Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN --- ĐỖ THỊ HẬU HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG NHIỀU CÁCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngà

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

ĐỖ THỊ HẬU

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI

TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH

BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS ĐÀO THỊ HOA

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp

giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo

điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này

Em xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Thị Hậu

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu được trong đề tài này là hoàn toàn xác thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Thị Hậu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 2

7 Cấu trúc khóa luận 3

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 4

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải bài toán 4

1.2 Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học 4

1.3 Phân loại bài toán 6

1.4 Phương pháp chung để giải bài toán .7

CHƯƠNG 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI CÁC BÀI TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG NHIỀU CÁCH 12

2.1 Mục tiêu dạy học các bài toán về phép biến hình 12

2.2 Những kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng .12

2.3 Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng .20

2.4 Một số khó khăn khi tổ chức hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng .22

2.5 Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề các phép biến hình bằng nhiều cách .23

2.6 Đánh giá chất lượng các cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài

toán thuộc chủ đề phép biến hình .61

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

PHỤ LỤC 66

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết 29-NQ/TW của Hội nghị trung ương 8 khoá IX về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ ra mục tiêu chung của giáo dục hiện nay là “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả Xây dựng nền giáo dục mở, thực học, thực nghiệp, dạy tốt, học tốt, quản lý tốt; có cơ cấu và phương thức giáo dục hợp lý, gắn với xây dựng xã hội học tập;”

Trong trường Phổ thông, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, đồng thời là công cụ để học các môn học khác

Trong các phân môn của Toán học thì Hình học là một môn học có tính hệ thống rất chặt chẽ, có tính lôgic và có tính trừu tượng cao hơn so với các môn học khác, có thể nói hình học là môn học khó đối với nhiều học sinh, đặc biệt

là phần phép biến hình ở lớp 11 Việc giải quyết một bài toán về phép biến hình không hề đơn giản, học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản

mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và cần phải thực hành nhiều Tuy nhiên, trên thực tế đa phần học sinh nắm không chắc kiến thức về chủ đề này và chưa biết cách áp dụng lí thuyết vào bài tập Khi dạy học chủ đề này giáo viên cũng gặp không ít khó khăn trong việc diễn đạt và trình bày cho học sinh hiểu Để giúp bản thân vượt qua các khó khăn trong quá trình dạy học, giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về chủ đề phép biến hình,

đồng thời góp phần nhỏ bé vào công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục

và đào tạo, em chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng nhiều cách giải cho các bài tập thuộc chủ đề “phép biến hình

trong mặt phẳng” nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy và học chủ đề này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc giải toán

 Hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng

 Xây dựng các cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các bài toán thuộc chủ đề phép biến hình

 Xin ý kiến chuyên gia về chất lượng của nhiều cách hướng dẫn khác nhau cho cùng một bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: các bài toán về phép biến hình trong mặt phẳng

 Phạm vi nghiên cứu: chương trình Toán lớp 11

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

 Quan sát điều tra

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng và sử dụng được nhiều cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề “phép biến hình” phù hợp với trình độ học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề này, góp phần phát triển năng lực giải

bài tập cho học sinh

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài các phần: mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2 chương sau:

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm bài toán và lời giải bài toán

1.1.1 Khái niệm bài toán

Theo GPOLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của GPOLYA cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó Như vậy, bài toán có thể đồng nhất

với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề tài, bài tập,…[3]

1.1.2 Khái niệm lời giải bài toán

Lời giải bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện

để đạt tới mục đích đặt ra Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài toán, cách giải,

đáp án của bài toán [3]

Một bài toán có thể có một lời giải, không lời giải hoặc nhiều lời giải Giải một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải được bài

toán không giải được trong trường hợp nó không có lời giải [3]

1.2 Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt

động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ [5]

Vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên ba bình diện: Mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học

1.2.1 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học

Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

- Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ;

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất

đạo đức của người lao động mới [5]

Ví dụ: Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng tổng các góc trong một tứ giác

bằng 360°”, học sinh được củng cố kiến thức cũ, đó là tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° Vậy thì làm thế nào để xuất hiện tam giác ở đây? Việc kẻ thêm đường chéo sẽ giúp ta giải quyết vấn đề Qua hoạt động tìm tòi trên đã giúp rèn cho học sinh thao tác tư duy, quy lạ về quen, linh hoạt vận dụng tri thức sẵn có

1.2.2 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày

trong phần lí thuyết [5]

Ví dụ: Khi học xong về phương trình đường thẳng, khoảng cách và góc (lớp

10), giáo viên đưa bài tập viết phương trình đường phân giác ∆ của 1 góc được tạo bởi 2 đường thẳng d: ax + by +c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0 Để giải bài toán này học sinh phải xây dựng phương trình đường phân giác dựa vào khoảng cách:

Khoảng cách từ một điểm M = (x; y) bất kì nằm trên ∆ tới d và d’ là bằng nhau, do vậy ta có:

1.2.3 Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phương pháp dạy học

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm

việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, [5]

Ví dụ: Bài tập trong đề kiểm tra 45’ nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và

học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh sau một quá trình học tập

1.3 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cấp khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong

đề bài toán [3]

1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angorit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:

Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó

Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó

không theo một angorit nào đó hoặc không mang tính chất angorit nào [3] 1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau:

Bài toán số học Bài toán đại số

Bài toán hình học [3]

1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng đó

Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy

phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo [3]

1.4 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Polya

về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm thực tiễn trong dạy học, có thể nêu lên phương pháp giải toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã có với cái phải tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả đạt được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan,

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả cho lời giải

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

đề.[5]

Ví dụ: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau

“Chứng minh rằng tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng tâm đường tròn nội tiếp là tam giác đều.”

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bài toán này có thể được phát biểu cụ thể như sau: Cho tam giác ABC

I là đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Gọi D,

E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, BC, CA Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Bước 2: Tìm cách giải

Giáo viên: Có những cách nào để chứng minh tam giác ABC là đều?

Học sinh: có 3 cách

Cách 1: Chứng minh tam giác ABC có 3 cạnh bằng nhau

Cách 2: Chứng minh tam giác ABC có 3 góc bằng nhau

Cách 3: Chứng minh tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°

Giáo viên: Ở bài toán này chưa cho yếu tố về góc, do đó để chỉ ra 1 góc nào

đó bằng 60° là khó khăn Vậy trong ba cách trên ta nên chọn cách 1 (hoặc cách 2) Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi hướng dẫn theo cách 1 như sau:

<?1> Chứng minh rằng AD = AF, BD = BE, CE = CF, AD = BD, BE =

EC, AF = FC?

<?2> Chứng minh rằng AB = BC = CA?

Bước 3: Trình bày lời giải

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp, đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, BC, CA

Dễ thấy ∆ADI = ∆AFI (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra AD = AF ( 2 cạnh tương ứng)

Tương tự BD = BE, CE = CF, AD = BD, BE = EC, AF = FC

Do vậy theo tính chất bắc cầu, ta có AD = DB = BE = EC = CF =FA (1)

Mặt khác AB = AD + DB, BC = BE + EC, AC = AF + FC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA Vậy tam giác ABC đều (đpcm)

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Giáo viên: Chiều ngược lại của bài toán có đúng không? Hãy giải thích câu trả lời?

Học sinh: Điều ngược lại “Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng tâm đường tròn nội tiếp” hoàn toàn đúng Ta có dễ dàng chứng minh bằng cách xét các tam giác bằng nhau

Giáo viên: Ta có thể phát biểu bài toán theo hai chiều như sau: “ Một tam giác

là đều khi và chỉ khi nó có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng tâm đường tròn nội tiếp”

Giáo viên: (i) Mở rộng bài toán ra đối với tứ giác ta có bài toán sau: “ Một tứ giác là hình vuông khi và chỉ khi nó có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng tâm đường nội ngoại tiếp”

(ii) Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi: “Một đa giác lồi là đều khi

và chỉ khi nó có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng tâm đường tròn nội tiếp.”

cho việc xây dựng các cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ

đề phép biến hình Vai trò của lời giải trong quá trình dạy học là cực kì quan trọng Chính vì vậy việc xây dựng nhiều lời giải cho một bài toán sẽ giúp cho học sinh có tư duy linh hoạt, cách nhìn đa chiều trong giải bài tập

CHƯƠNG 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI CÁC BÀI TOÁN THUỘC

• Về kĩ năng:

Học sinh có kĩ năng xác định ảnh của một hình qua các phép biến hình

đã học, biết vận dụng các kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng

để giải các bài toán của hình học phẳng như: Các bài toán liên quan đến quỹ tích, tập hợp điểm, điểm cố định, dựng hình,

• Về tư duy

Học sinh phát triển được tư duy thuật giải thông qua việc giải các bài toán hình học phẳng liên quan đến phép biến hình, được rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo khi giải các dạng bài tập khác nhau

Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, cẩn thận, thói quen

Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) Nếu

H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm

M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H’, hay hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F

Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể chứng minh: Với điếm M tuỳ ý thuộc H thì F(M) thuộc H’ và với mỗi M’ thuộc H’ thì có M thuộc H sao cho F(M) = M’

Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó đƣợc gọi là

nó

• Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M = (x; y) và vectơ u = (a ; b) Gọi

2.2.4 Phép đối xứng trục

• Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho đường thẳng d

Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d

thành chính nó, biến mỗi điểm M không

thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường

trung trực của MM’ được gọi là phép đối

xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng

trục d

Phép đối xứng qua trục d thường được kí hiệu là Đd Như vậy M’= Đd(M)

M M' = -M M

 ,với M0 là hình chiếu vuông góc của M trên d

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến H thành chính nó Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng

• Tính chất

Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất

của phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó

• Tính chất

Phép quay là phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của phép dời

hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia

thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó

Phép đối xứng tâm là phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của

phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó

• Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I = (x0; y0) và M’ = (x’; y’) là ảnh của M = (x; y) qua phép đối xứng tâm I Khi đó

0 0

Hai hình H và H’ gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

2.2.8 Phép vị tự

• Định nghĩa

Cho một điểm O cố định và

một số k không đổi, k ≠ 0 Phép

biến hình biến mỗi điểm M thành

M’ sao cho OM kOM' được gọi là

có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R

• Tâm vị tự của hai đường tròn

Là tâm của phép vị tự V biến đường tròn này thành đường tròn kia Tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tuỳ theo tỉ số vị tự là dương hay âm

Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự ngoài và một tâm vị tự trong Hai đường tròn có bán kính bằng nhau (tâm khác nhau) thì chỉ có tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn

2.2.9 Phép đồng dạng

• Định nghĩa

Phép đồng dạng tỉ số k (k>0) là phép biến hình biến hai điểm tuỳ ý M,

N thành hai điểm M’, N’ sao cho M’N’= k.MN

2.2.10 Quan hệ giữa các phép biến hình

- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình

+ Phép tịnh tiến theo vectơ 0 là phép đồng nhất

+ Phép đối xứng tâm I là phép vị tự tâm I, tỉ số -1

+ Phép quay với góc quay 360° là phép đồng nhất

- Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k

và một phép dời hình D

+ Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1

+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

- Ta có sơ đồ sau:

2.2.11 Một số dạng toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình

Để giải quyết các bài toán dạng này, học sinh cần nắm chắc các kiến thức cơ bản về các phép biến hình, đặc biệt là biểu thức toạ độ

Dạng 2: Dạng toán chứng minh

Trong dạng này ta sẽ gặp các bài toán như: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh một đẳng thức nào đó, chứng minh một tam giác là đều những bài toán như vậy hoàn toàn có thể giải theo cách sơ cấp thông thường, nhưng nếu được giải theo cách sử dụng phép biến hình thì sẽ cho ta một lời

giải ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và công sức

Dạng 3: Dạng toán tìm tập hợp điểm (Bài toán quỹ tích)

- Khái niệm bài toán quỹ tích: Bài toán quỹ tích là bài toán đi tìm một tập hợp những điểm có tính chất  cho trước

Quỹ tích những điểm M có tính chất  cho trước có thể là tập rỗng, tập hợp một điểm, tập hợp hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm

- Các bước giải bài toán quỹ tích bằng cách sử dụng phép biến hình:

Bước 1: Tìm hiểu kỹ bài toán (nắm chắc các yếu tố đặc trưng của bài toán: yếu tố cố định, yếu tố không đổi, quan hệ không đổi, yếu tố thay đổi)

Phép đồng dạng Phép

dời hình

Phép

vị tự

Phép đối xứng tâm Phép đồng nhất

Bước 2: Dự đoán quỹ tích: giúp ta hình dung được hình dạng, vị trí, kích thước của quỹ tích

Bước 3: Tìm phép biến hình phù hợp, chỉ ra quỹ tích điểm

Bước 2: Cách dựng: Từ mối liên hệ trên đưa ra cách dựng

Bước 3: Chứng minh: nhằm chứng tỏ hình dựng được thoả mãn bài toán

Bước 4: Biện luận: Chỉ ra xem bài toán có bao nhiêu nghiệm hình

2.3 Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng

* Sai lầm 1: Học sinh ra kết quả đúng nhưng bước trung gian bị sai

- Chẳng hạn: Cho đường thẳng d có phương trình 3x – 5y = 0, viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;2)

+ Bài làm của học sinh:

Giả sử M(x; y) là điểm thuộc d, từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến là

    , thay x, y vào phương trình của d ta được:

3(1 x ') 5(2 y')   0 hay 3x ' 5y' 7    0 Vậy phương trình d’ là 3x 5y 7    0 + Sai lầm: Lỗi biến đổi, dẫn tới sai ở bước trung gian nhưng kết quả lại đúng + Lời giải đúng

Giả sử M(x; y) là điểm thuộc d, từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến là

    , thay x, y vào phương trình của d ta được:

3(x ' 1) 5(y' 2)   0 hay 3x ' 5y' 7    0 Vậy phương trình d’ là3x 5y 7    0

* Sai lầm 2: Lập luận không chặt chẽ

+ Chẳng hạn xét bài toán: Chứng minh rằng phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó

+ Lời giải của học sinh: Giả sử Tulà phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành d’ Bằng trực quan ta thấy nếu giá của u song song hoặc trùng với d thì d trùng d’, nếu giá của u không song song với d thì d // d’

+ Sai lầm: Học sinh sử dụng trực quan để dẫn tới kết luận bài toán, chứ không

sử dụng suy luận toán học

* Sai lầm 3: Lời giải chưa đầy đủ

+ Chẳng hạn xét bài toán: Hợp thành của n phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là phép dời hình gì?

+ Câu trả lời của học sinh : Hợp thành của n phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục

+ Sai lầm: Học sinh chưa quan tâm đến n chẵn hay lẻ, nên đã đưa ra câu trả lời chưa chính xác

+ Lời giải đúng:

Nếu n chẵn, n = 2k (k nguyên), gọi F là hợp thành của 2k phép đối xứng trục có trục đối xứng đồng quy tại O nên F là hợp thành của k phép quay với tâm quay là O (vì hợp thành của 2 phép đối xứng trục là một phép quay)

Do đó F là một phép quay

Nếu n lẻ, giả sử n = 2k + 1 (k nguyên), gọi F là hợp thành của 2k + 1 phép đối xứng trục có các trục đồng quy tại O Gọi Đa là phép đối xứng đàu tiên, thì 2k phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O Ta xem Q là hợp thành của 2 phép đối xứng trục là Đa và Đb Như vậy F là hợp thành của 3 phép đối xứng trục: Đa, Đa và Đb Vậy F chính là phép đối xứng trục Đb

2.4 Một số khó khăn khi tổ chức hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng

Chủ đề “Phép biến hình trong mặt phẳng” là mảng kiến thức khó nên học sinh thường không hứng thú khi học, học sinh sẽ đặt ra những câu hỏi như: Tại sao lại có quỹ tích như vậy? Hình dáng của quỹ tích ra sao? Điểm cố định ở đâu? Cách chứng minh, dựng hình như thế nào? Đa phần, học sinh

có cái nhìn chưa sâu về chủ đề này, chưa biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập Giáo viên cũng gặp nhiều khó khăn trong việc xây dựng hệ thống câu hỏi giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải của bài toán, vì thời gian trên lớp hạn hẹp nên chỉ dừng lại ở một cách giải, không nghiên cứu sâu bài toán

Để khắc phục những khó khăn trên, trong quá trình dạy học hướng dẫn học sinh giải bài tập toán về chủ đề phép biến hình, giáo viên cần:

- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng

- Tuân thủ 4 bước giải toán, đây là điểm đặc biệt quan trọng quyết định sự hình thành và phát triển các năng lực của người làm toán

- Thực hiện các biện pháp vấn đáp, đàm thoại, tự vấn đáp, qua hoạt động ngôn ngữ này sẽ kích thích tư duy hướng đích của người làm toán

- Nếu cơ sở vật chất của Nhà trường đầy đủ thì có thể sử dụng phần mềm hỗ trợ để dạy mảng kiến thức này, vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo hứng thú cho học sinh

- Xây dựng các tình huống hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ

đề phép biến hình

2.5 Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề các phép biến hình bằng nhiều cách

2.5.1 Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ⃗ = (-2;3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến ⃗⃗

* Cách 1:

- Ta có thể dựa vào biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến, rút x theo x’, y theo y’

, sau đó thay vào phương trình của d thu được phương trình d’ Giáo viên có

thể đưa ra các câu hỏi sau:

<?1> Giả sử M(x; y)thuộc d và M’ = (x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến, biểu diễn toạ độ của M theo M’?

<?2> Hãy thay x, y vào phương trình của d? Khi đó phương trình d’ là gì?

- Trình bày lời giải: Giả sử M(x; y) thuộc d, và M' (x '; y') T  u(M)thuộc d’

Từ biểu thức toạ độ của Tu: x ' x 2 x x ' 2

    Thay vào phương trình

của d ta được 3.(x' 2) 5.(y' 3) 0    hay 3x ' 5y' 24    0 Vậy phương trình d’

là 3x 5y 24    0

* Cách 2:

- Ta có thể viết phương trình của d’ bằng cách tìm toạ độ một điểm thuộc d’

và kết hợp với điều kiện d’ // d để viết phương trình của d’ Giáo viên có thể đưa ra hệ thống câu hỏi sau:

<?1> Hãy lấy 1 điểm M = (x,y) bất kì thuộc d, tìm ảnh M’ của M qua

phép tịnh tiến Tu

<?2> Hãy viết phương trình d’ đi qua M’ và song song với d

- Trình bày lời giải : Lấy M = (-1;0) thuộc d, khi đó M' T (M) d ' u  Toạ độ

Vì d’ // d nên phương trình của d’ có dạng 3x 5y c    0 Do M’ thuộc d’ nên

ta có: 3.( 3) 5.3 c   0, suy ra c 24 Vậy d’ có phương trình

3x 5y 24    0

* Cách 3:

- Ta thấy 1 đường thẳng xác định bởi 2 điểm, nếu lấy 2 điểm M, N bất kì thuộc d rồi xác định ảnh của chúng qua T u là M’, N’ Khi đó d’ là đường thẳng M’N’ Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi sau:

<?1> Lấy 2 điểm M, N bất kỳ thuộc d?

<?2> Dựa vào biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến hãy xác định ảnh M’, N’ của M, N qua T u?

<?3> Viết phương trình đường thẳng d’?

- Trình bày lời giải: Lấy M ( 1;0), N (4;3) d   

Gọi M'T u(M)M' ( 1 2;0 3)     ( 3;3)

Gọi N'T u(N)N' (4 2;3 3)   (2;6)

Suy ra M ' N '(5;3) Khi đó đường thẳng d’ chính là đường thẳng M’N’, suy

ra d’ nhận n(3; 5) làm vectơ pháp tuyến Phương trình d’ là:

3.(x 3) 5.(y 3) 0    hay 3x 5 y 24    0

* Nhận xét: Trong 3 cách làm trên thì cách 1 là tối ưu nhất vì nó vừa vận

dụng được kiến thức mới vừa ngắn gọn dễ hiểu Trong các bài toán tương tự nên khuyến khích học sinh làm theo cách 1

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm I = (2;-3) và đường thẳng d

có phương trình 3x + 2y – 1 = 0 Tìm toạ độ điểm I’ và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và d qua phép đối xứng tâm O

Vì I và I’ đối xứng với nhau qua O = (0;0) nên I’ = (-2;3)

* Cách 1:

- Ta tìm phương trình đường thẳng d’ dựa vào biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi sau:

<?1> Giả sử M = (x; y) thuộc d và M’ = (x’; y’) là ảnh của M Hãy biểu

diễn toạ độ của M theo toạ độ của M’

<?3> Hãy thay x, y vào phương trình của d Khi đó phương trình d’ là gì?

- Trình bày lời giải:

Giả sử M = (x; y) thuộc d và M’ = (x’; y’) là ảnh của M Do M và M’

đối xứng với nhau qua O nên ta có x x '

Thay biểu thức của x và y vào phương trình của d ta được

3x ' 2.( y') 1 0    hay 3x ' 2y' 1 0    Do đó phương trình của d’ là

3x ' 2y' 1 0   

* Cách 2:

- Ta thấy phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh bằng hệ thống câu hỏi sau:

<?1> d và d’ có vị trí tương đối như thế nào qua phép đối xứng tâm I?

Từ đó suy ra dạng của d’

<?2> Viết phương trình tổng quát của d’?

- Trình bày lời giải:

Vì ĐO(d) = d’ suy ra d // d’ hoặc d ≡ d’ Do vậy d’ có dạng 3x + 2y +c = 0

* Cách 3:

- Giáo viên: Ta thấy một đường thẳng xác định bởi 2 điểm, do đó nếu tìm được 2 điểm thuộc d’ thì sẽ viết được phương trình d’

Giáo viên có thể đưa ra hệ thống câu hỏi sau:

<?1> Lấy 2 điểm M, N thuộc d, xác định ảnh M’, N’ của M, N qua ĐO

<?2> Viết phương trình d’ đi qua M’, N’

- Trình bày lời giải:

Lấy M (0; ), N1 ( ;0) d1

   Gọi M’, N’ lần lượt là ảnh của M, N qua

phép đối xứng tâm O Khi đó: M ' (0; 1), N ' ( 1;0) M ' N ' ( 1 1; )

* Nhận xét: Trong 3 cách trên thì cách 1 là ngắn gọn nhất, hơn nữa đây là

cách làm tổng quát có thể áp dụng cho các bài tương tự về phép biến hình

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y –

6 = 0 Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O

tỉ số k = -2

* Cách 1:

- Ta thấy phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh qua hệ thống câu hỏi sau:

<?1> Vị trí tương đối của d và d’?

<?2> Lấy M bất kì thuộc d?

<?3> Tìm M’ là ảnh của M qua phép vị tự V(O, k)?

<?4> Viết phương trình d’ qua M’ song song với d?

- Trình bày lời giải: Lấy M (0;3) d  và M' (x '; y') là ảnh của M qua

V(O, k) Khi đó OM ' 2OM x ' 0

<?1> Lấy 2 điểm M, N bất kì thuộc d?

<?2> Tìm ảnh của chúng qua V(O, k)?

<?3> Từ đó hãy viết phương trình d’ đi qua M’, N’

- Trình bày lời giải:

Lấy M (0;3); N (2;0) d   Gọi M’, N’ lần lượt là ảnh của M, N qua V(O, k)

Vì d’ đi qua M’, N’ nên d’ nhận MN ( 4;6) làm vectơ chỉ phương => d’

nhận n (3;2) làm vectơ pháp tuyến => phương trình d’ là 3x 2(y 6)  0hay 3x  2y 12   0

* Nhận xét: Ta thấy cách 2 đơn giản hơn về hướng suy nghĩ , thường thì học

sinh sẽ nghĩ theo cách 2, còn cách 1 hay ở chỗ: Học sinh phải nhớ đến tính chất “phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó” Làm theo cách 1 sẽ phát triển tư duy của học sinh hơn

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) (x -1) 2 + (y - 2) 2 = 9 Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto = (2;0) và phép vị tự tâm O tỉ số k = -3

* Cách 1:

- Ta có thể tìm ảnh của một điểm M (x; y) ( )  C qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến và phép vị tự Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh bằng hệ thống câu hỏi sau:

<?1> Giả sử M(x; y) ( ) C Gọi M 'T v(M) và M" V(O, 3)(M') 

Tìm M’ và M”?

<?2> Biểu diễn toạ độ của M theo M”?

<?3> Khi đó phương trình ( ")C có được bằng cách nào?

- Trình bày lời giải:

Giả sử M(x; y) ( ) C Gọi M 'T v(M) và M" V(O, 3)(M')  Ta có:

Vậy  2 2

x 9  (y 6) 81 là phương trình của đường tròn ảnh ( ")C của ( )C

qua phép dời hình đã cho

* Cách 2:

- Đường tròn ảnh có được nếu biết tâm và bán kính, điều đó gợi ý cho ta cách làm thứ 2, đó là xác định tâm và bán kính của đường tròn ( )C qua phép biến hình đã cho

- Giáo viên hướng dẫn học sinh thông qua hệ thống câu hỏi sau:

<?1> Hãy xác định tâm và bán kính của ( )C ?

<?2> Hãy xác định tâm và bán kính của ( )C1 T v(( ))C ?

<?3> Hãy xác định tâm và bán kính của (C2)V O( , 3)(( C1))?

* Nhận xét: Cả 2 cách trên đều hay, có thể trình bày cho học sinh 1 trong 2

cách và giới thiệu cách còn lại về nhà

* BÀI TOÁN TỔNG QUÁT CHO DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH

Từ bài toán 1, 2, 4 ta có bài toán tổng quát: “Cho một hình (H) (đường thẳng, đường tròn ) đã biết phương trình và một phép biến hình F Tìm ảnh (H’) của (H) qua F

Cách giải tổng quát: Gọi M = (x;y) là điểm thuộc (H), M’ = (x’;y’) là ảnh của

M qua phép biến hình F Từ biểu thức toạ độ của F, biểu diễn toạ độ của M theo M’ rồi thay vào phương trình của (H) ta thu được phương trình (H’) là ảnh của (H) qua F

- Giáo viên có thể đưa ra hệ thống câu hỏi sau: