức độ cao, chính năng lực này sẽ giúp mỗi con người tách được cái chung, bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu học tập bằng con đường phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà thôi Bằng con đường đó con người có thể tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phá tri thức khoa học bằng những phương pháp tối ưu…”

Trong toán học, khái quát hóa liên kết chặt chẽ với các thao tác tư duy khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa…Khái quát hóa là thao tác tư duy cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành các khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện vấn đề và đề xuất kiến thức mới, hình thành tri thức phương pháp giải toán…

ii, So sánh và tương tự

So sánh là thao tác TD nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích-tổng hợp và đối với các hình thức TD đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra dự đoán hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác

Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Ví dụ: 1)Ta có khái niệm tam giác trong mặt phẳng và khái niệm tứ

diện trong không gian là hai đối tượng có tính tương tự, đó là những hình có

số đường thẳng tối thiểu (tam giác) và số mặt phẳng tối thiểu (tứ diện) để có diện tích, thể tích hữu hạn Do đó, nếu trong tam giác ABC, trọng tâm G ta có: GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + = thì tương tự, với tứ diện ABCD, trọng tâm G ta dự đoán cũng có đẳng thức:

2) Các hàm sốy a= xvày=loga x là khác nhau, nhưng khi a > 1 thì chúng cùng đồng biến, khi 0 < a < 1 thì chúng cùng nghịch biến

3) Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương pháp giải

iii, Trừu tượng hóa

Trừu tượng hoá là thao tác TD nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho TD Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối liên hệ chặc chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hóa ta có thể ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sự vật

sâu hơn Không có khái quát hóa và trừu tượng hóa thì không thể có khái niệm và tri thức lí thuyết được.

Ví dụ: Trừu tượng hoá mệnh đề “Tích của hai số âm luôn luôn là số

dương” là mệnh đề “Bình phương của một số luôn luôn là không âm” Điều này được thực hiện nhờ nêu bật và tách đặc điểm “tích” khỏi đặc điểm “bình phương” (bình phương là tích của hai số bằng nhau) nghĩa là đã nhờ sự trừu tượng hóa

iv, Phân tích ngược từ kết luận tới giả thiết để tìm lời giải bài toán

Phân tích ngược từ kết luận tới giả thiết để tìm lời giải bài toán có tác dụng phát huy rất cao khả năng tư duy độc lập sáng tạo của HS Song, khi sử dụng, yêu cầu học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản nên không phải mọi

HS đều có thể hiểu và vận dụng phương pháp này thành thạo như nhau Do

đó, việc rèn luyện cho HS sử dụng phương pháp “phân tích ngược” từng bước

từ dễ đến khó theo mức độ riêng sẽ giúp các em dễ tiếp nhân phương pháp này mà không cảm thấy mình đuối sức Ngoài ra việc sử dụng thường xuyên, liên tục phương pháp “phân tích ngược” sẽ giúp HS hiểu sâu sắc và có kĩ năng xây dựng sơ đồ phân tích thành thạo hơn để vận dụng vào giải dạng toán chứng minh hình học

Tùy theo đối tượng HS mà đưa ra các mức độ cần đạt khác nhau Biện pháp này giúp cho mọi đối tượng HS đều được tham gia vào quá trình học tập, nhất là đối tượng HS trung bình và yếu không có cảm giác mình bị bỏ quên HS sẽ hiểu rõ phương pháp và khả năng vận dụng ngày càng được nâng cao Việc tìm ra lời giải sẽ nhanh chóng và chính xác hơn

v, Lật ngược vấn đề

Lật ngược vấn đề là quá trình đặt vấn đề nghiên cứu mệnh đề đảo sau khi chứng minh một tính chất, một định lí hay một bài toán nhằm phát triển tư duy cho HS

Khi lật ngược vấn đề cần theo trình tự:

(*) Phát biểu mệnh đề

(*) Phát biểu mệnh đề đảo

(-) Nếu mệnh đề đảo đúng thì chứng minh

(-) Nếu mệnh đề đảo sai thì cho phản ví dụ

Ví dụ: Khi HS đã biết: Phương trình (PT) bậc hai ax2 + bx + c (a≠0), có hai

nghiệm x1, x2 thì tổng hai nghiệm S = x1 + x2 = –b

a, tích hai nghiệm P = x1.x2 = c

a

Ta có thể lật ngược vấn đề như sau: “Phải chăng nếu có hai số u,v sao cho tổng u + v = S, tích u.v = P thì u,v là hai nghiệm của PT bậc hai X2 – SX + P = 0?”

Nếu HS nhận xét là đúng thì yêu cầu cho HS chứng minh, nếu HS nhận xét là sai thì yêu cầu HS cho phản ví dụ

viii, Tư duy sáng tạo

Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim – Vương Dương Minh – Tôn Thân trong tác phẩm “Khuyến khích một số HĐ trí tuệ của HS qua môn Toán ở trường THCS” thì: “TDST là một dạng TD độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý

tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”[8].

GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “Người có óc sáng tạo là người

có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đã đặt ra” [18]

Người ta có thể chia TD thành ba cấp độ: TD tích cực, TD độc lập, TDST Mỗi cấp độ TD đi trước là tiền đề tạo nên cấp độ TD đi sau Đối với chủ thể nhận thức, TD tích cực được đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực Còn TD độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra

và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có TDST nếu không có TD tích cực và

TD độc lập

Mặt khác có ý kiến cho rằng: “ Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán

là những điều kiện cần thiết của TDST, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của TDST”

Mối quan hệ giữa các cấp độ TD thể hiện ở sơ đồ sau:

Cấp độ vòng ngoài là tiền đề cho cấp độ vòng trong

ix, Tư duy phê phán

Theo Beyer, đã đưa ra quan niệm về tư duy phê phán như sau: “Tư duy phê phán, … nghĩa là tạo ra các phán đoán có cơ sở”

Theo Hatcher: “Tư duy phê phán là tư duy nỗ lực để đưa ra một phán đoán sau khi đã tìm cách thức đáng tin cậy để đánh giá thực chất về mọi phương diện của các bằng chứng và các luận cứ”

Ta có thể hiểu tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý tưởng, giả thuyết

từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lí lẽ nhằm mục đích xác định đúng – sai, hợp lí – không hợp lí, nên – không nên và rút ra quyết định cách ứng xử của mỗi cá nhân

TD tích cực

TD độc lập TDST

x, Tư duy thuật giải

Theo Vương Dương Minh, “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên cơ sở những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn” Cách phát biểu trên chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác hóa: quy tắc, thao tác sơ cấp Những thuật ngữ này được hiểu theo trực giác

Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và vân dụng nội dung này Tương thích với khái niệm thuật giải có những hoạt động đáng chú

(T4) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;

(T5) Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc

Đó chính là các hoạt động của tư duy thuật giải Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, bốn thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật giải

muốn học tập toán, làm cho các em luôn thấy cần thiết phải học toán và có hứng thú với việc học toán, vì lợi ích chung và lợi ích của bản thân mình

Việc sử dụng khéo léo các phương pháp dạy học nhằm phát huy tính độc lập, chủ động của HS có ý nghĩa quyết định đối với việc xây dựng động cơ học tập đúng đắn, rèn luyện lòng yêu bộ môn ở HS Điều rất quan trọng nữa là phải thường xuyên theo sát việc học tập của các em, giúp các em và đòi hỏi các em luôn cố gắng vươn lên vừa sức mình, kịp thời động viên, khuyến khích những tiến bộ (có khi rất nhỏ) của các em, kịp thời giúp đỡ những em gặp khó khăn, kịp thời ngăn chặn những biểu hiện ngại khó, chán nản khi vừa chớm nở

Có tác dụng đáng kể đối với việc xây dựng động cơ và thái độ học toán đúng đắn cho HS là việc giới thiệu cho các em cuộc đời và sự nghiệp của các nhà toán học vĩ đại Đó là những người thông minh lỗi lạc và lao động cần cù, nhẫn nại, say sưa với khoa học, đã để lại cho chúng ta những di sản văn hóa quý báu ngày nay Tiểu sử của họ thường là những gương sáng về lòng yêu nước và tinh thần đấu tranh cho những tư tưởng tiến bộ Chẳng hạn, cuộc đời của nhà toán học Lobaseoski là một tấm gương yêu nước, yêu khoa học, dũng cảm và bền bỉ đấu tranh cho sự thắng lợi của những tư tưởng cách mạng trong toán học, cuộc đời của các nhà toán học trẻ tuổi Galoa, Abel … là một bản cáo trạng chế độ xã hội đã vùi dập tài năng của con người, …Trong khi giới thiệu cuộc đời và sự nghiệp của các nhà toán học cần luôn chú ý rằng “tài năng và óc sáng tạo chỉ chiếm một phần trăm trong phát minh, còn lại 99% là lao động, lao động cực nhọc

Cần làm cho HS thấy rằng các kiến thức toán học hợp thành một hệ thống chặc chẽ như những chặng liên tục của một con đường dài và muốn đi con đường đó thì không thể không cần cù và nhẫn nại vượt qua từng chặn đường một Tính chất trừu tượng cao của toán học đòi hỏi HS phải động não, suy nghĩ nhiều, đôi khi khá căng thẳng; việc giải nhiều bài toán khó đòi hỏi HS kiên trì suy nghĩ, nhẫn nại mò mẫm, dự đoán, dự đoán, thử đi thử lại, vẽ hình này rồi vẽ hình khác, tìm cách này rồi tìm cách khác, Do đặc điểm của bộ

môn, việc học toán đòi hỏi HS có tinh thần tự giác và tự lực thì mới đạt kết quả tốt được, nhiều bài toán khó có thể trở nên dễ khi có một sự gợi ý nhỏ, nhìn một hình vẽ hay thấy một đáp số.

Ví dụ: Xét bài toán hình học sau: “Cho một hình chữ nhật ABCD, I là

trung điểm của đoạn CD AI cắt đường chéo BD ở G Chứng minh rằng DG=

1

3BD”

Đây là một bài toán không dễ, nhưng sẽ không còn khó khăn gì khi ta kẻ đường chéo thứ hai của hình chữ nhật Vì vậy, khi làm toán, nếu HS ngại khó, thiếu tự giác hoặc ỷ lại thì có thể vội tìm gợi ý của thầy, của bạn, của sách để nhanh chóng thấy lời giải của bài toán Và cũng do đặc điểm đó mà trong môn toán rất cần chú ý giáo dục cho HS ý thức thật thà, trung thực trong học tập, trong lao động: không nhìn bài của bạn khi làm bài kiểm tra (điều này dễ xảy ra trong môn toán hơn các môn khác), khồng lấy kết quả học tập, lao động của người khác làm của mình

1.3.2.2 Ý thức vươn lên, luôn tìm tòi và sáng tạo.

Đó là việc giải các bài toán, việc ứng dụng toán học luôn luôn đòi hỏi phải vận dụng kiến thức đã học trong những điều kiện mới, những hoàn cảnh mới, đòi hỏi phải tìm tòi và sáng tạo “Một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả ở trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh Bài toán mà anh giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo, và nếu tự mình giải bài toán đó thì

sẽ có thể biết được cái quyến rũ của cái sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi”

IG

1.3.2.3 Ý thức đúng đắn đối với ngôn ngữ dân tộc, đối với những vấn đề thực

tế của đất nước (về lịch sử, địa lí, kinh tế, chính trị, )

Giáo dục HS tôn trọng, yêu quý tiếng mẹ đẻ là nhiệm vụ của mọi hoạt động, của mọi bộ môn trong nhà trường Nếu trong bất cứ trường hợp nào, trong bất cứ giờ học nào, HS đều nhận thấy lỗi chính tả của mình được GV chú

ý sửa chữa, những câu nói, câu viết sai ngữ pháp được uốn nắn, việc dùng từ thiếu cân nhắc, diễn đạt ý tứ cẩu thả được chỉnh đốn, thì điều đó sẽ có tác dụng giáo dục HS biết yêu quý tiếng mẹ đẻ hơn và càng cố gắng trau dồi cho ngôn ngữ của mình ngày càng chính xác.Môn toán có khả năng đóng góp tích cực về mặt này, vì nó có yêu cầu cao về phát biểu, diễn đạt chính xác từng câu, từng từ trong các định nghĩa, định lí, trong lập luận

GV toán cần lưu ý đến nhiệm vụ này, và đặc biệt cần trau dồi ngôn ngữ (nói, viết) của bản thân mình cho thật chính xác, khi giảng bài,khi viết bảng, khi chấm bài hết sức tránh lỗi về ngữ pháp, về chính tả, về dùng từ và kí hiệu

Một nét biểu hiện không thể thiếu của đạo đức công dân mà ta phải giáo dục cho HS là ý thức quan tâm đến những vấn đề thực tế của đất nước, của địa phương, nhất là những vấn đề thời sự nóng hổi của đất nước và của thời đại (dân số, môi trường, y tế, ) Bên cạnh các ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa, GV cần theo dõi các phương tiện thông tin đại chúng (báo chí, phát thanh, truyền hình, ) để thu thập những số liệu giúp cho việc xây dựng các

đề toán có tính giáo dục kịp thời Có thể đề ra để HS phải tìm số liệu trong báo chí để giải

Việc tìm ra những đề toán như vậy, đòi hỏi GV phải có ý thức theo dõi thời sự, thông hiểu các chủ trương của nhà nước và địa phương; nếu không,

đề toán có thể không sát với thực tế, có khi đưa lại kết quả trái với điều ta mong muốn

1.3.2.4 Khả năng làm việc có tổ chức, có kỉ luật, có kế hoạch và trật tự

Vì việc dạy toán, suy luận, ứng dụng toán nói chung được tiến hành theo những quy tắc, những bước xác định Để giáo dục cho HS về mặt này, cần yêu

cầu HS khi giải một bài toán hay giải quyết một vấn đề thì phải đặt kế hoạch giải quyết gồm nhiều bước theo một trình tự nhất định, rồi theo đó thực hiện từng bước một, tránh làm cách tùy tiện, nghĩ ra cái gì thì làm ngay cái ấy, không có dự kiến kế hoạch, không có tổ chức

Cần xây dựng cho HS tác phong cẩn thận, chu đáo, thể hiện tính tổ chức

và kỉ luật trong khi vẽ hình, viết các chữ số, trình bày bài làm, chống tác phong cẩu thả, viết vẽ không rõ ràng, không ngay ngắn Ngay trong tờ giấy nháp, cũng yêu cầu HS viết, vẽ rõ ràng, có trật tự

1.3.3 Mối quan hệ qua lại giữa năng lực tư duy và phẩm chất

Những đặc điểm của phẩm chất bộc lộ rất rõ nét trong toàn bộ hoạt động nhận thức nói chung, hoạt động tư duy nói riêng của con người; và mỗi thành phần của phẩm chất có ảnh hưởng khác nhau đến hoạt động tư duy

Thứ nhất, những thành phần của phẩm chất bao hàm một hệ thống các nhu cầu và hứng thú có tác động lẫn nhau, trong đó hứng thú đóng vai trò chủ đạo, dẫn tới trạng thái tương ứng của ý chí và cảm xúc, trạng thái này làm cho hoạt động trí tuệ trở nên tích cực Trong dạy học môn Toán, cần quan tâm đến mối quan hệ này, nhất là việc gợi động cơ học tập, gợi động cơ tư duy Nó giúp HS tích cực hoạt động trí tuệ, từ đó tích cực tư duy

Thứ hai, phẩm chất xác định và bao hàm một hệ thống những năng lực (thu nhận, chế biến, ghi nhớ các thông tin,…) bảo đảm một hoạt động thắng lợi, trong đó có hoạt động tư duy

Thứ ba, phẩm chất bao gồm tính tình của con người; thành phần này ảnh hưởng đến quá trình tư duy dưới hình thức phản ứng trước công việc, nó dẫn đến sự thỏa mãn, tự tin hay kém tự tin, không kiên định, nó sẽ gây ra trở ngại hoặc thuận lợi cho hoạt động trí tuệ tiếp tục được nảy sinh

Do đó, việc dạy học phát triển tư duy và giáo dục phẩm chất có quan hệ hữu cơ với nhau, cần được quan tâm trong quá trình dạy học Khi năng lực tư duy được phát triển sẽ bộc lộ phẩm chất của người HS; tư duy càng sắc bén, phẩm chất càng tốt đẹp thì nắm kiến thức càng sâu, và ngược lại, nắm kiến thức càng sâu càng mài sắc tư duy và gia cố phẩm chất

1.4 Dạy học BT toán và phát triển văn hóa toán học thông qua phát hiện

và giải quyết vấn đề

1.4.1 Vai trò của BT toán trong quá trình DH

Theo nghĩa rộng BT đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó

BT toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn Toán ở nhà trường phổ thông Giải BT toán học là hình thức chủ yếu của HĐ toán học Thông qua việc giải BT, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lí, quy tắc – phương pháp, những HĐ phức hợp, những HĐ trí tuệ chung, những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học

Giải toán là hình thức chủ yếu của HĐ toán học, giúp HS nắm vững tri thức, phát triển TD, hình thành kỹ năng kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

Chức năng của BT toán là DH, giáo dục, phát triển và kiểm tra

Vai trò của BT toán thể hiện trên ba bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình DH Cụ thể:

+ Về mặt mục đích DH: BT toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích DH môn toán như:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình DH

- Phát triển năng lực chung: Rèn luyện các thao tác TD, hình thành các phẩm chất trí tuệ

- Hình thành bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức người lao động mới

+ Về mặt nội dung DH: BT toán là phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lí thuyết

+ Về phương pháp DH: BT toán là giá mang những HĐ để HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích DH khác Khai thác tốt các BT như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập trong

HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn DH, BT được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp DH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra … Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài toán là phương tiện không thể thay thế để đáng giá cấp độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển TD của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV

1.4.2 Phương pháp dạy học PH và GQVĐ

PPDH PH và GQVĐ là một trong những PPDH tích cực đã và đang được quan tâm và phát triển ở các trường THPT Việc vận dụng PPDH này trong DH cho các môn học nói chung và môn toán nói riêng ở các trường THPT hiện nay với mục đích tập cho HS biết PH, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập, trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng Từ đó HS có một năng lực thích ứng với một xã hội đang phát triển nhanh theo cơ chế thị trường, cạnh tranh gay gắt như hiện nay

PPDH PH và GQVĐ là PPDH phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và có ưu thế trong việc tích cực hóa hoạt động nhận thức của

HS trong quá trình DH Đặc biệt là trong những tình huống DH các khái niệm, những tri thức mới

Đặc điểm cơ bản của PPDH PH và GQVĐ là: Thông qua quá trình gợi

ý, dẫn dắt, nêu câu hỏi, giả định, GV tạo điều kiện cho HS tranh luận, tìm tòi, phát hiện vấn đề thông qua tình huống gợi vấn đề Các tình huống này có thể

do GV chủ động xây dựng, cũng có thể do lôgic kiến thức bài học tạo nên, cần trân trọng, khuyến khích các phát hiện của HS, tạo cơ hội cho HS thảo luận, tranh luận, đưa ra ý kiến, nhận định, đánh giá cá nhân, giúp HS tự giải

quyết vấn đề để chủ động chiếm lĩnh kiến thức Mục đích của phương pháp này không chỉ làm cho HS lĩnh hội được kết quả của quá trình PH và GQVĐ

mà còn ở chỗ làm cho HS phát hiện khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, HS học được bản thân việc học

Theo Nguyễn Bá Kim, hạt nhân của cách dạy học PH và GQVĐ là việc điều khiển HS tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề Quá trình này có thể chia thành các bước dưới đây:

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Bước 2: Tìm giải pháp

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Như vậy, mặc dù dạy học PH và GQVĐ có nhiều hình thức phong phú

đa dạng, quá trình PH và GQVĐ được chia thành các bước khác nhau, song vấn đề cốt lõi ở phương pháp DH này là sự tổ chức làm xuất hiện tình huống gợi vấn đề, HS nhận thức được vấn đề, chấp nhận giải quyết và tìm lời giải trong quá trình hợp tác giữa GV và HS, phát huy tính độc lập, tích cực nhận thức của HS dưới sự hướng dẫn của GV Đặc trưng độc đáo của việc dạy học

PH và GQVĐ là sự tiếp thu tri thức trong quá trình tích cực hóa hoạt động nhận thức và hoạt động tư duy

1.4.3 Vai trò của phương pháp PH và GQVĐ đối với hình thành và phát triển văn hóa toán học.

Nhiệm vụ cơ bản của dạy học Toán là trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển năng lực tư duy toán học và giáo dục phẩm chất cho HS Trong các nhiệm vụ đó, quan trọng nhất là “phát triển năng lực tư duy và giáo dục phẩm chất cho HS” Sau mỗi tiết học, mỗi bài học, HS có thể làm giàu thêm kiến thức toán học, có thêm được kỹ năng tính toán hoặc giải các bài toán Thế nhưng, sự trưởng thành về năng lực tư duy và phẩm chất của mỗi người thường phải qua một công đoạn dài, có thể hằng năm học, một giai đoạn học tập, thậm chí cả cuộc đời, theo kiểu “lắng đọng phù sa” Khi phẩm

chất và năng lực tư duy được hình thành, tác động qua lại với nhau, tạo nên nét văn hóa trong từng bộ môn Văn hóa toán học được hình thành theo con đường rất chung đó, tuy nhiên, trong dạy học toán, một vài phương pháp dạy học có thể làm tốt nhiệm vụ này, một trong các phương pháp có thể nói đến là

dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

Dạy học toán nói chung, không chỉ dạy tri thức, kĩ năng toán học mà cần hình thành và phát triển cho HS năng lực giải quyết vấn đề, năng lực phát hiện ra vấn đề trước khi chứng minh nó… Chỉ khi nào HS tạo được mối quan hệ hữu cơ giữa kiến thức và kĩ năng đã có với kiến thức và kĩ năng cần hình thành, biết sắp xếp kiến thức mới vào cấu trúc hiện có thì việc học mới có giá trị

Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề góp phần tích cực vào việc rèn luyện các hoạt động tư duy cho HS Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có HS sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết

Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, HS sẽ huy động được tri thức và khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm ra cách giải quyết vấn đề tốt nhất

Tại sao nói dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề góp phần hình thành văn hóa toán học? Trong các xu hướng dạy học không truyền thống, phương

pháp dạy học PH và GQVĐ là phương pháp dạy học có khả năng giúp HS phát triển năng lực tư duy bằng hoạt động thực tiễn và thông qua hoạt động, biết cách PHVĐ, biết cách GQVĐ, kết quả của hoạt động là HS có được kiến thức mới, kỹ năng mới, và hơn thế, phẩm chất của HS được hình thành, tạo nên “văn hóa toán học”

1.5 Một số hoạt động tư duy gắn liền với phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

1.5.1 Một số hoạt động tư duy được sử dụng để phát hiện vấn đề

1.5.1.1 Hoạt động khái quát hóa và hoạt động trí tuệ khác có liên quan

i, Khái quát hóa:

Ví dụ: 1) Khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức bậc hai

sang việc nghiên cứu đa thức với bậc tùy ý Ở đây, khái quát hóa được thực hiện bằng cách thay hằng số 2 bởi biến số n (n∈N).

2) Khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường Ở đây, khái quát hóa được thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tùy ý

Trong hai ví dụ trên khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có tính chất khác nhau Các kết luận rút ra từ khái niệm hóa mang tính giả thuyết, dự đoán Vì vậy sau khi hình thành một giả thuyết nào đó từ khái quát hóa thì cần phải chứng minh giả thuyết là đúng hay sai

ii, Một số hoạt động trí tuệ có liên quan:

* Đặc biệt hóa

Theo G.Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”

Ví dụ: Khi dạy học định lí hàm số Côsin:

Như vậy, đặc biệt hóa có thể xem như là một quá trình minh họa, giải thích một khái niệm hay một định lí bằng các trường hợp riêng lẻ; hoặc như là quá trình vận dụng một phương pháp, kĩ thuật giải toán chung cho các bài riêng lẻ Đặc biệt hóa cũng là một phương thức tư duy sáng tạo góp phần giúp học sinh thấy được tính hệ thống, mối liên hệ giữa các kiến thức (mỗi kiến thức cũ có thể chỉ là một trường hợp đặc biệt của kiến thức mới); giúp tạo ra cái mới từ cái tổng quát đã có.

Qua đó ta thấy đặc biệt hóa và khái quát hóa có mối quan hệ khăng khít, bổ trợ lẫn nhau; tuy nhiên đặc biệt hóa cũng mang tính độc lập tương đối Có thể xem đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hóa theo nghĩa là nắm được cái chung bản chất (cái khái quát) và nhìn thấy những cái riêng lẻ trong cái chung (cái đặc biệt) Không phải mọi cái riêng đều được đem ra xét đặc biệt hóa mà có sự lựa chọn hợp lí trên cơ sở phân tích nội dung

và nhiệm vụ công việc

Có thể minh họa nội dung tương tự hóa như sau:

Đối tượng A: có tính chất x, y, z, t……

Đối tượng B: có tính chất x, y, z, ………

Kết luận: B cũng có tính chất t…

Như vậy tương tự cũng như khái quát hóa, nó thuộc về phép suy luận

có lí, kết luận suy ra từ tương tự hóa mang tính chất dự đoán, giả thuyết

Theo tác giả Hoàng Chúng, phép suy luận tương tự thường được đề cập tới trên các khía cạnh sau: