Giáo án giải tích 12 nâng cao: Chương III. §1. Nguyên hàm

Bài mới: Hoạt động 1: Xây dựng khái niệm nguyên hàm.TIẾT 73 định nghĩa khái niệm nguyên hàm yêu cầu học sinh phát biểu, giáo viên chính xác hoá và ghi bảng HĐTP2: Làm rõ khái niệm - Nêu

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.

2 Về kỹ năng: Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản

3 Về tư duy, thái độ:

- Thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm số

- Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.

2 Học sinh: SGK, đọc trước bài mới.

III Tiến trình bài học:

1 Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong…

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = x3 b) y = tan x

3 Bài mới: Hoạt động 1: Xây dựng khái niệm nguyên hàm.(TIẾT 73)

định nghĩa khái niệm nguyên

hàm (yêu cầu học sinh phát

biểu, giáo viên chính xác hoá

và ghi bảng)

HĐTP2: Làm rõ khái niệm

- Nêu 1 vài VD đơn giản giúp

học sinh nhanh chóng làm quen

với khái niệm (yêu cầu học

- Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (dùng SGK)

- Học sinh thực hiện được 1 cách dễ dàng nhờ vào bảng đạo hàm

hs f(x) = x

1 trên (0; +∞)c/ F(x) = sinx là ng/hàm của h/số f(x) = cosx trên (-∞; +∞)

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12 a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞)

b) f(x) = x

1

l.tục trên (0; +∞)c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞)

- Học sinh phát biểu định lý (SGK)

- Làm rõ mối liên hệ giữa vi

phân của hàm số và nguyên

hàm của nó trong biểu thức

(Giáo viên đề cập đến thuật

sinh nếu cần, chính xác hoá

lời giải của học sinh và ghi

* Chú ý:

f(x)dx là vi phân của ng/hàm F(x) của f(x) vì dF(x) = F’(x)dx

= f(x)dx

VD 2:

a/ ∫2xdx = x2 + C; x Є(-∞; +∞)b/ ∫1/sds = ln s + C; s Є(0; +∞)c/ ∫costdt = sint + C; t Є(0; +∞) ∫f(x) dx = F(x) + C

1]dx

= 3sinx -

C3ln

3 x+

−

c) = 1/6(2x + 3)6 + Cd) = ∫sinx/cosx dx = - ln/cosx/ +C

Bảng nguyên hàm:

(SGK/T97)

VD6: Tính

1a/ ∫[2x2 + ─ ]dx trên (0; +∞)

3√x2b) ∫(3cosx - 3x-1) dx trên (-∞; +∞)

c) ∫2(2x + 3)5dxd) ∫tanx dx

4 Cñng cè: Kh¾c s©u c«ng thøc vµ tÝnh chÊt cña nguyªn hµm

1 Về kiến thức: Cñng cè l¹i lý thuyÕt VËn dông thµnh th¹o vµo bµi tËp

2 Về kỹ năng: Tìm được nguyên hàm dựa vào bảng n.hàm và các tính chất của nguyên hàm.

3 Về tư duy, thái độ:

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

- Thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm số

- Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.

2 Học sinh: SGK, đọc trước bài mới.

III Tiến trình bài học:

1 Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong…

2 Kiểm tra bài cũ: KÕt hîp.

2 4

; b) f( )x =2x3−5x+7;c)

;3

11

d) ( ) 3;

1

−

=x x f

x + 3 +

4 2

x x x

4cos1

dx x

∫ +Gi¸o viªn gäi 2 em häc sinh lªn b¶ng lµm

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

Giáo viên sửa sai

Hoạt động 3: Phát vấn hoc sinh để củng cố.

* BT3 (SGK)Khẳng định đúng là (C)

* BT4 (SGK)

Đỳng vì - x là 1 nguyên hàm của f

4 Củng cố: Hệ thống lại các dạng bài tập.

5 Dặn dò: BTVN trong sách bài tập.

1.Về kiến thức: Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần

2 Về kỹ năng: Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số

không quá phức tạp

3 Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt

-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Giáo viên: Lập các phiếu học tập, bảng phụ.

2 Học sinh: Các kiến thức về vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên

hàm, vi phân

III Phương pháp: Gợi mở vấn đáp.

IV Tiến trình bài học :

1 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi: a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm

b) Chứng minh rằng hàm số F(x) = 5

)12( x2 + 5

là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4

- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn

- Nhận xét, kết luận và cho điểm

2 Bài mới:

Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

∫4x( 2x2 + 1 ) 4dx

=

=∫(2x2 +1)4(2x2 + )'dx

-Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức ở trên trở thành như thế nào, kết quả ra sao?

- Phát biểu định lí 1

- Định lí 1: (SGK)

Hoạt động 2: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- HS suy nghĩ cách biến đổi

3 2

=

∫(x +1)−3(x2 + )'dx

1 2

Đặt u = x2+1 , khi đó :

∫(x +1)−3(x2 + )'dx

1 2

=∫u−3du

1

= 2

3u3 2+ C = 2

3(x2+1)

3 2+ C

cos

Đặt u = cos x , khi đó :

∫ecosxsinxdx

= -∫ecosx(cosx)'dx

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12 = - ∫e x x dx

)' (cos

∫ecosxsinxdx

=

-)(cos d c osx

- Gọi đại diện một nhóm trình bày

- Đại diện nhóm khác cho nhận xét

- GV nhận xét và kết luận

* Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán

có dạng ở bảng nguyên hàm

e x

= 2

1e

2

x

+ C ; b/

∫ dx x

x

ln = ∫lnxd(lnx)

= 2

1ln

= 2

∫ ++ dx

x

x d

1

)1(

= 2 ln(1+ x) + C ; d/

inxdx xs

e x

= 3

1e

1 Về kiến thức: Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần

2 Về kỹ năng: Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số

không quá phức tạp

3 Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt

-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Giáo viên: Lập các phiếu học tập, bảng phụ.

2 Học sinh: Các kiến thức về :

- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân

III Phương pháp: Gợi mở vấn đáp

IV Tiến trình bài học:

1 Tæ chøc:

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm

b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) = 5

)12( x2 + 5

là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4

- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn

- Nhận xét, kết luận và cho điểm

3 Bµi míi:

Hoạt động 4: Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’

⇒∫(u )' v dx

=

vdx u

∫ '

+

dx v

∫( )'

+

du v

∫

⇒∫u dv

= uv

-du v

suy ra

dv u

∫ = ?

- GV phát biểu định lí 3

- Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho

du v

∫tính dễ hơn

dv u

∫

- H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u

và dv như thế nào? Từ đó dẫn đến kq?

- yêu cầu một HS khác giải bằng cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq như thế nào

- Định lí 3: (SGK)

dv u

∫ = uv -

du v

∫

- VD1: Tìm

xdx x

Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

Đ: Đặt u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

H: - Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv

như thế nào ? Suy ra kết quả ?

H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế

nào ? Suy ra kquả ?

du = dx, v = ex Suy ra :

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12Khi đó:

x x

∫ = x2.ex-x.ex- ex+C

dx x

∫sin

=2

dt t t

∫ sinĐặt u = t, dv = sint dt

- Thông qua VD3, GV yêu cầu HS

cho biết đối với

dx x x

∫ 2lnthì ta đặt u, dv như thế nào

? Có thể sử dụng ngay pp từng phần được không ? ta phải làm như thế nào ?

+ Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t = x

* Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp từng phần

dx x x f

∫ ( )sin

,

dx x x f

∫ ( )cos

dx e x

∫ ( )

đặt u = f(x), dv cònlại

dx x x f

∫ ( ) ln

, đặt u = lnx,dv =f(x) dx

VD3: Tìm I=

dx e

dx e

x x

∫ 2

=x2.ex

-dx e

x x

∫ = x2.ex-x.ex- ex+C

VD4: Tìm

dx x

dx x

∫ln

= xlnx -

dx

∫ = xlnx – x + C

VD5: Tìm

dx x

Suy ra

dx x

∫sin

=2

dt t t

∫ sinĐặt u = t, dv = sint dt

∫cos

= -t.cost + sint + CSuy ra:

dx x

∫sin

=

= -2 x.cos x+2sin x+C

Hoạt động 6: Củng cố

(Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện)

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

Nhắc lại phương pháp tìm nguyên hàm từng phần

Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý

( Đối với

dx x f

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

Tiết ppct : ……78.+81+82…

I Mục tiêu:

1.Về kiến thức: Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm

2 Về kỹ năng: Giúp học sinh vận dụng được 2 p.pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số.

3 Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt

- Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm?

Câu hỏi 2: Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

Áp dụng: Tìm ∫

(x+1)e

x

dx

- Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung

- Gv kết luận và cho điểm

- Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải

Bài 1 Tìm

∫sin

2u2 3+C

=3

1

(7+3x2)

23

3

x

1dx

- Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải

x

+ C Hoặc

∫sin

du = 2

13

2u2 3

+C

=3

1(7+3x2)

23

-3

2

∫x2

3

x

1dx

- 3

23

2x2 3+ C=

= - 3

2x2 3

t

dtĐặt u = t, dv = etdt

∫e

9

3x−dx=3

Với bài toán ∫ f(x)dx

, hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một mệnh đề đúng

1/ f(x) = cos(3x+4)

2/ f(x) =

)23(cos

a/ Đổi biến số b/ Từng phần

c/ Đổi biến số d/ Đổi biến số e/ Từng phần

4 Củng cố : Nhắc lại phương pháp tính nguyên hàm và các công thức

5 Dặn dò: Học kĩ các công thức, làm lại các bài tập Đọc tiếp bài tích phân

- Học sinh hiểu được khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân.

- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong

- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân

2 Về kỹ năng: Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản Vận dụng vào

thực tiễn tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật

3 Về tư duy và thái độ:

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới

- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

II Phương pháp: Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

III Chuẩn bị:

1 Chuẩn bị của giáo viên: Phiếu học tập, SGK, bảng phụ.

2 Chuẩn bị của học sinh:

- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà

- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà

IV Tiến trình tiết dạy :

1 Ổn định lớp:

2 Kiểm tra bài cũ:

- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp

'

0

lim

x x

x f x f x

3 Bài mới: Tiết 85

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

I Khái niệm hình thang

cong.

- Dựng hình thang ABCD khi

biết các đường thẳng: AB:

3

S(t) =

42)2(2

1

−+

=

−+

t t

t∈[ ]2 ; 6

S’(t) = t+1= f(t) ⇒

S(t) là nột nguyên hàm của f(t) = t+1

S(6) = 20,S(2) = 0

và SABCD= S(6)-S(2)

- Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một số hình thang

1 Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân:

a) Diện tích hình thang cong.

- Bài toán 1: (SGK)

y=f(x)

A

B a

- Giáo viên đưa ra bài toán:

Tính diện tích của hình thang

cong aABb

Giới hạn bởi đồ thị của hàm

số liên tục y = f(x) , f(x) ≥

0, trục Ox và các đương thẳng x

thẳng đi qua a, x và song song

Oy Hãy chứng minh S(x) là

một nguyên hàm của f(x) trên

x S x S

x S x S

x x

x S x S

x x

x S x S

x x

f(x0)S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)

x

y

x 0 x f(x 0 )

f(x)

P Q

E F

y=f( x )

* Xét điểm x∈

(a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0)

Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF

⇒

f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0)

⇒

f(x0)< 0

0x-x

)S(x-S(x)

x S x S

x x

f(x0)(2)

* Xét điểm x∈

[a ; b )

x S x S

hình thang cong giới hạn bởi

- Giáo viên định hướng học

sinh giải quyết nhiệm vụ ở

∫ 4

=

+5

32

S = F(2) –F(1) =

)(5

x S x S

x x

x S x S

x x

f(x0)Hay S’ (x) = f(x0)

Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x∈

(a ; b )

nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)

Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)

trên [ a; b ]

⇒

S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)

S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a)

Giải:

I =

dx x

∫ 4

=

+5

32

S = F(2) –F(1) =

)(5

31

đvdt

4 Củng cố: Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong.

5 Dặn dò: Xem lại các công thức Giải lại các bài tập

- Giáo viên định hướng học

sinh giải bài toán 2 (sgk)

+ Gọi s(t) là quãng đường đi

được của vật cho đến thời điểm

t Quãng đường đi được trong

khoảng thời gian từ thời điểm t

= a đến thời điểm t = b là bao

- Giáo viên định hướng học

sinh giải quyết nhiệm vụ ở

+ Quãng đường L vật đi được

trong khoảng thời gian từ t1 =

20 đến t2 = 50 liên hệ như thế

nào với F(20) và F(50)

- Học sinh tiến hành giải dưới

sự định hướng của giáo viên

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t

= a đến thời điểm t = b là :

L = s(b) – s(a) (1)

v(t) = s’(t) ⇒

s’(t) = f(t)

s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)

Từ (1) và (2) ⇒

L= F(b)–F(a)

- Học sinh tiến hành giải dưới

sự định hướng của giáo viên

I =

C t t dt

2

3)23

F(t) =

t

t 22

3

2+

F(20) = 640 ; F(50) = 3850Suy ra L = F(50)–

F(20)=3210(m)

b) Quãng đường đi được của một vật.

Bài toán 2: (SGK)

CM: Quãng đường đi được

trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b

2

3)23

F(t) =

t

t 22

3

2 +

F(20) = 640 ; F(50) = 3850Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm tích phân.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- Giáo viên nêu định nghĩa

Học sinh tiếp thu và ghi nhớ

Học sinh tiến hành giải dưới sự

2 Khái niệm tích phân.

Định nghĩa: (SGK).

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12trên đoạn [a ; b ].

Giáo viên yêu cầu học sinh

trả lời câu hỏi (H2)

f( )

?

- Nhận xét kết quả thu được

- Giáo viên lưu ý học sinh:

- Giáo viên lưu ý học sinh:

Người ta gọi hai số a, b là hai

cận tích phân, số a là cận

dưới, số b la cận trên, f là

hàm số dưới dấu tích phân,

f(x)dx là biểu thức dưới dấu

tích phân và x là biến số lấy

tích phân

- Giáo viên định hướng học

sinh giải quyết nhiệm vụ ở

- Tìm nguyên hàm của sinx?

định hướng của giáo viên

Giả sử: F(x) =

∫b

a

dx x

f( )

= g(x)+CChọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì

⇒

F1(a) = g(a)+C1 F1(b) = g(b)+C1

∫b

a

dx x

f( )

= [g(b)+C1]-[g(a)+C1]

= g(b) – g(a)Không phụ thuộc vào cách chọn C1 ⇒

f( )

= F(x)|

b a

Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:

a)

∫51

2xdx

= x2|

5 1 = 25 – 1 = 24

b)

∫/20

=- (0 -1)

=1

Người ta còn dùng kí hiệu F(x)|

b a

để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy nếu F là một nguyên hàm

của f trên k thì:

∫b

a

dx x

f( )

= F(x)|

b a

Giải:

a)

∫51

2xdx

= x2|

5 1 = 25 – 1 = 24

b)

∫/20

= - (0 -1) =1

c)

∫/34 / 2

π π

= 3−1

+ Với định nghĩa tích phân

như trên, kết quả thu được ở

bài toán 1 được phát biểu lại

như thế nào?

- Giáo viên thể chế hóa tri

thức, đưa ra nội dung của

f( )

- Giáo viên hướng dẫn học

sinh trả lời H3.

- Theo kết quả của bài toán 2

quãng đường vật đi được từ

điểm a đến thời điểm b được

tính như thế nào?

- Dựa vào định nghĩa tích

phân hãy viết lại kết quả thu

được?

c)

∫/34 / 2

π π

= ln4 – ln2

= ln 2

4

= ln2Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời

Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:

Theo kết quả của bài toán 2

Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là:

L = F(b) – F(a)F(x) là nguyên hàm của f(x)Theo định nghĩa tích phân

∫b

a

dx x

= ln4 – ln2

= ln 2

4 = ln2

Định lý 1: Cho hàm số y = f(x)

liên tục và không âm trên K; a

và b là hai số thuộc K ( a < b) Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a,

f( )

Theo kết quả của bài toán 2 Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là:

L = F(b) –F(a)F(x) là nguyên hàm của f(x)Theo định nghĩa tích phân

∫b

a

dx x

f( )

(đpcm)

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

4 Củng cố :

- Nhắc lại định nghĩa tích phân

- Chuẩn bị trước ở nhà phần bài học còn lại

5 Dặn dò : Làm lại các bài tập

Tuần 23 Tieát 89

Hoạt động 1: Tìm hiểu các tính chất của tích phân.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

f( )

=

Học sinh tiếp thu và ghi nhớHọc sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên

1)

∫a

a

dx x

f( )

= F(x)|

a a

f( )

= F(x)|

b a

= F(b) – F(a)

∫a

b

dx x

f( )

= F(x)|

a b

= F(a) – F(b)

⇒ ∫b

a

dx x

f( )

= F(x)|

a a

=F(a) – F(a)= 0

2)

∫b

a

dx x

f( )

= F(x)|

b a

= F(b) – F(a)

∫a

b

dx x

f( )

= F(x)|

a b

= F(a) – F(b)

⇒∫b

a

dx x

f( )

f( )

= F(x)|

b a

+F(x)|

c b

=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a)

∫c

a

dx x

f( )

= F(x)|

c a

= F(c) – F(a)

⇒ ∫b

a

dx x

[F(x) +G(x)] b

a

= [F(b) +G(b)] [− F(a) +G(a)] = F(b) – F(a) + G(b) – G(a)

∫b

a

dx x

g )(

= F(x)|

b a

+G(x)|

b a

= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)

3)

∫b

a

dx x

f( )

= F(x)|

b a

+ F(x)|

c b

= F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a)

∫c

a

dx x

f( )

= F(x)|

c a

= F(c) – F(a)

⇒∫b

a

dx x

f )( +

∫c

b

dx x

[F(x) +G(x)]

b a

= [F(b) +G(b)] [− F(a) +G(a)] = F(b) – F(a) + G(b) – G(a)

∫b

a

dx x

g )(

= F(x)|

b a

+G(x)|

b a

= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)

Giáo viên định hướng học

sinh giải quyết nhiệm vụ ở

k ( )

= kF(x)

b a

= k[F(b) – F(a)]

⇒ ∫b

a

dx x

(sin

π

dx x x

5)

∫b

a

dx x

k ( )

= kF(x)

b a

= k[F(b) – F(a)]

⇒∫b

a

dx x

k ( )

I =

2 /

0

) cos 2 (sin

π

dx x x

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12tích phân trên?

Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]?

0

cos2

sin

π π

xdx xdx

= - 2

1cos2x |

2 / 0 π

- sinx |

2 / 0 π

= -2

1(cosπ

- cos0 ) - sin 2

π

-sin0 = 0

J =

dx x

∫3 −12

=

∫2 − +1

)2

+

dx

x 2)(3

2+]

2 1+[

x

x

22

2

−]

3 2 = 1

0

cos2

sin

π π

xdx xdx

= - 2

1cos2x |

2 / 0 π

- sinx |

2 / 0 π

= -2

1(cosπ

- cos0 ) - sin2

π

sin0 = 0

-J =

dx x

∫3 −12

=

∫2 − +1

)2

+

dx

x 2)(3

2+]

2 1+[

x

x

22

2

−]

3 2 = 1

- Học sinh nắm chắc khái niệm tích phân và các tính chất của tích phân

- Học sinh vận dụng thành thạo các công thức tích phân để tính được các tích phân đơn giản

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

2 Về kỹ năng: Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản Vận dụng vào

thực tiễn tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật

3 Về tư duy và thái độ:

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới

- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

II Phương pháp: Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp

III Chuẩn bị:

1 Chuẩn bị của giáo viên: Phiếu học tập, SGK, bảng phụ.

2 Chuẩn bị của học sinh: Hoàn thành các BTVN cho từ cuối tiết trước.

IV Tiến trình tiết dạy :

1 Ổn định lớp:

2 Kiểm tra bài cũ: 5’

- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp

- Viết các tính chất của tích phân

Bài 10: Không tìm nguyên hàm

hãy tính các tích phân sau:

a)

∫

−+4

2)32(x dx

y B C

Do đó

∫

−+4

2)32(x dx

là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = 2

x

+3 , y = o , x = -2, x = 4 Mặt khác:

( dx x f

(

4f x g x dx

viết dưới dạng hiệu như thế nào?

phụ thuộc vào đại

lượng nào và không phụ

thuộc vào đại lượng nào?

?

∫40

)

( dt t f

?

-

∫

−+4

2)32(x dx

là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số y = +3 ,

y = 0 , x = - 2, x = 4

- SABCD = 2

1(AB+CD).CD =21

1 2

x y

x = - 3; x = 3

∫21)

( dx x f

+

∫52)

( dx x f

=

∫51)

( dx x f

1

)()(

4f x g x dx

=4

∫51)

( dx x f

-∫51)

( dx x g

-

∫b

a

dx x

Vậy

∫

−+4

2)32(x dx

=21b)

-3 -2 -1 1 2 3

-2 -1

1 2 3

x y

Vì y =

2

9 x− liên tục, không

âm trên [-3;3] nên

( dx x f

= - 4

∫51)

( dx x f

= 6,

∫51)

( dx x g

= 8

Tính a)

∫52)

( dx x f

4f x g x dx

Giải:

Ta có: a)

∫21)

( dx x f

+

∫52)

( dx x f

=

∫51)

( dx x f

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

- Nếu F(x) là một nguyên

hàm của f(x) thì F(x) liên hệ

như thế nào với f(x)?

- Dấu của F(x) trên [a;b] ? Từ

đó cho biết tính tăng, giảm

)

( dz z f

=3

⇒ ∫30

)

( dt t f

= 3

∫40

)

( dx x f

=7

⇒∫40

)

( dt t f

=7

- F’(x) = f(x)

- F’(x) ≥

0 Do đó F(x) không giảm trên [a;b]

f(x) – g(x) ≥

0 ∀

x ∈[a;b]

⇔ ∫52)

( dx x f

=

∫51)

( dx x

f ∫2

1)

( dx x f

⇔ ∫52)

( dx x f

4f x g x dx

= 4

∫51)

( dx x f

-

∫51)

( dx x g

= 16

Bài 12 Biết

∫30

)

( dz z f

=3

∫40

)

( dx x f

=7 Tính

∫43

)

( dt t f

Giải:

Ta có

∫30)

( dz z f

=3⇒ ∫3

0)

( dt t f

= 3

∫40)

( dx x f

= 7⇒∫4

0)

( dt t f

= 7

Mặt khác

∫30

)

( dt t f

+

∫43

)

( dt t f

=

∫40

)

( dt t f

⇔ ∫43

)

( dt t f

=

∫40

)

( dt t f

-∫30

)

( dt t f

⇔ ∫43

)

( dt t f

f( )

≥

0

b) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥

g(x) trên [a;b] thì

f( )

≥ ∫b

a

dx x

g )(

Giải:

a) Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) th ì F’(x) = f(x) ≥

0 nên F(x) không giảm trên [a;b] Nghĩa là a<b => F(a)≤

F(b) ⇔

f( )

= F(b) – F(a) ≥

0b) Ta có

f(x) ≥

g(x) ∀

x ∈[a;b]

⇔

f(x) – g(x) ≥

0 ∀

x ∈[a;b]

f( )

≥∫b

a

dx x

- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong

- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân

- Trả lời câu hỏi H5

- Cách tính tích phân dựa trên diện tích hình thang cong

f( )

≤

M(b-a)

5 Dặn dò::

- Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật

- Học thuộc các tính chất của tích phân

- Giải bài tập sách giáo khoa

- Bài tập làm thêm:

−+1

2 2

Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s Tìm quãng

đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 20 s đến t2 = 50 s?

π

dx x x

, J=

dx x

∫3 −12

Tiết:93

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- Qua bài cũ nêu lại ĐL1 bài 2

f u x u x dx= f u du

cho hs phát hiện công thức.

- KL: đổi biến TP tương tự đổi

- Thông thường ta gặp hai loại

TP đổi biến giống như nguyên

hàm

Hoạt động 2: Cụ thể hoá phương pháp đổi biến số.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

phải sang trái nghĩa là ta phải

đặt ngược: đặt x=u(t), đưa

t b

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12 2

Tiết 94 Hoạt động 1: Tiếp cận công thức tính tích phân từng phần.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

+ GV yêu cầu học sinh nhắc lại phương

+ Nêu định lý và phân tích cho học sinh

thấy cơ sở của phương pháp này là công

Trong đó u,v là các hàm số có đạo hàm

liên tục trên K,a,b ∈

K+ GV chứng minh công thức (1)

+ Nhấn mạnh công thức trên còn được

+ Công thức tích phân từng phần viết

như thế nào? Áp dụng cho bài toán đưa

ra?

+ Học sinh suy nghĩ trả lời

+ Tiếp thu và ghi nhớ

+ Học sinh thảo luận theo nhóm dưới sự hướng dẫn GV

+ Rút ra được đạo hàm của u(x) và nguyên hàm v(x)

1 Công thức tính TPTP.

Viết công thức (1)

a) I =

1 0

x

xe dx

∫Đặt u(x) = x => u’(x) = 1 v’(x) =

=

; v=

33

dx x

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

+ Phát phiếu học tập số 3 và giao

nhiệm vụ cho các nhóm thực hiện

+ Đại diện nhóm trình bày cách đặt

+ GV gọi HS trình bày kết quả

b) Gọi HS đại diện trình bày KQ

+ Gọi HS cho biết hướng giải quyết

tích phân A

GV nhấn mạnh TP J được tính theo

phương pháp truy hồi

Trao đổi nhóm,thảo luận và đưa ra cách giải quyết

0 0( s inx)e x e xs inxdx

π π

0 0( e c x osx) e x( osx)dxc

π π

2(e 1) / 2

π

−

4 Củng cố:

GV: Nhắc lại công thức tính tích phân từng phần

Phân loại bài tập TP

* 17b) HD: - Đổi biến t = tanx Cận x

= 0 ⇒ t = 0 ; x = π/4 ⇒ t = 1.

.2

1t2

1tdtx

cos

xdxtanI

0

1 2 1

15 2 t 16

1 dy y 4

1 dt ) t 1 ( t I

1 4 2

1 3 1

0

3 4

* 17e) - HD: Đặt t = x2 + 1 ⇒dt = 2dx

.4

4t4dtt21x

xdx4I

1 2 1 4

1 2 1 3

0 2

=

=

=+

Hoạt động 2: Luyện tập công thức tích phân từng phần.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

* 18a) HD: Đặt u = lnx, v’ x5 suy rau’ = 1/x; v = x6/6 Khi đó:

4

7 3

2 ln 32 6

dx x 6

x ln x xdx ln x I

1

* 18b) HD: Đặt u = x + 1, v’ = ex suy ra u’ = 1; v = ex Khi đó:

(x 1)e e dx e dx

e ) 1 x ( I

1

0

x 0

1 x 1

sinxxdxcosx

0 0

2 2

4 Củng cố:

- GV nhắc lại toàn bộ hai phương pháp tính tích phân

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

- GV lưu ý học sinh cách trình bày gọn hơn như sau: Chẳng hạn,

BT 17c)

16

15 )

t 1 ( 16

1 ) t 1 ( d ) t 1 ( 4

1 dt ) t 1 ( t I

0

1 4 4 1

0

4 3

4 1

0

3 4

BT 18d)

.12xcos2xdxsin)

xsinx()x(sinxdxdxcosxI

0

2 2

0 0

2 2

π π

- Rèn luyện kỉ năng vận dụng công thức vào thực tế giải bài tập

- Rèn luyên kỉ năng nhận dạng bài toán một cách linh hoạt

3 Về tư duy thái độ:

- Nhận thấy mối quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân

- Cẩn thận, chính xác, biết qui lạ về quen

II CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:

1 Chuẩn bị của thầy: Giáo án,dụng cụ dạy học

2 Chuẩn bị của trò: Học thuộc các công thức tính tích phân và xem bài tập ở nhà

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Nêu vấn đề , đàm thoại , đan xen hoạt động nhóm,

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

1 Ổn định tổ chức: kiểm tra sỉ số,

2 Kiểm tra bài cũ:

( 1

3

1∫ xlnx)

2dx

∫

π 0

sin xdx

x

3 Bài mới:

Hoạt động 1:Củng cố kiến thức lý thuyết trọng tâm.Tiết 1

- Từ kiểm tra bài cũ, nhận xét

hoàn chỉnh lời giải và công

thức

- Tiếp thu ghi nhớ - Các công thức tính tích phân

Hoạt động 2: Giải bài tập áp dụng tích phân dùng phương pháp đổi biến

- Chia lớp thành 4 nhóm và

giao bài tập cho mỗi nhóm

- Gọi đại diện nhóm lên trình

công thức tích phân nào sử

dụng đổi biến loại một, dạng

nào sử dụng loại hai

- Thực hiên theo yêu cầu của GV

- HS1: Đặt u= t5 + 2t

⇒

du= (5t4+ 2)dt+ t=0⇒

u=0+ t=1⇒

u=3

du u dt

t t

0

5 2 ( 2 5 )

- HS2: Đặt u=x3 ⇒

du=3x2dx+ x=1⇒

u=1+ x=2⇒

u=8

⇒ x e dx e du

u x

- HS3: Đặt u = x2+1 ⇒

du = 2xdx

+ x2=u-1, x3=x.x2=x( u-1) + x=0⇒

2cosπ

-Tiếp thu và ghi nhớ

Tiết 2

Hoạt động 3:Giải bài tập áp dụng tích phân dùng phương pháp tích phân từng phần.

- Chia lớp thành 4 nhóm và giao

bài tập cho mỗi nhóm

- Gọi đại diện nhóm lên trình

e x

∫10

- HS2: Đặt u=x2 ⇒

du=2xdxdv=cosxdx ⇒

v=sinx

- HS3: Đặt u=lnx ⇒

du=

dx x

v=-cosx-Tiếp thu và ghi nhớ

- KQ bài 25a= 8

π

-41

- KQ bài 25c=

24

2

−π

e

4 Củng cố:

- Các dạng tích phân thường gặp và cách giải

THẠCH THỊ HỒNG CỦA GIẢI TÍCH 12

1 Tính tích phân I =

5 2

7

cos x

2 x x.cos x 2

- Học bài và làm bài tập còn lại SGK

- Đọc tiếp bài Ứng dụng tích phân

2 Về kỹ năng: Ghi nhớ vận dụng được các c.thức trong bài vào việc giải các bài toán cụ thể.

3 Về tư duy thái độ:

- Biết vận dụng các phương pháp tính tích phân để tính diện tích

- Biết nhiều cách giải về bài toán diện tích

- Cẩn thận chính xác trong mọi hoạt động

II CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:

1 Chuẩn bị của thầy: Giáo án, bảng phụ

2 Chuẩn bị của trò: Nắm kiến thức về các phương pháp tính tích phân Đọc bài mới.

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

- Gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định tổ chức: Kiểm tra sỉ số.

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: Nêu lại cách tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường:

y = f(x) liên tục trên [a; b]; y= 0, x = a, x = b

Câu hỏi 2: Cho hàm số y = f(x) = x 2 + 2 có đồ thị (C)

Tính dịên tích hình thang cong giới hạn bởi (C), trục Ox và 2 đường thẳng x= -1, x = 2

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Gọi hs lên bảng

- Cho hs lớp nhận xét

- Chỉnh sửa và cho điểm

Lên bảng trả lời câu hỏi

Thấy được

,0)(x >

S

3 Bài mới: Tuần 25 Tiết 98

Hoạt động 1: Giới thiệu cộng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = f(x) liên tục trên [a; b]; y= 0, x = a, x = b.