Toan THCS ha thi tra THCS nguyet an ngoc lac 2016 (1) (1)(1)

Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toángiải và biện luận phương trình, bất phương trình,...và được sử dụng nhiều trongquá trình ôn thi học sinh giỏi, các kì

PHẦN I MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.

Môn Toán luôn luôn là một môn quan trọng bậc nhất ở tất cả các cấp học,

và ở bậc THCS, nó lại càng đóng vai trò lớn hơn nữa Toán cấp hai tạo nề móng

cơ bản cho đại số, hình học, hơn thế nữa nó còn là một môn phụ trợ cho vật Lý,Hóa Học

Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toángiải và biện luận phương trình, bất phương trình, và được sử dụng nhiều trongquá trình ôn thi học sinh giỏi, các kì thi vào lớp 10

Trong chương trình toán lớp 9, học sinh đã làm quen với phương trình bậcbốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương, phương trình tích, phươngtrình chứa ẩn ở mẫu thức Qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết mộtcách dễ dàng Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn phức tạp hơn và cácphương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu nhưkhông giải được

Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinhphair biếtvận dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kĩ năng biến đổi

từ dạng phức tạp sang dạng đơn giản một cách linh hoạt

Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy logic,khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thànhnhân tử, các hằng đẳng thức đáng nhớ,

2 Mục đích nghiên cứu.

Thông qua đề tài này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phươngpháp giải phương trình bậc bốn Từ đó nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nângcao chất lượng học tập môn toán trong trường THCS, đặc biệt đạt kết quả caotrong các cuộc thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10

3 Đối tượng nghiên cứu, áp dụng.

Đối tượng là học sinh lớp 9 học tại trường THCS Nguyệt Ấn Ngọc LặcThanh Hóa

4 Phương pháp nghiên cứu.

- Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi họcsinh lớp 9 vào lớp 10, bản thân tôi đã tìm hiểu và tích lũy được

- Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi, thi vào lớp 10hàng năm để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh

- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THCS Nguyệt

Ấn tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy mônToán lớp 9 tôi thấy SGK lớp 9 đưa ra phần “ phương trình quy về phương trìnhbậc hai” có 3 dạng :

Xuất phát từ vấn đề trên, qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việcbồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi ở khối 9 Tôi nhận thấy rằng giải mộtphương trình bậc 4 là tương đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữacác phương pháp giải phương trình đó không hề có trong chương trình toánTHCS do đó đã gây khó khăn không nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phảidạng toán này Học sinh không có một phương pháp cụ thế nào mà chỉ biết mòmẫm một cách vô hướng

Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc bốn không những rènluyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng cácmôn học khác ở trường THCS Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế,còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo…

Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức và thu thập qua tài liêu, sách báo tôi xinđưa ra một số phương pháp mà tôi cho là phù hợp với học sinh THCS để giảicác dạng phương trình bậc bốn

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2015 -2016 ngay từ đầu năm học tôi được nhà trường phân cônggiảng dạy bộ môn toán lớp 9 Sau khi học sinh học xong nội dung bài “Phươngtrình quy về phương trình bậc hai ” tôi có lồng ghép vào tiết luyện tập đưa thêm

các dạng phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt dạy cho các em, sau đó tôi đãcho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài 15 phút với mục tiêu: Kiểmtra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng kiến thức vào làm bài tập

2.2 Kết quả của thực trạng trên:

VD 1 : Gải phương trình: x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0 (1)

x = 0 không phải là nghiệm của pt (1)

Chia hai vế của phương trình (1) cho x2 thì (1) trở thành :

x2 - 2x - 1 - 2x + 12

x = 0  (x2 + 12

x ) - 2(x - 1x ) - 1 = 0 (HS không đổi dấu khi cho hạng tử vào ngoặcđằng trước dấu ngoặc có dấu trừ ( - ) dẫn đến khi giải bài toán ra đáp số sai

HS áp đặt cho mỗi thừa số ở vế trái bằng mỗi thừa số bên vế phải.

VD 4 : Giải phương trình: x4 = x2 - 2x + 1

x4 = (x - 1)2  x2 = x - 1  x2 - x + 1 = 0  Phương trình vô nghiệm

HS giải thiếu trường hợp: x2 = - x + 1  x2 + x - 1 = 0

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Giải phương trình đa thức bậc cao là một vấn đề phức tạp và khó khăn.người ta đã chứng minh được rằng không thể giải bằng căn thức các phươngtrình bậc cao hơn bốn, dưới dạng tổng quát Trong đề tài này ta chỉ xét một sốphương trình bậc bốn có dạng đặc biệt Tùy theo dạng đặc biệt mà mỗi phươngtrình có một cách đặt ẩn phụ riêng

Qua quá trình nghiên cứu tôi thấy có 6 dạng phương trình bậc bốn códạng đặc biệt:

- Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1) Chia hai vế của phương trình (1)cho x2 và nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhómđược phương trình (2).

- Đặt ẩn phụ x + 1x = y (3)  x2 + 2

1

x = y2 - 2 rồi thế vào phương trình (2)

- Giải phương trình trung gian này để tìm y

- Thế giá trị của y vào (3) để tìm x

+ Về nghiệm số của phương trình :

- Nếu x0 là một nghiệm của phương trình (1) thì

- Thế các giá trị của y vào (3) : x + 1x = 25  2x2 + 5x + 2 = 0 cónghiệm x1 = 21 ; x2 = - 2

x + 1x = 265  5x2 - 26x + 5 = 0 có nghiệm x3 = 51 ; x4 = 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  21 ; - 2 ; 51 ; 5

Lưu ý : các nghiệm 21 và - 2 nghịch đảo nhau; 15 và 5 nghịch đảo nhau

* Bài tập áp dụng

1 Giải phương trình : 2x 4 - 13x 3 + 24x 2 -13x + 2 = 0 (1)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế của (1) cho x2 0 ta được :

(1)  2x2 -13x + 24x - 13x + 2

2

x = 02( x2 + 12





x + 1x = 25  x2 - 4x + 1 = 0



; x4 = 54 3 21.Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  12 + 3; 12 - 3;2 ;

2

1



2 Giải phương trình : x 4 - 10x 3 + 11x 2 - 10x + 1 = 0 (1)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Chia 2 vế của (1) cho x2 0 ta được :

(1)  x2 - 10x + 11 - 10x + 2

1

x = 0 (2)Đặt x +

 , phương trình (1) là phương trình hồi quy.

- x = 0 không phải là nghiệm của (1)

- Chia cả 2 vế của (1) cho x2 được x2 - 4x - 9 + 8x + 2

- Thế vào (2) đươc y2 - 4y - 5 = 0, có nghiệm y1 = - 1; y2 = 5

- Thế giá trị của y vào (3)

; 2

33 5

; 2

; 1

* Bài tập áp dụng:

1 Giải phương trình : x 4 + 5x 3 + 10x 2 +15x + 9 = 0 (1)

Phương trình đã cho là phương trình hồi quy vì : ) 2

5

15 ( 1

x = 0 không phải là nghiệm của (1)

Phương trình đã cho là phương trình hồi quy vì ) 2

5

20 ( 1

x ) + 5(x -

x

4

) - 14 = 0 (2) Đặt x - 4x = y thay vào (2) ta được : y2 + 5y - 6 = 0

x = 0 không phải là nghiệm của (1)

Đây là phương trình hồi quy vì : 14 = (36 )2

Chia 2 vế của pt (1) cho x2  0, ta được :

x2 + 3x - 14 - 6x + 2

4

x = 0 (x2 + 2

4

x ) + 3(x - x2 ) - 14 = 0 (2) Đặt x - 2x = y  x2 + x2

y

= y2 + 4 (2)  y2 + 3y - 10 = 0

 = 9 + 40 = 49   = 7  y1 =  3 2 7 = 2 ; y2 =  3 2 7 = - 5

- Khai triển các tích và đặt ẩn phụ y là một trong hai biểu thức vừa khai triển.

- Thế ẩn phụ vào phương trình (2), rồi giải phương trình, tìm giá trị của y

- Thế giá trị của y vào biểu thức của ẩn phụ để tìm x

Phương pháp giải:

* Cách 1:

(x + a)(x + d)(x + b)(x + c) = mx2

(x2 + ax + dx +ad)(x2 + bx + cx + bc) = mx2 (2)

Đặt x2 + (a +d)x ad = y (3) thay vào (2) tìm y ròi thay vào (3) tìm x

* Cách 2: Chia (2) cho x2  0 được :

(x - a - d + ad x )(x - b - c - bc x ) = m (3)

Đặt ẩn phụ là trung bình cộng của hai biểu thức trong ngoặc tức là đặt

x - ab2cd + ad x = y (4) thay vào (3) tìm được y thay vào (4) tìm x.

Cách 1: Đặt x2 - 14x + 40 = y rồi giải tương tự như VD trên , được S = {2; 20}

Cách 2: Chia hai vế của (2) cho x2  0 được :

x 14 40 13 40 = 72 (3)

- Đặt ẩn phụ là trung bình cộng của hai biểu thức trong ngoặc tức là đặt: x - 272+ 40x = y (4) thì phương trình (3) trở thành (y - 21 )(y + 21 ) = 72 có nghiệm y1

= 8,5 ; y2 = - 8,5

- Thế y = - 8,5 vào (4) và thu gọn được phương trình x2 - 5x + 40 = 0, vô nghiệm

- Thế y = 8,5 vào (4) và thu gọn được phương trình x2 - 22x + 40 = 0 có nghiệm

 y2 - 332 = - 1080

* Phương pháp giải : Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ là trung

- Đặt x2 - x = y thì (1) trở thành : 4(y + 1)3 = 27y2  4y3 - 15y2 + 12y + 4 = 0

 4y3 - 16y2 +16y + y2 - 4y + 4 = 0  4y(y2 - 4y + 4) + y2 - 4y + 4 = 0







; (9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 24

- Đặt x + 9 = y thì (2) trở thành : 9(y - 4)(y - 3)(y - 2) = 24(y - 9)

 9y3 - 81y2 + 210y = 0  3y3 - 27y2 + 70y = 0

x 2 = - 6  x1 = - 3 2

x 2 = 2  x2 = 2

Tập nghiệm của pt là S =  2 ; - 3 2 

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nhiệp nhà trường:

Để đạt kết quả tốt trong quá trình dạy học mỗi giáo viên cần phải nhậnthấy vai trò của mình trong công tác giáo dục, cần phải luôn đổi mới phươngpháp dạy học, không ngừng bồi dưỡng và tự bồi dưỡng nâng cao trình độchuyên môn, năng lực nghiệp vụ sư phạm học hỏi kinh nghiệm tìm ra nhữngphương pháp dạy học tiên tiến những cách giải hay phù hợp với từng dạng bàitoán hoá học phù hợp với đối tượng học sinh, khắc phục những khó khăn vànhững điều kiện khách quan đem lại

Sáng kiến kinh nghiệm này được viết từ sự đúc kết trong quá trình dạyhọc tại trường THCS, từ đó tìm ra cho bản thân những cách giải hay nhanh gọn

và truyền đạt cho học sinh

Sau khi thực hiện kiểm nghiệm giảng dạy phần “giải phương trình bậc

bốn” theo nội dung của đề tài này tôi thấy sự say mê học toán nói chung và sự

say mê giải toán phương trình bậc bốn của học sinh nhất là học sinh lớp 9 nóiriêng tăng lên rõ rệt

Kết quả như sau (Có bảng phụ lục 1 kèm theo).

tích cực và thích học toán hơn, các em đã biết giải phương trình bậc bốn thànhthạo hơn.

PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

- Hầu hết học sinh đã nắm được cách trình bày, một số ít còn tỏ ra lúngtúng và một số em vẫn còn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản (nhất lànhững bài dễ)

- Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng đểrồi nhận được dạng phương trình Cần rèn luyện về cách trình bày của học sinh

- Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đinào đó để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được

- Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy

- Hệ thống các phương pháp cơ bản để dạy các loại toán đó

- Khái quát quá, tổng quát quá, từng dạng, từng loại bài tập

- Tìm tòi khai thác sâu kiến thức Sưu tầm sắp xếp thành từng loại để khidạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán

Trên đây là một số kiến thức, phương pháp mà tôi đã tóm tắt, rút ra đượcnhững kinh nghiệm nhằm để khắc sâu kiến thức cho học sinh, và cũng để nhânrộng ra bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi; các em học sinh chuẩn bị thi vào lớp10; các bài tập thuộc dạng nâng cao cho những năm sau này Trong quá trìnhthực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học Tôi rất mongđược sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới được tốthơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục

2 Kiến nghị:

Qua đây tôi hi vọng rằng mỗi giáo viên hãy là một tấm gương sáng, mộtngười thầy mẫu mực luôn chăm lo cho thế hệ trẻ và đặc biệt là công tác bồidưỡng thế hệ trẻ góp phần cùng cả nước xây đất nước ngày một to đẹp hơn nhưlời Bác Hồ đã dạy, và mong muốn đề tài này sẽ được áp dụng một cách rộnggiải cho các em học sinh THCS ở các trường học để các em ngày một yêu thíchmôn học hơn và có được một kết quả tốt trong học tập và thi cử Với thời giantìm hiểu và nghiên cứu còn hạn chế do đó không tránh khỏi những khiếm khuyết

vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn bè và đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn./

CAM KẾT KHÔNG COPPY

Người thực hiện

Hà Thị Trà

* Tài liệu tham khảo

- Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hữu Bình

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 - Bùi Văn Thuyên

- Sưu tầm chuyên đề giải phương trình bậc bốn trên mạng và của các huyện

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp nhà trường

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 9

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Người thực hiện: Hà Thị Trà Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyệt Ấn SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán