Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng đồng dư thức trong giải toán lớp 7

Chuyén dé UNG DUNG DONG DU THUC TRONG GIAI TOAN LOP 7 Phan 1: Dat van dé LLI DO CHON CHUYEN DE Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cách logic va 1a nén t

Chuyén dé

UNG DUNG DONG DU THUC TRONG GIAI TOAN LOP 7

Phan 1: Dat van dé

LLI DO CHON CHUYEN DE

Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cách logic va 1a nén tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác Số học là một phần không thê thiếu và nó chiếm một vai trò khá quan trọng trong bộ môn

này

Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên là một nội dung khá quan trọng trong phần sô học Hơn nữa, đây cũng là mảng rất khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, trao đôi và học hỏi ở bạn bè, đồng chí đồng nghiệp và đã tìm ra chìa khoá để giải quyết van dé nay Đó là lý thuyết đồng dư Năm học 2012-2013, tôi được sự phân công của các đồng chí trong tô và đã làm chuyên đề trường, vấn đề này được nhiều đồng nghiệp quan tâm và chia sẽ Vì vậy tôi đã chọn

“Ứng dụng đồng dư thức trong giải Toán lớp 7 ” làm sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đôi với bạn bè đồng nghiệp nhiều hơn về lĩnh vực này

1 Cơ sở lí luận

* Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu" chủ trương đó đã thê hiện rõ quan điêm, đường lôi của Đảng và Nhà nước ta; khăng định tâm quan trọng của giáo dục đối với đất nước; bởi lẽ giáo đục đóng vai trò quyết định đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng

CNXH

Nghanh gido duc da triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao gôm: đôi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy và học, đôi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý, đôi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiêm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện

Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn

Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lễ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tư duy sáng tạo, lĩnh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thé phat triển của đất nước ta hiện nay Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác Xưa nay, đây là môn học mà không ít học sinh phái ngại ngùng khi nhắc đến, việc học toán đối với học sinh là một điều hết sức khó

khăn Hơn thế nữa, chúng ta đang ra sức để xóa bỏ tình trạng học sinh ngồi

nhằm lớp Tất cả những lý do trên xuất phát từ những nguyên nhân khách quan

và chủ quan như: học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn

ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn.v.v

SangKienKinhNghiem.org

Học toán đông nghĩa với giải toán Trong học tập muôn làm được bài tập ngoài việc có một phương pháp suy luận đúng đắn đòi hồi học sinh phải có vôn kiến thức sẵn có tiếp thu từ các công thức, các quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý

Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học công nghệ hiện nay, trình

độ tri thức của con người phát triển rõ rệt Nhằm đáp ứng nhu câu học tập của mọi người dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng voi truyén thong hiếu học của nhân dân Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triên ở học sinh “ những năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề ở từng góc độ khác nhau Tìm tòi những cái cit trong cái mới” Đề phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn dé mới

Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên vành số nguyên Là một nội dung được suy luận một cách lôgic, chặt chẽ Trên cơ sở lý thuyết đồng dư được hai nhà bác là Ơle và Fécma đã đưa ra 2 định lý rất nôi tiếng và có tính ứng dụng rất cao

2 Cơ sở thực tiễn

Lý thuyết đồng dư sẽ cho ta phương pháp đồng dư, đó là một động tác có tính chât kỹ thuật giúp chúng ta bô sung giải quyết vân đê chia hêt trong vành sô nguyên

Trong chương trình toán THCS có nhiều dang bai tap lién quan dén ly thuyết đồng dư, xong tôi chỉ đưa vào đây một số bài tập điên hình và các dạng toán ở lớp 7

3 Thực trang

Nắm chắc và vận dụng thành thạo các phương pháp trong giải toán là vấn

đề cần chú trọng, đặc biệt là đối với học sinh trường THCS Yên Lạc - có chất lượng đào tạo cao — thì càng phải chú trọng đề đảm bảo và nâng cao chat lượng học sinh Hơn nữa để giúp các em HSG tự tin và đạt thành tích cao trong cac ki thi HSG Bằng việc xây dựng các chuyên đề toán có nội dung phù hợp và thiết thực tôi tin tưởng các em học sinh sẽ say mề học toán và tìm ra cách học, nắm

chăc các phương pháp giải toán thông qua từng dạng bài tap

Qua giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi 7, tôi thấy chuyên đề này rất thiết thực, các em đã có thể giải được một số dạng toán khó, vận dụng linh hoạt các phương pháp đề giải một sô dạng toán liên quan đến lý thuyết đồng dư đưa được các dạng toán đó về dạng quen thuộc và đơn giản hơn

4 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh năm được các phương pháp đề giải bài toán, rèn kĩ năng giải Toán loại này và nhằm phát triển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh

- Cho học sinh thấy được vai trò và tâm quan trọng của các phương pháp giải liên quan đên lý thuyết đông dư trong Toán học, rèn luyện cho học sinh đức tính cân thận, sáng tạo của người nghiên cứu khoa học

SangKienKinhNghiem.org

5 Pham vi, ké hoạch và đôi tương nghiên cứu

5.1 Phạm vi nghiên cứu

Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng cách sử dụng

phương pháp đồng dư thức Tuy nhiên trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số ứng dụng sau

- Tim số dư trong phép chia số nguyên

-_ Chứng minh sy chia hét

- _ Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa

-_ Giải phương trình nghiệm nguyên

5.2 Kế hoạc nghiên cứu

- Thời gian thực hiện chuyên đề 4 buổi tương ứng với 16 tiết dạy

5.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là học sinh khá giỏi lớp 7 trường THCS Yên Lạc

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, sách nâng cao và phát triển Toán 6,7, sách nâng cao va các chuyên dé đại số 7, tài liệu tham khảo có liên quan

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh

- Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng day, hoc tập của từng đôi tượng học sinh

I- DONG DU THỨC

1 Định nghĩa và các điều kiện:

Chom e W”;a,b e Z Nêu a và b khi chia cho m có cùng sô dư ta nói: a và

b đông dư theo môđun m

3- a = b(mod m); b = c (mod m) => a = c (mod m)

b 7a có thé cộng từng về một với nhau theo cùng một môẩun

a;=b;(modm) i=1jø => S`(CDÝa,=Ð`CD”5, (mod m) v£eV

SangKienKinhNghiem.org

e Ta có thê nhân từng về voi nhau nhiéu dong du thirc theo cling mot médun

Cu thé: a; = b; (mod m);i = Ln

> TIa, =T 1% (mod m): i=l i=i

3 Cac hé qua

a.a = b(modm)=>a+c=b+c(modm)

b.a+c = b (mod m) =a = b-c (mod m)

c.a = b (mod m) =a + k.m = b (mod m)

d.a = b (mod m) => a.c = b.c (mod m)

e.a = b(modm) =a" = b®(modm) Vøe X :

f Cho f(x) = aa X? + az¡ XP + taix tao Vø¿eZ Nêu z =f (modm) thi

a.c = b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a = b (mod m)

h Ta có thê nhân cả hai về và môđun của một đồng dư thức với cùng một số nguyên dương

Cu thé 1a: a = b (mod m) => a.e = b.c (mod m.c) ee N”

¡ Ta có thê chia cả hai về và môđun của một đồng dư thức với cùng một ước dương của chúng

Cụ thể là: a = b(modm); 0<e < ƯC(a;b;m) => a/e = bíc (mod me)

k Nếu 2 số a và b đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng đồng dư với nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của môđun ấy

Cụ thể là: a = b (mod m); 0 < @ « U(m) =>a = b (mod 2)

m Néu: a = b (mod m) thi: UCLN( a; m) = UCLN( b; m)

II- ĐỊNH LÝ ƠLE VÀ DINH LY FECMA

1 Định lý Ơle

a Hàm s6 Ole- u(m)

Cho hàm sô p(m) được xác định như sau:

SangKienKinhNghiem.org

SangKienKinhNghiem.org

IH - MỘT SỐ UNG DUNG

1 Tìm số dư trong phép chia

Vi dul: Tim so du trong phép chia: 29455 —3 chia cho 9

Giải: Ta có: 2945 = 2 (mod 9)

=> 29455 — 3 = 25-3 (mod 9)

_ Ma 25—3 = 2 (mod 9)

Vậy sô dư của 2945Š— 3 chia cho 9 là 2

Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia 10935 chia cho 14

Vậy sô dư trong phép chia 109343 chia cho 14 là I

Vi du 3:Tim sé du trong phép chia: (1997198 + 19981999 +1999200 )10 chia cho

Mat khac ta cd: 2!°= 1024 = 25 (mod 111) :

Vay (19971998 + 19981999 +19992000 )!9 chia cho 111 có số dư là 25

Bài tập : Tìm số dư của phép chia

Bai 1 : Tim sé du trong phép chia 20042 cho 11

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Mot số được gọi là chia hết cho 11 khi

và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kế

từ trái sang phải chia hết cho 11

Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ?

Vay 20047 chia 11 dir 5

Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 1944205 cho 7

Giải :

Ta có : 1944 = -2 (mod 7) => 19447095 = (-2)7°°5 (mod 7)

SangKienKinhNghiem.org

Ma (-2)? = - 1 (mod 7) => (-23)®8 = 158 (mod 7) hay (-23)568 = 1 (mod 7)

=> (-23)68 (-2) = - 2 (mod 7) hay (-2)°°° = - 2 (mod 7)

Vậy 15323 - 1 chia cho 9 du là 4

Bài 4: Tìm dư trong phép chia 329% cho 13

Giải :

Ta có 3 = 1 (mod 13) mà 2003 = 3.667 + 2 => 32993 = (33)657, 32

33 = 1 => (39) = 1967 => (33)967, 3? = 1.3? (mod 13)

=> 3200 = 9 (mod 13)

Vay 379 chia cho 13 du 9

Bai 5 : Tim dw trong phép chia 57 + 7°° cho 12

Giải :

Ta có 52= I(mod 12) => (52#Š= 1 (mod 12) hay 5 = 1(mod 12) (1)

2= 2 (mod 12) => (7°) = I(mod 12) hay 7°°= 1(mod 12) (2)

=> 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 du 2

+Tacd776= 1 (mod 5) => 7767%= 1 (mod 5)

Vay A chia cho 5 dur 2

Bài 7 : Tìm số dư của A = 3205 + 42005 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ?

Giải :

+Ta có : 3Ÿ = 1 (mod 11) => (35)! 1 (mod 11)

Va = 48=1 (mod 11) => (45)#°! = 1 (mod 11)

SangKienKinhNghiem.org

=> A = 32005 + 42005 = 2 (mod 11)

=> A chia cho 11 du 2

+Ta có : 3 = 1 (mod 13) => (3) 3 = 1.3 (mod 13) => 3705 = 3 (mod 13)

Va 43=-Il (mod 13) =>(4)5% 4= 1.4 (mod 13) => 42995 = 4 (mod 13)

=> 3190- 3 = 0 (mod 13) Vay 319-3 chia hết cho 13

Vi du 2: Chimg minh 6*8*!+ 5"*? chia hết cho 31 voí mọi n là số tự nhiên

Giải:

Ta có: & = 5 (mod 31) => 6 = 5" (mod 31)

Mặt khác: 6 = - 5? (mod 31)

Nén: 62! = -5®*? (mod 31)

Vậy 62n*1! + 5"*? chia hét cho 31

Ví dụ 3: Chứng minh 2Ÿ” +3211 voin 1a số tự nhiên

Vậy A là bội của 7

Tur 610° = | (mod 7) => 61°! = 6 (mod 7) , ma 6 = - 1 (mod 7)

=> 61001 = -] (mod 7) => 61! + 1:7

Bài 2 : Chứng minh răng A = 7.52" + 12.6" chia hêt cho 19

SangKienKinhNghiem.org

Giải :

Tacó A=7.522+ 12.6" =7.25"+ 12.6"

Vì 25 =6 (mod 19) => 25" = 6" (mod 19)

=>7.25"= 7.6" (mod 19) => 7.25" + 12.6" =7.6" + 12.6" = 19.6" = 0 (mod 19)

Diéu này chứng tỏ A chia hét cho 19

Bai 3 : Chimg minh rang 270”? - 4 chia hét cho 31

Giải :

Ta co 25 = 1 (mod 31), ma 2012 = 5.402 + 2

Nên 22012 = (25)402 „22

Vì 2 = 1 (mod 31) => (25 = 192 (mod 31) => (23)92.22 = 1.22 (mod 31)

=> 22012 = 4 (mod 31) => 220!2 - 4 chia hết cho 31

„ Do đó đề tìm chữ số tận cùng của a" với a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7 ta

lây n chia cho 4 Giả sử n= 4k + r với r € {0; 1; 2; 3}

Nếu a=2 (mod 10) thì a"=2"= 2*%*r= 6,2' (mod 10)

Nếu a =3 (mod 10) hoặc a = 7 (mod 10) thì a" = a#*r = ar (mod 10)

SangKienKinhNghiem.org

Nhận xét : Sô có chữ sô tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chan khac 0 nào thì chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9

Nhận xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ

tự nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với só mũ tự nhiên lẻ có số

b) 3103 = 319.3 = (32)51,3 = 951.3 =( 9).3 = 7 có chữ sô tận cùng là 7 - c) 840+ 1 = 840 8 = (23)47.8 = 219.8 = (29)25,8 = 162.8 = ( 6).8 = 8 cd chit sd

Ta có nhận xét sau :

229 = 76 (mod 100)

=01 (mod 100) 6° =76 (mod 100) 7* =01 (mod 100)

Mà 76" = 76 (mod 100) voin> 1

5" = 25 (mod 100) với n>2

Suy ra kết quá sau với klà số tự nhiên khác 0

a? = 00 (mod 100) nếu a =0 (mod 10)

a? = 01 (mod 100) néu a= 1; 3; 7; 9 (mod 10)

a2% = 25 (mod 100) nêu a= 5 (mod 10)

a? = 76 (mod 100 nếu a=2; 4; 6; 8 (mod 10)

Vậy đề tìm hai chữ số tận cùng của a", ta lấy số mũ n chia cho 20

Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tân cùng của 22003

SangKienKinhNghiem.org

10

Vay 2 chit s6 tan cing của 9° là 89

4 Giải phương trình nghiêm nguyên

a Xét số dư hai về

Ví dụ l: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 9x+2=y”+y (*)

Giải:

Tac: VT =9x+2=2(mod3)=> VP =y° + y=2(mod3) > y(y +1) =2(mod3)

> y=1(mod3) (vinéu y=3k hoặc y = 3k+2 thì VP =0(mod3))

> y=3k+1 (trong do k <Z) thay vao pt(*) taco:

SangKienKinhNghiem.org

11

Giai:

Ta có 2*;2'+1;2*+2;2*+3;2* +4 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên

2⁄(2ï+1)(2'+2)(27+3)(2'+4)‡5

Mặt khác UCLN(27:5) = 1 nên (2*+1)(27+2)(2' +3)(2' +

Với y>1 thì 7= (2° +1)(2° +2)(2° +3)(2" +4)~5”:5 còn men 4(mod5) suy

ra phương trình không có nghiệm

Với y =0 ta có :

(2% +1)(2* +2)(2* +3)(2* +4)-5° = 11879 © (2' +1)(2' +2)(2Ï +3)(2Ï +4) =11880

=(2/+1)(2'+2)(27+3)(2Ï+4)=9.10.11.12227+1=9 S2” =§©2' =2) ©x=3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =(3;0)

Ví dụ 3: Tìm x, y nguyên dương thoả mãn : 3Ÿ+1= (+

Giải:

3 +1=(y+1 ©3'=y(y+2) (**)

Ta có V7 =3 =1(mod2) => VP = y(y+2) =1(mod2)

Suy ra y là số lẻ mà y và y+2 là hai số lẻ liên tiếp

b.Sử dụng số dự chỉ ra phương trình vô nghiệm

Vị dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

19” +5' +1890 =1975”” +2013

Giải:

Ta có x ,y nguyên dương = §”:5; 1890:5 > VT =19* +5’ +1890 =19* (mod5)

Mà: 19=~—1(mod5) = 197 =(—1)" (mod5)

Nếu x chẵn thì 19* =1(mod5) ; nếu x lẻ thì 19* =—1(mod5)=4(mod5)

=> VT =1;4(mod5) con P=3(mod5) Do đó phương trình vô nghiệm

Ví đụ 5: Tìm các số nguyên đương x, y biết: x2+x—1=3?°

Giải:

Ta có: VP =3”*' =0(mod3) (*)

Néu x =3k (keN’) thi VT =x? +x-1=2(mod3)