chuyên đề phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng nguyễn minh tiến

Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng A thành đường thẳng A' // A.. KIEN THUC CO BAN 1/ĐNI:Điểm M" goi la déi ximg voi diém A⁄Z qua đường thăng a nếu a là đường trung trự

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP DONG DANG

TRONG MAT PHANG

Nguyen Minh Tién

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP DONG DANG TRONG MAT PHANG

DN: Phép bién hinh la một quy tặc đề với mỗi điểm Ä⁄ của mặt phăng, xác định được một diém

duy nhât đêm M của mặt phăng Điêm A⁄” gọi là ảnh của A⁄Z qua phép biên hình đó -

" Kí hiệu: ƒ là một phép biên hình nào đó, và AM” là ảnh của Ä⁄ qua phép ƒ Ta viết:

M'=ƒ(M)hay ƒ(M)= M' hay ƒ: ME» M' hay M——>M'

Lưu ý : + Điểm M gọi là tạo ảnh, AM” là ảnh

+ ƒ là phép biến hình đồng nhất © / (M) = M⁄ VM e#ï Điểm AM gọi là điểm bất động,

+ Đường thăng thành đường thăng

+ Tia thanh tia ‹ + Đoạn thăng thành đoạn thăng băng nó

+ Tam giác thành tam giác băng nó (Trực tâm —> trực tâm, trọng tâm — trong tam, ) + Đường tròn thành đường tròn băng nó (Tâm biên thành tâm: 7 —> /,ˆ= R)

Giải :

a) A’= f(A) = (1:5)

b) B’ = f(B) = (-7;6)

c) C’ = f(C) = (3;-1)

Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y)L——> M' =f(M) = Ƒ =ox-yt 1 y =x-2y+3

Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b)B(-l;3) c)C(-2;4)

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x¡;y),N(X;;Y2)

Khi đó f : M(x,;y,) ——> M' =f(M) = (3xị; Vị)

f:NÑ(x;;y;)——> N' =f(N) = x;;y;)

Ta có :MN = 4; -x,) +ỚØ; -y,)° ,M'N’= /9(x, -x,)° +; -y)Ÿ

Nếu xị #x; thì MN'#MN Vậy : f không phải là phép dời hình

(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách)

Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

a) f : M(x;y) H—> M'= f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x:y) h—> M'= g(M) =( 2x; y+l)

Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?

HD:

a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vi x, # x, thi MN#MN)

Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

a)f: M(x;y)——> M'=f(M)=(y+l; —x) b)g:M(x;:y)——> M'=g(M)=(x;3y)

Phép biến hình nào trên đây là phép đời hình ?

Giải :

a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì y¡ # y„ thì MN'#MN)

|6| Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) ——> M' = f(M) = (—-2x;y +1) Tìm ảnh của đường

thẳng (A): x—3y—2 = 0 qua phép biến hình f

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1)” +(y-2)ˆ =4 E—>(C):(x-2)” +(y-3)” =4

Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y)——> M' =f(M) = (x—3;y+l)

a) CMR f 1a phép dời hình

b) Tìm ảnh của đường thẳng (A) : x +2y—5 =0

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1)? + (y-2)° =2

2 2

d) Tim ảnh của elip (E) : 7 +2 ` 2

Giải : a) Lấy hai điểm bất kì MŒx;;y4),Ñ(X;; Y2)

Khi d6 f : M(x,;;y,) —— M’=f(M)= (x, -3; y,+D

Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng (A) thành đường thẳng (A') // (A)

+ Lấy Me(A) :MG ;0) E—> M'=f(M)=(2:1)

+ Vì (A)//(A)>(A):x+ 2y+m =0(m #-5) Do : (A')› Mf(2;I1)—=m=—4—(A'):x+2y-4=0

đ) Dùng biểu thức toạ độ

Ta có f: M(x;y) ——> M' =f(M) = ph

y =y#*l y=y-l

ViM(xy) eB): 2 + Fat SE 4 OOO 3 2 _ =1©SM(y)e(Œ): „ung, (+3) +> = @-D _

lo| Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) ——> M' = f(M) = (x+1;y—2)

a) CMR f là phép dời hình

b) Tìm ảnh của đường thẳng (A) : x—2y+3 =0

c) Tim ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) +(y -1) =2

đ) Tìm ảnh của parabol (P) : y? =4x

ĐS: b)x-2y-2=0 c) (x +2)" + (y+)? =2 d) (y +2)" =4(x-1)

Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y)L——> M“ =f(M) = (—x;y) Khẳng định nào sau đây sai ?

A flà I phép đời hình B Nếu A(0; a) thì f(A) = A

C M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D f[M(2:3)]e đường thẳng 2x + y+ =0

1

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

DS: Chon C ViM va f(M) déi xtfng nhau qua truc tung > C sai

Trong mpOxy cho 2 phép bién hinh :

f :M(x;y)——>M'= f¡(M) =(x+2;y-4); f, :M(x;y)——> M'= f,(M) =(-x;-y)

Tim toa d6 anh ctia A(4;—1) qua f, rồi f; , nghĩa là tìm f;[f(A)]

DS : A(4;-1) 115 A(6;-5) 2 yA*(—6 35)

Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) —>M' = f(M) = ễ ;-3y) Khang dinh nao sau day sai ?

A f(O)=O (O là điểm bất biến) B Ảnh của A eOx thì ảnh A'=f(A)eOx

C Anh ctia Be Oy thi anh B’= f(B) € Oy D M=f[M( ;-3)] = (1:—9)

1/ DN: Phép tinh tién theo vécto ii 1a một phép dời hình biến điểm 4 thành điểm A⁄' sao cho MM'=ii

Kí hiệu : T hay Tụ Khi đó : Tg(M) = M'©MM'=ủ

['Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến của nó

¡Nếu T5(M) =M ,VM thì Tạ; là phép đồng nhất

2/ Biểu thức tọa độ: Cho ñ = (a;b) và phép tịnh tiến Tụ

M(x: (X;y)——> M'=Tz(M) =(x':y') thì x=x+a u(M)=Œœ yàm | th

3/ Tính chất:

ODL: Phép tinh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

LIHQ:

1 Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng

2 Biến một tia thành tia

3 Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng

5 Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

6 Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

7 Biến tam giác thành tam giác bằng nó (Trực tâm —>trực tâm, trọng tâm —> trọng tâm )

+Tam I

+bk:R=R

+Tâm I +bk:R

Trong mpOxy Tìm ảnh A',B' lần lượt của điểm A(2:3), B(1:1) qua phép tịnh tiến theo vectơ = (3;1)

Tính độ dài AB, AT

Giải

Ta c6 : A'= Ty (A) = (5:4) , B'= T(B) =(4;2) , AB = |ABI= 1/5 , A’B! =IA’B'I= V5

Cho 2 vecto ty; tig Ga sử MỊ =Th, (M),My =Th, (Mj) Tim V dé M¿ =Ty(M)

Giải

Theo đề : MỊ = Tạ (M) MM, = iiy »My = Ty, (MỊ) © MỊM; = iy

Néu : Mj =Ty(M) MM) = ¥>¥= MM) =MM,+M\Mp =i) +i) Vay: ¥=t) 405

Đường thẳng A cắt Ox tại A(—1;0) , cắt Oy tại B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng A' là ảnh

của A qua phép tịnh tiến theo vectơ ủ = (2;—1)

Mặt khác : A'= Tg(A)= AT đi qua AB“ Do đó : x|

[6| Đường thẳng A cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng A' là ảnh

của A qua phép tịnh tiến theo vectơ ủ = (—1;—2)

Giải

Vì:A'= Tụ(A) =(0;—2), B= Tg(B)=(-1;1)

Mặt khác : A'= Tụ(A) = A' đi qua A',B' Do đó : A’) 8 (@;—2) JVTCP: A'B'=(-1;3) = ptts af t y=-2+3t

b)A:3x+y-3=0,u=(-1;-2) => A':3x+y+2=0

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 12 +(y _2)2 =4 qua phép tịnh tiến theo vectơ ti = (1;—3)

Giải

Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến Tụ là : fe xtl ey Ƒ axl

y=y-3 y=y+3

Vì : M(x;y) ce(C) : (x + 1)“ +(y—2)“ =4© x“ +(y'+l)“ =4© M(x;y)e(C): x“ +(y+l)“ =4

Vậy : Ảnh của (C) là (C):x2+ (y+l)ˆ =4

lo| Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y)——> M' = f(M) = (x+1:y—2)

a) CMR f la phép dời hình

b) Tìm ảnh của đường thẳng (A) : x—-2y+3 =0

c) Tim anh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y-1) =2

đ) Tìm ảnh của parabol (P) : y? =4x

ĐS: b)x-2y-2=0 c) (x +2)° +(y+1)? =2 d) (y +2)? =4(x-1)

Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y)——> M' = f(M) = (—x;y) Khẳng định nào sau đây sai 2

A flà I phép dời hình B Nếu A(0;a) thì f(A)= A

C M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D f[M(2:3)] đường thẳng 2x + y+ =0

ĐS : Chọn C Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung > C sai

[9| Tim ảnh của đường tròn (C) : (x -3)2 +(y+ 2/2 =1 qua phép tịnh tiến theo vectơ ti = (—2;4)

say : Biểu thức toạ độ 2 hép tịnh tiến T; là : JŠ ¬ a =x-2 x=x+2

Giải : Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến Tj là v=y+4 y=y~4

hs Móc: 2 2_ a otc cra cot pd cpor and — Vi: MGcy) €(C) : (x3)? +(y +2)? =16 (x' 1? H(y'- 2)? =1 6 M(xry')e(C) 2-2 + (y'—2)? = 1 Vậy : Ảnh cita (C) 1a (C’) : (x-1)2 +(y-2)? =1

BT Tương tự : a) (C) : (x—2)” +(y+3)ˆ =1, ñ = 4:1) => (C): (x-1)? +(y-2)* =1

b) (C) x2 +y? -2x +4y-4=0, i =(—2:3) (C):x?+yˆ+2x~2y~7=0 Trong hệ trục toạ độ Oxy „ xác định toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh

A(—2;0), đỉnh B(— 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2)

Giải

Goi C(x:y) Ta có : IC=(x—l;y —2),AI= (3;2),BI= (2;—1) 6

TA x-l=3 x=4

OViT1a trung diém ctia AC nén : A

Xp -1=2

D=Tz;)©>ID=BI©> BI) ae S xp=3 => D(3;4)

Yp=4

Bài tập tương tự : A(—1:0),B(0:4),1(1;1) => C(3;2),D(2;—2)

[11]Cho 2 đường thẳng song song nhau d va a’ Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến đ thành đ” Hỏi có bao

nhiêu phép tịnh tiến như thế?

Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thanh d’

(12| 2| Cho 2 đường tròn (I,R) va (I',R’) -Hay chi ra mot re? tịnh tiến biến (I,R) thành Œ' RD

—>xhl

Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trén (LR) Gia sti : M’= wow) = MM’ =I’ `—7

> IM = I'M’ =>IM =lM=R>M c(.R)>(Œ R y= TyplGR)]

Cho hinh binh hanh ABCD , hai dinh A,B cé dinh , tam I thay đổi đi động

trên đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC

Giải

Gọi J là trung điểm cạnh AB Khi đó dễ thấy J cố định và IM =JB

Vậy M là ảnh của I qua phép tịnh tiến TR Suy ra : Quỹ tích của M là

ảnh của đường tròn (C) trong phép tịnh tiến theo vectơ JB

Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax? Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ ti = (m,n)

và (P' là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến đó Hãy viết phương trình của (P)

[15] Cho dt A : 6x + 2y-1=0 Tim vects ũ #Ũ để A = Tạ(A)

Gidi : VTCP ctia A la 4 = (2;—6) Để : A = Tj(A) = t cùng phương a Khi đó : ä = (2;—6) =2(1;—3)

=> chon t = (1;-3)

Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A(—5:2) , C(—1;0) Biết : B = Tụ(A) ,C= Tụ(B) Tìm 1 và ở

để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?

Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho AABC: AG:0), B(—2;4) , C(—4;5) G là trọng tâm AABC và phép

tịnh tiến theo vectơ ti # Ö biến A thành G Tìm G' = Tụ (G)

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x-1)? +(y +3)" =2,(C’):x2 ty? —10x+4y+25=0

Có hay không phép tịnh tiến vectơ ú biến (C) thành (C')

HD: (C) có tâm I(1;— 3), bán kính R = 2 ; (C) có tâm I(5;— 2), bán kính R= 2

Ta thấy : R = R'= 2 nên có phép tịnh tiến theo vectơ ủ = (4;1) biến (C) thành (C')

Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A(—-2;1) và BeA :2x—y—5 =0 Tìm tập hợp đỉnh C ?

Giải

Vi OABC 1a hinh bình hành nên : BC = AO =(2;-1) > C=T,(B) vai t = (2;-1)

JBGy)E—E »C(?y) „Do: a oft

y-y=- y=y+*l

LIB(x;y)e A © 2x—-y—5 =0 ©2x'—yˆ—10=0 ©C(x;y')e A”:2x—y—I0=0

Cho AABC Gọi Ai›Bi.CI lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB Gọi O1.O2.O3 và 112,13

tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB,Cy, BC¡A¡, và CA¡B¡ Chứng minh rằng : AO) 0703 = AT I5I3 «

HD:

+ Xét phép tịnh tiến : Tj; — bién AH—>C, Cị ——>B,BỊ ——>AI

AB 2 TỊ 1B TỊ TỊ_

0703 = 15g va 030) =Igly > 0703 =151z,030, = [gly > A010703 = ALyIgIy (c.c.)

|22Ì Trong tứ giác ABCD có AB = 63cm ,CD=12cm , A=60°,B=150°va D=90°

Ta có : MD =;CD và MC =MDA/3 => AMDC là tam giác đều 207 \

= AMCD 1a nita tam gide déu > DMC = 90° va MDA = 30° D 12 ` Vậy : MDA =MAD =MAB=30° = AAMD là tam giác cân tại M

6x3

Dựng MK L AD > K là trung điểm của AD = KD=MDcos30” = > em = AD = 6V3cm

Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm, AD = AB= 6x/3em

- „ - Vấn để 3 : PHÉP ĐÓI XỨNG TRỤC

A KIEN THUC CO BAN

1/ĐNI:Điểm M" goi la déi ximg voi diém A⁄Z qua đường thăng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM”

Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục Đường thẳng a gọi là trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm Mí đối xứng

với M qua đường thẳng a

Kí hiệu : Ð,(M)=M'©M,M'=-M,M, với M, là hình chiếu của M trên đường thẳng a

[IĐN : dlà trục đối xứng của hình H© Đạ(H)=H " `

[iPhép đối xứng trục hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng của nó

Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng

5 Tam giác thành tam giác bằng nó (Trực tâmI———>trực tâm, trọng tâm —> trọng tâm )

6 Đường tròn thành đường tròn bằng nó (Tâm biến thành tâm : I——>I',R'=R)

7 Góc thành góc bằng nó

1.()2M,dLa

2.H=dna

3 H là trung diém cia MM’ > M’?

m PP: Tìm ảnh của đường thẳng : A= D, (A)

-10-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

Tìm Me(A) : (MA+ MB) nui,

* Loại I : A, B nằm cùng phía đối với (A) :

1) gọi A' là đối xứng của A qua (A)

2) VM e(A), th MA + MB= MA+ MB> A'B

Do đó: (MA+MB),.¡.= A'BM.= (A'B)^(A)

* Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với (A) :

HD : M(a:b) 22 M'(—a;b) 20-5 M"(-a;~b)

[3] Cho 2 dudng thing (a) :x-2=0, (b): y +1 =0 va diém M(-1;2) Tim: Mr_22 5M’, 5M",

HD : M(—1;2)-2a->M'(5;2) Pb > M"(5;—4) [ vẽ hình ]

[4| Cho 2 đường thẳng (a) : x—m =0 (m >0), (b): y+n=0(n>0)

Tim M": M@;y)—P# >Mx;y)—PB_>M“(x";y")

HD:MG:y)L—P3—»M" x’=2m—x Đụ, M” x =2m=x

tđ(m;y) y=y td(2m—x;-n) y =-2n-y

Cho điểm M(~1;2) và đường thẳng (a) :x +2y+2=0

HD: (đ): 2x—y +4=0,H=da-> H(—2;0), H là trung điểm của MM' -> M'(-3;—2)

[6| Cho điểm M(~—4;1) và đường thẳng (a) : x + y=0 =M=Ð,(M)=(-1;4)

[7] Cho 2 đường thẳng (A) :4x—y+9=0,(a):x—y +3 =0 Tìm ảnh A=Ð,(A)

HD :

OVi fetes cit a> K=Ana—> K(-2;1)

[IM(—1;5)<A >daM,.La->d:x+y—4=0-—>H(1/2;7/2): tđiểm của MM' > M’=D,(M)=(2;2)

-ll-HD: JanOx = K(3;0)

OP =0(0;0) € Ox

2A Qua O(0;0)

—>A:3x—y=0 +ia

A AABC cin 6 B B AABC có I trục đối xứng

C AABC = Do, (AABC) D Trong tim: G= Boy (G)

HD : ChonD

Trong mpOxy cho điểm M(—3:2), đường thẳng (A) : x + 3y —8 = 0, đường tròn (C) : (x+3)”+(y +2)^= 4

Tìm ảnh của M, (A) và (C) qua phép đối xứng trục (a) :x—2y +2=0

Giải : Gọi MỊ, (A') và (C) là ảnh của M, (A) và (C) qua phép đối xứng trục a

b) Tim anh (A’):

Vì LÝ => (A) cắt (a)= K= (A)o (a)

-12-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

OLay P#K= Q=Đ,[P(—1:3)] = (:—1) (Làm tương tự như cau a) )

L' Qua P(—I;3)

Ulta +(b) L (a) > (b): 2x+y+m=0 Vi(b) > P(-1;3) > m=-1> (b):2x+y-1=0

+ E=(b)A(a) > E(0;1)=> E là trung điểm của P,Q ©

+(A)=(KQ); J_ 9ua KG2) -VTCP : KQ = (-l:~3) = ~(;3) =(A):Š—^~Ÿ“Z 1 3 ¿33 x~y~4=0

c) + Tim ảnh của tâm I(—3;2) như câu a)

«nh đốt xứ 3 nhén đời hình nề [ITâmI_ Pa an [UTam I’ Da vy

+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): JR=2 E——>(C): JR'=R=2 RmIi——I

Trong mpOxy cho điểm M(3;~5), đường thẳng (A) : 3x + 2y —6 = 0, đường tròn (C) : (x+1)”+(y~2)?=9

Tìm ảnh của M, (A) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x—y +1=0

Cho điểm M(2;~3), đường thẳng (A) : 2x + y—4= 0, đường tròn (C) : x“+y“~2x+4y+2 =0

Tìm ảnh của M, (A) và (C) qua phép đối xứng qua Ox

OM(x;y) e(A) ©2x'— y'—4=0<> M(x:y)e(A'):2x—- y-4=0

UMGxuy)€(C): x2+y? -2x +4y +2 =0 x+y —2x'—4y’+2 =0

© (x'-1)? +(y'-2)? =3 M(xsy')]e (CI): (K-1)? +(y-2)? =3

Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x— y+3 = 0 Tìm ảnh của a qua Dox:

Đ '= =x’

Giải : Ta có : Moy)i-POX sMYDY Xi b x

y ="y y=—y

Vì M(x:y) e(a) : 2x— y+3 =0 © 2(x')—(-y')43 = 0 2x'+y'+3 =O M'(xy)e(a’): 2x+y+3=0

ay: Poy an

Vay :(a)———— (a):2x+y+3=0

-13-Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x? +y? —4y—5 =0 Tìm ảnh của a qua Đọy

y=y y=yV

Vi M(x:y) €(C): x7 +y* -4y-5=006 (-x'? ty” -4(y)-5 =0 x +y” —4y-5 =0

©M(x;y)e(C): x+y? —4y-5=0

Dp, ro y!

Giải : Ta số:MGgy) OP yM-|XC Xo {k= x

D,

Vay : (C) 28> (C): x? +? -4y-5=0

Trong mpOxy cho dthang (a) : 2x -y-3 =0, (A) :x—3y +11 =0, (C): x7 +y* -10x —4y +27=0

a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Ð,

b) Tìm ảnh của điểm M(4;~ L) qua D,

c) Tim anh : (A’) = D,(A),(C’) =D, (C)

= fers erst Mote ) Gọi y-y=Bt y =y+Bt I là trung điểm của MM' nên I(Š “X;Ÿ** ) = (a) 2

@ ACT) BOL) 40=06 ACS BPE ec =0

Trong mpOxy cho đường thẳng (A) : x—5y +7 = 0 và (A'): 5x—y—13 = 0 Tìm phép đối xứng qua

trục biến (A) thành (A')

Giải

Vì 5? = = (A) và (A') cắt nhau Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến (A) thành (A') chính

là đường phân giác của góc tạo bởi (A) va (A’)

Ix—5y+7I = Se og (a)

Vi+25 V25+1 x-y-1=0 (a2)

Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục (AI):x+y—5=0,(A2):x-y—I=0

Qua phép đối xứng trục Ð, :

1 Những tam giác nào biến thành chính nó ?

2 Những đường tròn nào biến thành chính nó ?

Từ đó suy ra (a) :

-14-NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

HD:

1 Tam giác có I đỉnh e trục a, hai đỉnh còn lại đối xứng qua trục a

2 Đường tròn có tâm ca

Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x-1)?+ (y -2)7= 4 qua phép đối xứng trục Oy

PP : Dùng biểu thức toạ độ —> ĐS : (C):(x+1)“+(y—2) =4

Hai AABC và AA'B'C' cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua truc Oy

Biết A(- I;5),B(-4;6),C'(;1) Hãy tìm toạ độ các đỉnh A', B' và C

ĐS: A(1;5), B(4;6) và C(—3;1)

Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó

ĐS:

:iHình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng

đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện

['Ngũ giác đều có 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều [Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi

qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện

Gọi d là phân giác trong tại A của AABC, B' là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đạ Khẳng định nào sau đây sai ?

A Nếu AB < AC thì B' ở trên cạnh AC

C Néu AB = AC thi B’=C

D Nếu B' là trung điểm cạnh AC thi AC = 2AB

DS : Néu B’= Dg (B) thì B'e AC

UA dting Vi AB < AC ma AB’= AB nén AB’< AC = B ở trên cạnh AC

|B sai Vì giả thiết bài toán không đủ khẳng định AB = SẠC

CC đúng Vì AB'= AB mà AB = AC nên AB' = AC = B'=C

£1ID đúng Vì Nếu B' là trung điểm cạnh AC thì AC=2AB' mà AB=AB nên AC=2AB

Cho 2 đường thẳng a va b cắt nhau tại O Xét2 phép đối xứng trục Ð, và ĐÐạ : A Pa ,p Po, C Khẳng định nào sau đây không sai ?

A A,B,C e đường tròn (O, R = OC)

B Tứ giác OABC nội tiếp

D AABC vuông ở B

HD: “'A Không sai Vì dị là trung trực của AB= OA = OB, d; là trung trực

của BC > OB = OC => OA = OB = OC=> A,B,C € dung tron (O, R= OC)

:iCác câu B,C,D có thé sai

Cho AABC có hai trục đối xứng Khẳng định nào sau đây đúng ?

A AABC là A vuông B AABC là A vuông cân C AABC là A đều D AABC là A cân

{he =AC => AB=AB=BC= AABC đều

BC=BA

-15-Cho AABC có Ä =1109 Tính B và € để AABC

có trục đối xứng

A.B=509° vàC=209 B.B=4592vàC=252 C.B=40°vàaC=309 D.B=C=359

HD : Chọn D Vì : AABC có trục đối xứng khi AABC cân hoặc đều

pe _180°-A -A_ 180° -110° _ 350

Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất 2

A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi D Hình thang cân

DS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng

Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?

A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hinh thoi D Hinh thang can

ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng

Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?

ĐS : Chọn C Vì : A đều có 3 trục đối xứng

Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?

A Hình vuông B Hình thoi C Hình tròn D Hình thang cân

DS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng

Trong các hình sau , hình nào không có trục đối xứng ?

ĐS : Chọn A Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng

Cho hai hình vuông ABCD và AB'C'D' có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung

Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành ABC” HD: Gỉa sử: BCaBC =E

fo

Ta có : AB = AB, B=B'=90°,AE chung c

= AABE = AAB'E — J PB biét AB = AB’ = EB => BL PAE 5p a B cf

Mặt khác : EC=EC AC = AC'= aV2 => CH PAE 5c’ Es E

` à ĐAE=B > BAB’

Ngoài ra : AD'= AD va D’AE = DAE=90 — D Cc

=D 5p’ ABCD PAE, AB’c'D’

Goi H là trực tâm AABC CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có

đường tròn ngoại tiếp bằng nhau

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tờn Đức Thắng - Đồng Nai

Cho AABC vỏ đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng khừng đi qua B,C

a) Tớm ảnh AABC qua phờp đối xứng D,

b) Gọi G lỏ trọng tóm AABC, Xõc định G' lỏ ảnh của G qua phờp đối xứng Đạ

UB,Cđờanờn Da :BE——>B,CL——>C” sao cho a lỏ trung trực của BB',CC' a ~x@!

b) Vớ Gêa nởn Ð, :GL——>G” sao cho a lỏ trung trực của GGứ

2 sạn x a : c

Cho đường thẳng a vỏ hai điểm A,B nim cing phia d6i vdi a Tớm trởn đường

thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất

Giải: Xờt phờp đối xứng D,:Ar— A’

VM ea thi MA = MA’ Tacờ : MA + MB = MA'’+ MB2A’B

Để MA + MB ngắn nhất thớ chọn M,A,B thẳng hỏng

Vậy :M lỏ giao điểm của a vỏ AB

(SGK-P13)) Cho gục nhọn xOy vỏ M lỏ một điểm bởn trong gục đụ Họy

tớm điểm A trởn Ox vỏ điểm B trởn Oy sao cho AMBA cụ chu vi nhỏ nhất

Giải

Goi N = Do, (M) va P= Bo, (M) Khi dờ : AM=AN , BM=BP

Tw dờ : CVi= MA+AB+MB = NA+AB+BP = NP

( đường gấp khỷc > đường thẳng )

MinCVi = NP Khi A,B lần lượt lỏ giao điểm của NP với Ox,Oy

Cho AABC cón tại A với đường cao AH Biết A vỏ H cố định Tớm tập hợp

điểm C trong mỗi trường hợp sau :

a) B di động trởn đường thẳng A

b) B di động trởn đường trún tóm I, bõn kợnh R

Giải

a) Vớ: C= ĐAH(@Œ), mỏ BeA nởn CeA' với A'= ĐAH(A)

Vậy : Tập hợp cõc điểm C lỏ đường thẳng A“

b) Tương tự : Tập hợp cõc điểm C lỏ đường trún tóm J, bõn kợnh R lỏ ảnh của

đường trún (D qua ĐAH -

ONờu M I thi M’= ĐỊ(M) Ẫ[ lỏ trung trực ctia MM’

ODN :Diờm 11a tam doi xứng của hớnh H<> ĐỊ(H) =H

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Biến một tia thành tia

Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng

oo

Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

Cách 2: Xác định dạng A“//A, rồi dùng công thức tính khoảng cách d(A;A') > A’

Cách 3: Lấy bất kỳ A,BeA, rồi tìm ảnh A',B'eA'—= A'=A'B

Vậy :(A)—> (A'):x+2y—-5=0

Cách 2: Goi A’ = Dy(A) > A’ song song A> A’) x + 2y+m=0(m#5)

Theo để : d;A) = d(I;A') <> 2 = 4 5 5 -m ies” eon)

NGUYEN MINH TIEN - GV Truong THPT Tén Đức Thắng - Đồng Nai

Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I:

1 (C):x” +(y~2) =1,E(2;1) =(Œ):(~4)“+y“ =1 2) (C):x2+yˆ+4x+2y =0,F(;0) =(C):x?+y2

đ/ nghiã hay biểu thức toa độ

Gọi I là trung điểm của AB Ta có : IA =-IB

Từ (1)—= MM' =MI+IA +MI+IB—= MM =2MI

«© MI =IM' © M“= ĐỊ(M) :

Cho ba đường tròn bằng nhau (đ¡;R),đ›;R),(1a;R) từng đôi tiếp

xtic nhau tai A,B,C Gỉa sử M là một điểm trên (¡:R), ngoài ra :

NB 5p sp BG, = NInp +B PI, © NI =-PI3 2)

* Do (I3;R) tiếp xúc với (I¡;R) tại C, nên : `

Từ (1),(2).(3) suy ra : MII =—QIị > M=By,(Q) `

Cho AABC là tam giác vuông tại A Kẻ đường cao AH Vẽ phía he

ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG *% Ä i

a) Chứng minh tập hợp 6 điểm {B,C,F,G,E,D] có một trục đối xứng 6 4 Leelee

b) Gọi K là trung điểm của EG Chứng minh K ở trên đường thẳng AH « <x

c) Goi P= DEA FG Chứng minh P ở trên đường thẳng AH bà

e) Chifng minh : AH,CD,BE đồng qui