Sử dụng phép rời hình để giải một số dạng toán hình học

Việc sử dụng nó để giải quyết cácbài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết; đặc biệt trong nhiều bài toánnếu không sử dụng phép dời hình thì việc tìm một lời giải trở nên khókhăn cho

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN VĂN NGỌC

SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC

Mục lục

1.1 Đại cương về phép biến hình trong mặt

phẳng 3

1.1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng 3

1.1.2 Tích các phép biến hình 3

1.1.3 Các phần tử bất biến trong một phép biến hình 4

1.2 Phép dời hình trong mặt phẳng 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Tính chất 4

1.3 Một số phép dời hình đặc biệt trong mặt phẳng 6

1.3.1 Phép đối xứng trục 6

1.3.2 Phép tịnh tiến 7

1.3.3 Phép quay và đối xứng tâm 9

1.4 Sự xác định và dạng chính tắc của một phép dời hình 10

1.5 Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số dạng toán hình học 11

1.5.1 Một số bài toán sử dụng phép quay 11

1.5.2 Một số bài toán sử dụng phép đối xứng trục 27

1.5.3 Một số bài toán sử dụng phép tịnh tiến 36

2.1 Đại cương về phép biến hình trong không

gian 47

2.1.1 Phép biến hình trong không gian 47

2.1.2 Tích của các phép biến hình 48

2.1.3 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động trong một phép biến hình 48

2.2 Phép dời hình trong không gian 48

2.3 Một số phép dời hình đặc biệt trong không gian 49

2.3.1 Phép đối xứng trục 49

2.3.2 Phép đối xứng tâm 49

2.3.3 Phép tịnh tiến 50

2.3.4 Phép quay quanh một trục 51

2.3.5 Phép đối xứng qua mặt phẳng 52

2.4 Sự xác định và dạng chính tắc của một phép dời hình trong không gian 53

2.4.1 Sự xác định một phép dời hình 53

2.4.2 Dạng chính tắc của phép dời hình 53

2.5 Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số dạng toán hình học trong không gian 54

2.5.1 Ứng dụng phép đối xứng trục trong giải toán 54 2.5.2 Ứng dụng phép đối xứng tâm trong giải toán 56 2.5.3 Ứng dụng phép tịnh tiến trong giải toán 58

2.5.4 Ứng dụng phép quay quanh một trục trong giải toán 60

2.5.5 Ứng dụng của phép đối xứng qua mặt phẳng trong giải toán 62

Kết luận 65

Mở đầu

Phép dời hình chiếm một vị trí quan trọng trong hình học sơ cấp nóichung và các phép biến hình nói riêng Việc sử dụng nó để giải quyết cácbài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết; đặc biệt trong nhiều bài toánnếu không sử dụng phép dời hình thì việc tìm một lời giải trở nên khókhăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép dời hình sẽ giúp cho bàigiải trở lên ngắn gọn và súc tích hơn

Phép dời hình là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiệnnhư một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học- tư duy biến hình.Trong mỗi bài toán có sử dụng phép dời hình để giải thì nó là một mắtxích quan trọng, một định hướng thông suất trong quá trình tư duy Ngoài

ra, phép dời hình còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát triển các bàitoán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó Điều đó khiến chongười học toán không những phát triển được kiến thức hình học của mình

mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán Ngoài phần mởđầu, phần kết luân, luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Chương này trình bày định nghĩa về phép dời hình trongmặt phẳng và các tính chất cơ bản của nó Ngoài ra trong chương nàytrình bày các phép dời hình đặc biệt là: phép tịnh tiến, phép đối xứngtrục, phép quay Trình bày sự xác định và dạng chính tắc của một phépdời hình trong mặt phẳng Vận dụng phép dời hình để giải toán hình họcphẳng

Chương 2 Chương này trình bày kiến thức cơ bản về phép biến hình vàdời hình trong không gian: Định nghĩa, Tích các phép biến hình, Các phần

tử bất động của phép biến hình, các phép dời hình đặc biệt trong khônggian Vận dụng phép dời hình để giải toán không gian Luận văn này đươchoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS TRẦN VIỆT

CƯỜNG, Trường ĐHSP Thái Nguyên Là người học trò đã tiếp thu đượcnhiều điều từ thầy, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sựquan tâm, động viên và sự tâm huyết chỉ bảo, hướng dẫn của thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đạihọc Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoahọc Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toánK7N, Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và làm luận văn này

Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD- ĐT tỉnh Nam Định, Ban Giám hiệu, cácđồng nghiệp Trường THPT Trực Ninh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tácgiả trong thời gian học tập và làm luận văn này

Tuy nhiên, do năng lực bản thân và thời gian nghiên cứu có hạn nênkhông tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo

và đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng độc giả quan tâm đến luận vănnày

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Học viên

Trần Văn Ngọc

Chương 1

PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

phẳng

1.1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng

Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P, khi đó mỗi hình

H bất kỳ của P là một tập con của P và ta ký hiệu là H ⊂ P

Định nghĩa 1 Một song ánh f : P → P từ tập điểm của P lên chính nóđược gọi là một phép biến hình của mặt phẳng P

Phép biến hình biến mọi điểm M của P thành chính nó gọi là phép đồngnhất Ký hiệu là e

Ví dụ 1 Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, ta xác đinh điểm M’ làhình chiếu vuông góc của M lên d thì ta được một phép biến hình (gọi làphép chiếu vuông góc lên đường thẳng d)

1.1.2 Tích các phép biến hình

Một phép biến hình f : P → P biến một điểm M bất kỳ của P thànhmột điểm M0 rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai g:P → P đểbiến M0 thành M00 Ta có M0 = f (M ) và M00 = g(M0)

Khi đó phép biến hình h biếnM thành M00 gọi là tích của hai phép biếnhình f và g và ký hiệu là h = g ◦ f

Nhận xét 1 Tích của các phép biến hình không có tính chất giao hoán.

1.1.3 Các phần tử bất biến trong một phép biến hìnhMột điểm M thuộc P là điểm kép (điểm bất động) đối với phép biến

Nhận xét 2

- Phép đồng nhất e là một phép dời hình

-Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình

1.2.2 Tính chất

Theo định nghĩa thì phép dời hình có các tính chất sau

Tính chất 1 .Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằmgiữa A và C thành ba điểm A0, B0, C0 thẳng hàng với B0 nằm giữa A0 và

C0

Hệ quả 1 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng,biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳngbằng nó

Hệ quả 2 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó,biến một góc thành góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đườngtròn cùng bán kính

Tính chất 2 Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

Chứng minh Cho hai phép dời hình f và g Ta hãy xét tính chất củaphép biến hình g ◦ f Giả sử A, B là hai điểm bất kỳ và ta có f (A) =

A0, g(A0) = A”, f (B) = B0, g(B0) = B” Vì f và g đều là phép dời hìnhnên ta có AB = A0B0, A0B0 = A”B” Như vậy phép biến hình g ◦ f đãbiến điểm A thành điểm A”, biến điểm B thành điểm B” thoả mãn điều

hình

Hệ quả 3 Tích của n phép dời hình là một phép dời hình

Hệ quả 4 Tích của một phép dời hình với phép đảo ngược của nó là mộtphép đồng nhất

Tính chất 3 Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp

Chứng minh Giả sử g, h, f là các phép dời hình, ta cần chứng minh

M0, h biến M0 thành M ” và g biến M ” thành M000 Ta có g ◦ h là mộtphép dời hình biến M0 thành M000 và do đó (g ◦ h) ◦ f biến M thành M000.Mặt khác h ◦ f biến M thành M ” và g ◦ (h ◦ f ) biến M thành M000 Vậy

Hình 1.1:

Tính chất 4 Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phépbiến hình với phép toán là tích các phép biến hình

Ta có tích của hai phép dời hình là một phép dời hình Do đó tích cácphép dời hình đóng kín với phép toán đã cho Mặt khác tập hợp các phépdời hình có tính chất kết hợp và trong tập hợp các phép dời hình có phần

tử đơn vị là phép đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng có phép dờihình đảo ngược của nó

Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm cácphép dời hình.

phẳng

1.3.1 Phép đối xứng trục

Định nghĩa 3 Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phépbiến hình biến mỗi điểm M thành điểmM0 sao cho đoạn thẳng M M0 nhậnđường thẳng d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đốixứng trục d

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng Ta ký hiệu phép đối xứng trục này

là Đd Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M0 trùng với M.Tính chất 5 Phép đối xứng trục là một phép dời hình

Chứng minh Giả sửM, N là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và phépđối xứng trục Đd biến các điểm M, N thành các điểm M0, N0 Khi đó cácđoạn thẳng M M0, N N0 cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H, K

Hình 1.2:

Vậy phép đối xứng trục là một phép dời hình

Nhận xét 3 Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ cáctính chất của phép dời hình

Từ đó ta có:

- Nếu M0 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh của

M0 qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục vớichính nó là phép đồng nhất

- Mọi điểm của trục đối xứng đều là điểm kép (điểm bất động)

- Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thànhchính nó với chú ý rằng giao điểm của a với d là điểm kép các điểm kháccủa a đều không phải là điểm kép

- Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đốixứng của nó

1.3.2 Phép tịnh tiến

Định nghĩa 4 Trong mặt phẳng (P) cho vectơ −→v , phép biến hình biến

M M0 = −→v gọi là phép tịnh tiến theo

vectơ −→v và được ký hiệu là T−→

v.Vectơ −→v gọi là vectơ tịnh tiến, ta có T−→

v(M ) = M0 Phép tịnh tiến có các tính chất sau:

Tính chất 6 Phép tịnh tiến là một phép dời hình

Chứng minh Giả sử A, B là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và quaphép tịnh tiến T− →v chúng lần lượt biến thành các điểm A0, B0

BB0.Nhận xét 5 Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ cáctính chất của một phép dời hình.

- Nếu phép tịnh tiến theo vectơ −→v khác vectơ −→0 biến điểm M thành

điểm M’ thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M vớivectơ tịnh tiến là (−−→v ).

→v làm vecto chỉ phương đều biến thành chính nó, chú ý rằng các điểm

của đường thẳng này không phải là điểm kép

- Tích của hai phép tịnh tiến T− →v và T− →

v 0 là một phép tịnh tiến với vectơtịnh tiến bằng −→v + −→v0

- Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết được vectơ tịnhtiến −→v của nó.

1.3.3 Phép quay và đối xứng tâm

Định nghĩa 5 Trong mặt phẳng (P ) đã được định hướng, cho một điểm

O cố định và một góc lượng giác α Một phép quay tâm O với góc quay α

là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M

thành điểm M0 sao cho OM = OM0 và ( OM, OM0)= α Ta ký hiệu là

Q(O,α)

Nhận xét 6 Nếu α = 0 thì phép quay là phép đồng nhất, còn nếu α = π

hiệu là ĐO

Theo định nghĩa trên thì phép quay có các tính chất sau

Tính chất 7 Phép quay là một phép dời hình

Q(O,α) là phép quay biến M, N thành M’, N’ trong đó O, M, N khôngthẳng hàng Theo định nghĩa phép quay, ta có OM = OM0, ON = ON0

Theo hệ thức Sa-lơ về góc lượng giác, ta có

Hình 1.4:

(OM, ON ) = (OM, OM0) + (OM0, ON )

= (OM0, ON0)

Suy ra \M ON = M\0ON0 Như vậy hai tam giác M ON và M0ON0 bằngnhau, do đó M0N0 = M N

Trường hợp O, M, N thẳng hàng, ta thấy ngay M0N0 = M N

Nhận xét 7 Phép quay là một phép dời hình, nên nó có đầy đủ các tínhchất của một phép dời hình

Trong phép quay tâm O với góc quay α khác 0 chỉ có tâm O là điểmkép duy nhất của phép quay đó và trong trường hợp này nếu đường thẳng

a đi qua tâm O thì đường thẳng ảnh là a0 cũng đi qua điểm O

quay tâm O với góc quay (−α) biến điểm M0 thành điểm M nghĩa là nếu

f = Q(O,α) thì f−1 = Q(O,−α)

Qua phép quay tâm O góc quay α nếu điểm A biến thành điểm A’, điểm

B biến thành điểm B’ thì (AB, A0B0)= α Do đó hai đường thẳng AB vàA’B’ cắt nhau tạo nên một góc bằng α và một góc bằng π - α

Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc quay α

phép dời hình

Tính chất 8 Trong mặt phẳng, mọi phép dời hình bảo toàn hướng củamọi tam giác hoặc là phép tịnh tiến hoặc là phép quay quanh một điểm.Tính chất 9 Trong mặt phẳng mọi phép dời hình làm thay đổi hướng củamọi tam giác đều phân tích được thành tích của một phép tịnh tiến và mộtphép đối xứng trục, có trục đối xứng song song với phương tịnh tiến.Như vậy chúng ta đã biết thế nào là một phép dời hình, và các tính chấtcủa nó, sau đây ta sẽ sử dụng kiến thức về phép dời hình để giải toán hìnhhọc

1.5 Vận dụng phép dời hình vào việc giải

một số dạng toán hình học

1.5.1 Một số bài toán sử dụng phép quay

Dạng 1: Chứng minh, tính toán các đại lượng hình học

Bài toán 1 Cho hình vuông có cạnh bằng 1 Gọi P, Q là hai điểm lầnlượt trên hai cạnh AB, AD.Chứng minh rằng

1 Nếu chu vi 4AP Q bằng 2 thì góc \QCP bằng 450

2.Nếu góc \QCP bằng 450 thì chu vi 4AP Q bằng 2

Lời giải: 1 Xét phép quay tâm C góc quay( −900) thì điểm D, A, Q lầnlượt biến thành các điểm B, A1, Q1

2 Ngược lại, nếu \QCP = 450 thì \P CQ1 = 450 Khi đó ta có 4P CQ =

AQ = AP + AQ + P Q1 = AP + P B + AQ + QD = AB + AD = 2.Nhận xét 8 Đây là bài toán khá hay ngoài cách giải trên còn có thể giảibằng phương pháp tổng hợp nhưng theo đánh giá của tác giả thì lời giải nhưtrên rất tự nhiên và phù hợp với trình độ nhận thức của nhiều đối tượng.Nhận xét 9 Nếu xét bài toán trên trong hệ trục tọa độ Oxy thì ta cónhiều bài toán hay và khó phù hợp với bài thi học sinh giỏi cấp tỉnh Ví dụ

ta có bài toán sau

Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D BiếtAB=AD Điểm B(1;2), đường thẳng BD có phương trình y=2 Biết đườngthẳng d có phương trình 7x-y-25=0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CDtheo thứ tự tại M, N sao cho M B vuông góc với BC và tia BN là tia phângiác của góc \M BC Hãy tìm toạ độ đỉnh D biết điểm D có hoành độ dương.( Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Nam Định năm học 2013- 2014)Thực tế bài toán này là một thách thức lớn đối với các em dự thi bằngchứng là có rất ít học sinh giải được và những em giải được bài này thìđạt giải cao trong kỳ thi đó

Ta sẽ thấy một ứng dụng " to lớn " khác của phép quay qua bài toánsau

cho \ABM = M BI\ Kẻ tia phân giác của góc [IBC, điểm N thuộc cạnh

CD Hãy tính diện tích 4BM N

Lời giải (hình 1.6) Xét phép quay tâm B góc quay 900 khi đó các điểm

A, D, C, M lần lượt biến thành các điểm C, D1, C1, M1, suy ra 4BM N=

Hình 1.6:

Nhận xét 10 Bài toán trên trở lên hết sức đơn giản và nhẹ nhàng quaphép quay Nhưng nếu dùng cách giải khác thì sẽ mất nhiều thời gian vàcông sức hơn thậm chí không giải được

Bài toán 3 Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD, lần lượt lấycác điểm M, K tương ứng sao cho \BAM= \M AK

DAM (so le trong) Ta có \DAM = \M0AK Vậy \M AK = \AM0K Suy

Nhận xét 11 Nếu bài toán cho hình vuông và yêu cầu chứng minh tínhchất về các đoạn thẳng thì ta nghĩ ngay đến phép quay để giải quyết bàitoán này

Bài toán 4 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O, R) sao cho

DE, FA và hai điểm P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD

1 Xác định phép biến hình biến −→

BD và tính góc giữa haivectơ −→

BD Chứng minh rằng tam giác 4IP Q là tam giác đều

2 Chứng minh tam giác 4IJK là tam giác đều

(Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2010-2011)

là tam giác đều.

Bài toán 5 Cho tam giác ABC có góc A nhọn Dựng về phía ngoài củatam giác các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF

2 Gọi D là trung điểm của BC và K, H, G theo thứ tự là tâm các hình

giác vuông cân và hai đoạn KH và AG bằng nhau và vuông góc với nhau.Lời giải 1 Xét phép quay tâm A, góc quay 900 ta có N 7→ B, C 7→ Q

phương pháp tọa độ Phương pháp biến hình cho ta lời giải ngắn gọn dễhiểu và ta sẽ sử dụng đến phương pháp này trong dữ kiện của bài toán và(hoặc) trong tính chất của hình đòi hỏi phải thiết lập(chứng minh) hoặctrong điều kiện đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện yếu tố có mối liên

hệ đến một phép biến hình cụ thể nào đó Ví dụ bài toán cho hình vuônghoặc cho tam giác vuông cân thì ta nghĩ đến phép quay, sau đó vận dụngcác tính chất của phép biến hình này mà tìm ra lời giải hay đáp số của bàitoán được xét

Bài toán 6 Cho 4ABC Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoàicác hình vuông ABM N, ACP Q

2 Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua tâm A ta có AM0//B1C (do AM’

là đường trung bình của tam giác BCB1) Qua phép quay Q(A,900 ) thì

Bài toán 7 Cho 4ABC Về phía ngoài tam giác dựng hai hình vuông

Lời giải Ta gọiO1, O2 lần lượt là tâm của hai hình vuôngACM N, BCP Q.Xét phép quay Q(O1,900 ) thì N 7→ A ; A 7→ C; B 7→ B1.

Như vậy theo tính chất phép quay suy ra AB 7→ CB1 Điều đó có nghĩa

Hình 1.11:

Do đó QA, BN, HE là ba đường thẳng chứa ba đường cao của tam giác

Bài toán 8 Cho 4ABC Trên các cạnh AB và BC, về phía ngoài củatam giác dựng hai hình vuôngABM N, BCP Q Chứng minh rằng các tâmcủa các hình vuông này cùng với hai trung điểm của M Q, AC tạo thànhmột hình vuông

Lời giải Ta gọi O1 và O3 tương ứng là tâm của hai hình vuôngABM N

Hình 1.12:

Ta có O1O2, O2O3, O3O4, O4O1 lần lượt là đường trung bình của các

O3 7→ Kvới K thuộc BA, O1 7→ H với H thuộc BA1

Lí luận tương tự ta có KH//AA1 (1)

Hình 1.13:

Mặt khác xét Q(B,−300 ) thì O3O1 7→ KH nên O3O1 = KH và O3O1 tạovới KH một góc 300

Xét phép quay Q(C,300 ) thì ta có O1 7→ E với E thuộc A1C, O2 7→ F

trong tam giác sao cho MA+ MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải Giả sử M là một điểm tuỳ ý trong tam giác ABC XétQ(B, −600 ),khi đó C 7→ C0, M 7→ M0, do đó BM= BM’ và \M BM0 = 600 Suy ra

Bây giờ ta tìm vị trí điểmM.

Giả sử Mo là điểm thoả mãn điều kiện A, Mo, Mo0, C0 thẳng hàng Xét phép quay Q(B, 060 ) ta có Mo 7→ M0

Mo0C0do đó góc giữa hai đường thẳngMoC vàMo0C0 bằng600 (Vì4BMoMo0

là tam giác đều) Vậy BM\oM0

o = 600 nên \BMoC = 1200.Chứng minh tương tự ta có \AMoB = 1200 và \AMoC = 1200 Do đó

Mo là giao của 3 cung chứa góc 1200 dựng trên 3 cạnh AB, AC, BC Vậyđiểm cần tìm là điểm Mo xác định như trên

Bài toán 11 Hai đường tròn bằng nhau (O, R) và (O0, R) cắt nhau tạihai điểm phân biệt A, B sao cho \OAO0 = 1200 Trên đường tròn (O, R)

ta lấy điểm M, trên (O0, R) ta lấy điểm M0 sao cho M nằm ngoài đốivới (O’)và M0 nằm ngoài đối với (O) và M M0 đi qua điểm B Gọi S làgiao điểm các tiếp tuyến của hai đường tròn tại M và M0 Xác định vị tríhai điểm M và M0 để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SM M0 lớnnhất

Lời giải Giả sử \AOM = α, (00 < α < 1800) Phép quay Q(A, 1200) thì

O 7→ O0 do đó M 7→ M0 thuộc đường tròn (O0, R) và \AO0M00 = α

Hình 1.15:

Ta có 2ABM\00 = α, do đó \ABM00+ABM = 180\ 0 Điểm M00 trùng vớiđiểm M0

Gọi x là tiếp tuyến của (O, R) tại M, y là tiếp tuyến của (O0, R) tại

M0 Xét phép quay Q(A, 1200) thìx 7→ y và góc tạo bởi x, y bằng 1200, do

đó \M SM0 = 600 Theo định lý hàm số sin áp dụng vào tam giác SM M0

Vậy M M0 lớn nhất ⇔ M M0//OO0

A0B0C0 là ảnh của tam giác ABC qua phép biến đổi ĐO T là một đa giácđược tạo bởi phần chung của hai tam giác ABC và A0B0C0 Tìm vị tríđiểm O sao cho T có diện tích lớn nhất

Lời giải Ta xét trường hợp A0 là ảnh của A qua phép đối xứng ĐOnằm trong tam giác ABC

Hình 1.16:

Trường hợp này T là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm trên AB

và AC và một đường chéo là AA0 Gọi M là giao điểm của AA0 với cạnh

Trường hợp các đỉnh A0, B0, C0 nằm ngoài tam giác ABC, khi đó T

là một lục giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau Ta kí hiệu

S1, S2, S3 là diện tích các tam giác nhỏ bị cắt ra từ tam giác ABC bởi cácđường thẳng A0B0, B0C0, C0A0 Ta kí hiệu P, Q là các giao điểm của C0A0

và C0B0 với cạnh AB; S là diện tích tam giác ABC

Ta có S1



AQAB

2

+



BPAB

2

+



P QAB

hay O là trọng tâm tam giác ABC

Ta xét diện tích của T Rõ ràng dt(T ) lớn nhất khi S1 + S2 + S3 nhỏnhất Vậy max dt(T ) = 2

3S Đối chiếu các trường hợp đã xét ta thấy diện

tích của T lớn nhất khi O là trọng tâm tam giác ABC

Dạng 3 Toán quỹ tích và dựng hình

lấy điểm E sao cho BE = 2AE, F là trung điểm cạnh AC và I là đỉnhthứ tư của hình bình hành AEIF Với mỗi điểm P trên đường thẳng d ta

Vậy tập hợp điểm Q khi P chạy trên đường thẳng d là đường thẳng d0

đối xứng của d qua điểm I

Nếu d đi qua I thì d0 trùng với d nếu d không đi qua I thì d0 và d songsong và d0 đi qua điểm Mo0 đối xứng với một điểm Mo chọn trước trên d.Bài toán 14 Cho hai đường tròn đồng tâm O, khác bán kính và đườngtròn tâm (O’) Dựng tam giác đều có một đỉnh ở trên (O’) và hai đỉnh cònlại lần lượt nằm trên hai đường tròn đồng tâm O

Lời giải Gọi (C1), (C2) là hai đường tròn tâm O Lấy một điểm A trên(O’) Giả sử dựng được tam giác đều ABC sao cho B ở trên (C1) và C ởtrên (C2)

Hình 1.19:

Khi đó, C là ảnh của B qua phép quay Q(A,600 ) (hoặcQ(A,−600 )), nên C ởtrên đường tròn(C10)ảnh của(C1)qua phép quayQ(A,600 )(hoặc Q(A,−600 )),

do đó C là giao điểm của (C10) và (C2) ( nếu có)

Cách dựng : Lấy một điểm A trên (O0)

Dựng đường tròn (C10) là ảnh của (C1) qua phép quay Q(A,600 ) (hoặc

Q(A,−600 )), nếu (C1) và (C10) cắt nhau tại điểm C, ta dựng B là ảnh của

C qua phép quay Q(A,−600 ) (hoặc Q(A,600 )), điểm B phải ở trên đường tròn

(O1) tam giác ABC là tam giác đều cần dựng

Chứng minh: Theo cách dựng, (C10) là ảnh của (C1) qua phép quay

Q(A,600 ) (hoặc Q(A,−600 )), nên trong phép quay ngược lại C biến thành Bthuộc (C1)

Tùy theo số giao điểm của(C1) và(C10)mà bài toán có bấy nhiêu nghiệmhình

Bây giờ, nếu dựng ảnh (C20) của (C2) qua phép quay Q(A,600 ) (hoặc

Q(A,−600 )), (C2) cắt (C1) thì ta có thêm một số nghiệm hình nữa

tam giác sao cho M A2 + M B2 = M C2

Lời gải Xét phép quay Q(B,−600 ) Khi đó M 7→ N, A 7→ C, do đó

M A2 + M B2 + M C2 Từ đó suy ra \BN C = 1500

Hình 1.20:

Mặt khác, từ 4AM B = 4CN B, suy ra \AM B = 1500 Chứng tỏ M

thuộc cung chứa góc1500 dựng trên dâyAB Tập hợp các điểmM là cung

1500 nằm trong tam giác ABC dựng trên dây AB, trừ hai điểm A, B.Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay Q(B,−600 ) biến

thành cung BNC_

có số đo 1500 Vì tam giác

BM N đều, do đó \M N C = 1500 − 600 = 900 Tam giác M N C vuông tại

N do đó N M2 + N C2 = M C2 Do M A = N C, M N = M B, ta suy ra

M A2 + M B2 = M C2

Bài toán 16 Cho ba đường thẳng x, y, z đôi một cắt nhau Hãy dựng tamgiác đều có các đỉnh nằm trên ba đường thẳng đã cho

Lời giải Phân tích: Giả sử ABC là tam giác đều đã dựng cóA ∈ x, B ∈

đi qua C, C là điểm chung của y0 và z

Cách dựng: Lấy một điểm A ∈ x Dựng ảnh y0 của y trong phép quaytâm A góc 600, y0 và z cắt nhau tại C Dựng ảnh B của C trong phépquay Q(A,−600 ) khi đó ABC là tam giác đều phải dựng

Hình 1.21:

Chứng minh: Theo cách dựng và theo giả thiết thì y0 phải cắt z Phépquay Q(A,−600 ) biếny0 thành y do đó B ∈ y Tam giác ABC có AB = AC

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm và có vô số nghiệm

1.5.2 Một số bài toán sử dụng phép đối xứng

trục

Dạng 1 Chứng minh, tính toán các đại lượng hình học

Bài toán 17 Cho tam giác ABC với trực tâm H Chứng minh rằng

1 Các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCH, CAH, ABH, ABC cóbán kính bằng nhau

Lời giải Gọi (O, R) là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC Gọi AA0 làđường kính của (O, R) và H1 là giao điểm thứ hai của AH với (O, R)

Ta có BH ⊥ AC, A0C ⊥ AC suy ra BH//A0C

BHCA0 là một hình bình hành nên trung điểm I của BC cũng là trungđiểm của đoạn HA0

Mặt khác ta có AH ⊥ BC tại K và AH ⊥ H1A0 tại H1 Ta suy ra

Vậy H1 đối xứng với H qua BC

Tương tự ta chứng minh được H2 đối xứng của H qua CA nằm trênđường tròn ( O, R ) và H3 đối xứng của H qua AB cũng nằm trên (O, R).

Hình 1.22:

nhau qua BC) Vậy đường tròn ngoại tiếp 4BCH có bán kính bằng bánkính đường tròn ngoại tiếp 4BCH1, mà đường tròn này chính là đườngtròn ngoại tiếp 4ABC Ta suy ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác

Nhận xét 13 Từ kết quả ý 2 của bài toán khi xét bài toán trong hệ tọa

độ ta có bài toán khó như sau

giác AHB có tâm I(4; −3) Hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp

(Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Nam Định năm học 2010- 2011)

thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt cóphương trình là 3x + 5y − 8 = 0 và x − y − 4 = 0 Đường thẳng đi qua

A và vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp 4ABC tạiđiểm thứ hai là D(4; −2) Hãy viết phương trình các đường thẳng AB, AC

biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3

( Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012- 2013)

Nhận xét 14 Từ kết quả H1, H2, H3 nằm trên đường tròn ngoại tiếp

4ABC chúng ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán ’vệ tinh’ hay và khóphù hợp với các bài trong đề thi đại học hoặc học sinh giỏi như bài toánsau: Trong mặt phẳng Oxy, cho 4ABC nhọn có trực tâm là điểm H Cácđường cao AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D,

E, F Biết tọa độ D(2;1), E(3;4) và F



6

5;

175

 Hãy tìm tọa độ các điểm

A, B, C

Bài toán 20 Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại A.Kẻ đường cao

AH Về phía ngoài tam giác vẽ hai hình vuông ABDE, ACF G

1 Chứng minh rằng tập hợp 6 điểm B, C, F, G, E, D có một trục đốixứng

2.Gọi K là trung điểm củaEG Chứng minh K ở trên đường thẳng AH

3 Gọi P là giao điểm của DE và F G Chứng minh P ở trên đườngthẳng AH

Lời giải 1 Do \BAD = 450 và \CAF = 450 nên ba điểm D, A, F thẳnghàng

2 Qua phép đối xứng trục nói trên ta có4ABC = 4AEG nên \BCA =

\

AEG nhưng \BCA =Ac1 (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

mà \AGE = Ac2 (do tam giác KAG cân tại K) suy ra cA1 = Ac2 Suy ra

3 Tứ giác AF P G là một hình chữ nhật nên A, K, P thẳng hàng (hơnthế nữa K là trung điểm của AP) Vậy P ở trên đường thẳng AH

ba đường cao của tam giác ấy nên chúng đồng quy

Bài toán 21 Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ, ta có bất đẳngthức sau: ha ≤ pp(p − a), ở đây ha là chiều cao kẻ từ A, p là nửa chu vi,

Theo định lý pitago ta có CB0 = √

a+ a2 (2).Thay (2) vào (1) ta có b + c ≥ pa2 + 4h2

a ⇔(b + c + a)(b + c − a) ≥ 4h2a ⇔ (2p)2(p − a) ≥ 4h2

a ⇔ ha ≤pp(p − a).Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C, A, B’ thẳng hàng tức là tam giácABC cân tại đỉnh A

Bài toán 22 Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến AF và CE.Giả sử \BAF = BCE = 30\ 0 Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Lời giải Do \BAF =BCE = 30\ 0 nên tứ giác AECF là tứ giác nội tiếp.Gọi Ω là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ấy và O là tâm của Ω Xét phépđối xứng tâm ĐE ta cóA 7→ B Vậy giả sử Ω 7→ Ω1 doA ∈ Ω, nênB ∈ Ω1

Ta lại có phép đối xứng tâm F biến C thành B

Giả sử ĐE(Ω) = Ω2 thì do C ∈ Ω, và B ∈ Ω2 Như thế B nằm trên giaocủa hai đường tròn Ω1 và Ω2

Hình 1.25:

Do E, F đều nằm trên đường tròn Ω với tâm O ⇒ OE = OF

Ta lại có \EOF = 2\EAF = 600 ⇒ EOF là tam giác đều

GọiO1, O2 tương ứng là tâm củaΩ1, Ω2 thì ĐE(O) = O1và ĐF(O) = O2

suy ra OO1O2 là tam giác đều với cạnh bằng 2R, ở đây R là bán kính củacác đường tròn Ω, Ω1, Ω2

Vì B ∈ Ω1 ( với tâm O1) ⇒ O1B = R