Luận văn tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực cực đại trong Cn

Luận văn Tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực cực đại trong Cn.Luận văn gồm 2 chương:Chương 1: Luận văn trình bày về tính lồi đa thức, bổ đề Kallin. Chương 2: Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực cực đại trong Cn và đưa ra một số ví dụ áp dụng

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1 Tính lồi đa thức và bổ đề Kallin 4 1.1 Tính lồi đa thức 4

1.2 Bổ đề Kallin về hợp thành hai tập lồi đa thức 18

2 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai không gian tập hoàn toàn thực trong Cn 23 2.1 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai không gian con hoàn toàn thực cực đại trong Cn 23

2.2 Một số ví dụ 30

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 39

MỞ ĐẦU

Tính lồi đa thức, lồi hữu tỷ của các tập compact trong Cn gắn liền vớiĐịnh lý Oka-Weil về xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi các đa thức và các hàmhữu tỷ Trong Đại số đều, một trong những cấu trúc quan trọng là khônggian các ideal cực đại của nó Bao lồi đa thức của tập compact K trong

Cn đồng nhất với không gian các ideal cực đại của đại số đều các đa thứctrên K Bao lồi hữu tỷ của tập compact K đồng nhất với không gian cácideal cực đại của đại số đều các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K

Nghiên cứu tính chất lồi đa thức, tính chất lồi đa thức địa phương củacác tập compact trong Cn là bài toán có nhiều ý nghĩa trong lĩnh vực Giảitích phức và Đại số đều Đặc biệt bài toán nghiên cứu tính chất lồi đathức địa phương của hợp các đồ thị hoàn toàn thực, hoàn toàn thực có

kỳ dị có liên hệ mật thiết với bài toán cơ bản là xấp xỉ địa phương hàmphức liên tục bởi các đa thức (xem [10]) Tính chất lồi đa thức và bao lồi

đa thức của hợp hai không gian con hoàn toàn thực cực đại (chiều thựcbằng n) trong Cn tại gốc được nghiên cứu thấu đáo bởi Weinstock ([15]).Tuy nhiên, các kết quả của Weinstock chưa thể cho biết thông tin về tínhlồi đa thức địa phương trong trường hợp các không gian con hoàn toànthực (chiều thực bé hơn n) hoặc hợp của nhiều hơn hai không gian con.Vấn đề trên gần đây được quan tâm nghiên cứu của một số nhà toán họcnhư Gorai, Bharali, Nguyễn Quang Diệu,

Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, với mục đích nghiên cứu tínhlồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực trong

Cn và dựa trên công bố của Weinstock, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên

cứu: Tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàntoàn thực cực đại trong Cn.

Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả về cơ sở về bao lồi đathức, tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toànthực cực đại trong Cn Các nội dung đó được trình bày trong 2 chươngcủa luận văn:

Chương 1 Tính lồi đa thức và bổ đề Kallin

Nội dung của chương này là trình bày khái niệm và các kết quả cănbản về bao lồi đa thức, tính lồi đa thức của tập compact trong Cn và bổ

đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập lồi đa thức Đây là bổ

đề kỹ thuật được dùng xuyên suốt trong chương sau

Chương 2 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàntoàn thực tại điểm giao của chúng

Nội dung của chương này trình bày chi tiết và có hệ thống về tính lồi

đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực cực đạitrong Cn và đưa ra một vài ví dụ áp dụng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Nhân dịp này, tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Kiều Phương Chi đã hướng dẫntận tình nghiêm túc tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn Tácgiả xin được gửi lời cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, KhoaToán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quãng thời gianhọc tập Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏinhững hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiệnhơn

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1TÍNH LỒI ĐA THỨC VÀ BỔ ĐỀ KALLIN

Chương này trình bày một số kết quả cơ bản của bao lồi đa thức, tínhlồi đa thức và bổ đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập lồi

đa thức Chúng ta sẽ thấy lớp tập lồi đa thức thực sự rộng hơn lớp tập lồithông thường trong Cn Hơn nữa, lớp tập này đặc biệt có ý nghĩa tronggiải tích phức và đại số đều

1.1 Tính lồi đa thức

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị chủ yếuliên quan tới đại số Banach và đại số đều cần dùng về sau và mở đầu về

lý thuyết lồi đa thức

1.1.1 Định nghĩa a) Một đại số phức A là một không gian vectơ trêntrường C cùng với một phép nhân thỏa mãn các điều kiện:

1)x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;

2)x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A;

3)(αx)y = x(αy) = α(xy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C.

b) Một đại số phức A được gọi là một đại số Banach nếu A thỏa mãncác điều kiện:

1)A là không gian Banach với chuẩn k.knào đó cho trước;

2)kxyk ≤ kxk.kyk, ∀x, y ∈ A

Đại số Ađược gọi là có đơn vị nếu∃e ∈ Asao cho ex = xe = e, ∀x ∈ A

và kek = 1

Đại số A được gọi là đại số giao hoán nếu xy = yx, ∀x, y ∈ A.

Phần tử đơn vị nếu có là duy nhất Phép nhân trong A là liên tục, liêntục trái, liên tục phải

1.1.2 Định nghĩa Không gian con B của A, chứa đơn vị của A vàđóng kín với ba phép toán trong A là một đại số con của A

1.1.3 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclidethông thường là đại số Banach giao hoán có đơn vị là phần tử 1

2) Cho E là không gian Banach và B(E) ={Toán tử tuyến tính bị chặn

từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân trong

1 trên X, với phép nhân theo điểm, tức là

(f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X

4) Cho K là tập compact trong Cn Ký hiệu P (K), R(K) và A(K)

theo thứ tự là tập hợp các hàm f ∈ C(K) được xấp xỉ đều trên K bởi các

đa thức, các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K và các hàm chỉnh hình trênphần trong của K và liên tục trên K Khi đó, với các phép toán cảm sinh

từ C(K) thì P (K), R(K) và A(K) là các đại số Banach con của C(K).Hơn nữa, ta luôn có bao hàm thức

P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K)

1.1.4 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach Phiếm hàm tuyến tính

ϕ : A → C được gọi là một đồng cấu phức nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi

x, y ∈ A

Người ta chứng minh được, mỗi đồng cầu phức ϕ là liên tục, ϕ(e) = 1

và kϕk = 1 Hơn nữa ϕ(x) 6= 0 với mọi phần tử khả nghịch x

Kí hiệu không gian các đồng cấu phức là ∆A Như vậy, ∆A là một tậpcon của hình cầu đơn vị trong không gian đối ngẫu A∗

Ký hiệu G(A) là nhóm các phần tử khả nghịch của A Khi đó, ánh xạ

a ∈ G(A) 7→ G(A) là đồng phôi

1.1.5 Định nghĩa Giả sử f ∈ A với A là một đại số Banach Đặt:

σ(f ) = {λ ∈C : (λe − f ) không khả nghịch} và S(f ) = {λ ∈ C : (λe − f )

khả nghịch} = C\σ(f ) Khi đó σ(f ) được gọi là phổ của f, S(f ) được gọi

1.1.7 Định lý ([4], [5]) Tồn tại song ánh giữa ∆A và MA.

1.1.8 Nhận xét Từ định lý trên ta có thể đồng nhất ∆A với MA Vì

∆A chứa trong hình cầu đơn vị đóng của không gian đối ngẫu A∗ Trên A

chúng ta xét tôpô yếu hay còn gọi là tôpô yếu sao thì MA là không giancompact bởi định lý Banach-Alaoglu, hơn nữa không gian MA là khônggian Hausdorff

1.1.9 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach, f ∈ A Ta xác địnhánh xạ f : Mˆ A → C cho bởi công thức f (Φ) = Φ(f )ˆ , ∀Φ ∈ MA Ta gọi

ˆ

f là phép biến đổi Gelfand của f và đặt A = { ˆˆ f : f ∈ A}

1.1.10 Định lý ([5]) Cho X là không gian tôpô Hausdorff compact.Khi đó MC(X) đồng phôi với X

Chứng minh Với mỗi x ∈ X, ta xác định hàm ϕx từ C(X) vào C đượccho bởi công thức ϕx(f ) = f (x), ∀f ∈ C(X) Khi đó ϕx là một đồng cấuphức trên C(X) Thật vậy, ϕx(αf + βg) = (αf + βg) (x) = (αf )(x) +(βg)(x) = αf (x) + βg(x) = αϕx(f ) + βϕx(g), ∀f, g ∈ C(X), ∀α, β ∈ C.

Ngoài ra ϕx(f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = ϕx(f )ϕx(g), ∀f, g ∈ C(X) và

ϕx(I) = I(x) = 1 6= 0, với I là ánh xạ liên tục từ X vào C được cho bởi

I(t) = 1, ∀t ∈ X

Tiếp theo ta chỉ ra rằng với mỗi ϕ ∈ MC(X) thì tồn tại duy nhất x ∈ X

sao cho ϕ = ϕx Giả sử ngược lại ϕ 6= ϕx, với ∀x ∈ X Khi đó với mỗi

x ∈ X tồn tại g ∈ C(X) sao cho ϕ(g) 6= ϕx(g) = g(x) Đặt fx = g − ϕ(g).Khi đó fx(x) 6= 0 và fx liên tục Theo tính chất liên tục nên tồn tạilân cận Ux của sao cho fx 6= 0 trên Ux Suy ra |fx|2 > 0, trên Ux Vì

ϕ(fx) = ϕ(g − ϕ(g)) = ϕ(g) − ϕ(g) = 0 nên

ϕ(|fx|2) = ϕ(fxfx) = ϕ(fx)ϕ(fx) = 0

Mặt khác, vì họ {Ux}x∈X là phủ mở của và X compact nên tồn tạiphủ con hữu hạn phủ X Suy ra tồn tại x1, x2, , xn ∈ X sao cho

Để kết thúc chứng minh ta thiết lập một ánh xạ ψ từ X vào MC(X)

được cho bởi công thức ψ(x) = ϕx với mọi x ∈ X Dễ dàng chứng minh

ψ là song ánh Hơn nữa ψ liên tục Thật vậy, giả sử {xα}α∈I ⊂ X saocho xα → x ∈ X Khi đó với mọi f ∈ C(X) ta có f (xα) → f (x) hay

ϕxα(f ) → ϕx(f ) với mọi f ∈ C(X) Suy ra ϕxα → ϕx trong MC(X) hay

ψ(xα) → ψ(x) Mặt khác, vì X và MC(X) là các không gian compact nên

ψ−1 cũng liên tục Vậy ψ là ánh xạ đồng phôi từ X vào MC(X)

1.1.11 Định nghĩa ([5]) Cho X là một không gian Haudorff compact.Một đại số con đóng của C(X), chứa các hằng, tách các điểm của X thìđược gọi là một đại số đều trên X

1.1.12 Ví dụ 1) Cho X ⊂ Cn Khi đó P (X), R(X), A(X) là các đại

số đều trên X Hơn nữa, P (X) ⊂ R(X) ⊂ A(X)

2) ChoAlà một đại số Banach thì không gian các phép biến đổi Gelfandb

A là một đại số đều trên MA

1.1.13 Định nghĩa ([5])ChoAlà một đại số đều trên không gian mêtriccompactX và MA là không gian các ideal cực đại củaA Độ đo biểu diễncủa φ ∈ MA là một độ đo dương µ trên X sao cho

Borel, chính quy trên X biểu diễn x Hơn nữa, độ đo biểu diễn có thểchọn là độ đo Jensen.

Nếu A là đại số đều P (K), trong đó K là tập compact của Cn thì

MP (K) = ˆK Do đó, với mỗi x ∈ ˆK tồn tại độ đo dương, Borel, chính quytrên K sao cho

Chúng ta đến với một khái niệm quan trọng sau

1.1.15 Định nghĩa ([4]) Đa tạp thực M trong Cn được gọi là hoàntoàn thực tại điểm a ∈ M nếu không gian vectơ tiếp xúc TM(a) của M

tại a không chứa các đường thẳng phức, tức là TM(a) ∩ iTM(a) = {0}.Đatạp M được gọi là hoàn toàn thực nếu nó hoàn toàn thực tại mọi điểmthuộc nó

1.1.16 Ví dụ 1) Rn là hoàn toàn thực tại mọi điểm của nó

2) Giả sử f1, f2, , fk là các hàm lớp C1 trên một tập mở U ⊆ C Nếu

kX

i=1

∂fi

∂z(a)

6= 0

với a ∈ U thì M = { z, f1(z), , fk(z)
: z ∈ U } hoàn toàn thực tại

a, f1(a), , fk(a)

1.1.17 Định nghĩa Cho X là một tập con compact của Cn

1) Bao lồi đa thức của X ký hiệu là bX và được xác định như sau:b

X = {z ∈ Cn : |p(z)| ≤ kpkX, với mọi đa thức p trên Cn},

trong đó

kpkX = max{|p(x)| : x ∈ X}

Nếu X = Xb thì ta nói X là lồi đa thức.

2) Bao lồi hữu tỷ của X ký hiệu là XˆR và được xác định như sau

ˆ

XR = {z ∈ Cn : |g(z)| ≤ kgkX, với mọi hàm hữu tỷ g có cực điểm ngoài X}

Nếu X = ˆXR thì ta nói X là lồi hữu tỷ

1.1.18 Định nghĩa Cho X là một tập con của Cn và z ∈ X Tập Xđược gọi là lồi đa thức địa phương (tương ứng lồi hữu tỷ địa phương)tại z nếu tồn tại hình cầu đóng B(z, r) sao cho X ∩ B(z, r) là lồi đa thức(tương ứng là lồi hữu tỷ)

với mọi đa thức f Mặt khác, vì f liên tục nênf (xn) → f (x) ∈ C, n → ∞.

Suy ra

|f (x)| ≤ kf kX,

với mọi đa thức f Vì thế x ∈ Xb, tức là bX đóng Vậy bX compact trong

Cn

Chứng minh tương tự bXR compact trong Cn

2) Giả sử {Xα}α∈I là các họ các tập lồi đa thức trong Cn Khi đó

2) Việc xác định bao lồi đa thức của một tập hợp compact nói chung rấtkhó khăn trong trường hợp nhiều chiều Một lớp tập lồi đa thức dễ nhậnbiết đó là các tập lồi Tuy nhiên, bao lồi đa thức của một tập compactkhông phải là tập lồi Ta có bao lồi convK (theo nghĩa thông thường) củamột tập compact K được xác định bởi

|f (z)| 6 kf kK, ∀f ∈ F

N sao cho hội tụ đều về f trênX Do

{fn}n∈I hội tụ đều về f trên X nên f liên tục và {fn}n∈

N là dãy Cauchy,nghĩa là

khi m, n → ∞.Vậy {fn} là dãy Cauchy trong đại số Banach P ( ˆX) Do đó

{fn} hội tụ đều trên Xˆ tới hàm f˜là một mở rộng của f

Tiếp theo, với mỗi z ∈ ˆX xét ánh xạ φz : P (X) → C xác định bởi

φz(f ) = f (z)e Dễ dàng kiểm tra φz là một đồng cấu phức trên P (X).Bằng phép đồng nhất z với φz ta có thể xem Xˆ như là một tập con củakhông gian các idean cực đại MP (X) Vì vậy X ⊂ Mˆ P (X)

Ngược lại, với mỗi Φ ∈ MP (X), ta có

với mọi đa thức pvà với mọi (z1, z2, , zn) ∈Cn Từ đó suy ra Φ = Φz với

z = (Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)) ∈ Cn Vì|Φ(f )| ≤ kf kX, với mọi f ∈ P (X)

suy ra

|Φ(p)| = |p(Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn))| ≤ kpkX

với mọi đa thức p Ta được z = (Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)) ∈ ˆX và Φ = Φz

Do đó MP (X) có thể xem như là tập con của Xˆ nếu ta đồng nhất z với

Φz Vì vậy MP (X) ⊂ ˆX Ta thu được X = Mˆ P (X) Chứng minh tương

lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ)

Chứng minh Vì MC(X) = X và MP (X) = ˆX nên từ P (X) = C(X) suy

ra X = ˆX Vì vậy X lồi đa thức Tương tự R(X) = C(X) thì X là lồihữu tỷ

1.1.24 Nhận xét Tính lồi đa thức của X không phải là điều kiện đủ

để P (X) = C(X) Chẳng hạn, xét X = {z ∈ C : |z| 6 1} Khi đó,

vì X là tập lồi nên nó lồi đa thức Tuy nhiên P (X) 6= C(X), bởi vì

f (z) = z ∈ C(X) nhưng f /∈ C(X), thậm chí f không chỉnh hình trên X

Để P (X) = C(X) nói chung cần rất nhiều điều kiện hình học phức tạpcủa tập X

Định lý sau là đặc trưng tôpô của tập lồi đa thức trong mặt phẳngphức, nó còn gọi là đặc trưng Oka-Stolzenberg của bao lồi đa thức

1.1.25 Định lý ([14]) Nếu X là tập compact của mặt phẳng phức Cthì Xˆ bằng X hợp với các thành phần liên thông bị chặn của C \ X.Nói cách khác, X là lồi đa thức trong C nếu và chỉ nếu C\X là liênthông.

1.1.26 Nhận xét 1) Định lý trên cho ta một điều kiện tôpô để một tậptrong mặt phẳng phức C là lồi đa thức Trong trường hợp nhiều chiều,cho đến nay người ta chưa thể tìm được đặc trưng tôpô cho tính lồi đathức như trên

2) Cho X1 = {z ∈ C : |z| = 1, =z > 0} và

X2 = {z ∈ C : |z| = 1, =z 6 0},

trong đó=là toán tử lấy phần ảo trong C Ta cóX1, X2 là lồi đa thức Tuynhiên X1∪ X2 = {z ∈ C : |z| = 1} không lồi đa thức, bởi vì C\ (X1∪ X2)

không liên thông

Sau đây là định lý xấp xỉ của Mergelyan

1.1.27 Định lý (Mergelyan-[5]) Nếu K là một tập lồi đa thức củamặt phẳng phức C thì A(K) = P (K)

Định lý sau là một kết quả đặc sắc về tính lồi đa thức địa phương của

đa tạp hoàn toàn thực

1.1.28 Định lý (Wermer-H¨ormander [4]) Nếu M là đa tạp trơn lớp

C1, hoàn toàn thực tại a ∈ M thì M lồi đa thức địa phương tại a Hơnnữa, tồn tại lân cận compact B của a trong M sao cho mọi hàm liêntục trên B được xấp xỉ đều trên B bởi các đa thức

Ta nhắc lại rằng, tập mở D ⊂ Cn được gọi là miền lồi chỉnh hình nếuvới mọi tập compact K ⊂ D thì tập

˜

KD = {z ∈ D : |f (z)|6 kf kK, ∀f ∈ H(D)}

là tập compact của D, trong đó H(D) là đại số các hàm chỉnh hình trongmột lân cận của D Tập compact K ⊂ Cn được gọi là lồi chỉnh hình nếu

nó là giao của tất cả các miền lồi chỉnh hình chứa K Rõ ràng mọi tậpcompact K lồi đa thức là lồi chỉnh hình Kết quả sau là của O’Farrell,Preskenis và Walsh

1.1.29 Định lý ([4]) Cho K là một tập compact lồi chỉnh hình và

K0 là tập compact của K sao cho K \ K0 là hoàn toàn thực trong Cn,lớp C1 (được chứa trong một đa tạp hoàn hoàn thực, lớp C1) Khi đó,hàm f liên tục trên K thuộc vào H(K) nếu và chỉ nếu tồn tại hàm

g ∈ H(K) sao cho f = g trên K0

Ta nhận được hệ quả có nhiều ứng dụng sau

1.1.30 Hệ quả Cho K là tập lồi đa thức của Cn và K0 là một tậpcon compact của K sao cho K \ K0 là hoàn toàn thực của Cn, lớp C1

có giá trên K0 Bây giờ, giả sử φ là một hàm tuỳ ý liên tục trên K Khi

đó φ ∈ C(K0) = P (K0), tức là tồn tại dãy các đa thức Pn hội tụ đến φ

trên K0 Khi đó, vì µ có giá trên K0 nên

Do đó µ là độ đo 0 Ta được P (K) = C(K).

1.1.31 Nhận xét Chúng ta thường áp dụng hệ quả trên khi K0 là tậpchỉ gồm một điểm Khi đó, điều kiện P (K0) = C(K0) là tầm thường.1.1.32 Định nghĩa ([5]) Cho X là không gian mêtric compact và A làmột đại số đều trên X Điểm x ∈ X được gọi là một điểm peak của A

nếu tồn tại f ∈ A sao cho f (x) = 1 và |f (y)| < 1, với mọi y ∈ X \ {x}.Khi đó, f được gọi là peak tại x

Bổ đề sau cho ta một kết quả về điểm peak của đại số P (K) với K làtập compact của mặt phẳng phức

1.1.33 Bổ đề ([14]) Nếu K là tập compact, lồi đa thức của mặt phẳngphức thì mọi điểm biên của K là điểm peak của đại số P (K)

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết 0là điểm biêncủa K và K là tập con compact của hình cầu đơn vị mở

B = {z ∈ C : |z| < 1}

Lấy dãy {zn}∞n=1 ⊂C\ K hội tụ về 0 Ký hiệu γn là cung trong mặt cầuRiemann nối zn với ∞ và γn không có giao với K (vì K là lồi đa thứcnên C\ K là liên thông) Với mỗi z0 ∈ K \ {0} và với mỗi n xét nhánh

θn của log(z − zn) xác định trên C \ γn sao cho θn(z0) hội tụ Khi đó,dãy hàm θn hội tụ điểm trên K \ {0} tới một nhánh liên tục của log z

Ta ký hiệu giới hạn của dãy hàm {θn} là log z Xác định hàm ϕ như sau:

log zlog z − 1

, ∀z ∈ K \ {0}

Mặt khác, vìK là lồi đa thức nên theo định lý Mergelyan ta có:ϕ ∈ P (K)

Do đó 0 là điểm peak của P (K)

1.2 Bổ đề Kallin về hợp thành hai tập lồi đa thức

Định lý sau là bổ đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tậplồi đa thức Nó là bổ đề kỹ thuật được sử dụng xuyên suốt trong chươngsau

1.2.1 Định lý (Bổ đề Kallin [10], [14]) Giả sử rằng

1) X1 và X2 là các tập con lồi đa thức của Cn;

2) Y1 và Y2 là các tập con lồi đa thức của C sao cho 0 là điểm biêncủa cả Y1 và Y2, và Y1 ∩ Y2 = {0};

3) p là một đa thức sao cho p(X1) ⊂ Y1 và p(X2) ⊂ Y2;

4) p−1(0) ∩ (X1 ∪ X2) là lồi đa thức

Khi đó, X1 ∪ X2 là lồi đa thức

Chứng minh Đặt X = X1 ∪ X2 và Y = Y1∪ Y2 Từ điều kiện Y1 ∩ Y2 =

∂Y1∩ ∂Y2 = {0} và C\ Y1, C\ Y2 liên thông suy ra C\ Y liên thông, tức

là Y lồi đa thức Bây giờ, giả sử x ∈ ˆX và µ là độ đo biểu diễn của x đốivới P (X) trên X, tức là µ là độ đo dương trên X sao cho

Khi đó g là hàm liên tục trên Y và chỉnh hình trong phần trong của Y và

g(p(x)) = 1 Theo định lý Mergelyan, g được xấp xỉ đều bởi các đa thứctrên Y, tức là g ∈ P (Y ) Đặt G = g ◦ p Khi đó, với mọi đa thức P ta có

|Pn(x)| = |Pn(x)G(x)| =

... X2 lồi đa thức

1.2.3 Nhận xét 1)Bổ đề Kallin cơng cụ để chứng minh tínhlồi đa thức hợp hai tập lồi đa thức Cn Các ứng dụng rộng rãicủa ta tìm hiểu sâu chương sau luận văn

1.2 Bổ đề Kallin hợp thành hai tập lồi đa thức< /p>

Định lý sau bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tậplồi đa thức Nó bổ đề kỹ thuật sử dụng xuyên suốt chươngsau