HAM LUONG GIAC PHUONG TRINH LGIAC

Bài giải tham khảo Giải tương tự như trên.

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

Công thức lượng giác cần nắm vững - 2

A – Phương tri ̀nh lượng giác cơ bản - 5

Bài tập áp dụng - 5

Hướng dẫn giải bài tâ ̣p áp dụng - 8

Bài tập rèn luyện - 29

B – Phương tri ̀nh bâ ̣c hai và bâ ̣c cao đối v ới một hàm lượng giác - 32

C – Phương tri ̀nh bâ ̣c nhất theo sin và cos - 59

D – Phương tri ̀nh lượng giác đẳng cấp - 84

E – Phương tri ̀nh lượng giác đối xứng - 93

F – Phương tri ̀nh lượng giác chứa căn thức và tri ̣ tuyê ̣t đối - 97

G – Phương tri ̀nh lượng giác không mẫu mực - 101

Bài tập rèn luyê ̣n - 104

H – Phương tri ̀nh lượng giác chứa tham số – Hai phương tri ̀nh tương đương - 106

I – Hê ̣ phương tri ̀nh lượng giác - 116

J – Hê ̣ thức lượng trong tam giác – Nhâ ̣n da ̣ng tam giác - 121

Trang 2

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG



 Công thức cơ bản

● sin x2 cos x2  1 ● tan x.cotx 1 ● sin x

 Công thức cung nhân đôi – Công thức ha ̣ bâ ̣c – Công thức cung nhân ba

cos x sin xcos2x

● sin 3x3sin x4 sin x3 ● cos 3x4 cos x3 3cos x

 Công thức cô ̣ng cung

● sin a bsin a.cos bcos a.sin b ● cosabcos a.cos bsin a.sin b

● tan a b tan a tan b

Trang 3

 Mô ̣t số lưu ý:

 Điều kiê ̣n có nghiê ̣m của phương trình sin xcos x  

Phương trình ch ứa cotx , điều kiê ̣n : sin x    0 x k k   

Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiê ̣n : x k k 



(ta chọn k0,k ) 1Ví dụ 3: Nếu sđ  2



, k0;1;2 Ví dụ 4: Nếu sđ AM k. k2



, 54



;74



(ứng với các vị trí k0,1,2,3)

Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k

   trên đường tròn thì có

Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả

những công thức lượng giác Đó là hành trang, là công

cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:

Trang 4

2 điểm tại các vi ̣ trí :

3



và 43

 Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và

cung tổng hợp là : x k

ta không nên giải

trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiê ̣m , khi kết hợp và so sánh với điều kiê ̣n rất phức ta ̣p , ta nên ha ̣ bâ ̣c là tối ưu nhất Nghĩa là :

2 2

 Sử dụng thành tha ̣o câu thần chú : '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản , dễ nhớ '' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là

mô ̣t trong những nhân tố cần thiết , hiê ̣u quả nhất khi giải phương trình lượng giác

Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau , tứ c là cos  cos , còn các cung góc lượng gi ác còn lại thì bằng '' – '' chính nó :

sin   sin , tan   tan , cot   tan

Sin bù , nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau , tứ c là sin    sin , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó :

cos     cos , tan     tan , cot     tan

Phụ chéo , nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900

) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược la ̣i , tức là:

Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiê ̣u quả của '' câu thần chú '' này:

Giải phương trình lượng giác : sinu cosv

Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản , ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình

sin usin v, vậy còn phương trình sinucos v thì sao ?

Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo , bởi: sinu cosv sinu sin v

Trang 5

thì các bạ n ho ̣c sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa

Mô ̣t số cung góc hay dùng khác :

A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Giải phương trình : cos3x 4cos2x 3cos x  4 0  , x   0;14 

Bài 2 Giải phương trình : 2 cos x 1 2 sin x  cos xsin2xsin x  

Bài 3 Giải phương trình : cos 3xcos2xcos x 1 0  

Bài 4 Giải phương trình : sin xcos x 1 sin2xcos2x0  

Bài 5 Giải phương trình : 2 sin x 1 cos2xsin2x 1 cos x  

Trang 6

Bài 8 Giải phương trình :  

Bài 14 Giải phương trình : cos xcos2xcos 3xcos 4x0  

sin x sin 2x sin 3x

2

Bài 16 Giải phương trình : sin x2 sin 2x2 sin 3x2 2  

Bài 17 Giải phương trình : sin x2 sin 3x2 cos 2x2 cos 4x2  

Bài 18 Giải phương trình : sin 3x2 cos 4x2 sin 5x2 cos 6x2  

Bài 20 Giải phương trình : sin x2 cos 2x2 cos 3x2  

Bài 21 Giải phương trình : 2 sin 2x2 sin 7x 1 sin x  

Bài 22 Giải phương trình : sin xsin2xsin 3x 1 cos xcos2x  

Bài 23 Giải phương trình : sin x cos 3x3 cos x sin 3x3 sin 4x3  

Bài 24 Giải phương trình : cos10x2 cos 4x2 6 cos 3x cos x cos x8 cos x cos 3x3  

Bài 25 Giải phương trình : 4 sin x3 3 cos x3 3 sin xsin x cos x2 0  

Bài 26 Giải phương trì nh: 2 sin x1 3 cos 4x 2 sin x44 cos x2 3  

Bài 27 Giải phương trình : sin x6 cos x6 2 sin x 8 cos x8   

sin x cos x 2 sin x cos x cos2x

4

Bài 30 Giải phương trình : 3 cos x4 4 cos x sin x2 2 sin x4 0  

 

23 2

Trang 7

Bài 32 Giải phương trình : 1  

cos x cos2x cos 4x cos 8x

16

Bài 33 Giải phương trình : 4 sin 3x cos2x 1 6 sin x8 sin x3  

cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x

2

Bài 35 Giải phương trình : sin2x 2 cos x sin x 1  

0tan x 3

Bài 37 Giải phương trình : tan xcot x2 sin2x cos2x   

Bài 38 Giải phương trình : tan x2 tan x tan 3x2  

tan x cot x cot 2x

3

Bài 41 Giải phương trình : sin2x cot x tan2x4 cos x2  

cot x tan x

16 1 cos 4xcos2x



2 tan x cot2x 2 sin2x

Bài 46 Giải phương trình : cos 3x tan 5xsin 7x  

Bài 49 Giải phương trình : tan x.cot 2x.cot3x2 2 tan x2 cot 2x2 cot3x  

cot x sin x 1 tan x tan 4

Trang 8

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



 Lời bình : Từ viê ̣c xuất hiê ̣n ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một

cung Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niê ̣m sau : " Trong phương trình lượng giác tồn ta ̣i ba cung x,2x, 3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin 2

x (hoặc cos2

x) Còn không chứa sin 2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x "

Bài giải tham khảo

  4 cos x3 3 cos x 4 2 cos x 12   3 cos x  4 0 4 cos x3 8 cos x2  0

    2 cos x 1 2 sin x  cos x2 sin x cos xsin x

sin x cos x 0 tan x 1

 Lời bình : Từ viê ̣c xuất hiê ̣n các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một

cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos

  4 cos x3 3 cos x2 cos x 1 cos x 12     0 2 cos x3 cos x2 2 cos x 1  0

cos x 2 cos x2  1 2 cos x1  0 2 cos x1 cos x 12   0

Bài 1 Giải phương trình : cos 3x4 cos2x3 cos x 4 0   , x  0;14

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002

Bài 2 Giải phương trình : 2 cos x 1 2 sin x  cos xsin2xsin x  

Trích đề thi tuyển s inh Đa ̣i ho ̣c khối D năm 2004

Bài 3 Giải phương trình : cos 3xcos2xcos x 1 0  

Trang 9

Bài 4 Giải phương trình : sin xcos x 1 sin2xcos2x0  

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005

    sin xcos x2 sin x cos x2 cos x2  0

 Lời bình : Từ viê ̣c xuất hiê ̣n của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x

bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos , từ đó xuất hiê ̣n nhân tử chung ở hai vế

  sin x 1 2 cos x 12   2 sin x cos x 1 cos x



 giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác nhau này về cùng một cung chung là x Để làm được điều đó , ta có thể dùng công thức cô ̣ng cung hoă ̣c dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo '' Ta thực hiê ̣n hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây

Trang 10

Bài giải tham khảo

Cách giải 1 Sử dụng công thức cô ̣ng cung : sin a bsin a.cos bcos a.sin b

4tan x 1

  Giải tương tự như các h giải 1

 Lời bình : Từ tổng hai cung x x

    giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo '' , thật vâ ̣y :

Công viê ̣c còn la ̣i của chúng ta là dùng công thức : 4 4 1 2

sin x cos x 1 sin 2x

Trang 11

ĐK:

13

 Lưu ý, ta có thể thực hiê ̣n b iến đổi mẫu số bằng công thức cô ̣ng theo tan như sau

tan tan x tan tan x 1 tan x 1 tan x

 Lời bình : Nhìn vào phương trình này , ta nghĩ dùng công thức cô ̣ng cung theo sin…… , hoă ̣c xét tổng

cung của chúng , …… nhưng đừng vô ̣i làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả Ta hãy xem giữa hai cung 3 x

 có mối liên hệ gì hay không ? Thật vâ ̣y :

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997

Trang 12

10 2



  và sử dụng công thứ c nhân ba là tối ưu nhất

4 sin t 3 sin t cos2tsin t 0

4 sin t 3 1 2 sin t 0 sin t 1

Ta có: cos 3x cos 3x cos 3 x

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999

Trang 13

Phương trình :  1 8 cos x3 cos 3 x  2

cos t 0 N1

 Lời bình : Trong   , tôi đã sử dụng kĩ thuâ ̣t ghép công thức 1sin t2 cos t2 Vậy trong giải

phương trình lượng giác , dấu hiê ̣u như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản : " Khi bâ ̣c của sin và cos không đồng bâ ̣c và hơn kém nhau hai bâ ̣c , ta nên ghép

 sin xcos x 1 2 sin x cos x 4 sin x

 3sin x2cos x sin x2 2sin x cos x2 cos x 0

Trang 14

 sin xcos x 3 4 sin x 2

Vì cos x0 hay sin x  không phải là nghiê ̣m của phương trình 1  2 nên chia hai vế của

phương trình  2 cho cos x3 , ta được:    3  2 

2  tan x1 4 tan x 1 tan xGiả i phương trình theo tanx ta được nghiê ̣m : tan x 1 x k , k  

Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13) Bạn đọc tự giải

 Lời bình : Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoă ̣c cả

sin và cos ) dạng tổng (hoă ̣c hiê ̣u ) Ta nên ghép các số ha ̣ng này thành că ̣p sao cho hiê ̣u (hoặc tổng ) các cung của chúng bằng nhau , tức là trong trường hợp này để ý

x4x5x và 2x3x5x Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giả n, chúng ta cần những "thừa số chung " để nhóm ra ngoài , đưa bài toán về da ̣ng phương trình tích số

  cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2 cos5xcos3x 2 cos5xcosx 0

Bài 14 Giải phương trình : cos xcos2xcos 3xcos 4x0  

Bài 13 Giải phương trìn h: sin x3 2 sin x  1

Trang 15

 Lời bình : Với những p hương trình có những ha ̣ng tử bâ ̣c hai theo sin và cos , ta thườ ng dùng công

thức ha ̣ bâ ̣c để bài toán trở nên đơn giản hơn

  11 cos2x 11 cos 4x 11 cos 6x 3 cos2x cos 6x cos 4x 0

Bài giả i tham khảo

  11 cos2x 11 cos 4x 11 cos 6x 2

4 cos2x cos 3x cos x 0 cos2x 0 x l k, l, m

sin x sin 2x sin 3x

2

Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng S ƣ Pha ̣m Hƣng Yên khối A năm 2000

Bài 16 Giải phương trình : sin x2 sin 2x2 sin 3x2 2  

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sƣ Phạm Kĩ Thuật Tp HCM khối A năm 2001

Bài 17 Giải phương trình : sin x2 sin 3x2 cos 2x2 cos 4x2  

Trích đề thi tu yển sinh Đa ̣i ho ̣c Kinh tế Quốc Dân năm 1999

Trang 16

  11 cos2x 11 cos 6x 11 cos 4x 11 cos 8x

  11 cos 6x 11 cos 8x 11 cos10x 11 cos12x

  cos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9x cos 3x sin 7x sin 5x cos 9x

Bài 18 Giải phương trình : sin 3x2 cos 4x2 sin 5x2 cos 6x2  

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001

Bài 20 Giải phương trình : sin x2 cos 2x2 cos 3x2  

Trang 17

  1 cos2x 1 cos 4x 1 cos 6x cos2x cos 4x 1 cos 6x 0

tổng thành tích và ha ̣ bâ ̣c nhằm xuất hiê ̣n nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được phương trình tích số đơn giản hơn

    sin 7xsin x 1 2 sin 2x2  0 2 cos 4x sin 3xcos 4x 0

k2cos 4x 0 x

    sin xsin 3xsin2x1cos2xcos x

2cos x 0

Bài 22 Giải phương trình : sin xsin2xsin 3x 1 cos xcos2x  

Bài 23 Giải phương trình : sin x cos 3x3 cos x sin 3x3 sin 4x3  

Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999 Bài 21 Giải phương trình : 2 sin 2x2 sin 7x 1 sin x  

Trích đề thi tuyển sinh Đại họ c năm khối A năm 2007

Trang 18

  sin x 4 cos x3  3 3 cos xcos x 3 sin x3  4 sin x3 sin 4x3

4 sin x cos x 3sin x3cos x3 3  3 3cos x sin x 4 cos x sin x3  3 3 sin 4x3

  cos10x 1 cos 8xcos x2 cos x 4 cos 3x 3 3 cos 3x

 cos10xcos 8x  1 cos x2 cos x cos 9x

2cos9x cos x 1 cos x2cos x cos9x

cos x  1 x k2 , k  

  sin x 4 sin x 2 3cos x sin x 2 3 cos x2  0

    2 sin x1 3 cos 4x 2 sin x44 1 sin x  2   3 0

 2 sin x1 3 cos 4x2 sin x4  1 2 sin x 1 2 sin x  0

 2 sin x1 3 cos 4x2 sin x  4 1 2 sin x  0

Bài 24 Giải phương trình :cos10x2 cos 4x2 6 cos 3x cos x cos x8 cos x cos 3x3  

Bài 25 Giải phương trình : 4 sin x3 3 cos x3 3 sin xsin x cos x2 0  

Bài 26 Giải phương trình : 2 sin x1 3 cos 4x 2 sin x44 cos x2 3  

Trang 19

 

kx

  sin x6 2 sin x8 cos x6 2 cos x8  0 sin x 1 2 sin x6   2 cos x 2 cos x 16  2    0

sin x 1 2 sin x3  2 cos x 2 cos x 13 2   0 sin x cos2x3 cos x cos2x3  0

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999

4

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp HCM khối D 2000

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nô ̣i khối D 1998

Trang 20

Do cos x0 hay sin x không là nghiê ̣m của phương trình 1  

Chia hai vế của   cho cos x4 , ta được:

 Lời bình : Ta nhâ ̣n thấy trong phương trình có chứa cos 3x lẫn sin 3x , nếu ta sử dụng công thức

nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng , nhưng nó tương đối phức ta ̣p

Bài 30 Giải phương trình : 3 cos x4 4 cos x sin x2 2 sin x4 0  

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp HCM 1998 – 1999 đơ ̣t 1

cos 3x cos x sin 3x sin x

8



Trang 21

Chính vì thế , ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổ ng có xuất hiê ̣n số 1

2 nhằm tối giản được với số

2 3 28

 Lời bình : Trong bài toán xuất hiê ̣n bốn cung x,2x,4x,8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc

đưa chúng về cùng mô ̣t cung Để làm viê ̣c này ta sẽ suy nghĩ đến viê ̣c dùng công thức

cos2x2cos x 1  1 2sin x, nhưng nó thì không khả quan cho mấy , bởi thế phương trình sẽ trở thành phương trình bâ ̣c cao , viê ̣c giải sẽ gây khó khăn Nhưng để ý rằng, các cung này l ần lượt gấp đôi nhau , ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin, bằng cách nhân thêm hai vế của   cho sin x Để đảm trong phép nhân , ta nên kiểm tra xem sin x có phải là nghiệm hay không trước khi nhân0

● Nhâ ̣n thấy : sin x    0 x k hay cos x  1 cos2xcos 4xcos 8x nên 1

16

    (vô nghiệm ) nên sin x   0 x k không là nghiê ̣m của  

● Nhân cả 2 vế của phương trình   cho 16sin x , ta được: 0

  16 sin x cos x cos2x cos 4x cos 8xsin x 0 sin x 8 sin 2x cos2x cos 4x cos 8xsin x 0 sin x

4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2 sin 8x cos 8x sin x sin16x sin x

15l

cos x cos2x cos 4x cos 8x

16

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998

Trang 22

  4 sin 3x cos2x 1 2 3 sin x 4 sin x3  4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3x

 Lời bình : Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoă ̣c cot , có ẩn ở mẫu hay căn bậc

chẳn,… ta phải đă ̣c điều ki ện để phương trình xác định Đặc biệt đối với những bài toán có chứa tan (hoă ̣c cot), ta hãy thay thế chúng bằng sin cos,

Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhâ ̣n nghiê ̣m hay không

 Thay các giá tri ̣ x tìm được vào điều kiê ̣n xem có thỏa không Nếu thỏa thì ghi nhâ ̣n nghiê ̣m ấy , nếu không thỏa thì loa ̣i

Bài 33 Giải phương trình : 4 sin 3x cos2x 1 6 sin x8 sin x3  

cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x

2

Bài 35 Giải phương trình : sin 2x 2 cos x sin x 1  

0tan x 3

Trang 23

 Hoă ̣c biểu diễn các ngo ̣n cung điều kiê ̣n và ngo ̣n cung nghiê ̣m trên cùng mô ̣t đường tròn lượng giác Ta sẽ loa ̣i bỏ ngo ̣n cung của nghiê ̣m khi có trùng với ngo ̣n cung của điều kiện

 Hoă ̣c so với điều kiê ̣n trong quá trình giải phương trình

● Điều kiê ̣n : tan x 3

● Điều kiê ̣n : sin x  0

  sin x(12 sin2xcos2x)2 2 sin x cos x2  1 sin2xcos2x2 2 cos x

● Điều kiê ̣n : sin x 0 2sin x cos x 0 sin2x 0 2x k x k , k 

  sin x cos x 2 sin2x cos2x sin x2 cos x2 2 sin2x cos2x



2 sin2x cos2x sin2x cos2x

 sin2x sin2xcos2x  1 sin 2x2 sin2x cos2x 1  0

 sin2x cos2xcos 2x2  0 cos2x sin2xcos2x  0

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011

Bài 37 Giải phương trình : tan xcot x2 sin2x cos2x   

Trích đề thi t uyển sinh Đa ̣i ho ̣c Giao Thông Vâ ̣n Tải Tp HCM năm 1998

Trang 24

  tan x tan x tan 3x 2 sin x sin x sin 3x 2

cos x cos x cos 3x

sin x sin 2x 2 cos x cos 3x2

 2sin x cos x2 2cos x cos 3x2

 Cách 2: Biểu diễn các ngo ̣n cung điều kiê ̣n và ngo ̣n cung nghiê ̣m , ta thấy không có ngo ̣n cung

nào trùng nhau Do đó : l

x

  là nghiệm của

phương trình (Cách 2 này mất nhiều thời gian )

Bài 38 Giải phương trình : tan x2 tan x tan 3x 2  

tan x cot x cot 2x

3

Trang 25

● Điều kiê ̣n :

cos x 0sin x 0 sin2x 0sin2x 0

Ta có: cotx tan2x cosx sin2x cos2xcosx sin2xsinx cosx

sinx cos2x sinxcos2x sinxcos2x



Trích đề thi Tuyển Sinh Đại h ọc Mỏ – Đi ̣a chất năm 2000

Trang 26

2 sin2x 4 sin x cos2x 2 sin 2x 1



2 tan x cot2x 2 sin2x

sin2x

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp HCM năm 1998 – 1999

3 sin x tan x

2 1 cos x 0tan x sin x

Trang 27

  3 sin x tan x.cot x 2 1 cos x 0 3 cos x  1  2 1 cos x 0

● Điều kiê ̣n : cos5x 0

  cos 3xsin 5x sin 7x sin 5x cos 3x sin 7x cos 5x

  loại nếu k lẻ

Bài 45 Giải phương trình :

Bài 46 Giải phương trình : cos 3x tan 5x sin 7x  

Trích đề thi Tuyển sinh Cao đẳng Kinh tế Công Nghiệp Tp HCM năm 2007

(Loại do sin x ) 0(Nhận)

Trang 28

  sin 2x2 sin2x sin xcos x 1 2 cos2x

4 cos x sin x2 2 2cos x sin x2 cos x 1 4 cos x2 0

sin 3x 0sin 3x 0

  cot3x tan x cot 2x 1 2 2   tan x2 cot 2x2

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Bách Kho a năm 2000

Bài 49 Giải phương trình : tan x.cot 2x.cot3x2 2 tan x2 cot 2x2 cot3x  

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Dược Hà Nội năm 2001

Trang 29

1 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

cot 3x 1 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

1 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

 (Giải tương tự như trên )

2

cot x sin x 1 tan x tan 4

Trang 30

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1 Giải phương trình : 2sin x cos x 2cos x  3 3 sin x

Câu 2 Giải phương trình : 2 tan x cos x 1 2cos xtan x

sin x cos x cos x sin x

8

Câu 4 Giải phương trình : cos x2 cos 2x2 cos 3x2 1

sin 2x cos 8x sin 10x

Câu 6 Giải phương trình : cos x4 sin x6 cos2x

sin x cos x cos x

Câu 10 Giải phương trình : sin 4x3sin2xtan x

Câu 11 Giải phương trình : cos10x2cos 4x2 6cos 3x cos xcos x8 cos x cos 3x3

Câu 12 Giải phương trình : 2 cos x2 2 cos 2x2 2 cos 3x2  3 cos 4x 2 sin2x  1

Câu 15 Giải phương trình : tan2xtan 3xtan5xtan2x tan 3x tan5x

Câu 16 Giải phương trình : sin x sin2x sin 3x

3cos x cos2x cos 3x

Trang 31

Câu 19 Giải phương trình : 2 2 sin x 1 1

Câu 22 Giải phương trình : sin x2 sin 2x2 sin 3x2 2

Câu 23 Giải phương trình : 254x 3 sin2 x  8 sin x   0

Câu 24 Giải phương trình : sin2x

cos x cos 3x sin x sin 3x

Câu 30 Giải phương trình : 2 sin 3x 1 4 sin x  2  1

Câu 31 Giải phương trình : cos x 4 sin x 3cos x sin x3  3  2 sin x0

sin cos 1 2 sin x

cos x



tan x cos x cos x sin x 1 tan tan x

sin x cos 4x 2 sin 2x 4 sin x , x 1 3

Câu 37 Giải phương trình : sin xsin2xsin 3x 1 cos xcos2x

Câu 38 Giải phương trình : cos x2 cos 2x2 cos 3x2 cos 4x2 2

2 1 sin xsin x cos x



Trang 32

Câu 40 Giải phương trình : sin xsin2xsin 3xsin 4xsin5xsin6x0

Câu 41 Giải phương trình : cos xcos 3x2cos5x0

Câu 42 Giải phương trình : 9sin x6cos x3sin2xcos2x8

Câu 43 Giải phương trình : cos xsin x cos x sin x cos x cos2x

Câu 44 Giải phương trình : 2 sin x1 3 cos 4x 2 sin x44 cos x2  3

Câu 45 Giải phương trình : 2sin x sin x3  2cos x cos x3  cos2x

Câu 46 Giải phương trình : sin x sin x sin x sin x 2  3  4 cos x cos x cos x cos x 2  3  4

Câu 47 Giải phương trình : sin x tan x2  13 sin x cos x sin x 3

Câu 48 Giải phương trình : tan2xcotx8 cos x2

Câu 49 Giải phương trình : 3 cot x cos x 5 tan xsin x 2

(tương tự cho cos)

Mô ̣t số hằng đẳng thức lươ ̣ng giác và mối liên hê ̣

1sin2xsin xcos x2 sin x cos x sin xcos x

1 sin2x sin xcos x2 sin x cos x sin xcos x

● sin x cos x sin 2x

2



● sin x3 cos x3 sin xcos x 1 sin x cos x  

● sin x3 cos x3 sin xcos x 1 sin x cosx

Trang 33

●

cos x sin x cos x sin x 2 cos2x

sin x cos x sin x cos x sin2x

1 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 51 Giải phương trình : cos 4x12 sin x 12  0  

Bài 52 Giải phương trình : cos x4 sin x4 cos 4x0  

Bài 56 Giải p hương trình : cos 3x cos2x2 cos x2 0  1

Bài 59 Giải phương trình : 5 sin x 2 3 1 sin x tan x   2  

Trang 34

Bài 63 Giải phương trình : 1 1  

cos x cos cos sin x sin sin

Bài 67 Giải phương trình : 3 cot x2 2 2 sin x2 23 2 cos x  

Bài 68 Giải phương trình : 3 cos 4x8 cos x6 2 cos x2  3 0  

cot x tan x

sin 2x

cot x tan x 4 sin2x

sin2x

Bài 71 Giải phương trình : 2 sin x2 tan x2 2  

sin x cos x

8

sin x cos x cos 2x

16

sin 5 cos x sin

4



Bài 82 Giải phương trình : sin2x2 tan x3  

Bài 83 Giải phương trình : 1 tan x 1  sin2x 1 tan x  

Bài 84 Giải phương trình : cos2xcos x 2 tan x 1 2   2  

Trang 35

Bài 85 Giải ph ương trình : sin2x cos x  3 2 3 cos x 3 3 cos2x3  8 3 cos x sin x  3 3

Bài 86 Giải phương trình : 2

2

sin xsin x

Bài 87 Giải phương trình : tan x2 tan x tan 3x2  

Bài 90 Giải phương trình : 4 sin 3x cos2x5 sin x 1     

Bài 94 Giải phương trình : tan x2 cot x2 2 1 tan xcot x0   

8

Bài 96 Giải phương trình : 4 sin x cos x5 4 cos x sin x5 sin 4x2   

cos x cos 2x cos 3x cos 4x

cos x sin x





Bài 100 Giải phương trình : sin x6 cos x6 sin2x   

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI

VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC



 Lời bình : Trong bài toán toán có chứa hai cung x và 4x nên ta đưa về cùng mô ̣t cung là 2x bằng

công thức nhân đôi của cos 4x2cos 2x2  và công thức hạ bậc 1

2 1 cos2xsin x

2



 Từ đó, đưa ta về phương trình bâ ̣c hai theo cos2x

Bài 51 Giải phương trình : cos 4x12 sin x 12  0  

(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A , B, D năm 2011)

Trang 36

  2 cos 2x 12  6 1 cos2x    1 0 cos 2x2 3 cos2x  2 0

 Lời bình : Trong ví dụ này , cũng tồn tại hai cu ng khác nhau x và 4x nên ta đưa về cùng mô ̣t cung

là 2x , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi :

cos x  sin x  cos xsin x sin xcos x cos2x Còn cos 4x ta sẽ áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo cos2x

  cos x2 sin x cos x2  2 sin x2 2 cos 2x 12   0

 Lời bình : Trong bài toán nà y, có chứa đồng thời ba cung x,2x,3x và ta không thể đưa cung x của

sin x về cung 2x được (không có công thức lượng giác nào ), do đó chỉ còn cách duy nhấ t là đưa ba cung này về cùng cung x Nhâ ̣n thấy rằng , trong vế trái phương trình có chứa cos 3xsin 3x, ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lâ ̣p la ̣i và dài dòng khi giải phương trì nh Còn cos2x tất nhiên đưa về cung x bằng công thức nhân đôi: cos2xcos x2 sin x2 2cos x2   1 1 2sin x2 , nhưng trong ba công thứ c đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của v ế trái để chọn công thức phù hợp "

 cos xsin x 1 2 sin2x

Trang 37

  5 sin x cos x sin x 1 2 sin 2x 3 cos2x

3cos x 2 L

 Lời bình : Từ viê ̣c xuất hiê ̣n hai cung 3x, 5x x 4x, ta có thể đưa chúng về cùng mô ̣t cung

x theo công thức nhân ba và cô ̣ng cung để xuất hiê ̣n nhân tử chung (cách giải 1) Hơn nữa, trong bài xuất hiê ̣n số 3 và 5 , ta cũng có thể tách 5 2 3 và nhóm chúng một cách khéo léo lại với nhau , áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2)

Giải tương tự như trên

Bài 54 Giải phương trình : sin 3x sin 5x  

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000)

Trang 38

Bài giải tham khảo Điều kiê ̣n : sin x 0

Vâ ̣y phương trình vô nghiê ̣m

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Mỏ – Đi ̣a Chất năm 1997)

Bài 56 Giải phương trình : cos 3x cos2x2 cos x2 0  1

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005)

Trang 39

, làm ta liên tưởng đến câu

"cos đối – sin bù – phụ chéo ", thâ ̣t vâ ̣y , các bạn để ý cách giải sau:

  sin  2x 2  3 cos  x 4  1 2 sin x

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005)

Trang 40

  4 cos2x cos sin 2x sin 2 5 cos 2x

Bài 59 Giải phương trình : 5 sin x 2 3 1 sin x tan x   2  

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004)

2sin 2x 3 cos2x 5 cos 2x

Định dạng
Số trang	133
Dung lượng	5,34 MB