Phương pháp tọa độ hóa giải một số bài toán hình học không gian

Những bài toán này nếu sử dụng được phương pháp tọa độ hóa thì cónhững ưu điểm như: giải quyết bài toán theo trình tự các bước cụ thể, lời giải rõ ràng và ít lập luận, tỉ lệ học sinh giả

MỤC LỤC

TT Nội dung Trang

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ ………. 3

1 Lý do chọn đề tài ……… 3

2 Mục đích nghiên cứu ……… 3

3 Phạm vi nghiên cứu ……… 4

4 Khả năng áp dụng ……… 4

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ……… 5

I Những vấn đề lý luận chung ………. 5

II Thực trạng vấn đề ……… 5

1 Thuận lợi ……… 5

2 Khó khăn ……… 5

III Một số kiến thức hình tọa độ trong không gian ……… 7

IV Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề ……… 9

1 Một số cách chọn hệ trục tọa độ trong hình học phẳng Oxy …………. 9

2 Các bước giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ 11 3 Một số cách chọn hệ trục tọa độ trong không gian ………

… 11

4 Một số bài tập minh họa ……… … … 13

4.1 Hình chóp có đáy là tứ giác ……… 13

4.2 Hình chóp có đáy là tam giác ……… 21

4.3 Hình lăng trụ có đáy là tứ giác ……… 23

4.4 Hình lăng trụ có đáy là tam giác ……… 27

5 Một số bài tập tự luyện ……… …

… 31

6 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm ……… 32

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……… 33

1 Bài học kinh nghiệm ……… ……… … 33

2 Kết luận ……… ……… … ……… …. 33

3 Kiến nghị ……… ……… … ……… 33

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 1

-Danh mục các chữ cái viết tắc

-PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Lý do chọn đề tài.

Hình học không gian là phần học tương đối khó với học sinh Nó đòi hỏi cao vềtính hệ thống kiến thức, tính tư duy trừu tượng, lập luận logic … Nhiều học sinh giảibài tập hình học không gian chưa đạt yêu cầu, vẫn còn tình trạng nhẫm lẫn hoặc ngộnhận khi sử dụng giả thiết hay lập luận lời giải Bên cạnh đó, công tác giảng dạy,hướng dẫn của giáo viên cũng gặp không ít khó khăn Từ việc hướng dẫn để học sinhphân tích giả thiết, vẽ đúng hình biểu diễn, phân tích mối quan hệ giữa giả thiết và kếtluận đến việc sử dụng các kiến thức đã học và lập luận để giải bài toán Khó khăn lớnnhất là rèn luyện cho học sinh có tư duy độc lập để giải bài toán và kỹ năng trình bàylời giải đúng, gọn và logic Do đó học sinh ít hứng thú khi học và giải bài tập phầnhình học không gian

Nhiều bài toán hình học không gian về tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích,bán kính mặt cầu ngoại tiếp, chứng minh quan hệ vuông góc giải theo phươngpháp thuần túy thường phức tạp, tốn nhiều thời gian và có nhiều học sinh không giảiquyết được Những bài toán này nếu sử dụng được phương pháp tọa độ hóa thì cónhững ưu điểm như: giải quyết bài toán theo trình tự các bước cụ thể, lời giải rõ ràng

và ít lập luận, tỉ lệ học sinh giải được bài tập cao hơn so với phương pháp thuần túy.Chính vì thế, học sinh có hứng thú nhiều hơn đối với hình học không gian

Tuy nhiên, phương pháp tọa độ hóa chỉ tối ưu đối với một số dạng bài toán củahình học không gian Trong quá trình giảng dạy, bản thân cũng nhận thấy khi sử dụngphương pháp tọa độ hóa học sinh còn gặp một số khó khăn như: chọn hệ trục và tọa độhóa các đỉnh chưa đúng, sai sót trong tính toán Phương pháp này không được đề cậpnhiều trong sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít được tiếp cận

Giúp học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán hình học không gian,chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi THPT quốc gia Cũng như khắc phục những khó khăn khi

sử dụng phương pháp tọa độ hóa, tôi trình bày một số kỹ năng sử dụng phương pháptọa độ hóa giải một số lớp bài toán hình học không gian

-quan để tổng hợp và hệ thống hóa thành chuyên đề “Phương pháp tọa độ hóa giải một số bài toán hình học không gian”

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số kỹnăng sử dụng có hiệu quả hơn phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học khônggian

Tài liệu này được trình bày từ thực trạng vấn đề, giải quyết vấn đề theo trình tự

từ đơn giản đến phức tạp, có phân loại các dạng cụ thể và bài tập minh họa Đối vớihọc sinh học xong chương trình hình lớp 12 đều có thể tự nghiên cứu để trang bị chobản thân thêm phương pháp giải toán hình học không gian, chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thiTHPT quốc gia Tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên môn Toán trong công tácgiảng dạy

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 4

-PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Những vấn đề lý luận chung.

Nhà toán học Descares đã để lại cho nhân loại những tác phẩm lừng danh, trong

đó có “hình học” Ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hìnhhọc rất tuyệt vời, nó kết hợp giữa Hình học và Đại số, ngày nay chúng ta thường gọi làHình học Giải tích Việc sử dụng các phương pháp phân tích hình học tọa độ đã giúpcon người dùng ngôn ngữ và các công cụ đại số để nghiên cứu và giải quyết các vấn

đề hình học

Đối với môn Toán, giảng dạy phân môn Hình học là một nhiệm vụ quan trọng

Sử dụng kiến thức phần học này để nghiên cứu và giải quyết các bài toán ở phần kháccho chúng ta thấy sự liên hệ giữa các phần kiến thức Các mối liên hệ này cũng như sự

hỗ trợ lẫn nhau giữa các phần kiến thức giúp chúng ta giải quyết vấn đề của môn ToánTHPT hiệu quả hơn

Giảng dạy và hướng dẫn cho học sinh phương pháp tọa độ hóa để giải bài toánkhông gian rất quan trọng Giúp các em biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiếnthức về tọa độ vectơ, tọa độ điểm, phương trình mặt phẳng, mặt cầu, đường thẳng vàcác kiến thức liên quan vào giải toán Hình học

Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thường thực hiện các bước sau:

Bước 1 Chọn hệ trục tọa độ gắn với hình vẽ của bài toán.

Bước 2 Phiên dịch bài toán hình học sang “ngôn ngữ” tọa độ.

Bước 3 Sử dụng “ngôn ngữ” vectơ, tọa độ và các kiến thức liên quan để giải

-Tuyển sinh lớp 10 hằng năm của trường THPT Phú Lộc có chất lượng thấp Sứchọc môn Toán của học sinh còn yếu, nhất là đối với phân môn Hình học

Việc nắm vững kiến thức và vận dụng các kiến thức hình học không gian vàogiải quyết bài toán hình học thì không đơn giản đối với học sinh Cụ thể: các kỹ năngphân tích đề bài, vẽ đúng hình biểu diễn, sử dụng các kiến thức đã học và lập luận đểgiải quyết bài toán cũng như mối liên hệ giữa bài tập này và các bài tập đã làm cònyếu

Phương pháp tọa độ hóa giải bài toán hình học không gian ít được đề cập trongsách giáo khoa nên học sinh ít được tiếp cận, thiếu rèn luyện thực hành cũng như kinhnghiệm sử dụng Do vậy khi sử dụng phương pháp này học sinh gặp nhiều khó khănnhư: chọn, gắn hệ trục vào hình vẽ và không đạt yêu cầu, tọa độ hóa các điểm của hìnhcũng như và tính toán trong quá trình giải còn nhiều sai sót nên hiệu quả chưa cao

Ví dụ minh họa:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD

là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Hình chiếu

vuông góc của đỉnh A’ trên (ABCD) là điểm H

thuộc cạnh AD sao cho AD = 3AH, góc giữa

hai mặt phẳng (AB’D’) và (ABCD) bằng 450

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a.

Để tính thể tích của khối hộp ta cần tính chiều

Đặt A’H = a x x ( ∈¡ ,x>0) Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ sao cho:

Các điểm B, D lần lượt thuộc các tia dương Ax, Ay và A’ có cao độ dương.

D'

H

C B

D A

A'

M

y x

z

Sử dụng uuur uuur uuur uuuurAA'=BB'=CC'=DD'⇒ ' ;2 ;

cos , cos45

2

Nhận xét: Sử dụng phương pháp thuần túy để xác định góc và tính chiều cao của hình

hộp của bài toán này khá khó khăn đối với nhiều học sinh Sử dụng phương pháp tọa

độ hóa để tính chiều cao của hình hộp đơn giản hơn, các bước thực hiện theo trình tự nhất định.

III Một số kiến thức hình tọa độ trong không gian.

1 Tích có hướng của hai vectơ:

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

Giả sử đường thẳng d qua M x y z0( ; ; )0 0 0 và có vectơ chỉ phương là ur=( ; ; )a b c và đườngthẳng d’ qua M' ( ' ; ' ; ' )0 x0 y 0 z 0 và có vectơ chỉ phương là uur' ( '; '; ')= a b c

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho d qua M x y z0( ; ; )0 0 0 và có vectơ chỉ phương là ur

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho hai đường thẳng ∆ qua M x y z0( ; ; )0 0 0 và có vectơ chỉ phương là ur

- Góc giữa hai đường thẳng: Cho d có VTCP ur =(a b c; ; ), d’ có VTCP uur'=(a b c'; '; ')

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:

Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 8

IV Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Bản thân tập trung nghiên cứu giải quyết các vấn đề sau:

Thứ nhất: Dấu hiện nhận biết và các bước giải bài toán hình học không gian

bằng phương pháp tọa độ

Thứ hai: Giới thiệu một số cách đặt hệ trục tọa độ đối với một số hình đặc biệt Thứ ba: Trình bày một số bài tập hình học không gian giải theo phương pháp

tọa độ hóa Một vài nhận xét và lưu ý khi thực hành

1 Một số cách chọn hệ trục tọa độ trong hình học phẳng Oxy.

Tránh việc chọn hệ trục và tọa độ hóa các điểm không đạt yêu cầu, học sinh cầnthực hiện tốt với tọa độ hóa trong hình phẳng Oxy

Dấu hiệu: Hai đường thẳng vuông góc, chọn hai trục lần lượt là hai đườngthẳng và gốc tọa độ là giao điểm hai đường thẳng đó

1.1 Đối với hình vuông.

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ là một trong bốn đỉnh của

hình vuông Hai cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên hai trục

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD tâm I cạnh a.

Cách 1 Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O trùng đỉnh A.

Hai đỉnh B, D lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy Khi đó A(0;0),

B(a;0), C(a;a), D(0;a) và I(a/2;a/2)

Cách 2 Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O là tâm I của hình vuông Hai đỉnh A,

B lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ là một trong bốn đỉnh của hình chữ nhật Hai

cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên hai trục

Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a 2, AD = a Gọi

M là trung điểm của CD CMR: AM ⊥ BD

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 9

-C

B A

D

x y

C D

y

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O trùng đỉnh A Hai đỉnh B, D lần lượt thuộc

hai tia Ox, Oy Khi đó A(0;0), B(a 2;0), C(a 2;a), D(0;a) và M(a 2/2;a)

, uuuur uuurAM BD. =0 Vậy AM ⊥ BD

1.3 Đối với hình thang vuông.

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ là một trong hai đỉnh góc vuông Hai cạnh xuất

phát từ đỉnh đó nằm trên hai trục

Ví dụ 3 Cho hình thang ABCD (vuông tại A và D), AD = DC = a, AB = 2a

CMR AC ⊥BC

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O trùng đỉnh A Hai

đỉnh B, D lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy Khi đó A(0;0),

B(2a;0), C(a;a), D(0;a)

Ta có: uuurAC=( )a a BC; ,uuur= −( a a; ), uuur uuurAC BC. =0 Vậy AC ⊥

BC

1.4 Đối với hình thoi.

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O là tâm của hình

thoi Hai đỉnh liên tiếp lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy

Ví dụ 4: Cho hình thoi ABCD tâm I cạnh a, góc A bằng

600

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O trùng tâm I của

hình thoi Hai đỉnh A, B lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy

1.5 Đối với tam giác vuông.

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O là đỉnh góc vuông Hai cạnh góc vuông lần

lượt năm trên hai trục Ox, Oy

1.6 Đối với tam giác cân.

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O là trung điểm cạnh đáy Cạnh đáy nằm trên

một trục, đỉnh cân thuộc trục còn lại

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm I

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O là trung điểm cạnh BC.

Hai đỉnh A, B lần lượt thuộc tia Ox, Oy

Chọn hệ trục Oxy sao cho: Gốc tọa độ O trùng điểm A.

Đỉnh B thuộc tia Ox Đỉnh C có tung độ dương Khi đó

Ví dụ 7: Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của

BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND Gọi H là

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 10

N

C

B A

D

x y

giao điểm của AN và BD Chứng minh rằng: AN ⊥ HM.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho: Gốc tọa độ O trùng điểm A Hai đỉnh B, D lầnlượt thuộc tia Ox, Oy Đặt a cạnh hình vuông (a > 0) Khi đó A(0;0), B(a;0), C(a;a),D(0;a), ;

2 Các bước giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

Bước 1 Chọn hệ trục tọa độ gắn với hình vẽ của bài toán.

“Tín hiệu” để chọn hệ trục là trong bài toán có chứa các đường thẳng vuông góc với nhau, ta chọn hệ trục thích hợp sao cho các trục chứa các đường thẳng vuông góc đó.

- Nếu đề bài có “tam diện vuông” thì ta chọn gốc trùng với đỉnh của tam diện vuông

đó, còn ba cạnh của tam diện vuông lần lượt thuộc tia dương của các trục tọa độ

- Nếu đề bài chỉ có “tam diện vuông thiếu” tức là mới chỉ có hai đường thẳng vuônggóc thì ta dựng thêm đường thẳng thứ ba vuông góc với cả hai đường trên tại giaođiểm để tạo thành “tam diện vuông”

Lưu ý:

- Ta nên chọn hệ trục ưu tiên tọa độ hóa các đỉnh của mặt đáy

- Chọn hệ trục sao cho các bước sau thực hiện được thuận lợi

Bước 2 Phiên dịch bài toán hình học sang “ngôn ngữ” tọa độ.

Tính tọa độ của các điểm trong đề bài theo hệ trục tọa độ đã chọn Một vài điểm

có thể phải sử dụng thêm giả thiết để xác định tọa độ Thể hiện giả thiết, kết luận bài

toán theo “ngôn ngữ” hình học giải tích

Bước 3 Sử dụng “ngôn ngữ” vectơ, tọa độ và các kiến thức liên quan để giải bài toán.

Khi sử dụng vectơ với vai trò là vectơ chỉ phương hoặc là vectơ pháp tuyến thì

ta nên chọn bộ ba số thuận lợi nhất để sử dụng

Bước 4 Phiên dịch bài toán trở lại ngôn ngữ hình học ban đầu.

3 Một số các chọn hệ trục tọa độ trong không gian.

3.1 Đối với Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương.

- Chọn gốc tọa độ là 1 trong 8 đỉnh

- Ba cạnh phát xuất từ đỉnh đó nằm trên 3 trục

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 11

-D'A'

C'DA

CB

B'

x

yz

- Nên chọn hướng để tọa độ các điểm không âm.

Ví dụ 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’=c.

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

+ Gốc tọa độ O trùng đỉnh A ⇒A(0; 0; 0)

+ Đỉnh B thuộc tia Ox ⇒B(a; 0; 0)

+ Đỉnh D thuộc tia Oy ⇒D(0; b; 0)

+ Đỉnh A’ thuộc tia Oz ⇒A’(0; 0; c)

Khi đó ta suy ra: C(a; b; 0), B’(a; 0; c), D’(0; b; c) và C’(a;

b; c)

3.2 Đối với Chóp tam giác có góc tam diện vuông.

- Chọn gốc của hệ trục trùng với đỉnh của góc tam diện

Chú ý : Chóp tam giác đều cũng chọn như cách 2 này.

3.4 Đối với Chóp tứ giác có đáy là hình thoi và hình

chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy.

- Trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp

- Hai trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo đáy

Chú ý : Hình chóp tứ giác đều ( đáy là hình vuông và các

cạnh bên bằng nhau ) cũng chọn như vậy

3.5 Đối với chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật,

các cạnh bên bằng nhau.

• Chọn hai trục chứa hai cạnh hình vuông đáy

• Trục thứ ba vuông góc đáy ( cùng phương với

đường cao SO của hình chóp - trục Az này nằm

trong mặt chéo SAC)

3.6 Đối với Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 12

-SC

A

xz

A

D

C B

O x

y z

B

OA

zS

x

y

G

DO

S

yx

z

- Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáycủa chóp (hình 1).

- Trục còn lại chứa đường trung bình của mặt bên

Chú ý : Lăng trụ tam giác đều cũng chọn như vậy.

3.7 Đối với Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi.

- Chọn trục cao nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy (hình 2)

- Hai trục kia chứa hai đường chéo đáy

Chú ý : Lăng trụ tứ giác đều cũng chọn như vậy ( lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng

có đáy là hình vuông) hoặc có thể sử dụng phần I đối với hình hộp chữ nhật

3.8 Đối với Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông ( hình 3)

Chọn đỉnh tam giác vuông đáy làm gốc Ba trục chứa ba cạnh phát xuất từ đỉnh này

O'

O

CB'

BA

DA'

Gọi M là trung điểm của CD

a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc với nhau

b Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm M, (α) song song với AC và SB (α) cắt

AD, SD lần lượt tại N và P Tính thể tích tứ diện SMNP

c Tính khoảng cách từ điểm C đến (α)

d Tính gần đúng góc giữa hai đường thẳng BM và CP

e Tính bán kính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMP với O là tâm củaABCD

Giải

Cách 1 Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ sao

cho:

Gốc tọa độ O trùng tâm của ABCD Các

điểm A, B, S lần lượt thuộc các tia Ox, Oy

và Oz

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 13

-Hình 2 Hình 1

O

B'C'

Hình 3

P N

M O

Nhận xét: Khi tính tích có hướng của hai vectơ ta nên đặt thừa số chung a.k ( k số

thực dương) đối với cả hai vectơ để tính tọa độ thuận tiện hơn.

a

CA auuur= BSuuur= − ⇒CA BSuuur uuur=a − −

(α) song song với AC và SB nên (α) có VTPT nuur3 =(0;1; 2) (α): 2 2 0

  Có thể xác định điểm N như sau: Do (α) song song với

AC, (α) cắt AD tại N nên MN // AC suy ra N là trung điểm AD

Do (S) đi qua O nên q = 0.

(S) đi qua S nên

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 15

-P N

M O

D A

C B

S

x

y z

(α) song song với AC và SB nên (α) có VTPT nuur3 = −(1; 1;2) (α): 2 0

  Có thể xác định điểm N như sau: Do (α) song song với AC, (α) cắt

AD tại N nên MN // AC suy ra N là trung điểm AD

a

ma na q+ − = (1)

Giáo viên: Hồ Ngọc Thạch, Trường THPT Phú Lộc 16

-(S) đi qua S nên

234

a

ma na pa q+ + − = (2)(2) – (1):

4

a

ma+ na q− = (3)(3) – (2):

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,

· 600

BAD= Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với (ABCD) Góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 900

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai

đường thẳng AB; SC theo a.

Giải

Do (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SA ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm hình thoi ABCD Đặt SA = ax (x∈¡ ,x>0)

Hình thoi ABCD cạnh a và BAD· =600 nên ABD, BCD là những  đều

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ sao cho: A, B lần lượt thuộc tia dương Ox, Oy và S có