Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và các tính chất metric của nó

Em xin cam đoan những kết quả của đề tài "Khảo sát đường congtrong mặt phẳng và các tính chất metric của nó" là kết quả củaviệc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không sao chép

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS NGUYỄN THỊ TRÀ

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Nguyễn Thị Trà người đã tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổHình học cũng như các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học

và trong suốt thời gian làm khoá luận

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài khoá luận này

Mặc dù cố gắng nhiều, song kinh nghiệm và thời gian của bản thân cònnhiều hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mongđược sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạnđọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Xoan

Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới

sự hướng dẫn nhiệt tình của ThS Nguyễn Thị Trà

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thànhquả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trântrọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả của đề tài "Khảo sát đường congtrong mặt phẳng và các tính chất metric của nó" là kết quả củaviệc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không sao chép từ cáckhoá luận trước

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Vũ Thị Xoan

Lời mở đầu 3

1.1 Cung tham số hoá 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Khảo sát cung tham số hoá trong lân cận một điểm 6 1.1.3 Tính các diện tích phẳng 14

1.1.4 Ví dụ 14

1.2 Đường cong trong toạ độ cực 19

1.2.1 Định nghĩa 19

1.2.2 Biểu diễn đường cong trong toạ độ cực 21

1.2.3 Khảo sát đường cong cho bởi phương trình cực trong lân cận một điểm 23

1.2.4 Tính diện tích phẳng trong toạ độ cực 29

1.2.5 Ví dụ 29

1.3 Đường cong cho bởi phương trình Descartes Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng 31

1.3.1 Đường cong cho bởi phương trình Descartes 31

1.3.2 Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng 32

1.3.3 Ví dụ 36

2 Các tính chất metric của đường cong trong mặt phẳng 39 2.1 Các tính chất cấp 1 39

2.1.1 Hoành độ cong 39

2.1.2 Biểu diễn tham số theo hoành độ cong 41

2.1.3 Ví dụ 43

2.2 Các tính chất cấp 2 46

2.2.1 Bán kính cong Tâm cong 46

2.2.2 Đường tròn mật tiếp Đường túc bế của một đường cong trên mặt phẳng 49

2.2.3 Các đường thân khai của một đường cong trên mặt phẳng 52

2.2.4 Ví dụ 52

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng nhưtrong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứucác môn khoa học khác

Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu chuyên ngành hình học,một bộ môn quan trọng và tương đối khó trong đó có môn hình học viphân Hình học vi phân có ứng dụng lớn trong hình học phẳng ở trườngTHPT, có nhiều dạng bài khác nhau, mỗi dạng mang một đặc điểm vàtính chất riêng

Trong kì thi quốc gia THPT, dạng bài toán về khảo sát đồ thị hàm

số không thể thiếu, hoặc trong các chương trình đại học ở các phân mônkhác nhau có các bài toán liên quan đến đồ thị các hàm số phức tạp hơn

mà bản thân em và các bạn sinh viên trong quá trình học cũng chưa biếthình dạng đồ thị của nó ra sao vì vậy để làm rõ hơn vấn đề này em đãchọn đề tài "Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và tính chất metriccủa nó" làm khoá luận tốt nghiệp

Luận văn gồm hai chương: Chương 1 "Đường cong trong mặt phẳng",Chương 2 "Tính chất metric của đường cong trong mặt phẳng"

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về đường cong trong mặt phẳng, tính chất metric của nó.Xây đựng các bước khảo sát đường cong trong mặt phẳng, thấy hìnhdáng đặc biệt của một số đường cong

Làm rõ hơn về cung tham số hoá, đường cong trong toạ độ cực, đườngcong cho bởi phương trình Descartes và hình bao của một họ đường thẳngtrong mặt phẳng và tính chất cất một, cấp hai của nó.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về "Khảo sát đường cong trong mặtphẳng và tính chất metric của nó"

Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán về khảo sát đường cong, tínhdiện tích phẳng, tìm hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng,tìm bán kính cong, tâm cong, bài toán về đường túc bế, đường thân khaicủa đường cong trên mặt phẳng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về đường cong và một số lược đồ khảo sát vềđường cong và hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu liên quan

Đường cong trên mặt phẳng

Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng các bước khảo sát và vẽ đồthị của đường cong trong lân cận một điểm, cách tính diện tích đườngcong, cách tìm hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng

là cung tham số hoá thuộc lớp Ck Kí hiệu: f (t)

Cho f : I −→ R2 là cung tham số hoá Ta gọi {f (t), t ∈ I} là quỹ đạocủa f hay {f (t), t ∈ I} là một đường cong nhận f làm biểu diễn tham số(hay tập ảnh của cung tham số)

Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá (thuộc lớp Ck).

• Phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) của f là mọi ánh xạ ϕ : J −→ Itrong đó J là một khoảng của R sao cho: ϕ ∈ Ck trên J, ϕ là song ánh,

ϕ−1 ∈ Ck

trên I

• Biểu diễn tham số chấp nhận được (thuộc lớp Ck) của f là mọi ánh

xạ g : J −→ R2 trong đó J ⊂ R sao cho tồn tại một phép đổi tham

số ϕ (thuộc lớp Ck) của f sao cho g = f ◦ ϕ hay ánh xạ ϕ : J −→ I

là một phép đổi tham số (thuộc lớp Ck) khi và chỉ khi: ϕ ∈ Ck trên J,

ϕ0 > 0 (ϕ0 < 0), ϕ (J) = I

Nhận xét:

• Nếu f : I −→ R2

là một cung tham số hoá (thuộc lớp Ck), ϕ : J −→ I

là một phép đổi tham số (thuộc lớp Ck) thì các cung tham số hoá f và

f ◦ ϕ có cùng quỹ đạo

• f và g là Ck- tương đương khi và chỉ khi tồn tại một phép đổi tham số

ϕ (thuộc lớp Ck) thoả mãn g = f ◦ ϕ

1.1.2 Khảo sát cung tham số hoá trong lân cận một điểm

a) Tiếp tuyến tại một điểm

Định nghĩa 1:

• M(t) là điểm chính quy của τ ⇔ −−→f0(t) 6= 0.

• Cho f ∈ C2, M(t) là điểm song chính quy của τ ⇔ {−−→

f0(t);−−−→

f00(t)} độclập tuyến tính

Một điểm không chính quy được gọi là điểm dừng

 det(f0(ϕ(u)), f00(ϕ(u)))

= ϕ03(u) det(f0(ϕ(u)), f00(ϕ(u)))

n−−−−→

f0(ϕ(u)),−−−−−→

f00(ϕ(u)

ođộc lậptuyến tính

Định nghĩa 2:

Ta nói rằng một cung tham số hoá f : I −→ R2 thuộc lớp C1 (C2) làchính quy (song chính quy) khi và chỉ khi với mọi t∈ I, M(t) là một điểmchính quy (song chính quy) đối với f

Định lý:

Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp C1 τ là quỹ đạocủa f và A(t) là điểm chính quy của τ Khi đó tại mọi điểm chính quyA(t), τ nhận một tiếp tuyến và tiếp tuyến này có phương −−→

f0(t)

Định nghĩa 3:

Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá thuộc lớp C1 τ là quỹ đạocủa f và A(t) là điểm chính quy của τ Vectơ tiếp tuyến đơn vị (địnhhướng) của τ tại A(t), kí hiệu là −−→

Cho f : I −→ R2 là một cung tham số hoá τ là quỹ đạo của f

• Nếu f thuộc C1, M(t) là một điểm chính quy của

τ D là một đường thẳng đi qua M(t0) và không định

phương bởi f’(t0) Khi đó τ cắt D tại M(t0) Tức là

tại lân cận của M(t0):

Với t < t0 và t gần t0, τ nằm hoàn toàn về một phía

đối với D.

Với t > t0 và t gần t0, τ nằm hoàn toàn về phía kia đối với D

• Nếu f ∈ C2, M (t) là một điểm song chính quy của τ Tại lân cận t, τ thuộc nửa mặt phẳng giới hạn

bởi tiếp tuyến với τ tại M(t) và nằm về phía của

c) Nhánh vô tận, tính đối xứng và điểm bội.

Ta nói rằng τ có một nhánh vô tận khi t→ t0 ⇔ −−→f (t) → +∞, tức là:[x(t)]2+[y(t)]2 → +∞

Nói riêng, nếu

Phương tiệm cận: τ có một phương tiệm cận khi t→ t0 khi và chỉ khi

Với mỗi A ∈ R2 sao cho: lim

Đường tiệm cận: Đường thẳng D là đường tiệm

cận của τ khi t → t0 khi và chỉ khi tồn tại một vectơ

~v sao cho {−→u , −→v } độc lập, trong đó ~u là vectơ chỉ

phương của D

Kí hiệu (X (t) , Y (t)) là toạ độ điểm chạy M (t) trên

τ trong hệ quy chiếu Descartes (O, ~u, ~v) Ta có:

TH1: Nếu y(t)

x(t) −→ ±∞, thì τ có một nhánh parabolicvới phương tiệm cận y’y

TH2: Nếu y(t)

x(t) −→ 0 thì τ có một nhánh parabolicvới phương tiệm cận x’x

thì τ có một nhánh

parabolic với phương tiệm cận có phương trình là y =

ax

thì τ có một

nhánh parabolic với tiệm cận có phương trình là y =

ax + b

Khi vẽ τ , ta cần biết vị trí tương đối của τ và P(t) là

điểm của ∆ có cùng hoành độ x(t) với M(t) Vị trí tương

đối của τ đối với ∆ được xác định dấu của−−−−−−→

có đường cong τ0 Đường cong τ ” suy ra từ τ0 và τ =τ0 ∪ τ ”.

Giả thiết đối với x, y, ψ (cho ∀t ∈ I) Phép đẳng cự chuyển từ τ0 sang τ00

y (ψ(t)) = x(t) Phép đối xứng qua đường phân giác thứ nhất,

song song với đường phân giác thứ hai.

Định nghĩa tương tự cho điểm bội ba, điểm bội bốn,

d) Lược đồ khảo sát cung tham số hoá

• Khảo sát về x, y

1 Tìm các miền xác định của x và y

2 Khảo sát các phép đổi tham số để tìm tính chất đối xứng của τ

3 Khảo sát tại cận của các khoảng đó.

4 Khảo sát x’, y’ xác định các điểm làm triệt tiêu x’, y’; dấu của x’, y’

5 Lập bảng biến thiên

• Khảo sát τ

1 Xác định các nhánh vô tận và thể loại của nó

2 Xác định các điểm không chính quy, loại của chúng và dáng điệu củađường cong tại lân cận các điểm đó

3 Xác định các điểm bội và các tiếp điểm tại đó

4 Khảo sát các điểm đáng chú ý (điểm dừng; )

5 Khảo sát các điểm uốn

Mặt khác: y(t) + x(t) + 1

3 =

(1 + t)23.(1 − t + t2) > 0.

Vậy τ nằm về phía trên của ∆

Ví dụ 2: Khảo sát cung tham số hoá sau τ :





x(t) = t

2 + 12ty(t) = 2t − 1

2(2t − 1)t(t2 + 1) → −∞ (+∞)khi t → 0−(0+).

Vậy τ có một nhánh parabolic với phương tiệm cận y’y

+Tại 1 Bằng phép đổi biến u=t-1 Ta có:

x(t) = t

2 + 1

2t =

(u + 1)2 + 12(u + 1) = 1 +

có:

Vậy M(1) là điểm lùi loại một và tiếp tuyến được định phương bởi −→

A(D) = 2.1

2Z

1 + t3.t.(2 − t

2)(1 + t3)2 − t

1 0

Ta nói rằng ρ là bán kính cực của M và θ là góc cực của M

Ngược lại, ∀(θ; ρ) ∈ R2 tồn tại duy nhất M ∈ R2

nhận (θ; ρ) làm hệ toạ độ cực

Với θ ∈ R, ta kí hiệu −−→u(θ) = cos θ.−→

i + sin θ.−→

j làvecto chuẩn hoá có góc cực θ và

Giả sử: α ∈ R; R0 là hệ quy chiếu trực chuẩn

suy ra từ R bằng phép quay tâm O và góc quay

α

Với mọi M ∈ R2, nếu (θ; δ) là một hệ toạ độ cực của M trong R thì hệtoạ độ cực của M trong R’ là (θ − α; ρ)

1.2.2 Biểu diễn đường cong trong toạ độ cực

Giả sử

f : I → R2

t 7→ M (t) = f (t)

là một cung tham số hoá thuộc lớp C1 τ là quỹ đạo của f Giả thiết

∀t ∈ I, M(t) 6= 0 Kí hiệu (x(t);y(t)) là toạ độ của M(t) trong R

Cho ánh xạ g : I → U với ∀t ∈ I, g(t) = q x(t) + iy(t)

(x(t))2 + (y(t))2

∈ C1.Khi đó tồn tại một ánh xạ θ : I → R ∈ C1 sao cho ∀t ∈ I, g(t) = eiθ(t)

q[x(t)]2 + [y(t)]2.sinθ(t)

Vậy θ(t) là góc cực của M(t)

Ta kí hiệu J = θ(I) (là một khoảng của R), giả thiết ∀t ∈ I, θ0(t) 6= 0.Vậy θ : I → J là một C1- vi phôi, hay là một phép biến đổi tham số nênf.θ−1 là một biến đổi tham số thuộc lớp C1 của τ Đường cong C khi đóbiểu diễn bởi ρ = ρ(θ), trong đó:ρ : J → R ∈ C1 Khi đó τ nhận phươngtrình cực ρ = ρ(θ), (ρ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0)

Ví dụ 1: Giả sử D có phương trình: ax + by + c = 0 trong đó: (a; b) 6=(0; 0), c 6= 0 D là đường thẳng không đi qua O

aρ cos θ + bρ sin θ + c = 0

⇔ ρ(a cos θ + b sin θ) + c = 0

λ cos θ + µ sin θbiểu diễn đường thẳng D có phương trình Descartes: λx + µy − 1 = 0

Ví dụ 2: Cho (C) là một đường tròn đi qua O Phương trình Descartes

vào phương trình của (C) ta có:

ρ2 + 2ρ(a cos θ + b sin θ) = 0

⇒ (C) nhận phương trình cực ρ = λ cos θ + µ sin θ

Ngược lại, phương trình cực ρ = λ cos θ + µ sin θ biểu diễn đường tròn(C) có phương trình Descarter x2 + y2 − λx − µy = 0, đường tròn (C)

đi qua O

Chú ý: Ta có đường conic C với tiêu điểm O, đường chuẩn liên kết D,

tâm sai e, có phương trình cực là:

1 + cosθ biểu diễn parabol có tiêu điểm

O và đường chuẩn liên kết D với phương trình x = 1

Phương trình Descartes của đường parabolic này là: y2 = 1 − 2x

1.2.3 Khảo sát đường cong cho bởi phương trình cực trong

lân cận một điểm

a) Khảo sát đường cong cho bởi phương trình cực tại O

Cho τ là một đường cong có phương trình:

ρ : I → R

θ 7→ ρ(θ)

Giả sử tồn tại α ∈ I : ρ(α) = 0 và ρ liên tục tại α.

Vectơ −−→

u(θ) = cosθ.−→

i + sin θ.−→

j là vectơ chỉphương −−→

OM , có giới hạn là −−→

u(α) khi θ → α Suy

ra τ nhận đường thẳng đi qua O và có góc cực α

làm tiếp tuyến tại O

b) Khảo sát đường cong cho bởi phương trình cực tại một điểmkhác O

dθ 6= −→0 ⇒ M (θ) là một điểm chính quy của τ

τ nhận một tiếp tuyến tại M (θ), tiếp tuyến được định phương bởi

−→dM

toạ độ và điểm uốn

• Nhánh vô tận

+ Nếu ρ(θ) → a 6= 0 khi θ → ±∞ thì đường

tròn tâm O, bán kính |a| là đường tròn tiệm cận với τ

+ Nếu ρ(θ) → ±∞, θ → ±∞ thì τ có một nhánh xoắn

ốc

+ Giả sử tồn tại θ0 sao cho ρ(θ) → ±∞ khi θ → θ0

Lấy hệ quy chiếu mới R’ là hệ quy chiếu suy ra từ R bằng phép quaytâm O và góc quay θ0 Kí hiệu X’X, Y’Y là các trục của R0 Các toạ độDescarter X, Y của một điểm chạy của τ là:

Theo giả thiết X (θ) → ±∞ ,khi θ → θ0

Suy ra Y (θ) được biểu thị dưới một dạng không xác

định

Nếu Y (θ) → L ∈ R khi θ → θ0 thì τ nhận đường

thẳng có phương trình Descarter là Y=L trong R làm tiệm cận

Nếu Y (θ) → ±∞ khi θ → θ0 thì τ nhận một nhánh parabolic có phươngtiệm cận (X’X), vì Y (θ)

Ta thu được đường cong τ từ một đường cong τ (ứng với θ biến thiêntrong một khoảng có độ dài T) bằng những phép quay liên tiếp tâm O

và góc quay T, 2T,

Nếu T là bội của 2π (tức là nếu T

π ∈ Q) ta thu được toàn bộ đường congchỉ cho θ biến thiên trong một khoảng có độ dài T

Nếu T

π ∈ Q thì cách vẽ τ sẽ khó khăn hơn./

Ta nói T phản chu kì của θ khi với mọi θ, ρ(θ + T ) = −ρ(θ) khi đó, vớimọi θ, ρ(θ + 2T ) = −ρ(θ + T ) = ρ(θ)

⇒ ρ tuần hoàn với chu kì 2T Khi đó ta chuyển M [θ, ρ(θ)] sang

M [θ + T, −ρ(θ)] bằng phép quay tâm O, góc quay T + π

Với ∀θ, ρ(−θ) = ρ(θ)suy ra từ M [θ; ρ(θ)]

sang M [−θ; ρ(−θ)] bởi phép đối xứng qua

x’x Suy ra cho θ biến thiên trong [0; +∞]

rồi thực hiện phép đối xứng qua x’x

2; +∞

rồithực hiện phép đối xứng qua đường thẳng đó

∀θ, ρ(−θ) = −ρ(θ) Suy ra khi đó ta chuyển từ

M (θ; ρ(θ)) sang M (−θ; ρ(−θ)) bởi phép đối xứng

qua y’y Suy ra cho θ biến thiên trong [0; +∞) rồi thực hiện phép đốixứng qua y’y

Giả sử ∃α ∈ R : ρ(α − θ) = −ρ(θ) Suy ra khi

đó chuyển M [θ; ρ(θ)] sang M (α−θ; ρ(α−θ)) bởi

phép đối xứng qua đường thẳng đi qua O và có

Giải 2 phương trình này với các ẩn θ , k, l

• Phía lõm đối với gốc toạ độ và điểm uốn

Giả sử đường cong τ nhận một phương trình cực ρ = ρ(θ), ρ ∈ C2.

Kí hiệu: −→u = cos θ.−→i + sin θ.−→j

M là điểm chạy của τ , xác định bởi −−→

ρ0 ρ00 − ρ

ρ 2ρ0

= ρ2 + 2ρ02 − ρρ00

Nếu ρ2(θ) + 2ρ02(θ) − ρ (θ) ρ00(θ) > 0 thì τ quay

phía lõm (trong lân cận của M (θ)) về phía O

Nếu ρ2(θ) + 2ρ02(θ) − ρ (θ) ρ00(θ) < 0 thì τ quay

phía lồi (trong lân cận của M (θ)) về phía O

Nếu ρ2(θ) + 2ρ02(θ) − ρ (θ) ρ00(θ) triệt tiêu và chỉ đổi

dấu tại O, thì M (θ) là một điểm uốn của τ

d) Lược đồ khảo sát đường cong cho bởi một phương trình cực

4 Khảo sát sự biến thiên của ρ

5 Bảng ghi lại kết quả

Cho một đường cong được định hướng τ có phương trình ρ = ρ(θ), gốc

A, mút B Diện tích của hình quạt D được giới hạn bởi τ , OA, OB là:

A(D) = 1

2Z

+ ρ có chu kỳ tuần hoàn 2π

Ta sẽ cho θ biến thiên trong  −π

2 ;

π2

sau đó lấy đối xứng qua y’y

+ ρ0(θ) = cos θ sin θ − cos θ(1 + sin θ)

− cos θsin2θ .

dấu O, M (θ) điểm uốn τ

d) Lược đồ khảo sát đường cong cho phương trình cực

4 Khảo sát biến thiên ρ

5 Bảng ghi lại kết