Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (TT)

MỞ ĐẦUCơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án Vật liệu nhiều thành phần hay vật liệu không đồng nhất nói chung và vậtliệu đa tinh thể hỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

NGUYỄN VĂN LUẬT

ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã sỗ: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2017

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TSKH Phạm Đức Chính

Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Trung Kiên

Phản biện 1: GS.TS Hoàng Xuân Lượng

Phản biện 2: PGS.TS Trần Minh Tú

Phản biện 3: TS Trần Thanh Tuấn

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ….’, ngày … tháng … năm 201…

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

1 Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L (2013), Bounds on the ranges

of the conductive and elastic properties of randomly

inhomogeneous materials Philosophical Magazine 93, 2229-2249

2 Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh (2013), Estimating effective conductivity of unidirectional transversely

isotropic composites Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 203-213, Volume 35

3 Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien (2015), FFT-simulations and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of

2D suspensions of compound inclusions Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 169-176, Volume 37

4 Nguyễn Văn Luật,Vương thị Mỹ Hạnh, Phạm Đức Chính (2012), Đánh giá hệ số dẫn đa tinh thể hỗn độn Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà Nội 8-9/12/2012

5 Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên, Phạm Đức Chính (2013),

Các đánh giá bậc ba và mô phỏng số FFT cho hệ số dẫn một số vật

liệu nhiều thành phần Hội nghi Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ

XI, TP Hồ Chí Minh 7-9/11/2013

6 Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Văn Luật (2015), Xấp xỉ hệ số dẫn vật liệu composite ba pha dạng quả cầu lồng nhau Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đà Nẵng 8/2015

MỞ ĐẦU

Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án

Vật liệu nhiều thành phần hay vật liệu không đồng nhất nói chung và vậtliệu đa tinh thể hỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong các lĩnhvực khoa học, kỹ thuật và đời sống hiện nay Vì vậy việc nghiên cứu các tínhchất của các loại vật liệu này là rất cần thiết và có tính thời sự cho việc ứngdụng thực tế Khác với vật liệu thuần nhất vật liệu không đồng nhất có cấutrúc vi mô khác nhau giữa các thành phần trong đó và sự tương tác giữa chúng

là rất phức tạp Vật liệu nhiều thành phần về mặt vi mô có cấu tạo các thànhphần khác nhau nhưng về mặt vĩ mô là đồng nhất

Hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc tìm các tính chất dẫn vĩ

mô (dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ ) của vật liệu nhiều thành phần và đatinh thể hỗn độn Các tính chất dẫn này có vai trò đặc biệt quan trọng trongviệc chế tạo vật liệu và ứng dụng các vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật Ví dụ nhưcác loại vật liệu nền polyme cốt sợi, hạt, tấm được sử dụng rất nhiều trong cáclĩnh vực hàng không, công nghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử,dân dụng khi gia cố các loại cốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbon, kimloại dẫn đến các tính chất cơ-lý như tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm,tán xạ khác nhau Để ứng dụng được trong thực tế thì cần xác định được cáctính chất dẫn này Trong kỹ thuật hiện nay thường sử dụng các đánh giá củaWiener, Voigt, Reuss và Hill là lấy trung bình cộng số học và trung bình cộngđiều hòa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp Tuy nhiên khi các hệ

số dẫn thành phần khác nhau nhiều thì các đánh giá này cho kết quả xấp xỉkhông chính xác Luận án đã xây dựng được các đánh giá trên, dưới của hệ sốdẫn vĩ mô tốt hơn các đánh giá trước đây cho phép tìm ra được các hệ số dẫn

vĩ mô của vật liệu tổ hợp chính xác hơn Các kết quả đó cũng giúp cho việcthiết kế các loại vật liệu tổ hợp mới theo các tính chất dẫn phù hợp với yêucầu thực tế đặt ra

Đối tượng của luận án

Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) như hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ,

từ thẩm, điện môi, thấm nước của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần và

đa tinh thể hỗn độn

Mục tiêu của luận án

Xây dựng các đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợpnhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn

Áp dụng kết quả đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu cụ thể Sử dụngcông cụ số dựa trên phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) như một cách tínhchính xác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá mới tìm được cho một

số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số

trên nguyên lý biến phân (nguyên lý năng lượng cực tiểu) và nguyên lýbiến phân đối ngẫu (nguyên lý năng lượng bù cực tiểu) Từ đó xây dựngcác biên trên, biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu

• Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa rathuật toán lặp và sử dụng chương trình Matlab để tính cho một số mô hìnhvật liệu có cấu trúc tuần hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FFT.Kết quả FFT được coi như một cách tính chính xác để so sánh với kết quảđánh giá theo đường hướng biến phân

Những đóng góp của luận án

• Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ

mô của vật liệu nhiều thành phần

• Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ

mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn

• Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu nhiều thành phần

đã biết thông tin bậc ba về hình học pha Kết quả cho thấy đánh giá mớitốt hơn (gần hơn với kết quả chính xác) so với các đánh giá đã công bốtrước đó

• Sử dụng phương pháp FFT để tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúctuần hoàn nhằm mục đích so sánh với đánh giá mới tìm được Bên cạnh

đó cũng bước đầu xây dựng được thuật toán và chương trình số như mộthướng đi trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc

tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics)

và tuyển tập các báo cáo hội nghị quốc gia (03 báo cáo hội nghị)

Cấu trúc của luận án

Nội dung của luận án bao gồm:

Chương 1: Tổng quan

Trình bày về lịch sử quá trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu trong

đó đưa ra các kết quả nổi bật đã được công bố trước đây

Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, dưới hệ số dẫn của vậtliệu đẳng hướng nhiều thành phần trong không gian d chiều

Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng được đánh giá trên, dưới cho hệ sốdẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần Sử dụng kết quả đánhgiá mới áp dụng cho một số mô hình vật liệu đã biết thông tin bậc ba hình họcpha và có so sánh với các đánh giá trước đây

Chương 3: mô phỏng số FFT và so sánh với các đánh giá cho một

số mô hình vật liệu

Xây dựng thuật toán số FFT để tính toán hệ số dẫn vĩ mô cho một số môhình vật liệu tổ hợp trong giới hạn của phương pháp là vật liệu có cấu trúctuần hoàn có so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2

Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độntrong không gian d chiều

Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu

để xây dựng đánh giá trên, dưới cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn Trong đó đưa

ra các trường khả dĩ có chứa thông tin hình học pha của vật liệu, tổng quáthơn trường khả dĩ của Hashin-Shtrikman và Pham D.C Áp dụng vào cho một

số loại đa tinh thể có trong tự nhiên cho thấy kết quả đánh giá mới tốt hơn cácđánh giá đã công bố trước đó

Kết luận chung

Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các hướng nghiêncứu cứu tiếp theo

của vật liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu

dị hướng, được biểu diễn thông qua phương trình truyền nhiệt Fourier

n(x) là pháp tuyến tại mặt tiếp xúc

Hệ số tán xạ D đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổihướng lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), có thể được

xác định thông qua định luật lan truyền Fick:

trường điện môi được xác định qua phương trình:

đẳng hướng vĩ mô n pha

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU

Vào năm 1892, Maxwell [35] và Rayleigh [67] đã tìm ra được lời giải tiệm cậncho hệ số dẫn của hỗn hợp dạng nền cốt liệu với pha nền là chủ đạo (vM ' 1)

và tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI  1) sắp xếp theo trật tự lập phương tuầnhoàn

Cef f = CM · 2CM + CI + 2vI(CI − CM)

2CM + CI − vI(CI − CM) (vI  1) (1.12)Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) đã đưa ra các côngthức trung bình cộng số học (Voigt) và trung bình công điều hòa (Reuss) để

tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần và đatinh thể hỗn độn với hình học pha và tỷ lệ thể tích bất kỳ ở các pha Đối với

hệ số dẫn của vật liệu đẳng hướng (tổng theo α chạy từ 1 tới n):

dPi=1

Ci, CR =

1 d

dPi=1

Nghiên cứu tiếp theo đã để lại dấu ấn quan trọng trong cơ học vật liệu là củaHashin-Shtrikman (1963-[24])(HS), đã xây dựng tính chất hiệu quả dựa trênnguyên lý biến phân riêng dẫn tới trường khả dĩ phân cực (polarization fields).Kết quả HS đã tìm ra đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu tổ hợp tốt hơn cácđánh giá trước đó của Voigt, Reuss, Hill, Wiener Đánh giá của HS được coi làmột trong những thành tựu chính của cơ học vật liệu

Phạm D.C (1996-[83]) xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu đãnói trên (không phải từ các nguyên lý HS), trong khi tìm trường khả dĩ đãxây dựng được các trường khả dĩ phân cực dạng HS cho vật liệu tổ hợp đẳnghướng Từ đó nhận được các đánh giá mới tốt hơn đánh giá của HS nhờ xuấthiện thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba hình học pha của vật liệu Aαβγ

Chương 2

ĐÁNH GIÁ BIẾN PHÂN CẬN

TRÊN, DƯỚI HỆ SỐ DẪN CỦA

VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU

THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG

GIAN d CHIỀU

Xây dựng đánh giá trên cho hệ số dẫn vĩ mô Cef f sử dụng nguyên lý năng

lượng cực tiểu trong (1.8), với trường khả dĩ mở rộng so với trường phân cực

của Hashin-Shtrikman có dạng

Ei = Ei0 +

nX

α=1

aαEj0ϕα,ij với i, j = 1, , d (2.1)

trong đó E0 là vectơ hằng cho trước, aα là các hệ số vô hướng tự do, ϕα hàm

thế điều hòa là tích phân của hàm Green trên pha α

Đặt (2.1) vào (1.8) rút gọn ta nhận được biểu thức năng lượng

ba hình học pha của vật liệu Aαβγ Để tìm được đánh giá trên tốt nhất ta đi

tìm cực tiểu phiếm hàm bằng phương pháp nhân tử Lagrange với ràng buộc từ

điều kiện trung bình trong (1.8) Từ đó nhận được biểu thức năng lượng

aαJj0(ϕα,ij − δijIα(x)), (2.5)

trong đó aα là các hệ số vô hướng tự do, ϕα là hàm thế điều hòa, Iα(x) là hàmchỉ số pha, J0 là vectơ hằng cho trước Tương tự như đánh giá trên, đặt (2.5)vào (1.9) rút gọn và sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta nhận được biểuthức năng lượng

2.3.1 Mô hình quả cầu lồng nhau

1 Quả cầu lồng nhau hai pha

Các khoảng trống được lấp đầy bằng các quả cầu lồng nhau đồng dạngnhưng kích thước thay đổi tới vô cùng bé Có thể coi quả cầu bên trong là phacốt liệu (pha 1) quả cầu lồng bên ngoài là pha nền (pha 2), thông tin hình họcbậc ba của vật liệu Aβγα được biểu diễn phụ thuộc vào một thông số ζα đượcxác định chính xác (Pham D.C, 1997-[50]):

2 Quả cầu lồng nhau ba pha

Quả cầu lồng nhau 3 pha (hình 2.3a): Từ trong ra ngoài là các pha 1,2,3tương ứng Kết quả đánh giá được thể hiện trên các hình 2.3b, 2.4 với cận trên

và dưới trùng nhau cho kết quả chính xác và nằm trong các đánh giá trước đócủa Wiener-Voigt-Reuss, HS

Vật liệu tổ hợp đối xứng 3 pha trong không gian d chiều, pha i có tỉ lệthể tích của là vi và hệ số dẫn Ci, i = 1, 2, 3 Giả định trong không gian 3chiều C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20; Tỉ lệ thể tích của các pha v1 = 0.1 → 0.9

v2 = d−1d (1 − v1), v3 = 1d(1 − v1) Kết quả đánh giá HSD trên hình 2.5 (d=3)

cho thấy đánh giá mới (2.4),(2.7) cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đócủa Voigt-Reuss và HS.

Hình 2.5: (a) Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng (b) Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha

C 1 = 1, C 2 = 5, C 3 = 20 trong không gian 3 chiều

Xem xét hai mô hình có cốt liệu là các quả cầu cùng kích cỡ sắp xếp ngẫunhiên không chồng lấn và chồng lấn Thông tin hình học bậc ba của các môhình này được xác định bởi Torquato (2002) Giả sử hệ số dẫn pha nền C1 = 5,pha cốt liệu (C2 = 15), tỉ lệ thể tích v1 = 1 − v2

Hình 2.6: Mô hình quả cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên trong không gian 3 chiều (a) Quả cầu không chồng lấn ngẫu nhiên (b) Quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên

Hình 2.7: Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên không chồng lấn với pha nền C 1 = 5, pha cốt liệu C 2 = 15

Hình 2.8: Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên chồng lấn với pha nền C 1 = 5, pha cốt liệu C 2 = 15

Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cựctiểu trong đó đưa vào trường khả dĩ mở rộng (có nhiều hệ số tự do hơn) so vớitrường khả dĩ phân cực của Hashin-Shtrikman Từ đó tìm được đánh giá mớicho các HSD vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần trong không gian d chiều

Mô hình bài toán được xây dựng tổng quát trong không gian d chiều nênkết quả đánh giá áp dụng được cho các mô hình không gian khác nhau

Kết quả áp dụng vào các mô hình cụ thể cho thấy tính hiệu quả của phươngpháp theo đường hướng biến phân, thể hiện bằng đánh giá mới cho kết quả tốthơn các đánh giá trước đó của Wiener-Voigt-Reuss và Hashin-shtrikman.Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được công bố trên các tạp chí khoahọc [1], [2] trong mục các công trình đã công bố của luận án

Chương 3

MÔ PHỎNG SỐ FFT VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT

cụ bổ trợ cho việc xác định Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT)trong

cơ học vật liệu được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet (1994-[38]) Ưuđiểm của phương pháp so với phương pháp số khác (phần tử hữu hạn FEM) làkhông phải chia lưới và giải các hệ phương trình tuyến tính mà dựa trên thuậttoán tính lặp, điều này làm cho thời gian tính toán giảm đi rất nhiều so vớiphương pháp FEM theo Michel(1999-[41]) Hạn chế của FFT là chỉ áp dụnghạn chế trong một số mô hình vật liệu đặc biệt như vật liệu có cấu trúc tuầnhoàn

Xét vật liệu có cấu trúc tuần hoàn như hình 3.1 Do tính chất tuần hoànnên có thể xét một phần tử đặc trưng V (unit cell) bao gồm pha nền (M) vàcốt liệu (I) Nội dung chính của phương pháp là dựa trên các phương trình

đã biết, điều kiện cân bằng và phép biến đổi Fourier đối với trường gradient

E, trường dòng J, hệ số dẫn C(x) để thiết lập được phương trình tích phânLippmann-Schwinger đối với bài toán không đồng nhất và sử dụng toán tử

Hình 3.1: Mô hình vật liệu tuần hoàn và phần tử đặc trưng

Green tuần hoàn Từ đó rút ra thuật toán số để xác định hệ số dẫn của vậtliệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn:

với  là sai số cho trước ( = 10−3 trong luận án này)

Với hai mô hình vật liệu nền, cốt liệu tròn có các cấu trúc: hình vuông(square), hình lục giác (hexagonal) (hình 3.2), giả sử hệ số dẫn pha nền (matrix)

CM = 1, pha cốt liệu (inclusion) CI = 10, tỉ lệ thể tích vI = 0.1 → 0.9; vM =

1 − vI Kết quả tính toán sử dụng phương pháp số FFT được cho bởi các hình3.3, 3.4 tương ứng cho thấy kết quả FFT nằm trong đánh giá mới ở chương 2

Hình 3.2: Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang đối với hệ số dẫn (a) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vuông (b) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình lục giác