Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi ở THPT

Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là trang bị những kiếnthức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ đó phát triển năng lực tư duy sángtạo, năng lực tự học Toán, năng lực tính toán...Qua đó hình t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Hà Nội - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI

Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơnđến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội cùngcác thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu.

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH NguyễnVăn Mậu – người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trongquá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáotrường THPT chuyên Bắc Giang, trường THPT Yên Dũng số 2, gia đình vàbạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc không thể tránhkhỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thành Trung

Mở đầu 1

1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung

học phổ thông 4

1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi 4

1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT không chuyên 5

1.2 Tư duy và vai trò của tư duy 5

1.2.1 Khái niệm về tư duy 6

1.2.2 Các bước hoạt động của quá trình tư duy 7

1.2.3 Vai trò của tư duy 7

1.3 Sáng tạo 8

1.4 Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo 8 1.4.1 Các quan điểm về tư duy sáng tạo 8

1.4.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 9

1.4.3 Một số biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học môn Toán 13

1.5 Thực trạng việc dạy và học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở một số trường trung học phổ thông 19

1.6 Kết luận chương 1 22

2 Dạy học đa thức bậc bốn và một số dạng toán liên quan 23 2.1 Các hệ thức lượng giác liên quan đến công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn 23

2.1.1 Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn 23

góc nhân ba, nhân bốn 25

2.2 Phương pháp giải phương trình đa thức bậc bốn 27

2.2.1 Phương trình đa thức bậc bốn có hai nghiệm “đẹp” 28

2.2.2 Phương trình đa thức bậc bốn chỉ có một nghiệm “đẹp” 28 2.2.3 Một số phương trình đa thức bậc bốn có dạng đặc biệt 33 2.2.4 Phương trình đa thức bậc bốn không có nghiệm “đẹp” và không có dạng đặc biệt 37

2.3 Một số bài toán liên quan đến đa thức bậc bốn 43

2.3.1 Phương pháp giải hệ bậc hai tổng quát 43

2.3.2 Một số bài toán liên quan đến định lý Viet của phương trình bậc bốn 48

2.3.3 Đa thức bậc bốn với các yếu tố cạnh trong tứ giác 64

2.3.4 Một số bất đẳng thức và cực trị theo đa thức đối xứng bốn biến 78

2.4 Kết luận chương 2 91

3 Thực nghiệm sư phạm 92 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 92

3.2 Phương pháp thức nghiệm 92

3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 93

3.4 Giáo án thực nghiệm và đề kiểm tra 94

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm 102

3.6 Kết luận chương 3 106

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong các môn học luôn được ưu tiên và chú trọng pháttriển hàng đầu trong mỗi nền giáo dục Bởi ngoài những ứng dụng thiết thựctrong cuộc sống hay khi mang vai trò là công cụ không thể thiếu cho nhiềumôn học khác thì Toán học còn là môn học giúp rèn khả năng tư duy chohọc sinh Trong Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá

XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tào đã nêu rõ “Đối vớigiáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩmchất năng lực công dân, phát huy và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghềnghiệp cho học sinh Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khíchhọc tập suốt đời” Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là trang bị những kiếnthức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ đó phát triển năng lực tư duy sángtạo, năng lực tự học Toán, năng lực tính toán Qua đó hình thành và pháttriển phẩm chất con người mới đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội.Đặc biệt đối với một số học sinh có tố chất về môn Toán, các trường tập hợpquan tâm, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước chuẩn bị cho việc đào tạo nhântài nhằm học tập, tiếp cận, sáng tạo những công nghệ mới, tiên tiến có giátrị cao trên thế giới Những học sinh giỏi này là đầu tàu phát triển đất nướctrong tương lai

Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực không thể thiếu

đó là năng lực sáng tạo Khi đó cần phải có phương pháp dạy học phù hợp đểkhơi gợi và phát huy năng lực người học Cũng trong Hội nghị Trung ươnglần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương tiếp tục khẳng định “Cần tiếp tục đổimới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tíchcực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắcphục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách

học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật vàđổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trênlớp sang hình thức tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội,ngoại khoá, nghiên cứu khoa học" Chính vì vậy, nhiệm vụ của người dạy là

mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng và định hướng phát triển đạođức cho học sinh, chứ không phải làm đầy trí tuệ cho học sinh bằng cáchtruyền thụ tri thức đã có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi người dạy phải vậndụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợp với các phương pháp dạyhọc truyền thống để định hướng cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo,giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hình thực tế cuộc sống.Các bài toán về đa thức bậc bốn và các vấn đề liên quan đến nó là mộtnội dung cần được khai thác và mở rộng hơn nữa trong việc bồi dưỡng họcsinh giỏi ở cấp THPT Với mục đích giúp học sinh nắm vững được các kiếnthức cơ bản về đa thức; định hướng tư duy trong việc tiếp cận và giải quyếtmột số bài toán liên quan đến nó đồng thời cũng thông qua việc học chủ đềnày giúp người học hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ranhững bài toán mới

Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đềtài “Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá,giỏi ở trung học phổ thông” làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh định hướng tư duy trong việc tiếp cận và giải quyết một

số bài toán về đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan Từ đó hình thànhnăng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo ra các bài toán mới

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu những vấn đề về đến đa thức bậc bốn và các dạng toán liênquan; thực trạng cũng như những khó khăn của giáo viên và học sinh khidạy học chủ đề này

- Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặcbiệt là tư duy sáng tạo Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo củahọc sinh THPT, đặc biệt là học sinh của các trường THPT không chuyên;

sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giảiquyết vấn đề và sáng tạo các bài toán mới

- Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đềtài.

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Giáo viên và học sinh trung học phổ thông

- Đối tượng nghiên cứu: Đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ởtrung học phổ thông

5 Phạm vi nghiên cứu

Đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở bậc trung học phổ thôngtrong trường trung học phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về giáo dụchọc môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán Các sách báo, các bàiviết về khoa học toán phục vụ cho đề tài Các công trình nghiên cứu có cácvấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành thực nghiệm sư phạmvới lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

7 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các bài toán về chủ đề đa thức bậc bốn và các dạngtoán liên quan giúp hình thành năng lực tư duy sáng tạo, khả năng tự học,

tự nghiên cứu của học sinh Từ đó hình thành năng lực giải giải quyết vấn

đề và sáng tạo các bài toán mới

8 Đóng góp của đề tài

Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên

và các lớp chọn trong các trường THPT không chuyên

9 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phân nội dung và phầnkết luận

Nội dung của luận văn gồm ba chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

ở trường trung học phổ thông

Thực tế lịch sử phát triển của xã hội loài người nói chung và lịch sử dântộc Việt Nam nói riêng đã khẳng định được vai trò của người tài Họ chính

là lực lượng khởi đầu cho sự nghiệp phát triển kinh tế xã hội, đem đến chomỗi quốc gia nền văn minh và những tiến bộ không ngừng của khoa học, kĩthuật Ngày nay, trong thời kì công nghiệp hoá – hiện đại hoá đất nước, nhất

là trong nền kinh tế tri thức, vai trò của người tài càng tăng lên gấp bội.Chính vì thế, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhântài cho đất nước và là nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục

1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi

Học sinh giỏi là những học sinh có năng khiếu, tài năng, năng lực tốt ởmột hay nhiều môn học hay lĩnh vực nào đó, ngoài ra học sinh giỏi cần có

sự sáng tạo, phải thể hiện được động cơ học tập mãnh liệt và đạt được trình

độ xuất sắc trong học tập và nghiên cứu khoa học

Bồi dưỡng học sinh giỏi chính là hoạt động nhằm nâng cao trình độ,kiến thức, kỹ năng cho học sinh một cách có hệ thống trong một số môn họcnhất định để phục vụ cho việc học tập ở mức cao hơn và phát huy được hếtnăng lực của học sinh trong lĩnh vực đó

Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra môi trường và những điều kiện thíchhợp cho người học có thể phát huy hết năng lực của mình, cùng với việc tiếpnhận một cách thông minh, hiệu quả Với vai trò quan trọng hàng đầu của

người thầy mà cốt lõi phải giúp được cho người học về phương pháp học,cách nghiên cứu, tư duy, biết tự đánh giá, đồng thời biết sử dụng các phươngtiện hiện đại để tìm kiếm, thu thập, xử lý thông tin nhằm mục đích tự học

từ các nguyên nhân chủ yếu sau:

- Do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, các tài liệu docác giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện giáo viêndạy phải đảm bảo các yêu cầu khác nên còn thiếu tính hệ thống, tính liênthông trong chương trình

- Quy chế ưu tiên cho học sinh giỏi nói chung chưa có Do đó, học sinhchưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian công sức cho các môn mình có thếmạnh mà đầu tư cho khối thi đại học

- Phần nhiều kiến thức còn xa lạ, nhiều kiến thức không có trong chươngtrình sách giáo khoa, đặc biệt là các môn thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên

Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn

1.2 Tư duy và vai trò của tư duy

Trong quá trình dạy học nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêngthì một nội dung quan trọng bậc nhất đó là hình thành và phát triển nănglực tư duy sáng tạo cho học sinh Chính vì vậy luận văn “Dạy học đa thứcbậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá giỏi ở THPT” chủ yếu

đi sâu vào phân tích định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏitrong việc tiếp cận và giải quyết các bài toán

1.2.1 Khái niệm về tư duy

Theo từ điển tiếng Việt (1988), tư duy là: “Giai đoạn cao nhất của quátrình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sựvật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy lý”

Theo tâm lý học đại cương – Nguyễn Quang Uẩn, tư duy là: “Một quátrình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệbên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan

mà trước đó ta chưa biết”

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giớikhách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trongquá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánhthực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tưduy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động

và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duycủa con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và nhữngkết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy làquá trình trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp Kết quả của quá trình tưduy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não người và là một quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thểhiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượngđược phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động củacon người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.2.2 Các bước hoạt động của quá trình tư duy

Tư duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơ bản Cụthể như sau:

- Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy(tức là tìm được câu hỏi cần giải đáp)

- Bước 2: Huy động trí tuệ, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giảthuyết và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn Nếu giả thiết đúng thìthực hiện tiếp bước sau, nếu giả thiết sai thì phủ định nó và hình thành giảthiết mới

- Bước 4: Quyết định, đánh giá kết quả, đưa vào sử dụng

Tư duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việctạo ra các liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ được chọn lọc và kích thíchchúng hoạt động để thực hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, địnhhướng cho hành vi phù hợp với môi trường sống Tư duy là sự hoạt động, là

sự vận động của vật chất Tư duy cũng không phải là ý thức bởi ý thức làkết quả của quá trình vận động của vật chất

Cách nhìn nhận trên đây có thể còn chưa trọn vẹn nhưng đã hàm chứađược hai vai trò quan trọng của tư duy và một yêu cầu không thể thiếu trongquá trình tư duy là sự ghi nhớ

Sự ghi nhớ này là kinh nghiệm, là tri thức Tư duy trong ghi nhớ là trả

về cho đối tượng trong sự ghi nhớ các thành phần đúng của nó, bổ sung cácthành phần còn thiếu, phân biệt nó với các đối tượng ghi nhớ khác, tìm ramối liên hệ và ảnh hưởng qua lại của đối tượng với các sự vật, sự việc, đốitượng khác Đây là quá trình nhận thức lý tính, nhận thức bằng tư duy Nóphân biệt với nhận thức cảm tính là nhận thức không có tư duy Nhận thức

lý tính giúp cho sự hiểu biết và ghi nhớ về đối tượng nhiều hơn những cái

mà đối tượng cung cấp cho sự ghi nhớ của hệ thần kinh, đối tượng được hiểusâu hơn, được xem xét, đánh giá toàn diện hơn và kỹ càng hơn, được nhậnthức đúng đắn hơn Tư duy bổ sung những cái còn thiếu trong quá trình hệ

thần kinh ghi nhớ về đối tượng Sau khi giúp hệ thần kinh nhận thức đúng

về đối tượng, tư duy tiếp tục giúp hệ thần kinh định hướng điều chỉnh hành

vi đáp ứng sự tác động của đối tượng nếu cần thiết hoặc có yêu cầu

1.3 Sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng việt, sáng tạo là: “Tìm ra cái mới,cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nộidung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và

có lợi ích (giá trị hơn cái cũ)”

Theo bách khoa toàn thư, sáng tạo là: “Hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xãhội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động

có tính đặc trưng là không lặp lại, độc đáo và duy nhất”

Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loàingười Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là mộtquá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như

là một năng lực của con người

1.4 Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển

tư duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm về tư duy sáng tạo

Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán

là những điều cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về nhữngmặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõnét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo

ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độclập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao” Vàtheo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụthuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt ra mục

đích vừa trong việc tìm ra giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đềumang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”.

Trong cuốn: “Sáng tạo Toán học” G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là

có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Cóthể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải cácbài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có sốlượng ngày càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của

tư duy càng cao, thí dụ: lúc cố gắng của người giải vạch ra được các phươngthức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thểsáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy khônggiải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ hiệu quả”.The định nghĩa thông thường và phổ biến nhất hiện nay của tư duysáng tạo thì đó là sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đếnnhững tri thức mới về thế giới và các phương tiện hoạt động I.Lecne đã chỉ

ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sángtạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhình thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìmhiểu lời giải (khả năng xem đối tượng ở những phương thức đã biết thànhmột phương thức mới)

- Kỹ năng kết hợp những phương thức giải đã biết thành một phươngthức mới

- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưngphương thức khác (I.Lecne – Dạy học nêu vấn đề - NXBGD – 1977) Nóichung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra những ý tưởngmới độc đáo và có hiệu quả trong giải quyết vấn đề

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, các nhà khoahọc giáo dục về cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có thể thấy được năm

tố trên thì 3 yếu tố đầu (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là

ba yếu tố đạt sự nhất trí cao trong hầu hết các công trình nghiên cứu về cấutrúc của tư duy sáng tạo Do đó tác giả cũng xin được đề cập đến ba yếu tố

đó của tư duy sáng tạo

a Tính mềm dẻo

Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, chuyển

từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vậthiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong nhữngmối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật

và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách

dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Tínhmềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,vận dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượnghoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp,diễn dịch, tương tự

- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc nhữngkinh nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới trong đó

có nhiều yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãmcủa những kinh nghiệm, những cách suy nghĩ, những phương pháp đã có từtrước

- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng quen biết

Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duysáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh chúng ta có thểcho các em giải một số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềmdẻo của tư duy

b Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tốriêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một sốlượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiềukhả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói sốlượng làm nảy sinh chất lượng.

Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện rõ ở hai đặc trưng sauđây:

- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiềulời giải trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đềcần giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuấtđược nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìnsinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải nhìnbất phiến, phiến diện, cứng nhắc

c Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoàitưởng như không có sự liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ

Các yếu tố cơ bản nói trên không thể tách rời nhau mà trái lại chúng cóquan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, tạo điều kiện cho việc tìmđược nhiều giải pháp trên góc độ và tình huống khác nhau, nhờ đó đề xuấtđược nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc.Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở họcsinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi Trong học tập toán mà cụ thể là tronghoạt động giải toán, các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sửdụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương

tự hoá

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho ba tính chất cơ bản đặc trưngnhất của tư duy sáng tạo

Ví dụ 1.1 Giải phương trình

sin x +p2 − sin2x + sin xp2 − sin2x = 3 (1.1)Phân tích: Đây là phương trình lượng giác đối với một hàm số lượng giácnên học sinh có thể lựa chọn cho mình cách giải là đặt ẩn phụ t = sin x vớiđiều kiện kèm theo của t và chuyển phương trình lượng giác trên về phươngtrình đại số quen thuộc Đó chính là biểu hiện của tính nhuần nhuyễn trongquá trình tư duy sáng tạo

Hướng 2: Nếu học sinh quan tâm đến điều kiện của ẩn phụ u thì ta có thểloại được nghiệm u = −4.

Hướng 3: Không cần đặt ẩn phụ u mà tiến hành giải phương trình đại số ẩn

t theo phương pháp hàm số ta cũng được nghiệm duy nhất t = 1

Hướng 4: Tính mềm dẻo, tính độc đáo trong tư duy của người làm toán làkhả năng nhìn nhận bài toán quen thuộc dưới góc độ mới Tư việc tư duy đóđẫn đến hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ Cụthể:

Trong hệ toạ độ Oxy chọn các vectơ có toạ độ

2 − sin2x + sin xp2 − sin2x;|−→u | |−→v | = 3.

Phương trình đã cho trở thành −→u −→v = |−→u | |−→v | Điều này xảy ra khi và

chỉ khi −→u và −→v cùng hướng hay sin x

2 + k2π.

Từ nội dung bài toán trên cùng các phương pháp giải quyết đặc trưng giáoviên có thể hướng dẫn học sinh tự sáng tác các bài toán tương tự

sáng tạo thông qua dạy học môn Toán

1.2.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp bồi dưỡng các hoạt động trítuệ khác cho học sinh

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần tiến hành trong mốiquan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như phân tích, tổng hợp, sosánh, tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá trong đó hoạtđộng phân tích tổng hợp đóng vai trò quan trọng

Chẳng hạn, để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy,học sinh cần được luyện tập thường xuyên các kỹ năng, kỹ xảo, năng lực,tiến hành phân tích kết hợp với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiềukhía cạnh khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phéptương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai

thác mối quan hệ mật thiết với trừu tượng hoá; làm rõ mối quan hệ chungriêng, giữa quan hệ mệnh đề xuất phát với mệnh đề tìm được bằng đặc biệthoá và hệ thống hoá.

Ta có thể rèn luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạokhả năng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau;khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng nhưkhông có liên hệ với nhau, khả năng tìm giải pháp lạ hoặc duy nhất Cáchoạt động này nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo của tưduy

1.2.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khảnăng khơi dạy những ý tưởng mới, phát hiện những vấn đề mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứutạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thứcmới Chú ý thường xuyên rèn luyện cho học sinh suy luận có lý (thông quaviệc quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự )

để học sinh có thể tự tìm tòi, tự dự đoán quy luật của thế giới khách quan;

tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, tìm ra hướng giải của bài toán.Việc thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõđiều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vàgiải quyết vấn đề

1.2.3.3 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của

tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Khai thác

từ nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất những câu hỏi có vần đề để họcsinh suy nghĩ và rèn luyện các yếu tố trên

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tưduy sáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng côngthức tổng quát để khắc phục “tính ỳ”; những bài tập có nhiều cách giải khácnhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phươngpháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền vớinhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy rađồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán “khôngtheo mẫu”, không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định

lý, quy tắc trong chương trình.

1.2.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành ởtất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hànhthường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, mang tính hệ thống cao,trong tất cả các khâu của quá trình dạy học chính khoá cũng như nhữnghoạt động trải nghiệm sáng tạo Cần tạo cho học sinh có dịp được rèn luyệnkhả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hoá các tình huống thực tế,trong việc viết báo toán với những bài toán tự sáng tác cách giải mới, nhữngkết quả khai thác từ các bài tập đã giải

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các

đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tưduy sáng tạo của học sinh Học sinh có thể hoàn chỉnh các đề kiểm tra đótrên cơ sở bộc lộ rõ nét tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ làhọc tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

1.2.3.5 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh vànhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xétcác đối tương và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mốimẫu thuẫn và trong sự phát triển

Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp chúng ta giải quyếtvấn đề và định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta củng cố lòngtin khi trong việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vữnglòng tin rằng rồi sẽ có ngày thành công và hướng tìm đến thành công là cốnhìn mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càngtốt

Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩnhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diệnmới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàntoàn mới, xem xét sự vật hiện tượng về mối quan hệ theo một cách mới có ýnghĩa, có giá trị Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng

ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác

nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau, như thế mới giải quyết vấn

đề một cách sáng tạo được Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ khi xemxét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó,tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổngthể các mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vậtkhác Đây là cơ sở để học sịnh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đưa

ra nhiều cách giải khác nhau Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện

tư duy biện chứng cho học sinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biệnchứng cho học sinh từ đó có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh

Ví dụ 1.2 Chứng minh rằng với mọi x ∈ [1; 3] thì

Hướng 1: Tiếp cận bằng các phương pháp chứng minh cơ bản của bất đẳngthức như phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức trongchương trình SGK phổ thông

Cách 1: Phương pháp biến đổi tương đương Ta có (1.3) tương đương

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

Hướng 2: Tiếp cận dưới góc độ đại số

Cách 4: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình đối xứng

Suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2

Hướng 3: Tiếp cận dưới góc độ giải tích

Hướng 4: Tiếp cận dưới góc độ lượng giác Từ điều kiện 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ −1 ≤



= 2 sinα

2 +

π4

−

→b

(điều này luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi −→a ,−→b cùng hướng.

Điều này xảy ra khi

√ x−1

1 =

√ 3−x

1 > 0 ⇔ x = 2

Hướng 6: Tư duy theo phương pháp phản chứng

Cách 8: Giả sử tồn tại x0 ∈ [1; 3] sao cho √

Nhận xét Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh khai thác bài toán (1.3)

nhằm mục đích áp dụng giải các lớp bài toán có nội dung tương tự, linh hoạt

khi chuyển hướng tư duy để phát triển các bài toán có nôi dung khó hơn

+) Áp dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

- Giáo viên hướng dẫn học sinh mở rộng bài toán 1 theo hướng tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng tổng quát hơn như:

Như vậy là trong tư duy biện chứng khi xem xét sự vật hiện tượng, phải xemxét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét

sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ tổng thể những mối quan hệphong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với sự vật khác Đây là cơ sở để họcsinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, rập khuôn, luôn đi theo conđường mòn đã có sẵn Bên cạnh đó chúng ta còn phải xem xét sự vật trong

sự mâu thuẫn và thống nhất, giúp học sinh học toán một cách chủ động vàsáng tạo, thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề và định hướng cách giải quyếtvấn đề Do đó, tư duy biện chứng góp phần quan trọng và đắc lực trong việcrèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

1.5 Thực trạng việc dạy và học đa thức bậc bốn và

các dạng toán liên quan ở một số trường trung học phổ thông

Qua điều tra thực tế trong công tác giảng dạy bộ môn Toán ở trườngTHPT chuyên Bắc Giang và một số lớp học sinh có năng lực học tập tốt củamột số trường THPT không chuyên trong địa bàn tỉnh Bắc Giang Tác giảxin đưa ra một số nhận định như sau:

Do cách tiếp cận chương trình giáo dục hiện hành chủ yếu trang bịkiến thức nên phương pháp dạy học vẫn theo lối truyền đạt một chiều, họcsinh thụ động, ghi nhớ máy móc kiến thức trong SGK mà ít được rèn luyệnphương pháp học Hình thức tổ chức dạy học chủ yếu là trên lớp học, chưadành thời lượng thoả đáng cho các hoạt động trải nghiệm môn học Nhữnghạn chế về cách thiết kế nội dung môn học và hoạt động giáo dục; hạn chế

về hình thức tổ chức, phương pháp dạy học; hạn chế về nội dung của hoạtđộng kiểm tra đánh giá Đây chính là nguyên nhân chính dẫn đến chưa đápứng được yêu cầu về mục tiêu giáo dục đạo đức, lối sống, rèn kỹ năng, pháttriển khả năng sáng tạo, tự học để học tập suốt đời

Trong những năm gần đây, Bộ GDĐT đã chỉ đạo mãnh mẽ việc đổi mớiphương pháp dạy học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động,sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; chuyển từ học chủyếu trên lớp sang hình thức học tập đa dạng Đội ngũ giáo viên đã tiếp nhận

và quan tâm hơn trong việc bồi dưỡng các kỹ năng tư duy, dạy cách học chohọc sinh nhằm định hướng phát triển năng lực, phẩm chất Tuy nhiên, việcbồi dưỡng, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi vẫn chưa đượcchú trọng; giáo viên còn thiên về cung cấp thông tin, kiến thức; chưa có sựgiao nhiệm vụ học tập, yều cầu đối với học sinh, định hướng cách học Chính

vì thế tư duy sáng tạo của học sinh bị kìm hãm, không được định hướngphát triển

Một số giáo viên, nhất là những giáo viên dạy lâu năm có kinh nghiệmtrong xử lý tình huống sư phạm Song cách dạy học truyền thống, nặng về

áp đặt, máy móc, không đưa được học sinh vào vị trí chủ thể phát huy nộilực để phát triển năng lực, tư duy sáng tạo Trong dạy học Toán ở đa số cáctrường THPT, giáo viên thường chỉ phân dạng bài tập, giải bài mẫu, chobài tương tự học sinh giải theo các bước khuôn mẫu bắt học sinh phải nhớnhiều Chính vì vậy, học sinh thường chỉ giải được các bài tập đúng dạng,quen thuộc; khi thay đổi một chút đề bài học sinh rất lúng túng hoặc khôngmuốn tiếp tục suy nghĩ, không muốn tìm lời giải Một thực tế nữa, thôngthường các em sẽ thoả mãn ngay khi tìm ra được một lời giải, các em khôngchịu suy nghĩ cách giải quyết khác; khi có cách giải quyết khác thì khôngphân tích, chọn lựa cách giải tối ưu hoặc không suy nghĩ mở rộng, phát triểnbài toán

Về dạy học chuyên đề “Dạy học học đa thức bậc bốn và các dạng toánliên quan” trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, qua điều tra cho thấy việc rènluyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh còn hạn chế:

- Việc chuẩn bị nội dung của giáo viên chưa được hệ thống, các phươngpháp dạy học hiện đại chưa được sử dụng

- Việc tổ chức các hoạt động nhóm chưa hiệu quả ở các khâu: Yêu cầu,cách thức tiến hành, giới hạn thời gian, học sinh trình bày sản phẩm; giáoviên yêu cầu học sinh tìm ra lời giải mà chưa phân các mức độ để rèn thaotác tư duy

- Việc hướng dẫn và giao nhiệm vụ khi về nhà cho học sinh còn mangnặng tính hình thức, chưa động viên, khích lệ học sinh say mê tìm ra nhiềulời giải, tổng hợp các dạng toán, phát triển dạng toán mới

- Học sinh chưa nắm vững bản chất của vấn đề nên thường khi vận dụng

vào giải toán chưa được nhuần nhuyễn.

- Gặp khó khăn khi chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt độngtrí tuệ khác; chưa vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp,

so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá Suy nghĩ còn dập khuôn, áp dụngmột cách máy móc những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điềukiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi

- Khi giải ra kết quả các bài toán, các em thường bằng lòng và dừng lại;chưa thực hiện việc rèn luyện tư duy sáng tạo bằng cách tìm nhiều lời giải,phân tích cách giải độc đáo, thay đổi giả thiết bài toán

- Rất ít học sinh có khả năng và thói quen phát triển bài toán, ra đề bài.Tính tự giác và độc lập của học sinh chưa cao, còn phụ thuộc vào các thầy

cô giải bài mẫu; chưa chú tâm tìm cách tự học, tìm tòi, sưu tầm tài liệu

1.6 Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn trình bày khái quát một số những thuận lợi

và khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tác giả đi sâu vào phântích lý luận phát triển tư duy sáng tạo thông qua đề tài “Dạy học đa thứcbậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi ở THPT” Tác giả

đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, nêu được các yếu tố đặctrưng của tư duy sáng tạo và vận dụng được tư duy biện chứng để phát triển

tư duy sáng tạo Đặc biệt, tác giả đã trình bày một số biện pháp nhằm bồidưỡng, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chuyên

đề Qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được

sự sáng tạo của học sinh trong học tập và cuộc sống

Chương 2

Dạy học đa thức bậc bốn và một số dạng toán liên quan

2.1 Các hệ thức lượng giác liên quan đến công thức

khai triển góc nhân ba, nhân bốn

Xuất phát từ hệ thống các công thức lượng giác có trong chương trìnhSGK chúng ta xây dựng được vô số đẳng thức lượng giác Trong phạm vinghiên cứu của đề tài chúng ta chỉ xây dựng một số đẳng thức lượng giácliên quan đến khai triển của góc nhân ba và nhân bốn của các hàm số lượnggiác Đây sẽ là cơ sở để giải một số phương trình đa thức bậc ba, bậc bốnbằng phương pháp lượng giác

2.1.1.1 Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn của hàmcôsin

Định lý 2.1 Với mọi t ∈ R, ta có

1) cos 3t = 4cos3t − 3 cos t

2) cos 4t = 2cos22t − 1 = 2 2cos2t − 1
2 − 1 = 8cos4t − 8cos2t + 1

= 2 1 − 2sin2t
2 − 1 = 8sin4t − 8sin2t + 1

2.1.1.2 Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn của hàm sinĐịnh lý 2.2 Với mọi t ∈ R, ta có

1) sin 3t = 3 sin t − 4sin3t

2) sin 4t = 2 sin 2t cos 2t = 4 sin t cos t 2cos2t − 1

= 4 sin t cos t 1 − 2sin2t

2.1.1.3 Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn của hàm tangĐịnh lý 2.3

3 tan t 1 + tan2t
− 4tan3t

2.1.1.4 Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn của hàmcotang

2.1.2 Các hệ thức đại số liên quan đến công thức khai triển góc

nhân ba, nhân bốn

Chúng ta nhận thấy đẳng thức cơ bản dẫn đến sự phong phú của hệthống các đồng nhất thức lượng giác là công thức sin2t + cos2t = 1, ∀t ∈ R.Thay tan t

2 bởi x chúng ta được đồng nhất thức Lagrange.

(2x)2 + 1 − x2
2 = 1 + x2
2, ∀x ∈ R

Như vậy là mỗi công thức lượng giác sẽ tương ứng với một đồng nhấtthức đại số tương ứng

2.1.2.1 Hệ thức đại số liên quan đến khai triển của hàm cosin

Hệ thức đại số sinh ra từ các đồng nhất thức lượng giác của hàm sốcosin liên quan đến định lý

Định lý 2.5 Giả sử cos nt = Pn(cos t), với Pn(x) là đa thức bậc n Khi

đó, chúng ta có

Pn



12



a + 1a



= 12



a + 1a



= 12



a + 1a



a + 1a

3

+ 5



12



a + 1a



= 12

1) Từ hệ thức đại số

12



a + 1a

3#

− 3



12



a + 1a



a + 1a

4

− 8



12



a + 1a



a + 1a

3

+ 5



12



a + 1a

2.1.2.2 Hệ thức đại số liên quan đến khai triển của hàm sin

Hệ thức đại số sinh ra từ các đồng nhất thức lượng giác của hàm số sinliên quan đến định lý

Định lý 2.6 Giả sử sin (2k + 1) t = P2k+1(sin t), trong đó P2k+1(x) là đathức bậc 2k + 1 Kí hiệu Q2k+1(x) là đa thức bậc 2k + 1 sinh bởi P2k+1(x)

bằng cách giữ nguyên những hệ số ứng với luỹ thừa chia 4 dư 1 và thaynhững hệ số ứng với luỹ thừa chia 4 dư 3 bằng hệ số đối dấu Khi đó, ta có

Q2k+1



12



a − 1a



= 12

Hệ quả 2.2 Với mọi a ∈ R và a 6= 0, ta có



a − 1a



= 12



a3 − 1

a3

.2) 16



a − 1a

3

+ 5



12



a + 1a

1) Từ hệ thức đại số

4

"

12



a − 1a

3#

+ 3



12



a − 1a



= 12



a − 1a

3

+ 5



12



a − 1a



= 12

Trường hợp 1: Nếu phương trình có hai nghiệm “đẹp” (nghiệm “đẹp”được hiểu là nghiệm hữu tỷ) thì chúng ta sẽ phân tích được thành tích củahai đa thức bậc nhất với một đa thức bậc hai Khi đó bài toán coi như đượcgiải quyết

Trường hợp 2: Nếu phương trình chỉ có một nghiệm “đẹp” thì chúng

ta sẽ phân tích được thành tích của một đa thức bậc nhất với một đa thứcbậc ba Bài toán khi đó được quy về giải phương trình bậc ba

Trường hợp 3: Nếu phương trình bậc bốn không có nghiệm “đẹp” thìchúng ta sẽ tiếp cận bài toán theo một số hướng như sau:

Hướng 1: Xem phương trình đã cho có thuộc một số phương trình bậcbốn dạng đặc biệt không Với những phương trình này thì đã có phương phápgiải rõ ràng

Hướng 2: Biến đổi phương trình thành tích hai đa thức bậc hai bằng kỹthuật đưa về dạng bình phương bằng bình phương

Hướng 3: Sử dụng các đồng nhất thức lượng giác liên quan đến côngthức khai triển góc nhân bốn của các hàm lượng giác Từ đó quy về bài toángiải phương trình lượng giác

Bài toán 2.1 Giải phương trình

x4 − x3 − x2 + 4x − 12 = 0

Phân tích: Sử dụng máy tính ta nhẩm được phương trình có 2 nghiệm là

x = 2 và x = −2 và sử dụng lược đồ Hoocne ta đưa được phương trình vềphương trình tích:

Bài toán 2.2 Giải phương trình

16x4 − 8x3 − 12x2 + 4x + 1 = 0

Phân tích: Chúng ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = 12, do

đó phương trình được biến đổi thành:

9 − 3 cos7π

9 = cos



3.7π9

9 − 3 cos13π



3.13π9

nhân ba của hàm sin.

Lời giải Phương trình đa cho tương đương với

(x − 1) 8x3 + 6x − 3
= 0 ⇔





x = 14x3 + 3x = 3

Xét

3

2 =

12

a = 3

s

3 −√

132

Lại có

4



12



a − 1a

3

+ 3



12



a − 1a





Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x = 1 và

x = 12





Như vậy là với những phương trình đa thức bậc bốn chỉ có một nghiệm

“đẹp” thì liên quan trực tiếp đến việc giải các phương trình bậc ba Tronglời giải ví dụ ở trên chúng ta đã gặp phương trình bậc ba đặc biệt có dạng:

4x3− 3x = m và 4x3+ 3x = m Chúng ta cần lưu ý cách giải với các phươngtrình bậc ba đặc biệt này

Nhận xét 1 Cách giải phương trình bậc ba có dạng 4x3 − 3x = m Ta xét

2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu thì|m| ≤ 1 thì đặt x = cos t, với t ∈ [0; π] Phương trình

đã cho thành: 4cos3t − 3 cos t = m ⇔ cos 3t = m, đặt m = cos α Ta có

3 là ba nghiệm của phương trình

đã cho Nhưng phương trình đã cho là phương trình bậc ba nên có tối đa banghiệm

Vậy trong trường hợp này thì phương trình có ba nghiệm là:

- Với|x| ≤ 1 thì đặtx = cos t, với t ∈ [0; π] Phương trình đã cho thành:

4cos3t − 3 cos t = m ⇔ cos 3t = m, phương trình này vô nghiệm

3#

− 3



12



a + 1a



= 12



a3 + 1

a3



Từ đó suy được x = 1

2



a + 1a

3

+ 3



12



a − 1a

Nhận xét 3 Với những phương trình bậc ba không có nghiệm “đẹp” dạng

t3+ at2+ bt + c = 0 thì tư duy thuật giải chúng thường được thực hiện theocác bước sau:

Chúng ta cần tìmα để phương trình này có thể quy được về các phương trìnhdạng 4x3 − 3x = m hoặc 4x3 + 3x = m Muốn vậy thì chúng ta cần chọn

Trong mục này chúng ta hệ thống lại phương pháp giải với một sốphương trình bậc bốn dạng đặc biệt; trong việc định hướng phương phápgiải, chúng ta thường khai thác các đặc thù riêng của nó để có lời giải ngắngọn

2.2.3.1 Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0)

Phương pháp: Đặtt = x2,với t ≥ 0 Khi đó phương trình đã cho trở thànhphương trình bậc hai ẩn t, từ đó tìm được nghiệm t và chúng ta suy đượcnghiệm x của phương trình ban đầu Chúng ta cũng có thể coi phương trìnhtrùng phương ẩn x là phương trình bậc hai với ẩn là x2

và khó khăn cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tác giả sâu vào phântích lý luận phát triển tư sáng tạo thông qua đề tài ? ?Dạy học đa thứcbậc bốn dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi THPT? ??... nghĩ cách giải khác; có cách giải khác khơngphân tích, chọn lựa cách giải tối ưu khơng suy nghĩ mở rộng, phát triểnbài tốn

Về dạy học chuyên đề ? ?Dạy học học đa thức bậc bốn dạng toánliên quan? ??... 2

Dạy học đa thức bậc bốn số dạng toán liên quan< /h2>

2.1 Các hệ thức lượng giác liên quan đến cơng thức< /h3>

khai triển góc nhân ba, nhân bốn< /h3>

Xuất