Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “ứ n g dụng của số phức để giải các bài toán tron g hình h ọc phẳng” nhằm giới thiệu một phương pháp mới để giải quyết một phần nào đó các bài toán trong h

Để hoàn th à n h k hóa luận tố t nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới các thầy, cô giáo tro n g khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư P h ạm H à Nội 2, đã tậ n tìn h giúp đỡ và chỉ bảo tro n g suốt thời gian tô i th eo học tạ i khoa và tro n g suốt thời gian làm khóa luận.

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng b iết ơn sâu sắc tới T h S N g u y ễ n T h ị T r à - giảng viên khoa Toán - Trường Đ ại Học Sư P h ạm H à Nội 2, người trự c tiếp hướng dẫn tôi, luôn tậ n tâm chỉ bảo và định hướng tro n g suốt q uá trìn h làm khóa luận để tôi có được kết q u ả như ngày hôm nay.

M ặc dù đ ã có r ấ t nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm b ản th â n còn nhiều

h ạn chế nên k hóa luận không th ể trá n h khỏi những th iế u sót r ấ t m ong được sự đóng góp ý kiến của các th ầ y cô giáo, các bạn sinh viên và b ạ n đọc.

Tôi xin chân th à n h cảm ơn!

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 n ăm 2016

Sinh viên

Lê T h ị T hủ y

K hóa luận này là kết qu ả nghiên cứu của bản th â n tôi dưới sự hướng dẫn tậ n tìn h

của cô giáo T h S N g u y ễ n T h ị Trà.

Trong khi nghiên cứu hoàn th à n h đề tà i nghiên cứu này tôi đã th a m khảo m ột số

tà i liệu đ ã ghi tro n g p h ầ n tà i liệu th a m khảo.

Tôi xin khẳng định kết q uả của đề tà i " ứ n g d ụ n g c ủ a số p h ứ c đ ể g iả i c á c b à i

to á n t r o n g h ìn h h ọ c p h ẳ n g " là kết qu ả của việc nghiên cứu, học tậ p và nỗ lực của

b ản th â n , không có sự trù n g lặp với kết quả của các vấn đề khác.

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 n ăm 2016

Sinh viên

Lê Thị Thủy

Lời mở đầu 1

1.1 Định nghĩa và các tính chất của số p h ứ c 4

1.1.1 Định nghĩa số p h ứ c 4

1.1.2 Các tính chất của số p h ứ c 5

1.2 Biểu diễn hình học của số p h ứ c 7

1.3 Số phức liên hợp và môđun của số phức 8

1.3.1 Số phức liên hợp 8

1.3.2 Môđun của số p h ứ c 9

1.4 Dạng lượng giác của số p h ứ c 9

1.4.1 Số phức dưới dạng lượng g i á c 9

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 11

1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E 2 11

1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E 2 11

1.4.5 Biếu diễn số phức theo những đ i ể m 11

1.4.6 Khoảng cách giữa hai đ iể m 12

1.5 Công thức M o iv re 12

1.5.1 Công thức M oivre 12

1.5.2 Căn bậc n của số p h ứ c 13

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức 13

2 M Ộ T SỐ D Ạ N G T O Á N H ÌN H H Ọ C P H A N G ứ n g D Ụ N G SỐ P H Ứ C Đ Ể G IẢ I 14 2.1 Dạng 1 : Góc định hướng của hai v e c tơ 14

2.1.1 Định nghĩa 14

2.1.2 Mệnh đ ề 15

2.1.3 Tỉ số đơn 18

2.1.4 Ví dụ 18

2.2 Dạng 2 : Đường thẳng trong m ặt phẳng p h ứ c 25

2.2.1 Phương trình đường t h ẳ n g 25

2.2.2 Ví dụ 29

2.3 Dạng 3: Đường t r ò n 41

2.3.1 Đường t r ò n 41

2.3.2 Ví dụ 47

2.4 Dạng 4: Đường thẳng và đường tròn E u l e r 57

2.4.1 Tọa vị của những điểm đặc biệt trong tam giác 57 2.4.2 Ví dụ 60

2.5 Dạng 5: Đường thẳng S i m s o n 67

2.5.1 Đường thẳng S im s o n 67

2.5.2 Ví dụ 70

Tài liệu th am k h ả o 81

số phức đóng vai trò như một công cụ đắc lực trong toán Như trong đại

số, mọi phương trình đa thức đều giải được đủ nghiệm trên trường số phức Trong giải tích phức một trong những đối tượng chính là ánh xạ chỉnh hình vì phần thực và phần ảo là các hàm giải tích hai biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều Hơn thế nữa trong hình học sử dụng

số phức giúp chúng ta giải nhanh một số một số dạng toán và có nhiều

thuận lợi trong hình học phẳng Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “ứ n g dụng của số phức để giải các bài toán tron g hình h ọc phẳng”

nhằm giới thiệu một phương pháp mới để giải quyết một phần nào đó các bài toán trong hình học phẳng, đồng thời thể hiện một phần nào đó

vẻ đẹp và ứng dụng to lớn của số phức Luận văn gồm hai chương

Chương 1 "Số phức "

ở chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan

về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa số phức với hình học phẳng Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng

cho các chương sau.

2.2 N h iệm vụ nghiên cứu

Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phương pháp ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán trong hình học phẳng

3 P H Ư Ơ N G P H Á P N G H I Ê N c ứ u

Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo có liên quan đến nội dung đề tài Qua đây tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu

sắc tới các thầy, cô trong tổ Hình học, đặc biệt là cô giáo T hS N gu yễn

T hị Trà người đã hướng dẫn tận tình và chu đáo tôi trong suốt quá

trình nghiên cứu và trình bày khóa luận Tác giả chân thành cảm ơn các

thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là

tổ Hình Học, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 03/05/2016 Tác giả khóa luận

LÊ THỊ THỦY

SỐ PH Ứ C

Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan

về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa số phức với hình học phẳng Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng cho các chương sau

Chú ý:

• Số phức z = a + OỈ cổ phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là

a + Oi = a e K c C

• Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn được gọi là số

thuần ảo) z = 0 + bi{ b e R).

• Số 0 = 0 + 0« vừa là số thực vừa là số ảo

• Hai số phức z — a + bi (a, b e R), z' = a' + ưi (a', b' G R) gọi là bằng nhau nếu a = a' và b = b' Khi đó ta viết z = z '.

1.1.2 Các tín h chất của số phức

i) P h ép cộng và phép trừ số phức

a) Tổng của hai số phức

Đ ịn h nghĩa: Tổng của hai số phức z = a + bỉ (a, b G R),

z' = a' + b'i (a1, b' € R) là số phức z + z' — a + a' + (6 + b')i.

Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng cácphần ảo với nhau

Trong m ặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số

phức z = a + bi Ta cũng coi mỗi vectơ l ì có tọa độ (a,b) biểu diễn số

phức z = a + bi Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa

là vectơ oú biểu diễn số phức đó

Dễ thấy rằng nếu l ì , u' theo thứ tự biểu diễn các số phức z,z’ thì l ì + u' biểu diễn số phức z + z\ l ì — u' biểu diễn số phức z - z \

ii) P h ép nhân số phức

a) T ích của hai số phức

Cho 2 số phức z = a + bi, z' = a' + b'ỉ (a, b, a', b' G K) Thực hiện phép

nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a' + b'i rồi thay

i2 = — 1 ta được :

(a + bi) ( a ' + ư i ) = aa' + bưi2 + (ab' + a'b) i

= aa' — bư + (ab' + a'b) i.

Đ ịn h nghĩa: Tích của 2 số phức z = a + bi, z' = a' + b'ỉ

(V a, b, a', b' G R) là số phức z.z' = aa' — 66' + (ab' + a'b) i.

N h ận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức a + bỉ (a,b G M) ta có

k (a + bi) = (A; + 0ỉ ) (a + bỉ) = ka + kbỉ, đặc biệt 0.z = 0 với mọi số phức

Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều

viết được dưới dạng đai số z — a + bi(a,b G M) và để thực hiện phép

cộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức a+bi

(coi a+ bi là đa thức của biến i với hệ số thực ) mà khi gặp i2 thì ta thay

bằng -1

l 2 B iể u d iễn h ìn h h ọ c củ a số phứ c

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số Đối với số phức, ta hãy xét trong m ặt phẳng tọa độ Oxy

Mỗi số phức z = a + bi ( được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b))

Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z= a+ bi

Ta còn viết M (a+bi) hay M(z)

Vì lẽ đó, m ặt phẳng tọa độ với việc biểu số phức như thế được gọi là mặt phẳng

Gốc tọa độ o biểu diễn số 0.

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn

các số thực, do đó trục Ox còn được gọi

là trục thực Các điểm trên trục tung Oy

biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn

được gọi là trục ảo

1.3 Số p h ứ c liên hợp và m ô đ u n củ a số p h ứ c

1.3.1 Số phức liên hợp

Đ ịn h nghĩa: số phức liên hợp của z = a + bỉ(a, b e K) là a — bi và được

kí hiệu bởi 2 Như vậy z = a + bi = a — bi.

Rõ ràng z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với

nhau (gọi tắ t là hai số phức liên hợp)

Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục thực Ox

Đ ịn h nghĩa: Môđun của số phức z = a + bi (a, 6 G M) là số thực không

âm \ / a 2 + b2 và được ký hiệu là |z|.

Như vậy thì z = a + bi (a, b € M) thì \z\ = y/z.z = y/a2 + b2.

Đ ịn h nghĩa: Cho số phức z Ỷ 0- Gọi M là điểm trong m ặt phẳng phức

biểu diễn số phức z số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một argumen của z

Chú ý: Nếu ip là một argumen của z thì mọi argumen của z có dạng

đó

ip + /c27T, k E z

ii) D ạn g lượng giác của số phức

Xét số phức: z = a + bi ( a ,6 ẽ R )

Ký hiệu r là mô đun của z và ip là argumen của z thì

a = r cos tp , b = r cos ip.

Vậy z = a + bỉ Ỷ 0 có thể viết dưới dạng

z = r(cos<£ + ¿sin<^).

Đ ịn h nghĩa: Dạng z — r(cos<^ + zsin(^)

trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác

• Tìm r: Đó là môđun của z, r = y/a2 + b2 số r đó cũng là khoảng

cách từ gốc o đến điểm M biểu diễn số z trong m ặt phẳng phức

• Tìm ip: Đó là một argumen của z, ip là một số thực sao cho:

cos<£ = — và sin tp = số tp đó cũng là số đo một góc lượng giác

tia đầu Ox, tia cuối OM

+ ) 1^1 = 1 khi và chỉ khi z = r(cos<£ + isiĩìip)(ip € M).

+ ) Khi z = 0 thì \z\ = r = 0 nhưng argumen của z không xác

định (đôi khi acgumen của 0 là một số thực tùy ý và vẫn viết

0 = 0 (costp + i sin <p).

1.4.2 N h ân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos ip + ỉ sin ip), z' = r'(cos p ’ + i sirup') (r > 0, r' > 0) thì

z.z' = r.r'[c 0 8 (ip+ip') + isin(í^+í^/)].

— = — [cos(<£ — ip') + Ĩsin(<y9 — tp')] khi r > 0

z' r'

Như vậy để nhân các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy tích các môđun

và tổng các argumen, để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các argumen

1.4.3 Tọa v ị của m ột điểm tron g E 2

Đ ịn h nghĩa: Trong E 2, điểm M(a; b) cho tương ứng với số

m = a + bi thì số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m).

Kí hiệu một điểm trong m ặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó

là chữ cái in thường tương ứng

1.4.4 Tọa v ị của m ột vectơ tron g E 2

Đ ịn h nghĩa: Trong E 2 vectơ ~ẳ (a; b) cho tương ứng với số

z — a + bi Khi đó z được gọi là tọa vị của vectơ ~ầ Kí hiệu là vectơ -ẳ(z).

1.4.5 B iếu diễn số phức th e o những điểm

Đ ịn h nghĩa: Trong E 2 cho hai số phức dưới dạng đại số

Z\ = Xi -\-i Vị, Z <1 = x 2 -\-ỉ IJ 2 ■

Điểm o là gốc tọa độ Xác định hai vectơ O Z i , O Z 2 biểu diễn hai số phức Zị,z2.

Nếu Zị, z2 có cùng giá: số phức z =

• Nếu Z ị , Z 2 không cùng giá: Dựng hình bình hành O Z i Z Z 2.

=>- z = (a?! + x 2] Vi + Vĩ) biểu diễn tọa vị của Zị + z2.

Do đó tổng của hai số phức có thể biểu diễn như tổng của hai vectơ trong m ặt phẳng

H ình2 : Zị Z 2 không cùng giá.

N h ận xét: Sự biểu diễn số phức trong m ặt phẳng hoàn toàn thích hợp

khi xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức

1.4.6 K hoảng cách giữa hai điểm

Giả sử M ( z l )ì N ( z 2) e E 2 Ta có M Ẻ = z2 — Zị Khi đó khoảng cách

giữa hai điểm M, N được tính theo công thức:

[rịcosip + i sin y?)]n = r n(cosmp + i sin rup).

và khi r = 1 ta có (cosip + i sin <f)]n = cosrup + ỉ sinrn^.

Cả hai công thức đó đều là công thức Moivre

Chú ý: Công thức Moivre còn đúng khi n nguyên âm

(và cả khi n = 0,z = r(cos tp + ỉ sin tp) Ỷ- 0).

M ỘT SÔ D Ạ N G T O Á N H ÌN H

PH Ứ C Đ Ể GIẢI

Trong chương này chúng ta sẽ phần nào thấy được nét ưu việt của

số phức trong hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng Trong mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống các ví dụ điển hình và bài tập tương tự có hướng dẫn ở chương sau

2.1 D ạ n g 1 : G ó c đ ịn h h ư ớng củ a h ai v e c tơ

2.1.1 Đ ịn h nghĩa

Để tính góc đinh hướng a tạo bởi hai vectơ đi qua gốc tọa độ o , ta chọn

hai điểm Z \ , z2 có tọa vị tương ứng lần lượt là Z ị , z 2

nằm trên mỗi vectơ Khi đó:

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo

hướng dương của hai vectơ bất kỳ theo tọa vị

của các số phức thì sao?

Đ ịn h nghĩa: Trong m ặt phẳng cho bốn điểm Zị, Z2, U1,Ư 2 có tọa

vị tương ứng lần lượt là 21,^2 5^ 1 , 1*2 Góc định hướng giữa hai vectơ

Z\ Z2, U 1 U 2 là góc quay vectơ đơn vị đặt trên Zị Z2 một góc íp theo chiều

dương (ngược chiều kim đồng hồ) đến trùng với vectơ đơn vị đặt trên

ũ j f 2 Kí hiệu Ợ j ? 2 , ŨĨỬ-?) = y.

2.1.2 M ệnh đề

Trong E 2 cho hệ tọa độ trực chuẩn (O, ẽ i , ẽ ị) và hai điểm M [zi) , N (z2).

Khi đó góc định hướng giữa hai vectơ O M và ON.

Đặt 2: = — Ta lại có:

Từ mệnh đề ta rút ra cách tính tổng quát góc định hướng giữa hai vectơ

Zi z l , Ui u 2 cho bởi bốn điểm Zi, Z 2 ,Ui, Ư 2 có tọa vị tương ứng lần lượt

2.1.3 T ỉ số đơn

Đ ịn h nghĩa: Trong m ặt phẳng phức cho ba điểm phân biệt Mo, M i, M2

có tọa vị theo thứ tự là z0, z 1, z 2 ta gọi số phức, kí hiệu và xác định bởi:

[M0 ì M i , M ĩ ] = [ ZQ , ¿ 1, z 2 ] = —— — là tỉ số đơn của bộ ba điểm Mo, M u Mỉ

V í dụ 2.1.1 Cho hình vuông ABCD Điểm M là trung điểm của CD,

điểm p nằm trên đường chéo AC sao cho \PC\ = 3 \AP\ Chứng minh rằng B P M — 90°.

Lời giải.

+ ) Lấy hệ tọa độ vuông góc sao cho A là điểm gốc và A ồ là vectơ đơn

vị theo chiều dương của trục hoành => Tọa vị của những điểm A,B,C,D

Hơn nữa u I = 1 = 1 +> P B = P M , nên A B P M là vuông cân.

V í dụ 2.1.2 Cho tam giác ABC Trong nửa m ặt phẳng bờ AB chứa điểm c dựng hình vuông ABDE Trong nửa m ặt phẳng bờ BC chứa

điểm A dựng hình vuông BCFG Chứng minh G A ^ C D và GA = CD.

Lời giải.

+ ) Giả sử tọa vị các đỉnh A,B,C của A A B C có tọa vị tương ứng lần

lượt là a,b,c và A A B C được định hướng thuận.

+ ) G có được là do quay điểm c quanh B một góc 90°

+ ) D có được là do quay điểm A quanh B một góc —90°

=>• 7~— ịr[co s(- 90° )+i sin ( - 90°) ]

cạnh AB lấy điểm D sao cho BD=2AD Các đoạn thẳng AM và CD cắt nhau tại điểm I Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn AM.

Lời giải.

A

+ ) Gọi tọa vị ba đỉnh A,B,C của A A B C là a,b,c và A A B C được định

hướng thuận

Theo giả thiết B D = 2A D =>■ 3A ồ = A ồ

=> Tọa vị d của D thỏa mãn: 3(d — a) = (b — a) =>• d = ——

=>■ (c , d , i ') là một số thực =>■ C ,D ,r thẳng hàng =>■ I' G CD.

=>• I' = A M n CD =>• 1 = 1' =^> I là trung điểm của AM.

V í dụ 2.1.4 Cho A A B C , dựng về phía ngoài A A B C các hình vuông

ABDE và ACFG Gọi H,K,L lần lượt là trung điểm của các đoạn BE,BC,CG

Chứng minh rằng A H K L là tam giác vuông cân.

Lời giải.

+ ) Lấy hệ tọa độ vuông góc Đề-các sao cho A là gốc

Gọi tọa vị 3 đỉnh của A A B C lần lượt là a = 0,6, c.

+ ) Do K là trung điểm của BC =>• Tọa vị k của K là k = b + c

Từ giả thiết suy ra E,G,HjL có tọa vị lần lượt là e = —b i ; g — cỉ

+ ) Do H là trung điểm của BE =>- Tọa vị h của H là h = -— —.

V í dụ 2.1.5 Về phía ngoài của A A B C v ẽ các tam giác cân MAB,NCA

và PCB theo thứ tự nhận các điểm M,N,P làm đỉnh góc vuông Chứng minh rằng các đoạn thẳng AP và MN bằng nhau và vuông góc với nhau

Lời giải.

+ ) Lấy hệ tọa độ vuông góc Đề-các sao cho A là gốc Gọi tọa vị các

điểm A,B,C,M,N,P có tọa vị lần lượt là a = 0, b, c, m, n ,p

điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của các đường thẳng

AD và BC với đường thẳng MN Chứng minh rằng nếu A D = B C thì

2.2 D ạ n g 2 : Đ ư ờ n g th ẳ n g tr o n g m ặ t p h ẳ n g p hứ c

2.2.1 P hương trìn h đường th ẳn g

a) P hương trìn h tổ n g quát củ a đường th ẳn g

*) M ệnh đề: Trong m ặt phẳng E 2 phương trình tổng quát của đường

thẳng dưới dạng phức có dạng:

a z + ã z + 7 = 0 ( a ^ 0, 7 ẼM)

C hứng minh:

Cho ba điểm z , Zị, z 2 phân biệt có tọa vị tương ứng lần lượt là z, Zi,z2

Z , Z ị , Z 2 nằm trên cùng một đường thẳng, nghĩa là góc giữa hai vectơ

Z i Z 2 và z z 2 bằng kiĩ (k € M), hay (z, Zi,z2) là một số thực.

Khi đó theo tính chất của số phức ta có:

Do phương trình đường thẳng A có phương trình có phương trình dạng

thực tương ứng là 2ax — 2by + 7 = 0 (2) Khi đó A có vectơ pháp tuyến là: Ũ a = (a; —6) tương ứng với a — bi = ã, nghĩa là Ũạ = ã

Tương tự đường thẳng A có phương trình xác định bởi (2) có vectơ chỉ phương là Ũa = (fr; ữ) nó tương ứng với 6 + ỉa = iă.

=>■ (1) CÓ vectơ chỉ phương là Ũa = ỈÕL.

b) P hư ơng trìn h chính tắ c của đường th ẳn g

Đường thẳng đi qua điểm M 0 có tọa vị là z0 với một vectơ chỉ phương

Lấy z — z0 thì ta được ỊAỊ = 1.

3) Ngược lại, xét phương trình z = Ằz + ô mà |A| = 1 và Aố + (5 = 0.

2 = A ( ^ - 1 đó là phương trình đường thăng qua diêm có tọa vị

— với vectơ chỉ phương l t có toa vi u mà = A Vì (u , (5) = 0 nên điểm

Ba điểm Zữ (+)), Z\ {zi) , Zi (22) thuộc đường thẳng

+> (ZQ, Z ị , z 2) = — - là một số thực Do đó với mọi số thực À thì số

* i- * 2

phức z = z2 +{zi — z2) \ = A Z1 +(1 — A) z2 là tọa vị của một điểm thuộc

một đường thẳng và ngược lại

Như vậy, khi A € K thì phương trình z = X Zị + (1 — A) z2 gọi là phương

d) V ị trí tương đối của hai đường th ẳn g

Cho hai đường thẳng có phương trình dạng:

i

e) G óc giữa hai đường thẳn g

Cho hai đường thẳng có phương trình dạng:

A : a z + ã z + 7 = 0 (a ^ 0,7 e R )

A : a'z + a'z + 7' = 0 (<y 7^ 0 ,7 ' ẽ R )

Ta gọi tp là góc giữa hai đường thẳng A và A ' được xác định bởi:

+ ) Chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc tại A và A ồ là vectơ đơn vị theo

chiều dương của trục hoành

Khi đó gọi tọa vị của A,B,C,D,E,P lần lượt là 0,l,c,d,e,p

Tọa vị p là nghiệm của hệ phương trình:

1 + A2

1 + Ai

T O

z có tọa vị z thuộc đường thẳng A ịB i.

Chứng minh tương tự suy ra z thuộc đường thẳng A 2B 2.

Vậy z trùng giao điểm M của A ị B ị và A 2B 2.

1 + Ai (1 + A2) ( a + A3 b) — (1 + A3) (c + A2 a )_ 1 + A2 a ~ b + Ai { ữ ~ c) + Ai A3 {b — c)

Cho ba điểm A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh BC,CA,AB của A A B C

(không trùng với đỉnh) Chứng minh rằng ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi:

TH I: Chứng minh Ai A2 A3 = 1 =>• AA’,BB’,CC’ đồng quy tại M

Do A ’,B’,C’ lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB nên ta có: