Khoá luận tốt nghiệp dạng toàn phương và một số vấn đề liên quan

4 1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương... Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu1.5 Chỉ Số quán tính của dạng toàn phư ơng..... M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu dạng

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS Trần Văn Nghị,

người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận này Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N guyễn Thị Hậu

Lời ca m đ oa n

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Văn N ghị

khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác.Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N guyễn Thị Hậu

1 D ạng to à n phương 1

1 1 Ánh xạ đa tuyến t í n h 1

1.1.1 Các định n g h ĩ a 1

1.1.2 Các tính c h ấ t 3

1.1.3 Các định lý và hệ quả 4

1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương 9

1.2.1 Các định n g h ĩ a 9

1.2.2 Ma trận của dạng song tuyến t í n h 10

1.2.3 Mệnh đ ề 11

1.3 Đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về dạng chính t ắ c 1 2 1.3.1 Định nghĩa 12

1.3.2 Định lý 13

1.3.3 Hệ q u ả 16

1.4 Hạng và hạch của dạng toàn p h ư ơ n g 17

1.4.1 Định nghĩa 17

1.4.2 Định lý 18

1.4.3 Hệ q u ả 20

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

1.5 Chỉ Số quán tính của dạng toàn phư ơng 20

1.5.1 Định nghĩa 20

1.5.2 Định lý Sylvester về chỉ số quán t í n h 21

1.5.3 Hệ q u ả 24

1.5.4 Dạng toàn phương tương đ ư ơ n g 24

1.5.5 BỔ đề 26

1.5.6 Định lý S y lv e s te r 28

1.6 Bài t ậ p 28

2 H àm to à n phương lồi 41 2.1 Hàm l ồ i 41

2.1.1 Định nghĩa 41

2.1.2 Định lý 42

2.2 Hàm toàn phương l ồ i 44

3 H àm to à n phương lồi su y rộng 47 3.1 Hàm tựa l ồ i 47

3.2 Hàm giả l ồ i 58

4 ứ n g dụng vào bài toán quy hoạch to á n học 63 4.1 Sự tồn tại n g h iệ m 63

4.2 Điều kiện cực trị 64

sau này, em đã chọn đề tài "Dạng toàn phương và một số vấn đề liên

quan" để làm đề tài khóa luận tố t nghiệp.

2 Đ ố i tượng, phạm v i nghiên cứu

• Đối tượng: Dạng toàn phương, hàm toàn phương và hàm toàn phương suy rộng

• Phạm vi: Nhứng kiến thức liên quan đến dạng toàn phương

3 N h iệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về dạng toàn phương và một số ứng dụng

4 M ục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dạng toàn phương để hiểu sâu hơn về dạng toàn phương và một số ứng dụng của nó

5 P hư ơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu liên quan

6 N ộ i dung khóa luận

Nội dung khóa luận gồm 4 chương:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Chương 1: Dạng toàn phương

Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương, Hạng và hạch của dạng toàn phương, Chỉ số quán tính và một số bài tập liên quan tới dạng toàn phương Chương 2: Hàm toàn phương lồi

Chương này trình bày các định nghĩa về hàm toàn phương, hàm lồi và hàm toàn phương lồi

Chương 3: Hàm toàn phương lồi suy rộng

Để mở rộng cho chương 2, chương này chúng ta tìm hiểu về định nghĩa hàm tựa lời và hàm giả lồi

Chương 4: ứ ng dụng vào bài toán quy hoạch toán học

Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016

Sinh viên

N g u y ễn T h ị H ậu

là một ánh xạ đa tuyến tính (hay k-tuyến tính) nếu nó tuyến tính với

từng thành phần õ?i khi cố định các thành phần còn lại Tức là,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Đặc biệt:

• Nếu w = K thì (p được gọi là k- tuyến tính trên Y.

• Nếu k = 2 thì ip được gọi là ánh xạ song tuyến tính.

Ánh xạ k-tuyến tính ( ¿ ? : Y x Y x - - - x Y —> w được gọi là thay phiên

(hay phản đối xứng) nếu giá trị của <p trên k vecto trong đó có 2 vecto

bằng nhau là l / Tức là ụ> (• • • , ~ể, ■ ■ ,~ể,■■■) =

Cho V là k-không gian vecto n chiều và (e) = ự ề ị , • • • ~Ỷn} là một cơ sở của V Xét hệ n-vecto Õ^I, ~ằ2i • • • , õ^n trong V Giả sử

Gọi Ả = (aij) là ma trận lập nên bởi các cột tọa độ của các vecto

~ẩi, 0 ^2, • • • , ~ắn đối với cơ sở (e) Gọi detA là định thức của hệ vecto

~ẩ2, • • • , õ L trong (e).

Ký hiệu dete hay D e.

Khi đó De là một dạng n-tuyến tính thay phiên trên Y.

Kí hiệu An(Y) là tập hợp gồm tấ t cả các dạng n-tuyến tính thay phiên

trên Y thì An(Y) lập thành một không gian vecto trên trường K với phép cộng hai dạng n-tuyến tính thay phiên và phép nhân một dạng n-

tuyến tính thay phiên với vô hướng A được định nghĩa như sau:

(ip + ìp) (cÊi, • • • , c t n) = ip ựcti, ■ ■ ,~ẩn) + ĩ p ự ứ i , ■ ■ ,~ấn) ;

(Aí^) ( « ! , ' • ■ 5Qín) \(p {^OL • • • , Qín).

với Vyp, ĩp € An(Y) và VA € K.

n

i= 1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Ta có ~ằ j = Xi~ẩị Theo tính chất đa tuyến tính của ip ta có

Đ ịn h lý 1.1 Nếu d i m Y = n thì d im A n( Y ) = 1 Hơn nữa nếu (e) =

{~ềi, • • • ~ề n\ là một cơ sở của ¥ thì {De} là một cơ sở của An(v) Chứng minh Do d i m Y = n suy ra V có cơ sở duy nhất là (e) = {~ềị, • • • ~ền} Do đó có duy nhất một dạng n-tuyến tính thay phiên

Do <f có tính chất thay phiên nên có hai trong các chỉ số ¿1, • ■ • , i n bằng

nhau thì số hạng tương ứng bằng 0 Vì vậy tổng trên lấy các chỉ số

Suy ra { D e} là một cơ sở của không gian vecto An(v) □

H ệ quả 1.1 D etA Ỷ 0 khi và chỉ khi các vecto cột của A độc lập tuyến

tính trong Kn

Ta có (a) = ("ẽ^i, • • • , ~ắn) là một cơ sở của Kn.

Gọi (e) = { 1? 1, ■ • ■ ~ền} là một cơ sở chính tắc của Kn thì {det = D e} là

một cơ sở của An(Kn)

Khi đó Da = c.det với c e K nên

c.d&t ( Qí 1 5 *' * 5 Oi n ) D a ( ot \3 3 Qt n) 1.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Vậy

det A = D a ■■ ,~ần) Ỷ 0.

[=>•] Giả sử det 0

Ta dùng phản chứng, giả sử ~ẩị: ■ ■ , ~ần phụ thuộc tuyến tính.

Theo tính chất của định thức thì det Ả — 0 suy ra vô lý.

Đ ịn h lý 1.2 Giả sử / € E n d i y ) với V là K - không gian vecto n chiều

Khi đó có duy nhất một phần tử ký hiệu là d e t ( f ) G K sao cho

= det (/).<£ ("cti, • • • ^ n ) e V,

với € An(V) và VÕ^I, • • • , ~ắn G V.

Vì d im A n(V) = 1 nên {77} là một cơ sở của An(V)

-Như vậy, đẳng thức nói trong định lý nghiệm đúng với hằng số d e t(/) = d

không phụ thuộc vào <f.

Đ ịn h lý 1.3 Tự đồng cấu / : V —>• V có ma trận là A trong một cơ sở

nào đó của V thì d e t f = detA.

đó / có ma trận A Ta có

n

= 1, n

Ỉ=1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Chọn ip = D e € An(V) và định lý 1.1.3 ta có

d e t(/) = d e t( /) d e t( £ n) = d e t ( f ) D e ( Ỹ u ■ ■ ■ , Ỹ n)

= De ( f ( ~ t i), • • • , f ự Ỷ n)) = det A.

□

H ệ quả 1.2 Nếu A và B là ma trận của tự đồng cấu / : V —>• V trong

những cơ sở khác nhau của V thì det A = det B.

H ệ quả 1.3 Ta có một số hệ quả sau:

i) det ỉdỵ = 1;

ii) det(go/) = det g det / ; V/, g e E n d ( V );

iii) Nếu / G End(V), f khả nghịch thì d e t ( / _1) = [det(/)]_1.

Đ ịn h lý 1.4 Tự đồng cấu / : V —>• V của K - không gian vecto hữu

hạn chiều ¥ là một đẳng cấu khi và chỉ khi d e t(/) Ỷ 0

-Chứng minh Giả sử (e) = {T^I, • • • , ~Ỷn} là một cơ sở của V Ta có

d e t(/) í 0 ^ D e ( f ( Ỹ i), • • • , f { Ỹ n)) í 0.

Do đó hệ vecto { f ự Ỷ i), • • • , f ự Ỷ n)} độc lập tuyến tính Do đó / là đẳng

1.2 D ạng song tu yến tính đối xứng và dạng toàn

phương

1.2.1 Các định nghĩa

• Ánh xạ T] : Y X Y —> R là một dạng song tuyến tính trên Y nếu nó

tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến còn lại

• Dạng song tuyến tính ĩ] được gọi là đối xứng nếu

• Giả sử ĩ} : V X Y —»■ R là một dạng song tuyến tính đối xứng trên Y

Khi đó ánh xạ H : V —> R, ~ct !-»• H(~ẩ) = rỉ(~ầ,~ầ) gọi là dạng toàn

phương trên Y ứng với dạng song tuyến tính đối xứng r).

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Khi đó A = (aij)nxn trong đó ũiị = ltj ),v ố i i , j = 1,2, ,n được

gọi là ma trận của dạng song tuyến tính r] trên Y trong cơ sở (s:).

Khi ĩ] là dạng song tuyến tính đối xứng thì ma trận A cũng được gọi là

ma trận của dạng toàn phương H ứng với 77

Ta gọi biểu thức này là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính 77

trong cơ sở (e)

M ệnh đề 1.1 Giả sử A = (ữij)nxn là ma trận của dạng song tuyến tính

trên không gian vecto Y trong cơ sở (e) = {1*1, • • • , ~Ỷn} Khi đó 77 là

dạng song tuyến tính đối xứng khi và chỉ khi A = A t nghĩa là A là ma

M ệnh đề 1.2 Giả sử A và B là ma trận của dạng song tuyến tính

ự ị ì u ■ ■ , ~ịìn} của Y Nếu c là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở

(/i) thì ta có B = C tA C

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Chứng minh Đặt A = (aij)nxn, B = (bij)nxn, c = (cij)nxn, ta có

Giả sử 77 là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V H là dạng toàn

phương ứng với 77 Khi đó:

• Nếu r](~ẩ, ~$) = 0, VỐ, £ V thì ta nói vecto ~ẳ 77- trực giao với ~ịẳ

Kí hiệu ~ằ-Lri~Ệ.

• Cơ sở (e) = • • • , ~ền} được gọi là một cơ sở rị- trực giao nếu các

vecto của cơ sở này đôi một 77- trực giao Nghĩa là

chính tắc của dạng toàn phương H.

1.3.2 Đ ịn h lý

Mọi dạng toàn phương đều có biểu thức tọa độ dạng chính tắc

vecto Y Dạng toàn phương H trong (e) có biểu thức tọa độ

n

H i ~ á ) = X ì a i T x i - x J ’ ( ° i j =

i,j=1

• Trường hợp 1: Giả sử 3ũịi 7^ 0 với % nào đó Giả sử ữn = 0 Ta có

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Nguyễn Thị Hậu

Giả sử ữ!2 Ỷ 0- Thực hiện phép đổi tọa độ trong V

Trong đó hệ số của y\ là 2ữi2 Ỷ 0- Ta trở về trường hợp 1.

• Trường hợp 3: Vaij = 0, ( i , j = 1, n ) Khi đó H có dạng chính tắc trong

V í dụ 1: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc trên M3 :

Đổi tọa độ <

Ta có

yi = X ị - 2x2 V2 = x 2

H ( É ) = 4(y? - yị) + 3(ỉ/i - y2)y3

= 4y\ - 4y\ + ‘ầy1y3 - 3y2y3

= 4(yi + gỉ/3)2 - 4 (3/2 + Ịỉ/23/3 + ~^ịVỈ)

= 4(3/1 + ~3/3)2 - 4(2/2 +

g3/3)2-Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

H ệ quả 1.4 Mỗi dạng song tuyến tính đối xứng ĩ] trên không gian vecto

thực hữu hạn chiều V đều tồn tại cơ sở 77-trực giao

H ệ quả 1.5 Mọi dạng toàn phương đều đưa về dạng chuẩn tắc.

Giả sử (e) = • • • £n} là một cơ sở của 77-trực giao của dạng song

tuyến tính đối xứng khác không ĩ] trên V.

Khi đó, sau khi biến đổi ta đưa dạng toàn phương H về dạng chính tắc

Ta gọi đó là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H.

1.4.1 Đ ịn h nghĩa

Giả sử H là một dạng toàn phương trên M-không gian vecto hữu hạn chiều Y có ma trận là A trong một cơ sở nào đó (s:) = {1*1, • ■ • , ~Ỷn}

của Y

Ta gọi ra n k A là hạng của dạng toàn phương H

Giả sử ĩ] là một dạng song tuyến tính đối xứng trên Y Ta gọi tập hợp

Y° = e V : r}(~ẩ: ) = 0,V ^ G vỊ

là hạch hay hạt nhân của T) Kí hiệu kerr}.

Giả sử T và u là hai không gian vecto con của Y và 77 là một dạng song tuyến tính đối xứng trên Y Khi đó:

• T trực giao với u theo nghĩa r) (hay Ty- trực giao với u) nếu ~ ề v ”? E

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

T, v í t € u, nghĩa là tị ( Ĩ , l ì ) = 0, v~ t € T, v í t € u Kí hiệu T ± VU.

• Nếu T n t/ = I và TẢ.VU thì tổng trực tiếp T © u được gọi là một

tổng ĩ]- trực giao ( hay H- trực giao).

Kí hiệu T(&LU.

Chú ý:

• Nếu r a n k H — r ank V thì dạng toàn phương H và dạng cực ĩ] của nó

gọi là dạng không suy biến

Trái lại, r a n k H < r a n k V thì H gọi là dạng suy biến.

• Y°T^V

1.4.2 Đ ịn h lý

Gọi Y° là hạch của dạng song tuyến tính đối xứng 7] trên không gian vecto Y khi đó: rankĩ] = dim V — dimY° Hơn nữa, nếu w là một phần

bù tuyến tính của Y° trong Y thì r/|WxW không suy biến và Y = Y°©-Lw

Chứng minh Giả sử (e) = {"ẽ^i, • • • , ~ Ỷ n } là một cơ sở của Y

_ n _

Vì v° là không gian vecto con của V và « = X i £ i Ễ v ° khi và chỉ

i=1

khi ( xi , X2, ■ ■ , x n) là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất

có ma trận là Ả = (dịj) cũng chính là ma trân của 77 trong cơ sở (e) cho nên ta có

dim v° = n — r a n k A = dim V — rankr]

Do w là một không gian con của V và V°_L^V nên

0 <E V Suy r a ^ e Y ° V ậ y ^ e ¥ n W vô lý vì v ° n w = I " í I

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

1.4.3 H ệ quả

Dạng song tuyến tính đối xứng 7] không suy biến khi và chỉ khi hạch của

Do 7] không suy biến nghĩa là

1.5.1 Đ ịn h nghĩa

Giả sử H : V —> R là một dạng toàn phương trên không gian vecto Y.

• H là dạng toàn phương xác định nếu H(~ẩ) = 0 =>• ~ẩ = 0 ;

• H là dạng toàn phương nửa xác định dương nếu H ỰÉ) > 0 , v ố <E V;

• H là dạng toàn phương nửa xác định âm nếu H(~ẩ) < 0,VÕ^ € V;

• H là dạng toàn phương dương nếu nó là một dạng toàn phương xác

1.5.2 Đ ịn h lý S ylvester về chỉ số quán tín h

Giả sử H là một dạng toàn phương trên R - không gian vecto hữu hạn

chiều ¥ Khi đó có một phân tích V thành tổng trực tiếp trực giao đối

với H\ V = Y + S ^V -S ^V o Trong đó H\v+ xác định dương, H |y_ xác định âm, H |vo = 0 Trong bất kì sự phân tích nào như vậy thì v 0 lừ hạch

của H , d i m V + = p, d i m V _ = q là những hằng số.

Đ ịn h nghĩa:

Ta gọi p là chỉ số quán tính dương, q là chỉ số quán tính âm và cặp số

ứng với H) Hiệu số p — q được gọi là kí số của H (hay của rị).

Chứng minh Giả sử trong cơ sở (e) = {~ế\, • • • , ~ền} của V, dạng toàn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

x \ + ■ ■ ■ + x ị — 0 «=> X i — ■ ■ ■ = X p — 0

Do đó

TI

~ ầ — x f ề i — 0 i= 1

Suy ra H\y xác định dương.

Tương tự H\y_ xác định âm, H \y — 0 Dạng cực 7] của H được xác định

Ta đi chứng minh Vo = v ° (là hạch của H ).

Giả sử ~ắ e Vo- Vì V+T^Vo, V_T^V0 nên

Suy ra v0 = v°

Giả sử ~ằ € v° Ta có ’ế = ~ằ+ + ~ằ_ + ct0- Trong đó ~ct+ e V+,

~ầ- e V _ , ~ầữ € Vo- Do ~ầ e Y° nên

Suy ra ~ằ = ~ầữ e Yo,Võf G Y°.

Vậy Y° c Y0 Từ đó Y° = Y0.

Giả sử có 2 phân tích H - trực giao như trên:

Vì p + q = P ' + q' = dim V — dim V° nên q < q'.

Ta có dim(Y+©-LY°) + dim Y_' = p + dim Y° + q' > dim Y,

do đó tồn tại vecto ~ ằ E (Y+©±Y°) n V -'.

Do lề G (Y+©-LY°) nên H(~ể) > 0 Suy ra mâu thuẫn.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Vậy p = p' và q = q' hay d i m Y + = p , d i m V - = q. □

1.5.3 H ệ quả

< Dạng tọa độ của định lý Sylvester về chỉ số quán tính>

Giả sử dạng toàn phương H được đưa về dạng chuẩn tắc trong 2 cơ sở

khác nhau:

H C^) = xỊ + ■ ■ + xị - x ị +1 - x ị +q]

H(~ẩ) = yỊ + - + y 2 p/ - y ị + l -y2 p/+q/.

Khi đó p = p',q = q' là chỉ số quán tính dương và âm của H còn

dim V — {p + q) là số chiều hạch của H.

1.5.4 D ạng to à n phương tương đương

Khi đó có tự đẳng cấu ip : V —»• V thỏa mãn — H2(ip(~ot)).

Nếu (e) = {~ế\, • • • , ~ền} là một cơ sở của V mà trong cở sở (e) thì Hi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

Suy ra H2(ip(đ)) = x\ H -b x\ - x 2 p+l - ■

Vậy hai dạng toàn phương Hi và H 2 tương đương. □

* Chú ý:

Với mỗi cặp số (p, q) không âm là một lớp tương đương các dạng toàn

phương Vậy số các lớp tương đương của dạng toàn phương trên không

gian vecto thực n chiều là

1.5.5 B ổ đề

Cho H là một dạng toàn phương trên R- không gian vecto n chiều V Giả sử {~ế\, • • • , ~Ển} là một cơ sở của V mà hạn chế của H trên mỗi không gian Vk — (~^1, • • • , ~Ỷk) đều không suy biến, ( k — 1 ,n) Khi đó

hệ vecto {"^1, • • • , xây dựng bởi quy nạp

là một cơ sở 77-trực giao của Vjfc, k = 1, n

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu

1.5.6 Đ ịn h lý S ylvester

Giả sử dạng toàn phương H trên không gian vecto thực hữu hạn chiều

Y có ma trận A trong cơ sở nào đó của Y Khi đó:

a) H xác định dương khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trên bên trái của A có định thức dương;

b) H xác định âm khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trên bên trái của A cấp chẵn có định thức dương, cấp lẻ có định thức âm.

B ài 1: Viết ma trận của các dạng song tuyến tính 7] trên R 3 trong cơ sở

chính tắc ở đây ~ằ = {xu x 2, x 3),~iĩ = (yu y2: y3).

a) ĩ](~ầ, ) = 2xiyi - 3x 2y3 + ị x 3yx - x 3y3;

b) T Ị ) = ẩXiy2 - 5xiy3 + 8z22/i - Qx2y3 + x 3y3.

B ài 2: Viết ma trận và biểu thức tọa độ của các dạng cực của dạng toàn

phương H trên M3 trong cơ sở chính tắc, nếu biểu thức tọa độ của H

trong cơ sở đó là:

a) H(~ẩ) = xị + xị — 3xị + 2 x i X2 — ẩx2x 3;

1 0

- 2 - 3Biểu thức tọa độ

Tỉ(ct, ) = Xiyi + x2y2 - 3x3y3 + Xịy2 + x2yi - 2x2yz - 2x3y2.

ĩ]{~ầ,JỈ) = Xiyi - x 2y2 - ị x xy3 + I x 2y3 - ị x 3yx + ị x 3y2.

B ài 3: Cho ma trận của dạng song tuyến tính r] trên M3 có ma trận đối

với cơ sở chính tắc là