Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể

Với vật liệu đa tinh thể hỗn độn áp dụng tính toán cho một số loại đa tinhthể có trong tự nhiên cũng cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó của Hillvà Hashin-Shtrikman HS.. Chương 3:

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

——————————–

NGUYỄN VĂN LUẬT

ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ

TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU

NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2017

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

***

NGUYỄN VĂN LUẬT

ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ

TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU

NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1.PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH 2.TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

Hà Nội - 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kếtquả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở bất cứ côngtrình nghiên cứu nào từ trước tới nay.

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này

Nghiên cứu sinh

NGUYỄN VĂN LUẬT

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành gửi lời cám ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Phạm Đức Chính và

TS Nguyễn Trung Kiên những người luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động

viên tôi thực hiện các nghiên cứu khoa học giúp cho tôi hoàn thành luận án này.Tôi cũng xin gửi lời ơn đến các Thầy, Cô đã giảng dạy tôi trong khuôn khổchương trình đào tạo Tiến sỹ, nhóm Seminar khoa học tại Viện Cơ học, các đồngnghiệp, Khoa đào tạo sau đại học-Viện Cơ học đã luôn giúp đỡ tạo mọi điều kiệncho tôi hoàn thành luận án

Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học vàCông nghệ quốc gia (NAFOSTED)

Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến ĐH Công nghiệp Hà Nội, Khoa Cơ khí vàgia đình đã động viên, ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thựchiện luận án này

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CÁM ƠN ii

Danh sách bảng ix

Những kí hiệu và chữ viết tắt xi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN 5 1.1 MỞ ĐẦU 5

1.2 LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HÓA VÀ QUÁ TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU 9

1.3 KẾT LUẬN 19

Chương 2 ĐÁNH GIÁ BIẾN PHÂN CẬN TRÊN, DƯỚI HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU 20 2.1 Đánh giá trên 20

2.2 Đánh giá dưới 26

2.3 Áp dụng tính toán hệ số dẫn (HSD) vĩ mô cho một số mô hình vật liệu 29

2.3.1 mô hình quả cầu lồng nhau 30

2.3.2 Mô hình vật liệu đối xứng ba pha 34

2.3.3 Mô hình vật liệu tổ hợp hai pha dạng nền, cốt liệu tròn 36

2.4 Kết luận 46

Chương 3 MÔ PHỎNG SỐ FFT VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LIỆU 47 3.1 Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) 47

3.2 Áp dụng phương pháp số FFT cho một số mô hình vật liệu 51

3.2.1 Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang 51

3.2.2 Mô hình vật liệu hai pha gồm các quả cầu sắp xếp tuần hoàn 53 3.2.3 So sánh FFT giữa các mô hình vật liệu ba pha có cấu trúc tuần hoàn trong không gian hai chiều 55

3.2.4 So sánh giữa các mô hình vật liệu ba pha có cấu trúc tuần hoàn trong không gian ba chiều 60

3.3 Kết luận 63

Chương 4 ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU 64 4.1 Đánh giá trên 64

4.2 Đánh giá dưới 70

4.3 Áp dụng đánh giá một số trường hợp cụ thể 75

4.4 Kết luận 84

KẾT LUẬN CHUNG 85

Các công trình đã công bố 87

1.1 Vật liệu composite nền nhôm (Al), cốt là những quả cầu gốm

(Ce-ramic) rỗng 10

1.2 Mô hình quả cầu lồng nhau (a) Quả cầu lồng nhau 2 pha, (b) Quả cầu lồng nhau 3 pha 10

1.3 Vật liệu composite dạng cốt sợi 10

1.4 Vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên hoàn toàn 1,2,3 pha 11

1.5 Vật liệu đa tinh thể hỗn độn 12

1.6 Mô hình thí nghiệm (a) Thiết bị đo hệ số dẫn nhiệt H-940, (b) Các mẫu thử vật liệu tổng hợp bakelite–graphite 17

1.7 Kết quả so sánh thực nghiệm và lý thuyết của vật liệu tổ hợp bake-lite–graphite 18

2.1 mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha 30

2.2 Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha nền C2 = 20, trong không gian 2 chiều 31

2.3 Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha nền C2 = 20, trong không gian 3 chiều 31

2.4 mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha 33

2.5 Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu C1 = 1, C2 = 5, pha nền C3 = 20, trong không gian 2 chiều 33

2.6 Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu C1 = 20, C2 = 5, pha nền C3 = 1, trong không gian 3 chiều 33

2.7 Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng 35

2.8 Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha C1 = 20, C2 = 5, C3 = 1, trong không gian 2 chiều 35

2.9 Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20 trong không gian 3 chiều 35

2.10 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt

liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu

có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình vuông (b) Đồ thị kết quả

đánh giá cận trên, dưới 38

2.11 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt

liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu

có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình lục giác (b) Đồ thị kết quả

đánh giá cận trên, dưới 38

2.12 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt

liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu

có cốt liệu hình tròn cùng kích cỡ sắp xếp ngẫu nhiên không chồng

lấn (b) Đồ thị kết quả đánh giá cận trên, dưới 39

2.13 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt

liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu

có cốt liệu hình tròn cùng kích cỡ sắp xếp ngẫu nhiên chồng lấn.

(b) Đồ thị kết quả đánh giá cận trên, dưới 39

2.14 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha C1 = 1, C2 = 10 trong

không gian 2 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu 2 pha, các quả cầu

pha phân bố hỗn độn dạng đối xứng (b) Đồ thị kết quả đánh giá

cận trên, dưới 40

2.15 Vật liệu có cấu trúc lập phương trong không gian 3 chiều (a) lập

phương đơn giản (simple cubic) (b) lập phương tâm khối

(body-centered cubic) (c) lập phương tâm mặt (face-(body-centered cubic) 41

2.16 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều

có cấu trúc lập phương đơn giản với pha nền C1 = 10, pha cốt

liệu C2 = 2 42

2.17 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều

có cấu trúc lập phương tâm khối với pha nền C1 = 10, pha cốt

liệu C2 = 2 42

2.18 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều

có cấu trúc lập phương tâm mặt với pha nền C1 = 10, pha cốt liệu

C2 = 2 43

2.19 Mô hình quả cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên trong không

gian 3 chiều (a) Quả cầu không chồng lấn ngẫu nhiên (b) Quả

cầu chồng lấn ngẫu nhiên 44

2.20 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên không chồng lấn với pha nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15 45

2.21 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên chồng lấn với pha nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15 45

3.1 Mô hình vật liệu tuần hoàn và phần tử đặc trưng 48

3.2 Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang đối với hệ số dẫn (a) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vuông, (b) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình lục giác 53

3.3 Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp xếp dạng hình vuông trong không gian 2 chiều , CM = 1, CI = 10 53 3.4 Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp xếp dạng hình lục giác trong không gian 2 chiều, CM = 1, CI = 10 54

3.5 Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương đơn giản (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 55

3.6 Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương tâm khối (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 55

3.7 Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương tâm mặt (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 56

3.8 Mô hình có cấu trúc hình vuông 57

3.9 Mô hình có cấu trúc hình lục giác 57

3.10 mô hình dạng ngẫu nhiên 58

3.11 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường hợp CM = 1, CI2 = 20, CI1 = 5 59

3.12 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường

hợp CM = 5, CI 2 = 1, CI 1 = 20 59

3.13 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường

hợp CM = 20, CI2 = 1, CI1 = 5 60

3.14 Mô hình vật liệu dạng quả cầu lồng nhau sắp xếp tuần hoàn (a)

Lập phương đơn giản (b) Lập phương tâm khối (c) Lập phương

không gian 2 chiều 774.2 Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong

không gian 3 chiều, với C3 =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7;

7.5; 8 và các hệ số cố định C1 = 5, C2 = 10 784.3 Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong

không gian 3 chiều, với C3 =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7;

7.5; 8 và các hệ số cố định C1 = 2, C2 = 15 80

Bảng 2.1 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu với các cấu trúc: Square,Hexagonal, non-overlapping, overlapping (Torquato,2002-[73]).

Bảng 2.2 Thông tin hình học bậc ba ζ2cho vật liệu với các cấu trúc: simple cubic,body-centered cubic, face-centered cubic (Torquato,2002-[73])

Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng với các cấu trúc: randomnon-overlapping, random overlapping (Torquato,2002-[73])

Bảng 4.1 Biên Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánh giá mới (CU, CL) với

C2 = 1; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; 5 , C1 = 1 và emax1 , emin1 tương ứng khi CU e, CLeđạt tới giá trị Max và Min

Bảng 4.2 Biên Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánh giá mới (CU, CL) với

C3 = 2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8 , C1 = 5, C2 = 10 và emax1 , emin1tương ứng khi CU e, CLe đạt tới giá trị Max và Min

Bảng 4.3 Biên Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánh giá mới (CU, CL) với

C3 = 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8 , C1 = 2, C2 = 15 và emax1 , emin1 tươngứng khi CU e, CLe đạt tới giá trị Max và Min

Bảng 4.4 Hệ số điện môi của một số loại đa tinh thể trong đó so sánh biên Hill(CHU, CHL), Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánh giá mới (CU, CL) trongkhông gian 2 chiều

Bảng 4.5 Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10−1W cm−1K−1) của một số loại đa tinh thểtrong đó so sánh biên Hill (CHU, CHL), Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánhgiá mới (CU, CL) trong không gian 2 chiều

Bảng 4.6 Hệ số dẫn điện (đơn vị M Sm−1) của một số loại đa tinh thể trong đó

so sánh biên Hill (cUH, cLH), Hashin-Shtrikman (cUHS, cLSH) và biên đánh giá mới(cU, cL) trong không gian 2 chiều

Bảng 4.7 Hệ số điện môi của một số loại đa tinh thể trong đó so sánh biên Hill

(CHU, CHL), Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánh giá mới (CU, CL) trongkhông gian 3 chiều.

Bảng 4.8 Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10−1W cm−1K−1) của một số loại đa tinh thểtrong đó so sánh biên Hill (CHU, CHL), Hashin-Shtrikman (CHSU , CSHL ) và biên đánhgiá mới (CU, CL) trong không gian 3 chiều

Bảng 4.9 Hệ số dẫn điện (đơn vị M Sm−1) của một số loại đa tinh thể trong đó

so sánh biên Hill (cUH, cLH), Hashin-Shtrikman (cUHS, cLSH) và biên đánh giá mới(cU, cL) trong không gian 3 chiều

Aβγα thông tin hình học bậc ba của vật liệu

Cef f hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu

h.i trung bình thể tích trên miền V

J trường dòng (nhiệt, điện )

CU Cận trên của hệ số dẫn vĩ mô

CL Cận dưới của hệ số dẫn vĩ mô

FFT phương pháp biến đổi Fourier nhanh

New bound đường đánh giá mới của luận án

MỞ ĐẦU

Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án

Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (vật liệu Composite) và vật liệu đa tinh thểhỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong các lĩnh vực khoa học, kỹthuật và đời sống hiện nay Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của các loại vậtliệu này là rất cần thiết và có tính thời sự cho việc ứng dụng thực tế Khác với vậtliệu thuần nhất vật liệu tổ hợp có cấu trúc vi mô khác nhau giữa các thành phầntrong đó và sự tương tác giữa chúng là rất phức tạp Vật liệu tổ hợp về mặt vi mô

có cấu tạo các thành phần khác nhau nhưng về mặt vĩ mô là đồng nhất Do cónhiều thành phần cấu thành với đặc trưng riêng biệt cho nên tính chất vĩ mô (tínhchất hiệu quả) của vật liệu cũng sẽ thay đổi so với các tính chất thành phần trong

nó Tính chất vĩ mô phụ thuộc vào tính chất của từng thành phần cấu thành và cấutrúc hình học vi mô của vật liệu nên việc xác định tính chất vĩ mô là rất phức tạp

và là hướng nghiên cứu cơ bản hiện nay của khoa học vật liệu

Hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc tìm các tính chất dẫn vĩ mô(dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ ) của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thểhỗn độn Các tính chất dẫn này có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc chế tạovật liệu và ứng dụng các vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật Ví dụ như các loại vật liệunền polyme cốt sợi được sử dụng rất nhiều trong các lĩnh vực hàng không, côngnghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử, dân dụng khi gia cố các loạicốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbon, kim loại dẫn đến các tính chất cơ-lýnhư tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm, tán xạ khác nhau Để ứng dụng đượctrong thực tế thì cần xác định được các tính chất dẫn này Trong kỹ thuật hiện naythường sử dụng các đánh giá của Wiener, Voigt, Reuss và Hill là lấy trung bìnhcộng số học và trung bình cộng điều hòa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổhợp Tuy nhiên khi các hệ số dẫn thành phần khác nhau nhiều thì các đánh giá nàycho kết quả xấp xỉ không chính xác Luận án đã xây dựng được các đánh giá trên,dưới của hệ số dẫn vĩ mô tốt hơn các đánh giá trước đây cho phép tìm ra được các

hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp chính xác hơn Các kết quả đó cũng giúp choviệc thiết kế các loại vật liệu tổ hợp mới theo các tính chất dẫn phù hợp với yêucầu thực tế đặt ra

Mục tiêu của luận án

Xây dựng các đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp nhiềuthành phần và đa tinh thể hỗn độn

Áp dụng kết quả đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu cụ thể Sử dụngcông cụ số dựa trên phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) như một cách tính chínhxác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá mới tìm được cho một số môhình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn

Đối tượng của luận án

Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) như hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ, từthẩm, điện môi, thấm nước của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần và đa tinhthể hỗn độn

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số

• Phương pháp giải tích (phương pháp theo đường hướng biến phân) dựa trênnguyên lý biến phân (nguyên lý năng lượng cực tiểu) và nguyên lý biến phânđối ngẫu (nguyên lý năng lượng bù cực tiểu) Từ đó xây dựng các biên trên,biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu

• Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa ra thuậttoán lặp và sử dụng chương trình Matlab để tính cho một số mô hình vật liệu

có cấu trúc tuần hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FFT Kết quả FFTđược coi như một cách tính chính xác để so sánh với kết quả đánh giá theođường hướng biến phân

đó Với vật liệu đa tinh thể hỗn độn áp dụng tính toán cho một số loại đa tinhthể có trong tự nhiên cũng cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó của Hill

và Hashin-Shtrikman (HS)

• Sử dụng phương pháp FFT để tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúctuần hoàn nhằm mục đích so sánh với đánh giá mới tìm được Bên cạnh đócũng bước đầu xây dựng được thuật toán và chương trình số như một hướng

đi trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc

tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) vàtuyển tập các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị)

Cấu trúc của luận án

Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụthể:

Chương 1: Tổng quan

Trình bày về lịch sử quá trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu trong đóđưa ra các kết quả nổi bật đã được công bố trước đây Các phương pháp được sửdụng trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu, từ đó đưa ra phương pháp tiếp cận củaluận án thông qua các nguyên lý năng lượng và phương pháp số FFT để so sánh

Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, dưới hệ số dẫn của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần trong không gian d chiều

Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu,trong đó đưa ra các trường khả dĩ mở rộng hơn của trường phân cực Hashin-Shtrikman Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng được đánh giá trên, dưới cho

hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần Sử dụng kết quả đánhgiá mới áp dụng cho một số mô hình vật liệu đã biết thông tin bậc ba hình học pha

và có so sánh với các đánh giá trước đây

Chương 3: mô phỏng số FFT và so sánh với các đánh giá cho một số mô hình vật liệu

Xây dựng thuật toán số FFT để tính toán hệ số dẫn vĩ mô cho một số mô hìnhvật liệu tổ hợp trong giới hạn của phương pháp là vật liệu có cấu trúc tuần hoàn

nhằm so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2.

Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong không gian d chiều

Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu đểxây dựng đánh giá trên, dưới cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn Trong đó đưa ra cáctrường khả dĩ có chứa thông tin hình học pha của vật liệu, tổng quát hơn trườngkhả dĩ của Hashin-Shtrikman và Pham D.C Áp dụng vào cho một số loại đa tinhthể có trong tự nhiên cho thấy kết quả đánh giá mới tốt hơn các đánh giá đã công

bố trước đó

Kết luận chung

Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các hướng nghiên cứucứu tiếp theo

tổ hợp (hệ số dẫn nhiệt, điện, thấm từ, đàn hồi ) phụ thuộc vào nhiều yếu tố phứctạp như các tính chất tương ứng của các vật liệu thành phần, cấu trúc hình học, tỷ

lệ thể tích các thành phần, liên kết biên tiếp xúc giữa các thành phần

Tính chất cơ-lý của vật liệu có nhiều vấn đề cần nghiên cứu nhưng trong luận

án này tác giả đề cập đến một phần trong các tính chất đó là các hệ số dẫn vĩ môcủa vật liệu bao gồm nhiều dạng:

Hệ số dẫn nhiệt C là tenxơ bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật

liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu dị hướng,được biểu diễn thông qua phương trình truyền nhiệt Fourier

trong đó E = ∇T (x) là vectơ gradient nhiệt, T (x) là trường nhiệt độ, dòng nhiệt

J thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt:

Điều kiện biên có thể là cho trước trường nhiệt độ T (x) = T0(x), hoặc dòng nhiệtJ(x).n(x) = q0(x) trên toàn phần hoặc một phần biên vật thể, n(x) là pháp tuyếnngoài trên biên, T0(x) và q0(x) là các giá trị cho trước Trong trường hợp vật liệuđẳng hướng ta có C = CI, trong đó I là tenxơ bậc hai đơn vị và C là giá trị vô

hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng Từ các phương trình (1.1) và (1.2) ta nhậnđược phương trình Laplace :

Trong luận án này các mặt tiếp xúc giữa các thành phần được giả thiết là lý tưởngnghĩa là các hàm số T (x) và J(x) · n(x) là liên tục qua mặt tiếp xúc, n(x) là pháptuyến tại mặt tiếp xúc

Hệ số tán xạ β đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổi hướng

lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), có thể được xác địnhthông qua định luật lan truyền Fick:

trong đó P là áp lực nước, η là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng (tỉ lệ với tốc

độ thấm v và độ rỗng của môi trường vật chất ρ , q = ρv) thỏa mãn phương trìnhcân bằng ∇ · q = 0

Hệ số điện môi (thấm điện)  đặc trưng cho tính chất điện của môi trường

điện môi được xác định qua phương trình:

trong đó D là vectơ cảm ứng điện thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · D = 0, E

là cường độ điện trường

Hệ số thấm từ (độ từ thẩm) µ là đại lượng đặc trưng cho tính thấm từ của từ

trường vào vật liệu, nói lên khả năng phản ứng của vật liệu dưới tác dụng của từtrường ngoài Thỏa mãn phương trình:

trong đó B là cảm ứng từ thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · B = 0, H là cường

độ từ trường

Tất cả các tính dẫn trên đều có cấu trúc toán học chung, đều dẫn tới thỏa mãnphương trình Laplace và các kết quả đều có thể sử dụng chung với các chỉnh lýtương ứng cho từng trường hợp cụ thể Từ đây về sau để cho đồng nhất chúng ta

sẽ sử dụng ngôn ngữ của bài toán dẫn nhiệt Các tính chất dẫn đó cũng có vaitrò quan trọng trong các bài toán cơ-nhiệt, cơ-điện, điện-áp, khi có sự tham giatương tác của nhiều trường khác nhau

Để đánh giá hệ số dẫn hiệu quả vĩ mô của vật liệu tổ hợp không đồng nhất chỉcần đánh giá trên phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) củavật liệu đó, phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện chocác tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thướccủa vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa Phần tử đặc trưng Vđược cấu thành bởi n thành phần chiếm các không gian Vα ⊂ V và có các hệ sốdẫn (nhiệt, điện, điện môi, thấm từ ) Cα, α = 1, , n Phần tử đặc trưng V (thểtích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Đề các {x1, x2, x3} khi cácthành phần cấu thành phân bố hỗn độn hay đều theo mọi hướng trong không gian

ta có thể coi vật liệu là đẳng hướng vĩ mô, các kích thước vi mô là đủ lớn so vớikích thước phân tử để có thể được coi là môi trường liên tục

Có nhiều phương pháp được sử dụng để xác định tính chất vĩ mô của vật liệunhư phương pháp theo đường hướng giải phương trình: giải trực tiếp các phươngtrình cơ học môi trường liên tục; các phương pháp số (FEM,FFT ) Trong luận

án này tác giả đề cập đến phương pháp năng lượng hay phương pháp theo đườnghướng biến phân, đó là xác định hệ số dẫn hiệu quả thông qua việc tìm cực trị củacác phiếm hàm năng lượng trên V Đặc điểm của bài toán tính chất vĩ mô là cácthông tin hình học pha của vật liệu rất hạn chế nên trong phần lớn các trường hợpkhó xác định chính xác một tính chất nào đó của vật liệu tổ hợp mà chỉ có thể tìmđược đánh giá cận trên và dưới đối với tính chất đó Như vậy phương pháp theođường hướng biến phân xây dựng các đánh giá có ưu thế rõ ràng so với đườnghướng giải phương trình mà đòi hỏi cho trước hình học pha của vật liệu Cách thứcchính để tìm các đánh giá là đi từ nguyên lý năng lượng cực tiểu Nguyên lý nănglượng cực tiểu để tìm đánh giá trên cho vật liệu đẳng hướng vĩ mô n pha

và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm đánhgiá dưới

Với những cách tiếp cận như trên, các nhà nghiên cứu đã xây dựng những trườngphái riêng cho vấn đề đồng nhất hóa vật liệu và sau đây trong luận án nêu lên nhữngnét lịch sử và kết quả nổi bật của các tác giả đi trước trong việc tìm ra các đánhgiá hệ số dẫn vĩ mô của vật liêu

1.2 LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HÓA VÀ QUÁ TRÌNH

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU

Những kết quả nghiên cứu đầu tiên được công bố ở cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ

20 về tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều thành phần Tiếp đến làcác mô hình vật liệu tổ hợp được nghiên cứu dưới nhiều dạng cấu trúc khác nhau.Một loại vật liệu phi đối xứng dạng nền-cốt liệu được nghiên cứu từ năm

1892 bởi Maxwell [35], rồi sau đó đến Bruggeman (1935-[3]), Landau [34]), Hashin-Shtrikman (1962-[23]), Beran (1971-[4]), Christensen (1979-[13]),Pham(1997-[50])) Bắt đầu từ vật liệu chứa tỉ lệ nhỏ các hạt cốt liệu lý tưởng hìnhcầu và ellipsoids phân bố cách xa nhau trong pha nền liên tục Pha nền liên tục cóảnh hưởng lớn hơn đến các tính chất vĩ mô so với các pha khác từ các hạt cốt liệuphân bố rời rạc trong pha nền, ở đây không có một biểu diễn toán học chung chomọi loại vật liệu dạng nền-cốt liệu (hình 1.1) Mô hình đơn giản nhất cho vật liệudạng nền-cốt liệu hai pha là mô hình quả cầu lồng nhau (hình 1.2 a): Mô hình quảcầu đồng tâm với lõi là pha cốt liệu vỏ thuộc pha nền với cùng tỷ lệ thể tích chotrước và toàn bộ không gian vật liệu được lấp kín một cách hỗn độn bởi các quảcầu lồng nhau như vậy-đồng dạng nhưng có kích thước khác nhau tới vô cùng bé.Trong một số các trường hợp pha cốt liệu được bọc bởi một lớp tiếp xúc trước khiphân bố trong một pha nền liên tục, vật liệu như vậy có thể xấp xỉ theo mô hìnhquả cầu lồng nhau ba pha (hình 1.2 b) Trong thực tế cũng thường gặp các loại vậtliệu tổ hợp dạng nền được gia cố cốt hạt hoặc cốt sợi (fiber-reinforced composites)

(1960-để làm tăng hoặc giảm tính chất nào đó của pha nền Ví dụ như vật liệu nền nhômkhi đưa thêm vào các quả cầu gốm rỗng ở hình 1.1 có thể làm giảm khối lương,tăng độ bền, giảm tính dẫn nhiệt, dẫn điện Các vật liệu cốt sợi khi cần xác định

hệ số dẫn vĩ mô theo phương ngang thì mặt cắt ngang có thể được lý tưởng hóabằng một trong các mô hình cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vuông, lục giác hoặcngẫu nhiên (hình 1.3) [72]

Hình 1.1: Vật liệu composite nền nhôm (Al), cốt là những quả cầu gốm (Ceramic) rỗng

Hình 1.2: Mô hình quả cầu lồng nhau (a) Quả cầu lồng nhau 2 pha, (b) Quả cầu lồng nhau 3 pha

Hình 1.3: Vật liệu composite dạng cốt sợi

Miller (1969-[39]) đã xem xét một lớp đặc biệt các vật liệu tổ hợp đẳng gọi là vật liệu có cấu trúc đối xứng (symmetric cell material) với các ràng buộc bổ

hướng-sung lên hình học pha của vật liệu: các pha có cấu trúc hình học vi mô như nhaumặc dù tỉ lệ thể tích khác nhau (hình 1.4) Có thể gọi vật liệu này là loại liệu tổhợp ngẫu nhiên hoàn toàn Pham D.C (1994-[48],1996-[49]) là sự kết hợp của cácvật liệu thành phần phân bố ngẫu nhiên (hỗn độn) trong không gian với hình họcpha tựa như nhau (loại vật liệu này còn được gọi là vật liệu đối xứng theo Miller[39] hay vật liệu có thể đổi chỗ cho nhau Bruno [6]).

Hình 1.4: Vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên hoàn toàn 1,2,3 pha

Một lớp vật liệu phức tạp hơn đó là vật liệu đa tinh thể với các thành phần vậtliệu là các đơn tinh thể dị hướng cũng đã được đề cập đến trong nhiều nghiêncứu Hill (1952-[27]), Landolt (1982-[32]), Schulgasser (1983-[71]), Avellaneda(1988-[1]), Bruno (1991-[6]), Helsing (1994-[29]) Xét ở mức độ kích thước tinhthể phần lớn các vật liệu có trong thực tế là các đa tinh thể được cấu tạo bởi cácđơn tinh thể dị hướng (hình 1.5) Do các đơn tinh thể phân bố hỗn độn ngẫu nhiêntheo mọi hướng nên đa tinh thể có thể có được tính chất đẳng hướng vĩ mô Cácđơn tinh thể thường có kích thước mỗi chiều tới hàng chục, trăm ngàn nguyên tửhoặc hơn nên có thể cũng được xem là môi trường liên tục với các tính chất dịhướng trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của đa tinh thể Tính chất của đa tinhthể phụ thuộc vào tính chất của các đơn tinh thể cơ sở và hình học vi mô, do hìnhhọc vi mô ngẫu nhiên nên không thể có được tính chất xác định của đa tinh thể màchỉ có thể có được đánh giá trong một giới hạn nhất định

Vào năm 1892, Maxwell [35] và Rayleigh [67] đã tìm ra được lời giải tiệm cậncho hệ số dẫn của hỗn hợp dạng nền cốt liệu với pha nền là chủ đạo (vM ' 1) và

tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI  1) sắp xếp theo trật tự lập phương tuần hoàn

Cef f = CM · 2CM + CI + 2vI(CI − CM)

2CM + CI − vI(CI − CM) (vI  1) (1.14)Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) đã đưa ra các công

Hình 1.5: Vật liệu đa tinh thể hỗn độn

thức trung bình cộng số học (Voigt) và trung bình công điều hòa (Reuss) để tínhxấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần và đa tinh thểhỗn độn với hình học pha và tỷ lệ thể tích bất kỳ ở các pha Đối với hệ số dẫn củavật liệu đẳng hướng (tổng theo α chạy từ 1 tới n):

Các biểu thức trung bình cộng số học (1.15) và trung bình cộng điều hòa (1.16)

có các giá trị khác nhau, các kết quả này chỉ gần nhau khi tính chất của các thànhphần gần nhau Với cách xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân có thể chỉ rarằng (1.15) và (1.16) chính là các đánh giá trên và đánh giá dưới đối với tính chất

hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần với cấu trúc hình họcpha bất kỳ của vật liệu Nguyên lý năng lượng cực trị lần đầu tiên được đề xuấtbởi Hill (1952-[27]) trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của vật liệu đa tinh thể vàchọn trường khả dĩ hằng số, ông đã chứng minh được tính chất hiệu quả luôn nằmgiữa trung bình cộng số học CV và trung bình cộng điều hòa CR, đối với hệ số dẫncủa vật liệu tổ hợp đẳng hướng n thành phần và vật liệu đa tinh thể hỗn độn:

vĩ mô cho vật liệu nhiều thành phần trong trường hợp tổng quát trong không gian

d chiều được biểu diễn như sau:

Cmin = min {C1, , Cn} , Cmax = max {C1, , Cn} ,

Với vật liệu đa tinh thể đánh giá của HS (1963-[25]) trong không gian d chiều

Cmin = min {C1, , Cn} , Cmax = max {C1, , Cn} ,

Đánh giá của HS ở trên đúng cho mọi vật liệu tổ hợp đẳng hướng bất kỳ, bất

kể cấu trúc hình học pha như thế nào Có thể thấy rằng chỉ với các tính chất thànhphần của vật liệu cho trước Cα và tỷ lệ thể tích pha vα cũng cho được biểu thức

đánh giá Milton (1981-[40]) đã chỉ ra rằng các đánh giá của HS cho vật liệu nhiềuthành phần n pha là tối ưu cho một lớp giới hạn các giá trị của Cα, vα Đánh giácủa HS được coi là một trong những thành tựu chính của cơ học vật liệu Bản chấtcủa phương pháp là xây dựng toán học khéo léo một trường khả dĩ trên miền Vtrong khi miền V không hoàn toàn xác định cũng cho được các biểu thức đánh giá

cụ thể Một vấn đề đặt ra là liệu có tìm được đánh giá tốt hơn đánh giá HS haykhông? Hashin-Shtrikman đã chỉ ra rằng đánh giá hệ số dẫn Cef f là tối ưu trongtrường hợp vật liệu hai pha bằng cách xây dựng mô hình quả cầu lồng nhau haipha cho giá trị Cef f chính xác là cận trên hoặc cận dưới của HS Với những môhình hình học cụ thể hai pha thì đánh giá HS cho những kết quả từ thô đến rất chặt,khi đặc trưng pha nền là lớn hơn pha cốt liệu thì đặc trưng vĩ mô đạt tới biên trêncòn khi tính dẫn của nó nhỏ hơn pha cốt liệu thì nó tiến tới tiệm cận biên dưới, cáctính chất vật liệu đối xứng thì ở giữa

Đánh giá trên và dưới các đặc trưng vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần phân

bố ngẫu nhiên đối xứng đầu tiên cho vật liệu hai pha được đưa ra bởi Miller [39]) Trong bài báo này Miller đã giới thiệu các lớp tổ hợp mà xác định đặc tính

(1969-vi hình học bao gồm vật liệu dạng cầu cho tới đĩa mà được tạo bởi toàn bộ cácphần tử đồng nhất có dạng cầu (hoặc đĩa) và kích cỡ đa dạng Miler đã xây dựngthành công đánh giá trên, dưới nằm trong đánh giá của HS cho hệ số dẫn vĩ mô λc

của vật liêu có cấu trúc đối xứng hai pha dưới dạng:

Pλ(2λl) ≤ λc ≤ Pλ(2λu), (1.23)

λl = min

(v1

λu = max {v1λ2+ v2λ1, v1λ1+ v2λ2} ,

Phạm D.C (1996-[83]) xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu đã nóitrên (không phải từ các nguyên lý HS), trong khi tìm trường khả dĩ tốt nhất đã xâydựng được các trường khả dĩ phân cực dạng HS cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng

với trường vectơ phân cực p = P

1

|x − y|dy, với d=3 (1.31)

∇2ϕα(x) = ϕα,ii = δαβ, x ∈ Vβ

ϕα,ij là đạo hàm hai lần của hàm thế điều hòa ϕαtheo các biến xi, xj và δαβ là toán

tử Kronecker Γ là hàm Green nghiệm của phương trình Laplace xác định bởi

mô hình vật liệu tựa đối xứng phụ thuộc vào 2 thông số e1, e3 Trong tài liệu củaTorquato [73] việc xác định các tham số thông tin hình học bậc ba đã được tínhtoán số và lập bảng theo các mô hình hình học cụ thể Trong các nghiên cứu trướcđây có thể thấy nghiên cứu của Reuss [68], Voigt [75] chỉ xét đến yếu tố tỷ lệ thểtích pha được coi như đánh giá bậc nhất, trong nghiên cứu của Hashin-Shtrikman[23] có kể đến các tính chất của thành phần vật liệu cho trước được coi như đánhgiá bậc hai, trong các nghiên cứu Pham D.C [47-60] đã đưa vào thành phần nhiễuchứa thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu

Để có những đánh giá tốt hơn so với đánh giá Hashin-Shtrikman cho các môhình vật liệu đẳng hướng cũng như dị hướng là vấn đề khó thu hút sự quan tâmcủa nhiều nhà khoa học Cách thức được nhiều tác giả sau này nghiên cứu là xâydựng các bất đẳng thức biến phân từ các nguyên lý biến phân có chứa các hàmngẫu nhiên mô tả thông tin bổ xung về hình học pha của các vật liệu cụ thể Vềmặt lý thuyết có thể tính được hệ số dẫn vĩ mô chính xác với các đánh giá trên vàdưới trùng nhau nếu có tất cả các hàm ngẫu nhiên tới bậc vô cùng Các hàm ngẫunhiên bậc n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào sắc xuất của n điểm bất

kỳ được lấy tình cờ rơi vào cùng một pha

Bên cạnh đó với sự hỗ trợ của các thiết bị hiện đại thì có thể xác định hệ số dẫncủa vật liệu dựa trên thực nghiệm Azeem S (2012-[2]) sử dụng thiết bị đo hệ sốdẫn nhiệt Unit H-940 (hinh 1.6 a) để xác định hệ số dẫn nhiệt của vật liệu tổ hợpbao gồm nền nhựa tổng hợp (Bakelite) với hệ số dẫn nhiệt 1.4 W/mK, cốt liệu thanchì (Graphite) có hệ số dẫn nhiệt 130 W/mK Trong đó dùng các mẫu thử với tỉ lệthể tích các hạt cốt liệu (Graphite) tăng dần từ 30 đến 55 phần trăm (hình 1.6 b),các mẫu thử được đặt trong ống Teflon để tránh tổn thất nhiệt ra xung quanh

Hình 1.6: Mô hình thí nghiệm (a) Thiết bị đo hệ số dẫn nhiệt H-940, (b) Các mẫu thử vật liệu tổng hợp lite–graphite

bake-Kết quả thực nghiệm trong đó có só sánh với lý thuyết các đánh giá của Wiener,

HS và các công thức xấp xỉ của Maxwell, Mori-Tanaka, Bruggeman (hình 1.7)cho thấy hệ số dẫn nhiệt hiệu quả đo được (đường chấm hình vuông rời rạc) và cácgiá trị dự đoán của các mô hình lý thuyết khác nhau như là các hàm của tỉ lệ thểtích Graphite Từ kết quả hình 1.7 có thể nhận thấy các mô hình lý thuyết đó chỉ

áp dụng hiệu quả, thuận tiện khi tỉ lệ thể tích các hạt cốt liệu thấp Hệ số dẫn nhiệt

vĩ mô đo được cũng khác so với các hệ số dẫn thành phần Cụ thể nền Bakelite khi

đưa thêm vào cốt liệu Graphite với tỉ lệ thể tích tăng đến 30 phần trăm thì hệ sốdẫn nhiệt vĩ mô tăng từ 1.4 W/mK lên 4.84 W/mK, khi tăng lên 55 phần trăm thìHSD nhiệt vĩ mô (12.28 W/mK) tăng lên gấp khoảng 9 lần so với hệ số dẫn củapha nền (1.4 W/mK) Như vậy trong ứng dụng vật liệu Bakelite có tính bền, dai,cứng, chịu nhiệt, chống ẩm và hầu hết các loại hóa chất thì việc đưa thêm Graphicvào có thể cải thiện thêm tính dẫn nhiệt của vật liệu.

Hình 1.7: Kết quả so sánh thực nghiệm và lý thuyết của vật liệu tổ hợp bakelite–graphite

Một hướng nghiên cứu hiện nay cũng thường được sử dụng trong lĩnh vực đồngnhất hóa vật liệu đó là các phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựngxấp xỉ từ các trường khả dĩ động học Phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữuhạn (FEM), ý tưởng trung tâm của phương pháp này là rời rạc hóa vật thể liên tụcthành một tập hợp các miền con có dạng hình học đơn giản hơn gọi là phần tử vớicác đặc trưng cơ học đã biết hoặc dễ dàng xác định Quá trình rời rạc này đã đưabài toán ban đầu phức tạp với vô số bậc tự do về bài toán đơn giản hơn với hữu hạnbậc tự do, có thể tận dụng khả năng tính toán của hệ thống máy tính xem Wriggers[80] Bên cạnh đó phương pháp biến đổi Fourier (FFT) cũng được áp dụng phổbiến trong bài toán xác định tính chất vĩ mô của vật liệu với một số mô hình vậtliệu có cấu trúc đặc biệt như vật liệu có cấu trúc tuần hoàn, trong trường hợp nàyFFT tỏ ra ưu việt hơn so với phương pháp FEM theo Michel (1999-[41]) Phương

pháp FFT được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet (1994-[38]) để xác địnhtính chất vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần FFT được xây dựng trên phươngtrình tích phân Lippmann-Schwinger và tenxơ Green Nghiệm của phương trìnhtích phân thu được nhờ một sơ đồ lặp sử dụng biến đổi Fourier Điều này cho phépgiảm thời gian tính toán khá nhiều, đồng thời FFT cũng cho phép giải dễ dàng cácbài toán vật liệu do nó sử dụng lưới tọa độ đều và không yêu cầu quá trình rời rạchóa các pha khác nhau của phần tử đặc trưng.

1.3 KẾT LUẬN

Xác định các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp nhằm đáp ứng bài toán đồngnhất hóa đang là vấn đề quan trọng trong nghiên cứu hiện nay Tính chất Cơ-lýcủa vật liệu bao gồm nhiều vấn đề mà trong giới hạn phạm vi luận án này tác giảcũng chỉ đề cập được một phần những vấn đề mà tác giả đang quan tâm, cụ thể

là những nghiên cứu về các hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thànhphần và vật liệu đa tinh thể hỗn độn

Tìm hiểu lịch sử quá trình phát triển tìm hệ số dẫn vĩ mô đã giúp cho tác giả cócái nhìn tổng thể và xuyên suốt đối với hướng nghiên cứu đặt ra Từ đó với cáchtiếp cận theo đường hướng biến phân để có được kết quả đánh giá mới tốt hơn cácđánh giá trước đây cho hệ số dẫn vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp được đề cập cụthể trong các chương sau

Việc mở rộng các hướng nghiên cứu như bài toán hệ số nhớt, các mô đun đànhồi cho các loại vật liệu kể trên và tính toán số cho các mô hình vật liệu phức tạphơn cũng đang là đề tài thời sự cần được nghiên cứu sâu để có kết quả tốt hơn nữa

Chương 2

ĐÁNH GIÁ BIẾN PHÂN CẬN TRÊN, DƯỚI HỆ

SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU

2.1 Đánh giá trên

Vật liệu nhiều thành phần thường có cấu trúc vi mô hỗn độn ngẫu nhiên, hệ

số dẫn (nhiệt, điện ) phụ thuộc vào thuộc tính của từng thành phần cũng như cấutrúc hình học vi mô của chúng Các hệ số dẫn đầu tiên và đơn giản nhất là trungbình cộng số học Voigt, trung bình cộng điều hòa Reuss và đánh giá Hill Sau đóHashin và Shtrikman đã đưa ra đánh giá tốt hơn bằng cách đựa vào trường khả dĩphân cực Trong mục này sẽ đi sâu vào việc sử dụng nguyên lý năng lương cựctiểu với trường khả dĩ tổng quát hơn của Hashin-Shtrikman (HS) để cho ra đánhgiá mới tốt hơn các đánh giá trước đó trong không gian d chiều

Xét phần tử đại diện V trong không gian d chiều của vật liệu tổ hợp đẳng hướngđược cấu thành bởi n thành phần chiếm không gian Vα ⊂ V có tỷ lệ thể tích vα(α = 1, , n) mỗi thành phần là vật liệu đẳng hướng có hệ số dẫn Cα

Đánh giá trên đối với hệ số dẫn hiệu quả Cef f được tìm qua biểu thức năng lượngcực tiểu:

Iα(x) gọi là hàm chỉ số pha α Hệ số dẫn C(x) thỏa mãn phương trình

J(x) = C(x)E(x); hJi = Cef fhEi (2.3)

trong đó J(x) là vectơ dòng (điện, nhiệt ) thỏa mãn phương trình cân bằng

∇ · J = 0 và hJi = J0 = const

Nguyên lý năng lượng cực trị được sử dụng lần đầu tiên bởi Hill (1952-[27]),khi đó Hill chọn các trường khả dĩ hằng số E = E0, J = J0 để cho ra được đánhgiá trên, dưới trong (1.18) Sau đó HS đã mở rộng bằng cách xây dựng nguyên lýbiến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ phân cực trong đó phụ thuộc vào mộttham số tự do và hàm thế điều hòa ϕα có liên quan đến thông tin hình học phacủa vật liệu và Pham D.C (1996) đã sử dụng trường phân cực tương tự của HSnhưng áp dụng vào nguyên lý năng lượng đã cho ra đánh giá mới tốt hơn đánhgiá của HS do xuất hiện thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba hình học pha củavật liệu Trong phần này để tìm được đánh giá tốt nhất trong (2.1) đưa vào trườngkhả dĩ gradient E mở rộng từ trường phân cực HS (tổng lặp theo chỉ số Latinh i,j)bằng cách đưa vào nhiều biến tự do hơn (n biến) và hàm thế điều hòa đặc trưngcho thông tin hình học pha của vật liệu dẫn đến thông tin bậc ba hình học pha củavật liệu khi đặt trường khả dĩ này vào phiếm hàm năng lượng Bên cạnh đó có thểnhận thấy các trường khả dĩ trước đây của Hill, HS và Pham D.C chỉ là trường hợpriêng của các trường khả dĩ đưa vào dưới đây

−4π|x−y|1 với d=3

Với các pha phân bố hỗn độn trong không gian và đẳng hướng ta có [76]:

trong đó Aαβγ là thông tin hình học bậc ba của vật liệu đã được nhắc đến ở chương

Biến đổi vế phải của (2.10):

α,β,γ

aαaβCγA˜αβ

γ = Ei0Ei0(1

dX

V γ

ϕα,ijdx

Thật vậy:

Aαβγ : Thông tin hình học bậc ba của vật liệu Thỏa mãn điều kiện [62]

dδβγδijϕ

α ,ij + 1

dδαγδβγ

dx

α

aαCαvα+ 1

dX

Phiếm hàm năng lượng WE phụ thuộc vào các hệ số aα, Cα, vα và tham số bậc

ba hình học pha của vật liệu Để tìm được đánh giá trên tốt nhất ta đi tìm cực tiểuphiếm hàm với ràng buộc (2.9) bằng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực tiểucủa phiếm hàm F :

F = F0− 2λX

α

Nhân phương trình đầu của (2.16) với aα, lấy tổng theo α ta được:

α

aαCαvα] = Ei0Ei0[CV + v0c· a], (2.22)

với v0c = 1dvαCα

n α=1 Từ (2.10),(2.20),(2.22) ta nhận được biểu thức đánh giátrên cho hệ số dẫn vĩ mô

trường dòng đã chọn (2.25) thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · J = 0.

Đặt Ji vào biểu thức đánh giá (2.24) ta có: