Rèn luyện tư duy thông qua giải một số bài toán hình học bằng nhiều cách cho học sinh lớp 8 trường THCS Nga Điền

Trong quá trình công tác bản thân tôi không ngừng học tập nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua quá trình tập huấn, được sự cộng tác của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu quả.

Mục lục

1 Mở đầu:

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm trang 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trang 4

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để

giải quyết vấn đề

trang 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

trang 17

3 Kết luận, kiến nghị

Phụ lục

1

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, trong đó có đổi mới dạy học môn toán Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn vậy GV cần chỉ cho HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đoán Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập

Là một giáo viên toán trong quá trình tự học bồi dưỡng thường xuyên về đổi mới phương pháp dạy học hiện nay bản thân cũng nhận thấy được yêu cầu trên là rất phù hợp và thiết thực Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các kiến thức đã học trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình phương pháp giải quyết vấn đề trong bài Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi

xử lý một tình huống

Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều thiếu sót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại số Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …

Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải toán Hầu hết GV chưa cho HS làm toán mà chủ yếu giải toán cho học

2

sinh, chú ý đến số lượng hơn là chất lượng Trong quá trình dạy học giải toán

GV ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận Thông thường GV thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến

đó, không những vậy mà nhiều GV coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động GV chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ sung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được

Trong quá trình công tác bản thân tôi không ngừng học tập nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình Qua quá trình tập huấn, được sự cộng tác của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu quả

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu Đề tài mang

tên: “Rèn luyện tư duy thông qua giải một số bài toán hình học bằng nhiều cách cho học sinh lớp 8 trường THCS Nga Điền”.Với mong muốn góp phần

nâng cao chất lượng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài bài tập của môn Hình lớp 8

Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm được những bài toán cơ bản Khi đi sâu tìm tòi những bài toán

cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách

kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng chính là học sinh lớp 8 trường THCS Nga Điền nhằm rèn luyện tư duy thông qua giải một số bài toán hình học bằng nhiều cách Khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn

3

1.4 phương phỏp nghiờn cứu:

Để hoàn thành đề tài tụi đó sử dụng kờ́t hợp nhiều phương pháp cụ thể là:

- Nghiên cứu kỹ chơng trình SGK, đọc thêm sách tham khảo (chơng trình cũ và mới)

- Điều tra tình hình học sinh khi làm các bài toán

- Dùng phơng pháp kiểm nghiệm thông qua việc ra đề kiểm tra

- Trao đổi với các đồng nghiệp, học hỏi kinh nghiệm

Ngoài ra tụi cũn sử dụng một sụ́ phương pháp khác

2 Nệ̃I DUNG CỦA SÁNG KIấ́N KINH NGHIậ́M 2.1 Cơ sở lớ luận của sỏng kiờ́n kinh nghiợ̀m:

Do tư duy là thuộc tớnh của tõm lớ, tư duy hỡnh thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trỡnh trưởng thành của con người Tư duy đặc biợ̀t phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiờ́u niờn Vỡ vậy giáo viờn cõ̀n phải quan tõm đờ́n phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tụ́t nhất Tất cả các mụn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng mụn toán cú vai trũ quan trọng hơn cả Giải bài tập toán là lỳc học sinh được thể hiợ̀n kĩ năng, tớnh sáng tạo, phát triển úc tư duy

Các bài tập Hỡnh trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho phõ̀n lớn các học sinh khá và trung bỡnh nhớ lõu, hiểu vấn đề đú mới là quan trọng Do đặc điểm của mụn Hỡnh khú, phải tư duy trừu tượng và kốm thờm viợ̀c

vẽ hỡnh phức tạp nờn GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hỡnh và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trờn những bài toán cơ bản

2.2 Thực trạng vấn đờ̀ trước khi ỏp dụng sỏng kiờ́n kinh nghiợ̀m

Qua quá trỡnh cụng tác giảng dạy, tụi thấy:

- Đa sụ́ HS, sau khi tỡm được một lời giải đỳng cho bài toán thỡ các em hài lũng

và dừng lại, mà khụng tỡm lời giải khác, khụng khai thác thờm bài toán, khụng sáng tạo gỡ thờm nờn khụng phát huy hờ́t tớnh tớch cực, độc lập, sáng tạo của bản thõn

- HS cũn học vẹt, làm viợ̀c rập khuụn, máy múc Từ đú dẫn đờ́n làm mất đi tớnh tớch cực, độc lập, sáng tạo của bản thõn

- HS yờ́u toán núi chung và yờ́u hỡnh học, đặc biợ̀t là yờ́u về giải bài toán cú vẽ thờm yờ́u tụ́ phụ núi riờng chủ yờ́u là do kiờ́n thức cũn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trỡnh học tập

- Khụng ớt HS thực sự chăm học nhưng chưa cú phương pháp học tập phự hợp, chưa tớch cực chủ động chiờ́m lĩnh kiờ́n thức nờn hiợ̀u quả học tập chưa cao

- Học khụng đi đụi với hành, làm cho bản thõn HS ớt được củng cụ́, khắc sõu kiờ́n thức, ớt được rốn luyợ̀n kĩ năng để làm nền tảng tiờ́p thu kiờ́n thức mới, do

đú năng lực cá nhõn khụng được phát huy hờ́t

- Một sụ́ GV chưa thực sự quan tõm đờ́n viợ̀c khai thác bài toán trong các tiờ́t dạy núi riờng cũng như trong cụng tác dạy học núi chung

- Viợ̀c chuyờn sõu một vấn đề nào đú, liờn hợ̀ được các bài toán với nhau, khai thác một bài toán sẽ giỳp cho HS khắc sõu được kiờ́n thức Quan trọng hơn là nõng cao được tư duy cho các em HS, giỳp HS cú hứng thỳ hơn khi học toán

4

 

B C

Trong quá trình dạy tôi đã khảo sát học sinh lớp 8A đầu năm và thu được

k t qu nh sau:ết quả như sau: ả như sau: ư sau:

Kếtquả

Lớp

Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng các hình thức như:

- Kiểm tra kết quả Xem xét lại các lập luận

- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho

để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không?

Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, tìm nhiều lời giải cho một số bài tập hình học lớp 8 Nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng Từ đó, giúp HS

tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp HS thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán

Bµi to¸n 1: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng

thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Tìm tòi:

Xét ABC có đường trung tuyến AM đồng thời

là đường phân giác (Hình 1)

Ta sẽ chứng minh ABC cân tại A, tức là:

ABC phải có : AB = AC hoặc

Như vậy, ta có hai hướng để chứng minh ABC cân

Lời giải:

- Hướng 1: ABC có AB = AC

+ Với kiến thức lớp 7, nếu sử dụng các trường hợp

bằng nhau của tam giác thì ta có các cách giải sau:

Cách 1:(Hình 2 )

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM=MD

Khi đó : ACM=DBM (c.g.c)

vì MB = MC(gt), CMA = DMB  ( đối đỉnh),

AM = MD(cách vẽ)

Từ đó, suy ra: AC=DB (1); CAM = BDM  (2)

5

A

M

A

C B

D M

Mà CAM = BAM  (gt) (3).

Từ (2) và (3) suy ra: BDM = BAM 

Do đó có BAD cân tại B suy ra: AB = DB (4)

Từ (1) và (4) suy ra: AB = AC

Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử : AB >AC(Hình 3) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM

cắt AB tại F, cắt AC tại E

Khi đó : AFM = AEM(g.c.g) vì CAM = BAM   ;

AM chung; FMA EMA 90   0.

Từ đó, suy ra: FM = CM (5)

Dễ thấy : BMF=CME(c.g.c) vì BM = CM(gt);

BMF CME  ; FM=EM (theo(5))

Do đó, suy ra: BFM CEM  , mà hai góc này là hai góc so le trong nên suy ra BF// CE Điều này mâu thuẫn với BF và EC cắt nhau tại A

Chứng tỏ điều giả sử là sai

Giả sử : AB <AC chứng minh tương tự, cũng dẫn đến mâu thuẫn Chứng

tỏ điều giả sử sai

Vậy AB=AC (đpcm)

Cách 3: Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử :AB >AC (Hình 4)

Trên cạnh AB lấy điểm H sao cho AH = AC

Khi đó : AHM = ACM(c.g.c) vì AM chung; HAM CAM  ; AH = AC(cách vẽ) suy ra: AHM ACM  (1); MH = MC (2);

Mà MB = MC(gt) (3)

Do đó, từ (2) và(3) suy ra: MB = MH

 BMH cân tại M

 MBH MHB  (4)

Từ (1) và (4) ta có :

B C MBH ACM MHB AHM 180      (Hai góc kề bù) Mâu thuẫn với ABC có: A B C 180 ;A 0    0   0.

Do vậy, điều giả sử sai

Giả sử: AB < AC chứng minh tương tự

cũng dẫn đến mâu thuẫn

Do đó AB=AC Vậy ABC cân tại A

Cách 4: (Hình 5)

Vẽ MI  AB, MK AC

Ta có: MI = MK ( tính chất tia phân giác của một góc)

6

F

E A

B

M

C

B

A

C M

H

A

M

Khi đó:  AMI = AMK (cạnh huyền – góc nhọn)

(do I = K = 90  0, IAM = KAM(gt)  , AM chung)

suy ra: AI = AK (1)

BMI = CMK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(do I = K = 90  0, MI = MK, MB = MC )

suy ra: BI = CK (2)

Từ (1) và (2) ta có : AI+BI=AK+CK hay AB = AC

Vậy ABC cân tại A

*Với kiến thức lớp 8, ta có các cách giải sau.

Cách 5: (Hình 6)

Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = AB (1)

Xét CBP có AP = AB, BM = MC (gt)

 AM là đường trung bình của CBP

do đó có AM //CP BAM APC  (hai góc đồng vị) (2)

CAM ACP  (hai góc so le trong)(3)

mà BAM CAM  (gt) (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra APC ACP  

 ACP cân tại A  AP =AC (5)

Từ (1) và (5) ta có : AB = AC hay ABC cân

Cách 6 : (Hình 7) Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử AB > AC

Trên cạnh AB lấy điểm Q sao cho AQ = AC

Gọi N là giao điểm của QC với AM

Ta có: AQN = ACN (c.g.c) vì

AQ=AC (cách dựng); QAN CAN (gt); AN chung

suy ra QN = CN mà BM = CM (gt)

 MN là đường trung bình của QCB  MN//BQ

Điều này mâu thuẫn với QB và MN cắt nhau tại A

Giả sử: AB < AC chứng minh tương tự

cũng dẫn đến mâu thuẫn

Vậy AB = AC hay ABC cân

Cách 7:(Hình 8)

Trên tia đối của tia AM lấy điểm O sao cho:

AM = OM

Xét tứ giác ABOC có

MB = MC (gt), MA = MO ( cách vẽ)

 ABOC là hình bình hành

mặt khác AO là đường phân giác của góc BAC

 ABOC là hình thoi

 AB = AC  ABC cân

Cách 8:(Hình 5) (Phương pháp diện tích )

Từ hình 5, ta có ABM và ACM có chung

7

A

P

M

N A

C

B

M Q

A

C B

O M

A

M

1 2

CD = CK

đường cao hạ từ đỉnh A và có hai cạnh

đáy BM, CM bằng nhau, nên SABM = SACM (1)

mà SABM =

2

1

AB.MI ; SACM=

2

1 AC.MK (12)

Từ (1) và (2) suy ra

2

1 AB.MI =

2

1 AC.MK hay AB.MI = AC.MK (3)

Mặt khác MI = MK(tính chất tia phân giác của một góc )

Do đó từ (3) suy ra AB = AC hay ABC cân

Cách 9: (Hình 1)

(Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác)

Vì AM là đường phân giác của tam giác ABC nên có:

AC

AB

MC

MB



Mặt khác AM là đường trung tuyến của ABC

nên MB = MC  1

MC MB

từ đó có 1

AC

AB

 AB = AC hay ABC cân

- Hướng 2: ABC có B C  .

Cách 10:(hình 5)

Vẽ MI  AB, MK AC

Ta có: MI = MK ( tính chất tia phân giác của một góc)

Khi đó :

 AMI =  AMK (cạnh huyền – góc nhọn)

(do MI = MK, IAM = KAM , AM chung) 

suy ra: AI=AK

 BMI = CMK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(do MI = MK ,BIM = CKM = 90 MB = MC( gt))   0

suy ra AI + IB = AK + KC

hay AB = AC hay ABC cân

Nhận xét : Qua bài toán này chúng ta thấy nếu khéo léo trong việc vẽ thêm hình

phụ và vận dụng kiến thức hợp lí ta có thể tìm được nhiều lời giải cho một bài toán.

B

à i t o á n 2 : Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CD Trên tia đối

của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BA Chứng minh rằng

Tìm tòi:

Từ yêu cầu của bài toán là chứng minh giúp điều đó giúp học sinh nghĩ ngay đến kiến thức về đường trung bình của tam giác Với hình vẽ như bài ra đã cho thì chứng minh không phải là điều dễ dàng Tuy thế nếu ta

8

A

M

A

M

1 2

CD = CK;

1 2

CD = CK

1 (2) 2

1 2

CD CK 

không chứng minh CD là đường trung bình của tam giác nào đó chứa cạnh CK thì ta thử chứng minh độ dài đoạn thẳng CD bằng nửa độ dài một cạnh nào đó

mà cạnh ấy lại bằng CK hoặc CD bằng độ dài một cạnh nào đó mà cạnh này lại bằng nửa độ dài đoạn thẳng CK Với suy nghĩ như trên chúng ta có thể đi vào giải bài toán trên bằng một số cách sau:

Lời giải:

Với việc vận dụng kiến thức trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau, ta có thể tạo ra đường trung tuyến BE Dễ dàng chứng minh được BE là đường trung bình của tam giác ACK

Cá ch 1 : (Hình 1)

Gọi E là trung điểm của AC

Có BE là đường trung bình của  AKC

Xét  BDC và  CEB có:

BD = CE (vì mà AB = AC);

Cạnh BC chung

DBC = ECB (vì  ABC cân tại A);

Vậy  BDC =  CEB (c.g.c);

Suy ra CD = BE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta có thể tạo ra các tam giác bằng nhau,

như cách giải sau đây

C

á ch 2 : (Hình 2)

Gọi H là trung điểm của KC

Ta có BH là đường trung bình của  AKC

Xét  BDC và  BHC có:

BD = BH (vì mà AB = AC)

HBC DBC (vì DBC ACB  mà

ACB HBC ( so le trong do BH//AC) )

BC cạnh chung

Vậy  BDC =  BHC (c.g.c)

Suy ra CH = DC (hai cạnh tương ứng)(1)

Mà H là trung điểm của KC nên

Từ (1) và (2) suy ra:

Chúng ta cũng có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng CK và việc chứng minh CD bằng nửa đoạn thẳng đó tương đối dễ dàng:

C

á ch 3 : (hình 3)

Trên tia đối của tia CA lấy điểm M

sao cho CA = CM

9

H 1

B

C A

K

H 2

K

A

C B

D

H

H 3

A

K

D

1 2

BE = KC (1)



1

BH AC

2

BD = AB,CE = AC;

1 2

1

(2) 2

QP CK 1

2

 CD là đường trung bình của  ABM

2

DC BM (1)

Xét  KBC và  MCB có

BC cạnh chung; KBC M CB  (vì cùng bù với ABC  )

KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC);

  KBC =  MCB (c.g.c)

 KC = MB (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

C

á ch 4 : (hình 4)

Trên tia đối của tia CB lấy điểm N

sao cho CB = CN

Ta có: DC là đường trung bình của ABN

2

CD AN (1)

Có KBC 180  0  ABC ,A CN 1 80 A CB  0  

mà A BC A CB   KBC ACN 

Xét  KBC và  ACN có

BC = CN;KBC ACN  (c/m trên)

KB = AC (cùng bằng AB)

 KBC =  ACN (c.g.c)

 CK = AN (hai cạnh tương ứng)(2);

Từ (1) và (2) suy ra:

C

á ch 5 : (hình 5)

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BC và BK

Có DP là đường trung bình của  ABC

DP // AC  DPB ACP  (Hai góc đồng vị)

Theo giả thiết ABC ACB  (  ABC cân tại A);

DPB DBP

Mà QBP 180 DBP;DPC 180 DPB  0     0  

 QBP DPC 

Xét  QBP và  DPC có:

QB = DP;QBP DPC  (chứng minh trên);

BP = CP (cùng bằng

 QBP =  DPC (c.g.c) DC = QP(1)

Mặt khác QP là đường trung bình của  KBC nên

Từ (1) và (2) suy ra:

C

á ch 6 : (Hình 6)

10

H 4

K

A

C

B

N D

H 5

B

C A

K

D

P

Q

H 6

B

C A

K

D

O

E

1 2

CD CK.

1

2BC)