Giá trị chính quy của ánh sạ trơn và định lý sard

Để nghiên cứu các tính chấthình học và tôpô của các ánh xạ trơn, bài toán đầu tiên cần được giảiquyết là nghiên cứu các điểm chính quy và giá trị chính quy của ánh xạ đó.. Mục đích của k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Mai Ngọc Hoàng Anh

GIÁ TRỊ CHÍNH QUY CỦA ÁNH XẠ TRƠN

VÀ ĐỊNH LÝ SARD

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Mai Ngọc Hoàng Anh

GIÁ TRỊ CHÍNH QUY CỦA ÁNH XẠ TRƠN

VÀ ĐỊNH LÝ SARD

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Tất Thắng

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyênngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Tất Thắng

đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo emtận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài thực tập này

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Mai Ngọc Hoàng Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và nội dung nghiên cứu trong khóa luận này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm

ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Mai Ngọc Hoàng Anh

Mục lục

1.1 Ánh xạ trơn và đa tạp trơn 1

1.2 Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi phân 4

1.3 Giá trị chính quy 16

2 Định lý Sard và Định lý điểm bất động Brown 20 2.1 Định lý Sard và Brown 20

2.2 Đa tạp với biên 28

2.3 Định lý điểm bất động Brown 31

2.4 Chứng minh của định lý Sard 34

3 Đa tạp định hướng và bậc Brown 45 3.1 Đồng luân trơn và đẳng luân trơn 45

3.2 Đa tạp định hướng 46

3.3 Bậc Brown 48

Lời mở đầu

Ánh xạ trơn và đa tạp trơn là các đối tượng nghiên cứu chính của Tôpô

vi phân Việc hiểu biết các ánh xạ xác định trên các đa tạp trơn chophép ta nhận lại thông tin về đa tạp đó Để nghiên cứu các tính chấthình học và tôpô của các ánh xạ trơn, bài toán đầu tiên cần được giảiquyết là nghiên cứu các điểm chính quy và giá trị chính quy của ánh xạ

đó Điểm chính quy của một ánh xạ trơn là các điểm mà tại đó ánh xạ

vi phân là toàn ánh Mục đích của khoá luận là trình bày lại một số kếtquả cơ bản về giá trị chính quy của các ánh xạ trơn và ứng dụng trongviệc nghiên cứu các đa tạp trơn Một trong những định lý cơ bản trongvấn đề này là định lý Sard Nói rằng tập các giá trị chính quy của mộtánh xạ trơn là trù mật khắp nơi Bằng việc sử dụng kết quả này, người

ta đưa ra định nghĩa về bậc Brown của một ánh xạ trơn giữa các đa tạpcùng số chiều rồi từ đó phát hiện ra nhiều kết quả nổi tiếng

Khoá luận gồm ba chương

Chương 1 "Kiến thức cơ bản" trình bày một số các khái niệm cơ bản

về ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân và giátrị chính quy có trong [1, Chapter 1]

Chương 2 "Định lý Sard và Định lý điểm bất động Brown" giới thiệuĐịnh lý Sard cùng với các hệ quả của nó trong [1, Chapter 2], đặc biệt

là hệ quả tập các giá trị chính quy của ánh xạ trơn giữa đa tạp trơn làtrù mật trên tập đích Từ đó dẫn đến định lý điểm bất động Brown.Chương 3 "Đa tạp định hướng và bậc Brown" đưa ra các khái niệm

về đồng luân trơn, đẳng luân trơn, đa tạp định hướng, bậc Brown cùngmột số hệ quả và định lý về bậc Brown có trong [1, Chapter 4, 5], tiêubiểu là kết quả bậc Brown của một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp địnhhướng cùng chiều không phụ thuộc vào giá trị chính quy mà chỉ phụthuộc vào lớp đồng luân trơn của nó.

Tác giả luận văn chân thành cảm ơn TS Nguyễn Tất Thắng đã tậntình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu Tác giảcũng xin được cảm ơn ThS Nguyễn Thanh Tâm đã góp ý chi tiết vềcách trình bày một số kết quả trong luận văn

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Hình học, đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luậnnày

Hà Nội, ngày 02/05/2016Tác giả khóa luận

Mai Ngọc Hoàng Anh

Chương 1

Kiến thức cơ bản

Trong chương này trình bày lại một số các khái niệm cơ bản về ánh xạtrơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân và giá trị chínhquy trong [1, Chapter 1]

1.1 Ánh xạ trơn và đa tạp trơn

Kí hiệu Rk là không gian Euclide k-chiều Với mỗi x ∈ Rk, ta viết

Chứng minh Với mọi x ∈ X, do f : X → Y là trơn nên tồn tại tập mở

Định nghĩa 1.5 Tập con M ⊂ Rk được gọi là một đa tạp trơn m-chiều

nếu với mỗi x ∈ M có một lân cận W ∩ M vi phôi với một tập mở

x < 0, y < 0 và z < 0 Do các miền này phủ S2 nên suy ra S2 là đa tạptrơn 2-chiều

Ví dụ 1.1.3 Tổng quát, hình cầu Sn−1 ⊂ Rn gồm tất cả các điểm(x1, , xn) thỏa mãn

là vi phôi với (0, +∞) là tập mở trong R1 Tương tự với x0 < 0.

1.2 Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi phân

Định nghĩa 1.6 Cho U ⊂ Rk là tập mở Không gian tiếp xúc của tập

U tại điểm x ∈ U được định nghĩa là không gian vectơ Rk Kí hiệu là

TxU

Định nghĩa 1.7 Cho U ⊂ Rk, V ⊂ Rl là các tập mở và f : U → V làánh xạ trơn bất kỳ Với x ∈ U , ánh xạ

Chứng minh Với h = (h1, , hk) ∈ Rk Ta viết

trong đó fi : U → R là các hàm khả vi cấp vô hạn Mặt khác, với h ∈ Rk,giới hạn

f l (x+th)−f i (x) t

Sau đây là hai tính chất cơ bản của ánh xạ vi phân của ánh xạ trơngiữa các tập mở:

Tính chất 1.2.1 (Quy tắc dây xích) Cho U ⊂ Rk, V ⊂ Rl, W ⊂ Rm.Nếu f : U → V và g : V → W là các ánh xạ trơn, với x ∈ U , f (x) = ythì d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx

Theo cách khác, với mỗi tam giác giao hoán của các ánh xạ trơn giữa

các tập mở của Rk, Rl, Rm; tương ứng với một tam giác giao hoán củacác ánh xạ tuyến tính

Chứng minh Do f và g là trơn nên g ◦ f : U → W là trơn Gọi ma trậncủa các ánh xạ tuyến tính dfx, dgy, d (g ◦ f )x lần lượt là

Hệ quả 1.2 Nếu f : U → V là một vi phôi giữa các tập mở U ⊂ Rk,

V ⊂ Rl thì ánh xạ vi phân dfx : Rk → Rl là một đẳng cấu, suy ra k = l.Chứng minh Ta có f−1◦f là ánh xạ đồng nhất của U Do đó d(f−1)y◦dfx

là ánh xạ đồng nhất của Rl, suy ra dfx là toàn ánh do tính tính toànánh của ánh xạ đồng nhất Tương tự, dfx◦ d f−1
y là ánh xạ đồng nhấtcủa Rk, suy ra dfx là đơn ánh do tính đơn ánh của ánh xạ đồng nhất

Do đó, dfx là đẳng cấu và ta suy ra k = l

Định lý 1.1 (Định lý hàm ngược) Cho f : U → Rk là ánh xạ trơn với

U mở trong Rk Nếu ánh xạ vi phân dfx : Rk → Rk là không suy biếnthì f ánh xạ tập mở bất kì U0 ⊂ U đủ nhỏ chứa x vi phôi lên một tập

mở f (U0)

(Chứng minh xem trong [4, Định lý hàm ngược])Dưới đây, ta định nghĩa không gian tiếp xúc của một đa tạp trơn vàánh xạ vi phân của ánh xạ giữa các đa tạp trơn

Định nghĩa 1.8 Cho đa tạp trơn m-chiều M ⊂ Rk Với x ∈ M , chọnmột tham số hóa

g : U → Rkcủa lân cận g (U ) ⊂ M của x, trong đó U ⊂ Rm là tập mở Ánh xạ viphân của g tại u = g−1(x) là

dgu : Rm → Rk

Khi đó, không gian vectơ Im dgu không phụ thuộc vào việc chọn tham

số g Ta gọi Im dgu là không gian tiếp xúc của đa tạp trơn M tại x Kíhiệu là TxM

Ta chứng minh không gian vectơ dgu không phụ thuộc vào việc chọntham số g

Chứng minh Thật vậy, cho h : V → Rk là tham số hóa khác của lâncận h (V ) ⊂ M của x với v = h−1(x) Ta có thể chọn U đủ nhỏ sao cho

g (U ) ⊂ h (V ) Thật vậy ta thay U bởi U1 = g−1(h (V )) ∩ U nếu cầnthiết Khi đó h−1◦ g ánh xạ tập mở U chứa u vi phôi với tập mở V chứa

v Ta có sơ đồ giao hoán của các ánh xạ trơn giữa các tập mở

Ta chuyển sang sơ đồ giao hoán của ánh xạ tuyến tính

Từ đây ta suy ra Im dgu = Im dhv Do đó TxM được xác định duynhất.

Mệnh đề 1.2 Cho đa tạp trơn m-chiều M ⊂ Rk Với x ∈ M , khônggian tiếp xúc TxM ⊂ Rk là không gian vectơ m-chiều

Chứng minh Thật vậy, vì

g−1 : g (U ) → U

là ánh xạ trơn nên ta có thể chọn một tập mở W chứa x và một ánh xạtrơn F : W → Rm trùng với g−1 trên W ∩ g (U )

Đặt U0 = g−1(W ∩ g (U )), ta có sơ đồ giao hoán

Ta có sơ đồ giao hoán các ánh xạ tuyến tính

Sơ đồ này chỉ ra rằng dgu có hạng m và do đó ảnh TxM của nó có sốchiều m.

Định nghĩa 1.9 Cho hai đa tạp trơn M ⊂ Rk, N ⊂ Rl và ánh xạ trơn

f : M → N

Lấy x ∈ M , f (x) = y Vì f là trơn nên tồn tại tập mở W ⊂ Rk chứa x

và ánh xạ trơn

F : W → Rltrùng với f trên W ∩ M Ta có ánh xạ vi phân

dFx : Rk → Rl

Khi đó ánh xạ

dfx : TxM → TyNxác định bởi công thức dfx(v) = dFx(v), với mọi v ∈ TxM ⊂ Rk, khôngphụ thuộc vào việc chọn F Ta gọi dfx là ánh xạ vi phân của f tại x

Ta chứng minh dfx ánh xạ TxM vào TyN và dfx không phụ thuộcvào việc chọn F

Chứng minh Thật vậy, ta chọn các tham số hóa

g : U → Rk, h : V → Rl,của lân cận g (U ) ⊂ M của x và h (V ) ⊂ N của y Ta có thể chọn W đủnhỏ sao cho F (W ) ⊂ h (V ) (thay W bởi W1 = F−1(h (V )) ∩ W nếu cần

thiết) và U đủ nhỏ sao cho g (U ) ⊂ W (thay U bởi U1 = g−1(W) ∩ Unếu cần thiết) Khi đó F ánh xạ g (U ) vào h (V ) Ta suy ra

h−1 ◦ F ◦ g : U → V

là ánh xạ trơn Do g (U ) ⊂ W ∩ M nên F ≡ f trên g (U ), suy ra

h−1 ◦ F ◦ g ≡ h−1 ◦ f ◦ g : U → V

Xét sơ đồ giao hoán

của các ánh xạ trơn giữa các tập mở Chuyển sang ánh xạ vi phân, ta

có sơ đồ giao hoán của các ánh xạ tuyến tính

trong đó u = g−1(x),và v = h−1(y)

Ta suy ra dFx ánh xạ TxM = Im dgu vào TyN = Im dhv, tức là dfxánh xạ TxM vào TyN Hơn nữa, dfx không phụ thuộc vào việc chọn F ,

ta có thể nhận được cùng biến đổi tuyến tính bằng cách đi vòng quanh

sơ đồ Đó là

dFx = dhv ◦ d h−1 ◦ f ◦ g

u◦ (dgu)−1,trong đó, h, h−1◦ f ◦ g, g là các ánh xạ cố định Điều này hoàn thànhchứng minh

Ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn giữa hai đa tạp trơn có hai tính chất

cơ bản sau đây:

Tính chất 1.2.3 (Quy tắc dây xích) Nếu f : M → N và g : N → P làcác ánh xạ trơn giữa các đa tạp trơn với x ∈ M , f (x) = y thì d(g ◦ f )x =

sao cho F trùng với f trên U ∩ M , G trùng với g trên V ∩ M Ta chọn

U đủ nhỏ sao cho F (U ) ⊂ V (ta có thể thay U bởi U1 = U ∩ F−1(V )nếu cần) Khi đó tồn tại ánh xạ trơn

G ◦ F : U → Rhthỏa mãn G ◦ F trùng với g ◦ f trên U ∩ M Thật vậy, với mọi x ∈

U ∩ M , ta có f (x) = F (x) ∈ V ∩ N , suy ra G (F (t)) = g (f (t)), hay

(G ◦ F ) (x) = (g ◦ f ) (x) Theo Tính chất 1.2.1 và Định nghĩa 1.9, ta có

d(g ◦ f )x = d(G ◦ F )x = dGy ◦ dFx = dgy ◦ dfx

Ta có điều phải chứng minh

Tính chất 1.2.4 Nếu cho M ⊂ Rk là đa tạp trơn và I là ánh xạ đồngnhất của M thì với x ∈ M , dIx là ánh xạ đồng nhất của TxM Trongtrường hợp tổng quát, nếu cho M, N ⊂ Rk là hai đa tạp trơn thoả mãn

J : W → Rktrùng với i trên W ∩ M Ta chọn W đủ nhỏ sao cho J (W ∩ M ) ⊂ h (V )

và U đủ nhỏ sao cho g (U ) ⊂ W ∩ M Khi đó ta có sơ đồ giao hoán sau

Chuyển sang ánh xạ vi phân, ta có sơ đồ giao hoán

Từ sơ đồ trên và theo Tính chất 1.2.2, phép nhúng dJx ánh xạ Im dguvào Im dhv, nghĩa là phép nhúng dix đi từ TxM đến TxN

Định lý 1.2 Nếu f : M → N là một vi phôi giữa các đa tạp trơn thì với

x ∈ M , f (x) = y, ánh xạ vi phân dfx : TxM → TyN là một đẳng cấucủa các không gian vectơ Lúc đó, số chiều của M phải bằng số chiềucủa N

Chứng minh Do f−1 ◦ f là ánh xạ đồng nhất của M nên d f−1

Vậy M và N là hai đa tạp có cùng số chiều.

xạ từ một lân cận của x trên M vi phôi vào một tập mở của N

Chứng minh Giả sử x ∈ M là điểm chính quy của f Khi đó f (x) ∈ N

Do M là đa tạp nên tồn tại lân cận W1 ⊂ Rk của x và vi phôi

g : W1 ∩ M → U

trong đó U ⊂ Rm là mở Do N là đa tạp nên tồn tại lân cận W2 ⊂ Rl

của f (x) và vi phôi

h : W2 ∩ N → Vtrong đó V ⊂ Rm là mở Ta có thể chọn W1 đủ nhỏ sao cho f (W1 ∩ M ) ⊂

W2 ∩ N Khi đó h ◦ f ◦ g−1 : U → V là trơn và U , V là các tập mở của

Rm Theo tính chất đạo hàm của hợp các ánh xạ trơn, ta có

d h ◦ f ◦ g−1
g−1(x) = dhf (x) ◦ dfx ◦ (dgx)−1

Do dhf (x), dfx, dgx là các ánh xạ tuyến tính không suy biến nên

d h ◦ f ◦ g−1
g−1(x)

là không suy biến Theo định lý hàm ngược, tồn tại tập mở U0 ⊂ U ⊂ Rm

chứa g−1(x) vi phôi với h ◦ f ◦ g−1
(U0) qua h ◦ f ◦ g−1 Ta suy ra lâncận g−1(U0) của x vi phôi với f ◦ g−1
(U0) qua f

Mệnh đề 1.3 Cho f : M → N là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp trơn

có cùng số chiều m Nếu M là compact và y ∈ N là một giá trị chínhquy thì f−1(y) là một tập hữu hạn (có thể là tập rỗng)

Chứng minh Với mọi x ∈ f−1(y) Do y là giá trị chính quy nên x làđiểm chính quy Ánh xạ vi phân

dfx : TxM → TyN

là không suy biến Theo Tính chất 1.3.1, f ánh xạ một lân cận U ⊂ Mcủa x vi phôi với f (U ) ⊂ N chứa y, nghĩa là với mỗi y, tồn tại duy nhất

x trong lân cận U ⊂ M của x thoả mãn f (x) = y Do đó f−1(y) làtập rời rạc các phần tử Hơn nữa, do f−1(y) là tập con đóng trong tậpcompact M nên f−1(y) là tập compact Nếu f−1(y) là tập vô hạn phần

tử thì do tính compac của f−1(y) nên f−1(y) có điểm tụ Mâu thuẫnvới tính rời rạc của f−1(y) Vậy f−1(y) là tập hữu hạn phần tử

Mệnh đề 1.4 Cho ánh xạ trơn f : M → N giữa hai đa tạp có cùng sốchiều, trong đó M là compact và y ∈ N là một giá trị chính quy của f

Ta đặt #f−1(y) là số lượng các điểm trong f−1(y) Khi đó hàm #f−1(y)

là hằng địa phương theo biến y, tức là tồn tại một lân cận V ⊂ N củagiá trị chính quy y của f sao cho

#f−1(y0) = #f−1(y)

với mọi y0 ∈ V

Chứng minh Cho x1, , xk là tất cả các điểm của f−1(y) Do M , N làhai đa tạp trơn có cùng số chiều nên theo Tính chất 1.3.1, ta có thể chọntrong M các lân cận đôi một rời nhau U1, , Uk lần lượt của x1, , xk

mà vi phôi lần lượt với các lân cận V1, , Vk trong N qua f Khi đó

V = V1 ∩ V2 ∩ ∩ Vk\f (M \U1\ \Uk)

là lân cận trong N cần tìm Thật vậy, với mọi y0 ∈ V , ta có y0 ∈ Vi,

i = 1, , k Do Ui vi phôi với Vi qua f nên tồn tại duy nhất x0i ∈ Ui saocho f (x0i) = y0, i = 1, , k Mặt khác, do

y0 ∈ f (M \U1\ \Uk) = f (M \ (U1 ∪ ∪ Uk))

nên không tồn tại bất kỳ x ∈ U1 ∪ ∪ Uk nào khác sao cho f (x) = y0.

Do đó x01, , x0k là tất cả các phần tử của f−1(y0) Vậy #f−1(y0) = k =

#f−1(y)

Chương 2

Định lý Sard và Định lý điểm bất động Brown

Trong chương này giới thiệu Định lý Sard cùng với các hệ quả của nótrong [1, Chapter 2], đặc biệt là hệ quả tập các giá trị chính quy của ánh

xạ trơn giữa đa tạp trơn là trù mật trên tập đích Từ đó dẫn đến định

(−∞, +∞) , (−∞, a) , (a, +∞) , (−∞, a] , [a, +∞)

2 Ta gọi gian ∆ trong Rk, (k ≥ 2) là tập hợp các điểm x = (x1, , xk)

mà mỗi toạ độ xi thuộc vào một gian nào đó của R, i = 1, , k.Định nghĩa 2.2 Với ∆ là một gian trong Rk gồm các điểm x =(x1, , xk) mà mỗi toạ độ xi thuộc vào một gian của R có hai đầu mút

là αi và βi hữu hạn, i = 1, 2, , k Khi đó thể tích k-chiều của ∆ là số

Định lý 2.1 Ta chứng minh được các kết quả sau:

Rk được gọi là σ-đại số Borel trong Rk Những tập thuộc σ-đại số Boreltrong Rk được gọi là tập Borel trong Rk.

Mệnh đề 2.1 Các tập Borel trong Rk đều đo được

Mệnh đề 2.2 Tập A là đo được (L) trong Rk nếu và chỉ nếu nó códạng

A = B\N hoặc A = B ∪ N ,trong đó B là một tập Borel và N là một tập có độ đo không Khi đó

µk(A) = µ∗(A)

Định lý 2.3 Một tập N có độ đo không khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 cóthể tìm được một hệ (hữu hạn hoặc đếm được) các gian ∆k phủ N và cótổng độ đo nhỏ hơn ε, nghĩa là

2 Với mỗi ε > 0 tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G\A) < ε

3 Với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A\F ) < ε

Từ Định lý 2.4 và tính chất compact, ta dễ dàng chứng minh được:

Hệ quả 2.1 Mỗi một tập compact trong Rk là đo được (L) và có độ đohữu hạn

Bây giờ, ta phát biểu Định lý Sard như sau:

Định lý 2.5 (Định lý Sard) Cho f : U → Rn là một ánh xạ trơn xácđịnh trên một tập mở U ⊂ Rm và cho

C = {x ∈ U : rank dfx < n}

Khi đó ảnh f (C) ⊂ Rn có độ đo Lebesgue là không

Mệnh đề 2.3 Cho f : U → Rn là một ánh xạ trơn xác định trên mộttập mở U ⊂ Rm và cho

y ∈ f (C) bị kiểm soát bởi phần tử y1 của Rn\f (C)

Xét tổng quát với ánh xạ trơn f : M → N , trong đó M ⊂ Rk là đatạp m-chiều và N ⊂ Rl là đa tạp n-chiều Đặt C là tập tất cả các điểm

x ∈ M sao cho ánh xạ vi phân

dfx : TxM → Tf (x)N

có hạng nhỏ hơn n

Nhận xét 2.1 Ta có

1 C là tập các điểm tới hạn của f do dfx không là toàn ánh.

2 f (C) là tập các giá trị tới hạn của f

3 N \f (C) là tập các giá trị chính quy của f

Vì M có thể được phủ bởi một tập đếm được các lân cận mà mỗi cái

vi phôi với một tập mở của Rm nên ta có

Định lý 2.6 (A B Brown) Cho ánh xạ trơn f : M → N , trong đó

M ⊂ Rk là đa tạp m-chiều và N ⊂ Rl là đa tạp n-chiều Đặt C là tậptất cả các điểm x ∈ M sao cho ánh xạ vi phân

g : U → Rk, h : V → Rl

của lân cận g (U ) ⊂ M của x = g (u) và lân cận h (V ) ⊂ N của y = h (v),trong đó U ⊂ Rm, V ⊂ Rn là các tập mở Ta có thể chọn U đủ nhỏ saocho f (g (U )) ⊂ h (V ) Khi đó h−1◦ f ◦ g : U → V là ánh xạ trơn Ta có

sơ đồ giao hoán giữa các tập mở