Ma trận đa thức

Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứu các tàiliệu liên quan đến nội dung khóa luận cùng với sự giúp đỡ nhiệt tìnhtận tâm của giảng viên hướng dẫn ThS.. Em xin kh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phượng

MA TRẬN ĐA THỨC

Chuyên ngành: Toán hình

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Phạm Thanh Tâm

Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứu các tàiliệu liên quan đến nội dung khóa luận cùng với sự giúp đỡ nhiệt tìnhtận tâm của giảng viên hướng dẫn ThS Phạm Thanh Tâm Nhân dịpnày, em xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.

Sự động viên tin tưởng của Thầy là nguồn động lực chính để em hoànthành khóa luận này

Qua đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả các Thầy Cô giáotrong trường ĐHSPHN2 Đặc biệt là các Thầy Cô giáo trong khoa Toáncủa trường ĐHSPHN2 , những người bạn đã giúp đỡ em rất nhiều trongquá trình làm khóa luận

Cuối cùng em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè vàngười thân đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quatrình học tập vừa qua Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian vàkhả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trìnhbày sâu sắc và không thể tránh khỏi những sai sót trong cách trình bày.Mong được sự góp ý, xây dựng của Thầy Cô và các bạn

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Phượng

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các Thầy Cô giáo

trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của ThS Phạm

Thanh Tâm.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu và đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài " Ma trận đa thức" không

có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Phượng

Lời mở đầu iii

1.1 Định nghĩa 1

1.2 Các phép toán cơ bản trên ma trận 10

1.3 Bài tập 12

2 Toán tử tuyến tính 19 2.1 Giá trị riêng, vectơ riêng và đa thức đặc trưng 19

2.2 Chéo hóa ma trận 23

2.3 Không gian con bất biến 27

2.4 Toán tử đa thức và đa thức cực tiểu 29

2.5 Bài tập 32

3 Ma trận đa thức 36 3.1 Định nghĩa 36

3.2 Tính chất 36

3.3 Bài tập 47

Tài liệu tham khảo 51

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói rằng Đại số tuyến tính là một môn học khá quan trọng

Nó được coi là một cơ sở cho tất cả các môn toán mà sinh viên được học.Trong đó ma trận đa thức là một vấn đề lý thú và quan trọng Nó còn

có nhiều ứng dụng trong các chuyên ngành khác như : Giải tích, hìnhhọc, Vì vậy đề tài ma trận đa thức là đề tài hấp dẫn đối với nhiều lớpsinh viên yêu thích bộ môn Đại số tuyến tính Đặc biệt trong quá trìnhhọc tập các môn học em đã tiếp thu được một số kiến thức: Ma trận,định thức, vectơ riêng, giá trị riêng Chính những kiến thức này đã tạocho em niềm say mê và muốn tìm hiểu kĩ hơn về ma trận đa thức

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tưduy logic đặc thù của bộ môn Nghiên cứu về những kiến thức về matrận đa thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Ma trận đa thức và một số bài tập liên quan

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu ma trận đa thức và một số dạng bài tập liên quan trongphạm vi của môn Đại số tuyến tính

5 Giả thuyết khoa học

Xây dựng hệ thống bài tập về ma trận đa thức làm thành tài liệugiúp các bạn sinh viên khóa sau có thể thấy được vai trò của nó trongmôn Đại số tuyến tính

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ma trận đa thức.Nghiên cứu một số định lý và bài tập về ma trận đa thức

7 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích, bài tập giải minh họa

và tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn

8 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 chương

Chương 1: Ma trận.

Chương 2: Toán tử tuyến tính.

Chương 3: Ma trận đa thức.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Phượng

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

Ma trận

Định nghĩa 1.1 Ma trận m dòng, n cột trên trường K được gọi là ma

trận kích thước m ×n Ta kí hiệu các ma trận này là M(m×n;K).

Ma trận vuông là ma trận có số cột bằng số dòng, ta kí hiệu M(n ×n;K) hay đơn giản là M(n; K) và n được gọi là cấp của ma trận Ta thường kí

hiệu ma trận bởi các chữ cái in hoa: A, B,

Hai cách viết chính của ma trận là:

Có thể viết ma trận một cách đơn giản bởi A = (a ij)(m ×n)

Khi đã biết rõ m và n ta có thể viết là A = (aij ); trong đó a ij ∈ K ; 1 ≤

i ≤ m ; 1≤ j ≤ n

Ma trận chỉ có một dòng (một cột) thì ta gọi nó là ma trận dòng (ma

Định nghĩa 1.2 Ma trận nhận được từ A bằng cách đổi dòng thành cột

được gọi là ma trận chuyển vị của A Ma trận này được kí hiệu là A T

Như vậy nếu A ∈ M(m×n;K) thì A T ∈ M(n×m;K).

Chứng minh Điều kiện cần:

Giả sử ma trận A có nghịch đảo là A −1 Khi đó ta có:

|A|.|A −1 | =|A.A −1 |=|I|=I

(b) Biến đổi Gausse:

Lập ma trận khối (A,I), trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp Bằng phép biến đổi sơ cấp dòng liên tiếp, hãy đưa ma trận khối đó về ma trận khối dạng (I,B) Khi đó B =A −1

(c) Sử dụng một số phương pháp đặc biệt chẳng hạn nếu A là ma trận vuông cấp n và bằng cách nào đó ta chỉ ra được AB = a.I n , a ∈ R ∗ thì

ta có thể khẳng định ngay A −1 = a1B.

Cách 2 Sử dụng phương pháp biến đổi Gausse

Lập ma trận (A,I) và biến đổi dòng

Định nghĩa 1.5 Hai ma trận A và B đươc gọi là đồng dạng nếu có một

ma trận T sao cho B = T −1 AT Kí hiệu: A ≈B.

Theo định nghĩa này, muốn tìm một ma trận đồng dạng với ma trận

A chỉ cần lấy một ma trận T không suy biến rồi lấy ma trận tích T −1 AT

Định nghĩa 1.6 Cho A =(a ij ) , B = (b ij ) là hai ma trận kích thước

m ×n , c ∈ K Ta có thể định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng

6) (kl)A = k(lA),

7) (k+l)A = kA + lA,

8) 1.A = A ( 1 là đơn vị của trường K ) với mọi A,B,C ∈ M(m×n;K).

Mệnh đề 1.3 Với các ma trận A, B, C và mọi số c ∈ K, ta có các đẳng thức sau nếu các phép toán có nghĩa:

1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC),

2) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

A(B+C) = AB +AC , (A+B)C = AC +BC 3) c(AB) = (cA)B = A(cB).



Bài tập 1.3.4.

−2

3

1 3

Toán tử tuyến tính

Cố định một không gian vectơ thực V có chiều ít nhất bằng 1 và một tự

đồng cấu tuyến tính φ : V −→ V

Định nghĩa 2.1 Số thực λ được gọi là giá trị riêng của φ nếu tồn tại

vectơ − → v ̸= − → 0 sao cho φ(− → v ) = λ− → v Khi đó − → v được gọi là vectơ riêng của φ ứng với giá trị riêng λ.

Định nghĩa 2.2 Số thực λ được gọi là giá trị riêng của ma trận vuông

A cấp n nếu tồn tại một vectơ − → v ̸=− → 0 sao cho A− → v = λ− → v

Khi đó − → v được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị λ.

Ví dụ 2.1.1.

a) Phần tử 0 là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi Ker( φ) ̸= 0 Khi đó

−

→ v ̸= − → 0 là vectơ riêng của φ ứng với 0 khi và chỉ khi − → v ∈ Ker φ.

b) Mọi ma trận khác 0 đều là vectơ riêng của toán tử đồng nhất hoặc

riêng là 0.

Định nghĩa 2.3 Đa thức đặc trưng của φ , kí hiệu là P φ (t) được định

nghĩa là định thức của ánh xạ φ - t.id , trong đó id là ánh xạ đồng nhất,

ta quy ước t.id sẽ được kí hiệu là t.

Khi đó đa thức đặc trưng của φ có dạng:

Định lý 2.1 Số thực λ là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi nó là nghiệm

của đa thức đặc trưng P φ (t).

Chứng minh Xét đa thức đặc trưng P φ (t) = 0 Cố định một cơ sở (e)

= {− → e

1, , − → e

n} của V và kí hiệu A là ma trận của φ , [x] là tọa độ của − → x

theo cơ sở này Khi đó det(A -λ) = 0.

Từ đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

(A − tI n )[x] = 0

có nghiệm không tầm thường Nghiệm của hệ này cũng chính là vectơ

riêng của φ ứng với giá trị λ.

Ngược lại, giả sử − → v ̸=− → 0 là nghiệm của hệ (A- λI

n )[x] = 0, ta có:

(A - λI n )[v] = 0 ⇔ A[v] - λ[v] = 0 ⇔ A[v] = λ[v].

Suy ra λ chính là giá trị riêng của φ.

Để đơn giản bài toán, ta chỉ xét các tự đồng cấu φ mà đa thức đặc trưng của φ có đủ các nghiệm thực Khó khăn duy nhất mà chúng ta

phải đối mặt là đa thức này có thể có nghiệm bội

Định lý 2.2 Giả thiết P φ (t) có đủ n nghiệm thực khác nhau λ i Khi

đó tồn tại một cơ sở mà ma trận của φ là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các số λ i

Chứng minh Giả sử tồn tại duy nhất các vetơ riêng − → v i ứng với các λ i .

Ta chỉ cần chứng minh các vectơ − → v

i là độc lập tuyến tính.Ta sẽ chứngminh bằng quy nạp theo n

Với n =1, vectơ riêng − → v1 ̸= − → 0 nên hệ vectơ gồm một vectơ {− → v1} độc lập

Theo giả thiết quy nạp, hệ − → v

1 , , −−→ v n −1 độc lập tuyến tính cho nên ta có:

a1(λ n - λ1) = = a n −1 (λ n - λ n −1) = 0

Do λ n - λ i ̸= 0 với i = 1, , n-1 từ đó suy ra a1 = = a n −1= 0 Thay các

giá trị vào (1) ta được a n − → v

Mệnh đề 2.1 Thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng:

1) Tìm ma trận biểu diễn A của φ theo một cơ sở nào đó ( để được ma trận chứa càng nhiều 0 càng tốt).

sau đó giải hệ để tìm một hệ nghiệm cơ sở Đó chính là cơ sở của không gian riêng ứng với α.

b) Nếu K = R thì P A (t) có hai nghiệm là ± √ 2 , tức là φ có hai giá trị

riêng là ± √2 Tương ứng ta có hai hệ phương trình tuyến tính:

chéo Nói cách khác, φ chéo hóa được nếu có một cơ sở của V gồm toàn

những vectơ riêng của φ.

Định nghĩa 2.6 Ma trận A ∈ M(n ; K) đồng dạng với một ma trận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được trên K.

Định lý 2.3 Tự đồng cấu φ của K - không gian vectơ n chiều K chéo

hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) Đa thức P φ (t) có đủ các nghiệm thực trên trường K Tức là đa thức

P φ (t) phân tích được thành:

Pφ (t) =( -1) n (t-λ1) s1 (t-λm) s m

trong đó λ1, , λ m là các số đôi một khác nhau.

(ii) Mỗi λ i là nghiệm bội s i thì hệ phương trình

Giả sử φ chéo hóa được Tức là ma trận A của φ trong một cơ sở nào

đó của V là một ma trận chéo với s i phần tử trên đường chéo bằng λ i ,

i = 1, ,m trong đó λ i đôi một khác nhau và n = s1 + + s m Khi đó:

P φ (t) = P A (t) = (λ1 - t)s1 (λ m - t)s m

= ( -1)n (t-λ1)s1 (t-λ m)s m

Do ( A - λ i I n ) là một ma trận chéo, với s i phần tử trên đường chéo bằng

λ i - λ i = 0 , các phần tử còn lại bằng λ j - λ i ̸= 0 với j ̸= i Vì thế rank

Không gian nghiệm của hệ (φ - λ i )( − → x ) = 0 được gọi là không gian

riêng của φ ứng với giá trị riêng λ i, kí hiệu là Vλ i Như vậy, nếu ánh xạ

φ chéo hóa được thì V được triển khai duy nhất thành tổng trực tiếp

V = ⊕ Vλ i

sao cho khi hạn chế lên mỗi không gian Vλ i là một phép vị tự

Thật vậy, theo định lý 2.2 ta có các vectơ riêng ứng với các giá trị đôimột khác nhau thì lập thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính cho nên

V ∩ (∑

i ̸=j

Vλ i) = {0}.

V = Vλ1⊕ ⊕Vλm.

Với mỗi i = 1, ,m ta lấy { − e →

i1 , ,−→ e im} là một cơ sở của Vλ i là một cơ sởgồm toàn những vectơ riêng

Hệ quả 2.1 Cho φ là một tự đồng cấu của không gian vectơ V chiều

n Khi đó:

(i) φ chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm các vectơ riêng.

(ii) Nếu φ có n giá trị riêng khác nhau thì φ chéo hóa được.

Ví dụ 2.2.2.

Tìm tất cả các giá trị riêng và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một cơ

sở các vectơ riêng của toán tử φ(x, y, z) = ( 2x + y , y - z , 2y + 4z).

Toán tử này có chéo hóa được không?

Ma trận biểu diễn của φ là:

• Với t = 3 ta được vectơ riêng − → v2 = (1,1,-2) Vì dim R3 = 3 mà chỉ

có 2 vectơ riêng nên toán tử này không chéo hóa được

Định nghĩa 2.7 Không gian con U ⊆ V được gọi là bất biến đối với φ ( hoặc ổn định với φ ) nếu φ(U) ⊆ U Đôi khi φ đã rõ thì không gian con bất biến của φ được gọi tắt là không gian con bất biến.

Ví dụ 2.3.1.

1) Các không gian con bất biến tầm thường của φ là 0 và V

2) Không gian con một chiều là không gian con bất biến khi và chỉkhi nó sinh bởi một vectơ riêng

Mệnh đề 2.2 Giả sử U là không gian con bất biến đối với ánh xạ φ.

 với A, B, D là các ma trận khối trong đó A, D là

các ma trận vuông và A có kích thước bằng số chiều của U,

(ii) Kí hiệu W là không gian thương vủa V theo U Khi đó φ cảm sinh

một ánh xạ

φ W : W −→ W

v 7−→ φ W (v) = φ(v)

ở đây v kí hiệu lớp ghép v + U trong W,

(iii) Kí hiệu φ U là hạn chế của φ trên U Khi đó đa thức đặc trưng

Theo giả thiết φ(− → u i) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các vectơ − → u j

bởi một ma trận A Vì (u,w) là một cơ sở của V nên các φ(− w → k) có thểbiểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng

(ii) Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ φ W được định nghĩa đúng

Thật vậy, nếu − → v1 và − → v2 có hiệu thuộc U, nghĩa là cùng xác định một

phần tử trong W, thì theo giả thiết φ(− → v1) - φ(− → v

A và

P φ U (t) = det( A - t)

Mặt khác (w) = (w1 , ,w n ) là cơ sở của W Từ (i) dễ thấy ma trận

của φ U theo cơ sở này là D Do đó P φ U (t) = det( D - t) Theo công thức

không gian con của V, gọi là không gian nghiệm ứng với giá trị riêng λ,

kí hiệu là V(λ).

Định lý 2.4 Cho tự đồng cấu tuyến tính φ của K - không gian vectơ

n chiều V với đa thức đặc trưng có đủ các nghiệm thực λ i ( có thể có nghiệm bội) Với mỗi λ i , kí hiệu V(λ i ) là không gian nghiệm của φ ứng với λ i Khi đó V là tổng trực tiếp của các không gian con V(λ i ), tức là

V = ⊕ V(λ i ) , i =1, ,m.

Ta luôn giả thiết φ là toán tử tuyến tính của KGVT hữu hạn chiều trên

K, mặc dù đôi chỗ cũng đúng cho vô hạn chiều

Định nghĩa 2.9 Cho f(t) = a0 +a1t+ + a r t r ∈ K[t] và φ là toán

tử tuyến tính của V Khi đó f(φ) = a0id +a1φ+ + a r φ r được gọi là toán tử đa thức.

Định lý 2.5 ( Cayley - Hamilton) Nếu P φ (t) là đa thức đặc trưng của

φ thì P φ (φ)= 0.

Định nghĩa 2.10 Đa thức cực tiểu của φ là đa thức chuẩn ( tức là có

hệ số đầu bằng 1) g ∈ K[t] có bậc nhỏ nhất sao cho g(φ) = 0, kí hiệu là g(φ).

Định nghĩa 2.11 Cho A ∈ M( n, K) ta gọi đa thức m(t) là đa thức cực tiểu của ma trận A nếu m(t) là đa thức có bậc nhỏ nhất với hệ số

Định lý 2.6 Đa thức cực tiểu của φ luôn tồn tại và được xác định duy

Vì vậy g φ (φ ′) = 0

Gọi ψ là ánh xạ cảm sinh bởi φ trên g V|U , ∀x ∈ V|U , ta có:

g φ (ψ)(x) = g φ (ψ(x)) = g φ (ψ)(x)= g φ (φ(x)) = g φ ((φ)(x)) = 0.

Suy ra g φ (ψ) = 0 Vậy g φ là bội của đa thức cực tiểu U và V|U

Mệnh đề 2.3 Thuật toán tìm đa thức cực tiểu:

1) Tìm ma trận biểu diễn A của φ.

2) Tìm đa thức đặc trưng P A (t) = | A - tI|.

3) Phân tích P A (t) thành tích của đa thức bất khả quy

P A (t) = ( −1) n p q1

1 p q r

r trong đó p1 , , p r là các đa thức đơn bất khả quy và q1, , q r ≥ 1

4) Đặt g = p1 p r

Nếu g(A) = 0 thì g φ = g.

Nếu g(A) ̸= 0 , lần lượt tăng m1, , m r lên một cách độc lập sao cho 1

≤ m i ≤q i để tìm ra đa thức G đầu tiên có dạng:

G = p m1

1 p m r

r sao cho G(A) = 0 Khi đó g φ = G.

Ví dụ 2.4.1.

Tìm đa thức cực tiểu của

φ(x,y,z) = ( x , x + 2y + z , -x + z ) Hướng dẫn:

Ma trận biểu diễn A của φ là:

Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

Hướng dẫn: Nếu A khả nghịch ta có thể giải thích dễ dàng như sau:

| AB - tI| = | A(B - tA −1 )| = |(B - tA −1)A| = |BA - tI|

Nếu A tùy ý: Bằng các phép biến đổi sơ cấp dòng và cột ta có thể đưa

A về ma trận khối toàn 0, trừ khối đầu tiên là ma trận đơn vị Điều đó

có nghĩa là tồn tại hai ma trận khả nghịch sao cho:

| AB - tI| = | P(AB - tI)P −1 | = |PAQQ −1 BP −1 - tI| = |C - tI s|(−t) n −s

trong đó n là cấp của ma trận Mặt khác:

| BA - tI| = | Q(AB - tI)Q −1 | = |Q −1 BP −1 PAQ- tI| = |C - tI s|(−t) n −s

Từ đó suy ra:

AB có định thức bằng 0 với A và B là hai ma trận biểu diễn của φ và ψ

Vì |AB| = |A||B| = |BA| ⇒ ψφ cũng nhận λ = 0 làm giá trị riêng.

Suy ra λ luôn là giá trị riêng của ψφ.

Do tính chất đối xứng ta có điều ngược lại