Ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Lê Thị Thủy ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Thị Thủy

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Thị Thủy

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS NGUYỄN THỊ TRÀ

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và trong suốt thời gian làm khóa luận.

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Trà - giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lê Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo ThS Nguyễn Thị Trà.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các vấn đề khác.

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lê Thị Thủy

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các tính chất của số phức 4

1.1.1 Định nghĩa số phức 4

1.1.2 Các tính chất của số phức 5

1.2 Biểu diễn hình học của số phức 7

1.3 Số phức liên hợp và môđun của số phức 8

1.3.1 Số phức liên hợp 8

1.3.2 Môđun của số phức 9

1.4 Dạng lượng giác của số phức 9

1.4.1 Số phức dưới dạng lượng giác 9

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 11

1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2 11

1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2 11

1.4.5 Biếu diễn số phức theo những điểm 11

1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm 12

1.5 Công thức Moivre 12

1.5.1 Công thức Moivre 12

1.5.2 Căn bậc n của số phức 13

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức 13

2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI 14 2.1 Dạng 1 : Góc định hướng của hai vectơ 14

2.1.1 Định nghĩa 14

2.1.2 Mệnh đề 15

2.1.3 Tỉ số đơn 18

2.1.4 Ví dụ 18

2.2 Dạng 2 : Đường thẳng trong mặt phẳng phức 25

2.2.1 Phương trình đường thẳng 25

2.2.2 Ví dụ 29

2.3 Dạng 3: Đường tròn 41

2.3.1 Đường tròn 41

2.3.2 Ví dụ 47

2.4 Dạng 4: Đường thẳng và đường tròn Euler 57

2.4.1 Tọa vị của những điểm đặc biệt trong tam giác 57 2.4.2 Ví dụ 60

2.5 Dạng 5: Đường thẳng Simson 67

2.5.1 Đường thẳng Simson 67

2.5.2 Ví dụ 70

Tài liệu tham khảo 81

Lời mở đầu

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ những thế kỷ

trước Sau đó, số phức lại thúc đẩy sự phát triển không những toán học

mà còn cả các ngành khoa học khác Ngày nay, số phức được giảng dạy

trong chương trình toán ở các cấp bậc học THPT hoặc đại học ở hầu hết

các nước trên thế giới Số phức được biết đến như một số ảo và trường

số phức đóng vai trò như một công cụ đắc lực trong toán Như trong đại

số, mọi phương trình đa thức đều giải được đủ nghiệm trên trường số

phức Trong giải tích phức một trong những đối tượng chính là ánh xạ

chỉnh hình vì phần thực và phần ảo là các hàm giải tích hai biến thỏa

mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi

trong các bài toán vật lý hai chiều Hơn thế nữa trong hình học sử dụng

số phức giúp chúng ta giải nhanh một số một số dạng toán và có nhiều

thuận lợi trong hình học phẳng Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng

dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng”

nhằm giới thiệu một phương pháp mới để giải quyết một phần nào đó

các bài toán trong hình học phẳng, đồng thời thể hiện một phần nào đó

vẻ đẹp và ứng dụng to lớn của số phức Luận văn gồm hai chương

Chương 1 "Số phức"

Ở chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan

về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ

giữa số phức với hình học phẳng Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng

cho các chương sau.

Chương 2 "Một số dạng toán hình học phẳng ứng dụng số phức để

giải"

Chương này trình bày 5 dạng toán cơ bản ứng dụng của số phức để

giải các bài toán trong hình học phẳng

1- Góc định hướng của hai vectơ

2-Đường thẳng trong mặt phẳng phức

3-Đường tròn

4-Đường thẳng và đường tròn Euler

5-Đường thẳng Simson

Trong mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng

thời xây dựng hệ thống các ví dụ điển hình

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

2.1 Mục đích nghiên cứu

Trình bày những ứng dụng của số phức để giải một số bài toán chứng

minh trong hình học phẳng và một phần nào đó giúp các em học sinh

có kiến thức một cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số

phương pháp giải điển hình cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng

là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, sinh viên kỹ thuật cũng như

giáo viên trong quá trình giảng dạy

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phương pháp ứng dụng của số

phức vào giải một số bài toán trong hình học phẳng

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo có liên quan đến

nội dung đề tài Qua đây tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu

sắc tới các thầy, cô trong tổ Hình học, đặc biệt là cô giáo ThS Nguyễn

Thị Trà người đã hướng dẫn tận tình và chu đáo tôi trong suốt quá

trình nghiên cứu và trình bày khóa luận Tác giả chân thành cảm ơn các

thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là

tổ Hình Học, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học

Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 03/05/2016

Tác giả khóa luận

LÊ THỊ THỦY

Chương 1

SỐ PHỨC

Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan

về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ

giữa số phức với hình học phẳng Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng

cho các chương sau

1.1 Định nghĩa và các tính chất của số phức

1.1.1 Định nghĩa số phức

Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a và b là những số

thực và số i thỏa mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b được

gọi là phần ảo, kí hiệu Imz

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C, C = {z = a + bi, ∀a, b ∈ R} và

R ⊂ C

Chú ý:

• Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là

a + 0i = a ∈ R ⊂ C

• Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn được gọi là số

thuần ảo) z = 0 + bi( b ∈ R)

• Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

• Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R), z0 = a0 + b0i (a0, b0 ∈ R) gọi làbằng nhau nếu a = a0 và b = b0 Khi đó ta viết z = z0

Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các

phần ảo với nhau

d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức

Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số

phức z = a + bi Ta cũng coi mỗi vectơ −→u có tọa độ (a,b) biểu diễn số

phức z = a + bi Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa

là vectơ −−→

OM biểu diễn số phức đó

Dễ thấy rằng nếu −→u ,−→u0 theo thứ tự biểu diễn các số phức z,z’ thì −→u +−→u0

biểu diễn số phức z + z’, −→u −−→u0 biểu diễn số phức z - z’

k.(a + bi) = (k + 0i).(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt 0.z = 0 với mọi số phức

Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều

viết được dưới dạng đai số z = a + bi(a, b ∈ R) và để thực hiện phépcộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức a+bi

(coi a+bi là đa thức của biến i với hệ số thực ) mà khi gặp i2 thì ta thaybằng -1

1.2 Biểu diễn hình học của số phức

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số Đối

với số phức, ta hãy xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Mỗi số phức z = a + bi ( được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b))

Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z=a+bi

Ta còn viết M(a+bi) hay M(z)

Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu số phức như thế được gọi là mặt

phẳng

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn

các số thực, do đó trục Ox còn được gọi

là trục thực Các điểm trên trục tung Oy

biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn

được gọi là trục ảo

1.3 Số phức liên hợp và môđun của số phức

1.3.1 Số phức liên hợp

Định nghĩa: Số phức liên hợp của z = a + bi(a, b ∈ R) là a − bi và được

kí hiệu bởi z Như vậy z = a + bi = a − bi

Rõ ràng z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với

nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp)

Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối

xứng với nhau qua trục thực Ox

• Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực

đó

• z = 0 ⇔ |z| = 0

1.4 Dạng lượng giác của số phức

1.4.1 Số phức dưới dạng lượng giác

i) Argumen của số phức

Định nghĩa: Cho số phức z 6= 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức

biểu diễn số phức z Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,

tia cuối OM được gọi là một argumen của z

Chú ý: Nếu ϕ là một argumen của z thì mọi argumen của z có dạng

Định nghĩa: Dạng z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác

+) |z| = 1 khi và chỉ khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ)(ϕ ∈ R)

+) Khi z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng argumen của z không xác

định (đôi khi acgumen của 0 là một số thực tùy ý và vẫn viết

0 = 0(cosϕ + i sin ϕ)

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sinϕ0) (r ≥ 0, r0 ≥ 0) thìz.z0 = r.r0[cos(ϕ+ϕ0) + isin(ϕ+ϕ0)]

Như vậy để nhân các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy tích các môđun

và tổng các argumen, để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy

thương các môđun và hiệu các argumen

1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2

Định nghĩa: Trong E2, điểm M (a; b) cho tương ứng với số

m = a + bi thì số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m)

Kí hiệu một điểm trong mặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó

là chữ cái in thường tương ứng

1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2

Định nghĩa: Trong E2 vectơ −→α (a; b) cho tương ứng với số

z = a + bi Khi đó z được gọi là tọa vị của vectơ −→α Kí hiệu là vectơ

−

→α (z).

1.4.5 Biếu diễn số phức theo những điểm

Định nghĩa: Trong E2 cho hai số phức dưới dạng đại số

• Nếu Z1, Z2 có cùng giá: Số phức z = z1 + z2 là −→

OZ

• Nếu Z1, Z2 không cùng giá: Dựng hình bình hành OZ1ZZ2

⇒ z = (x1+ x2; y1+ y2) biểu diễn tọa vị của z1+ z2

Do đó tổng của hai số phức có thể biểu diễn như tổng của hai vectơ

trong mặt phẳng

Nhận xét: Sự biểu diễn số phức trong mặt phẳng hoàn toàn thích hợp

khi xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức

1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử M (z1), N (z2) ∈ E2 Ta có −−→

M N = z2− z1 Khi đó khoảng cáchgiữa hai điểm M, N được tính theo công thức:

M N =

−−→

M N

= p(z2 − z1)(z2 − z1)

1.5 Công thức Moivre

1.5.1 Công thức Moivre

Với mọi số nguyên dương n thì ta có:

[r(cosϕ + i sin ϕ)]n = rn(cosnϕ + i sin nϕ).

và khi r = 1 ta có (cosϕ + i sin ϕ)]n = cosnϕ + i sin nϕ

Cả hai công thức đó đều là công thức Moivre

Chú ý: Công thức Moivre còn đúng khi n nguyên âm

(và cả khi n = 0,z = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0)

1.5.2 Căn bậc n của số phức

Nếu số nguyên n ≥ 2 Căn bậc n của số phức z là một số phức z’ sao

cho z0n = z (nếu z = 0 thì z0 = 0) Như vậy

n +

k2πn

+ i sin ϕ

n +

k2πn



k ∈ Z, k = 0, n − 1(trong đó p|z| là căn bậc n của một số thực không âm).n

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức

Ax2 + Bx + C = 0 (A 6= 0) với A,B,C là các số phức

∆ = B2 − 4AC

+) Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = −B

2A .+) Nếu ∆ 6= 0 thì ta tìm các căn bậc hai w của ∆ thì phương trình có

hai nghiệm phân biệt z1,2 = −B ± w

Chương 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH

HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ

PHỨC ĐỂ GIẢI

Trong chương này chúng ta sẽ phần nào thấy được nét ưu việt của

số phức trong hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng Trong

mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng thời xây

dựng hệ thống các ví dụ điển hình và bài tập tương tự có hướng dẫn ở

chương sau

2.1 Dạng 1 : Góc định hướng của hai vectơ

2.1.1 Định nghĩa

Để tính góc đinh hướng α tạo bởi hai vectơ đi qua gốc tọa độ O, ta chọn

hai điểm Z1, Z2 có tọa vị tương ứng lần lượt là z1, z2

nằm trên mỗi vectơ Khi đó:

α = arg z2− arg z1 = argz2

z1.Trong trường hợp hai vectơ xuất phát từ điểm

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo

hướng dương của hai vectơ bất kỳ theo tọa vị

của các số phức thì sao?

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho bốn điểm Z1, Z2, U1, U2 có tọa

vị tương ứng lần lượt là z1, z2, u1, u2 Góc định hướng giữa hai vectơ

−−→

Z1Z2,−−→

U1U2 là góc quay vectơ đơn vị đặt trên −−→

Z1Z2 một góc ϕ theo chiềudương (ngược chiều kim đồng hồ) đến trùng với vectơ đơn vị đặt trên

OM ,−−→

ON = arg z2 − arg z1 = argz2

z1.Đặt z = z2

z1 Ta lại có:



2

... 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH

HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ

PHỨC ĐỂ GIẢI

Trong chương phần thấy nét ưu việt

số phức hình học nói chung hình học phẳng nói...

(và n = 0,z = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0)

1.5.2 Căn bậc n số phức

Nếu số nguyên n ≥ Căn bậc n số phức z số phức z’

cho z0n = z (nếu z = z0... Z, k = 0, n − 1 (trong p|z| bậc n số thực không âm).n

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức< /h3>

Ax2 + Bx + C = (A 6= 0) với A,B,C số phức

∆