Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)

Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊM ĐỨC VĂN

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊM ĐỨC VĂN

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi 4

1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ 41.2 Các điều kiện cần và đủ tối ưu 81.3 Áp dụng 19

2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi suy rộng 25

2.1 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ 252.2 Điều kiện tối ưu 292.3 Áp dụng 36

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu,Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa họccủa mình, thầy đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán

- Tin, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùngtoàn thể các cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K7Y đã nhiệt tình giảng dạy

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập Cuối cùng tác giả xin cảm ơn

bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp luôn bên cạnh động viên và giúp đỡtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015

Tác giả

Nghiêm Đức Văn

Mở đầu

Bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán như: Bài toán tối

ưu vectơ, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán bù vectơ, bài toáncân bằng Nash, bài toán điểm bất động, phạm vi áp dụng của bài toáncân bằng rất rộng rãi Người ta nghiên cứu bài toán cân bằng về sự tồn tạinghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, ổn định nghiệm và cấu trúc tập nghiệm

X H Gong [2] đã dẫn các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu,nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục và nghiệm siêu hữu hiệucủa bài toán cân bằng vectơ lồi có ràng buộc và áp dụng cho bài toán bấtđẳng thức biến phân, bài toán tối ưu vectơ X J Long, Y Q Huang, Z Y.Peng [5] thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig vànghiệm siêu hữu hiệu của bài toàn cân bằng vectơ có ràng buộc với các giảthiết về tính lồi suy rộng Mới đây, D V Luu và D D Hang [6, 7] đã thiếtlập các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thứcbiến phân vectơ không trơn và bài toán cân bằng vectơ không trơn Đây là

đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì vậy tôi chọn đề tài:

“Về điều kiện tối ưu cho bài toàn cân bằng vectơ”

Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho một

số loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồi có ràng buộc củaGong ([2], 2008) và điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữuhiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc với các giả thiết lồi suy rộngcủa Long – Huang – Peng ([5], 2011)

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1 trình bày các kết quả của X H Gong ([2], 2008) về điều kiệntối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi gồm một số khái niệm nghiệm hữuhiệu và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệmhữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của bàitoán cân bằng véctơ có ràng buộc và áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biếnphân vectơ có ràng buộc và bài toán tối ưu có ràng buộc

Chương 2 trình bày các kết quả của X J Long, Y Q Huang và Z Y.Peng ([5], 2011) về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệmsiêu hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ lồi suy rộng có ràng buộc, cùngvới các áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối

ưu vectơ có ràng buộc

Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưngvới trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránhkhỏi những thiếu sót Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và cácanh chị đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015

1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ

Giả sử X, Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là khônggian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương thực, X0 là tập con lồi khác rỗngcủa X, g : X0 → Z, F : X0 × X0 → Y, K là nón nhọn lồi đóng của

Giả sử Y∗ là không gian tôpô đối ngẫu của Y , C là một nón nhọn lồiđóng trong Y Tập

C∗ = {y∗ ∈ Y∗ : y∗(y) > 0, ∀y ∈ C}

là nón đối ngẫu của C

Ký hiệu tựa phần trong của C∗ là C], tức là

C] := {y∗ ∈ Y∗ : y∗(y) > 0, ∀y ∈ C \ {0}}

Giả sử D là tập con khác rỗng của Y Bao nón của D được xác định như sau:

cone(D) = {td : t > 0, d ∈ D}

Kí hiệu bao đóng của D bởi cl(D) và phần trong của D bởi intD

Một tập con lồi khác rỗng B của nón lồi C được gọi là một cơ sở của C,nếu C = cone(B) và 0 /∈ cl(B) Dễ thấy rằng C] 6= ∅ nếu và chỉ nếu C cómột cơ sở

Cho B là một cơ sở của C Đặt

CM(B) = y∗ ∈ C] : ∃t > 0 sao cho y∗(b) > t ∀b ∈ B

Theo định lí tách của các tập lồi, ta có CM 6= ∅ Rõ ràng CM(B) ⊂ C] Cho

B là một cơ sở của C Khi đó 0 /∈ clB Theo định lí tách của các tập lồi, tồntại y∗ ∈ Y∗ \ {0}sao cho

r = inf {y∗(b) : b ∈ B} > y∗(0) = 0

Đặt

VB = {y ∈ Y : |y∗(y)| < r/2} Khi đó VB là một lân cận lồi mở của 0 trong Y Khái niệm VB sẽ được sửdụng trong suốt chương này

Nếu intC 6= ∅ thì một véc tơ x ∈ A thỏa mãn

F (x, y) /∈ −intC , với mọi y ∈ A,

được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng véctơ có ràngbuộc VEPC

Với mỗi x ∈ X0, ta kí hiệu

cone (F (x , A)) ∩ (−intCU(B )) = ∅

Rõ ràng một véctơ x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henig nếu và chỉ nếu

F (x, A) ∩ (−intCU(B )) = ∅

Định nghĩa 1.4.

Nếu F (x, y) = hT x, y − xi, x, y ∈ A, và x ∈ A là một nghiệm hữuhiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàn cục,một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC thì x ∈ A được gọi là là một nghiệmhữu hiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàncục, một nghiệm siêu hữu hiệu của VVIC tương ứng

Một trường hợp đặc biệt khác của VEPC là bài toán tối ưu véctơ có ràngbuộc (ký hiệu là VOPC) với

F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ Atrong đó f : A → Y

Định nghĩa 1.5.

Nếu F (x, y) = f(y) − f(x), x, y ∈ A và x ∈ A là một nghiệm hữuhiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàn cục,

một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC thì x ∈ A tương ứng được gọi là mộtnghiệm hữu hiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữuhiệu toàn cục, một nghiệm siêu hữu hiệu của VOPC.

Ký hiệu tập của nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệmhữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của VOPC tương ứng là VW, VH, VG

là các tập con bị chặn của Y, ε > 0, n ∈ N



lập thành một cơ sở lân cận của 0 trong Y∗ theo tôpô β(Y∗, Y )

Bổ đề 1.1.

Giả sử nón lồi nhọn C có một cơ sở là B.

(i) Với bất kì lân cận lồi mở U của 0 trong Y với U ⊂ VB, ta có

(CU(B))∗ \ {0} ⊂ CM(B)

(ii) Với bất kì f ∈ CM(B), tồn tại lân cận lồi mở U của 0 trong Y với

U ⊂ VB sao cho

f ∈ (CU(B))∗ \ {0}

(iii) Nếu nón lồi đóng C có một cơ sở B đóng bị chặn, thì intC∗ = CM(B ),

trong đó intC∗ là phần trong của C∗ theo tôpô β(Y∗, Y ).

1.2 Các điều kiện cần và đủ tối ưu

Phần này trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệmhữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của bàitoán cân bằng véctơ có ràng buộc

Ánh xạ f : X0 → Y được gọi là C- lồi, nếu với mọi x1, x2 ∈ X0, và

Ta đưa vào giả thiết sau:

(A) Với mỗi x ∈ X0, F (x, x) = 0 và F (x, y) là C lồi trong Y ; g là K

-lõm trên X0, và tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0) ∈ intK

Nếu g là K- lõm trên X0, theo giả thiết (A), ta có A = {x ∈ X0 : g(x) ∈ K}

Giả sử có x ∈ A là nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC Định nghĩa tập

M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y0 ∈ X0 sao cho

y − F (x, y0) ∈ intC , g(y0) − z ∈ intK

Rõ ràng M 6= ∅ Do tính C- lồi của F theo biến thứ hai, và tính K- lõmcủa g, ta có M là một tập lồi Rõ ràng M là một tập mở Ta khẳng định rằng

(0, 0) /∈ M Nếu không, khi đó tồn tại y0 ∈ X0 sao cho

0 − F (x, y0) ∈ intC , g(y0) − 0 ∈ intK

Khi đó F (x, y0) ∈ −intC, và y0 ∈ A Điều này mâu thuẫn với x là nghiệmhữu hiệu của VEPC Như vậy (0, 0) /∈ M Theo định lí tách các tập lồi, tồntại (0, 0) 6= (y∗, z∗) ∈ (Y × Z)∗ = Y∗ × Z∗ sao cho

0 < y∗(y) + z∗(z) với mọi (y, z) ∈ M (1.1)Giả sử (y, z) ∈ M Khi đó tồn tại y0 ∈ X0sao cho y−F (x, y0) ∈ intC , g(y0)−

z ∈ intK Vì vậy, với mọi c ∈ intC , k ∈ intK , t > 0 , t0 > 0, ta có(y + tc, z) ∈ M,và (y, z − t0k) ∈ K Từ (1.1) ta có

0 < y∗(y + tc) + z∗(z) với mọi c ∈ intC và t > 0 Như vậy,

(−z∗(z) − y∗(y))/t < y∗(c) với mọi c ∈ intC và t > 0

Cho t → ∞, ta nhận được

0 6 y∗(c) với mọi c ∈ intC Bởi vì C là một nón lồi đóng cho nên C = cl(intC ) Do tính liên tụccủa y∗, ta có thể thấy rằng 0 6 y∗(c) với mọi c ∈ C Điều đó có nghĩa là

y∗ ∈ C∗ Tương tự, ta có thể thấy rằng z∗ ∈ −K∗ Ta cũng có y∗ 6= 0 Thậtvậy, nếu y∗ = 0, từ (1.1) ta được

0 < z∗(z)với mọi (y, z) ∈ M

Theo giả thiết (A), tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0) ∈ intK Như vậy, ta có

(F (x, x0) + c, g(x0) − z) ∈ M với mọi c ∈ intC , z ∈ intK

Vì vậy,

0 < z∗(g(x0) − z) ,

và do đó,

z∗(z) < z∗(g(x0)) Nói riêng, ta có

z∗(g(x0)) < z∗(g(x0)) Đây là một mâu thuẫn Như vậy y∗ 6= 0 Rõ ràng là

(F (x, y) + c, g(y) − k) ∈ M với mọi y ∈ X0, c ∈ intC và z ∈ intK

Từ (1.1), ta nhận được

0 6 y∗(F (x, y)) + z∗(g(y))với mọi y ∈ X0 (1.2)

Rõ ràng là (F (x, x) + tc, g(x) − tk) ∈ M với mọi c ∈ intC , z ∈ intK ,

t > 0 Từ (1.1) và giả thiết (A), ta có

y∗(F (x, x)) + z∗(g (x)) = min

y∈X {y∗(F (x, y)) + z∗(g(y))} (1.5)

Ta sẽ chỉ ra rằng x là một nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC Nếu không, khi

đó tồn tại y0 ∈ A sao cho

F (x, y0) ∈ −intC Bởi vì y∗ ∈ C∗ \ {0}, ta có

y∗(F (x, y0)) < 0

Chú ý rằng y0 ∈ A, ta có g(y0) ∈ K và z∗(g (y0)) 6 0 bởi vì z∗ ∈ −K∗.Kết hợp với (1.5) có được

M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y0 ∈ X0 sao cho

y − F (x, y0) ∈ intCU(B ), g(y0) − z ∈ intK

Rõ ràng là M 6= ∅ Do tính C - lồi của F theo biến thứ hai, tính K - lõm của

g, C\ {0} ⊂ intCU(B )và CU(B) là một nón lồi, ta có M là một tập lồi Rõràng M là một tập mở Ta khẳng định rằng (0, 0) /∈ M Nếu không, khi đótồn tại y0 ∈ X0 sao cho

0 − F (x, y0) ∈ intCU(B ), g(y0) − 0 ∈ intK Khi đó F (x, y0) ∈ −intCU(B ), và y0 ∈ A Điều này mâu thuẫn với (1.6).Như vậy (0, 0) /∈ M Theo định lí tách các tập lồi, tồn tại (0, 0) 6= (y∗, z∗) ∈(Y × Z)∗ = Y∗ × Z∗ sao cho

0 < y∗(y) + z∗(z) với mọi (y, z) ∈ M (1.7)Lấy (y, z) ∈ M Khi đó tồn tại y0 ∈ X0 sao cho

y − F (x, y0) ∈ intCU(B ), g(y0) − z ∈ intK

Vì vậy, với mọi c ∈ intCU(B ), k ∈ intK , t > 0 , t0 > 0 ta có

(y + tc, z) ∈ M và (y, z − t0k) ∈ M

Điều này kéo theo y∗ ∈ (CU(B))∗ và z∗ ∈ −K∗ Bằng cách chứng minhtương tự với định lí 1.1, ta có y∗ 6= 0 Theo bổ đề 1.1, ta có y∗ ∈ CM(B) Rõràng là

(F (x, y) + c, g(y) − k) ∈ M, với mọi y ∈ X0,

c ∈ intCU(B ) và k ∈ intK

Ta nhận được

0 6 y∗(F (x, y)) + z∗(g(y))với mọi y ∈ X0 (1.8)

Rõ ràng là (F (x, x) + tc, g(x) − tk) ∈ M với mọi c ∈ intCU(B ), z ∈intK , t > 0 Từ (1.7) và giả thiết (A), ta có

0 < y∗(F (x, x) + tc) + z∗(g(x) − tk) = ty∗(c) + z∗(g(x)) − tz∗(k).Cho t → 0, ta có 0 6 z∗(g(x)) Lưu ý rằng x ∈ A, và z∗ ∈ −K∗, ta có

y∗ F (x, x)
+ z∗ g(x)
= min

y∈X0y∗ F (x, y)
+ z∗ g(y)
(1.11)

Ta sẽ chỉ ra x là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC, tức là tồn tại lâncận U của 0 với U ⊂ VB,

F (x, A) ∩ (−intCU(B )) = ∅ (1.12)Giả sử ngược lại rằng với bất kì lân cận U của 0 với U ⊂ VB, ta có

F (x, A) ∩ (−intCU(B )) = ∅ (1.13)không đúng, có nghĩa là

F (x, A) ∩ (−intCU(B )) 6= ∅

Như vậy, với mỗi lân cận U của 0 với U ⊂ VB, tồn tại yU ∈ Asao cho

F (x, yU) ∈ −intCU(B ) (1.14)

Bởi vì y∗ ∈ CM(B), theo bổ đề 1.1, tồn tại V ⊂ VB sao cho

y∗ ∈ (CV(B))∗ \ {0} Với V đó, từ (1.14) tồn tại yV ∈ Asao cho

F (x, yV) ∈ −intCV(B ) (1.15)

Do y∗ ∈ (CV(B))∗ \ {0}và (1.15), ta có

y∗(F (x, yV)) < 0 (1.16)Chú ý yV ∈ A, ta có g(yV) ∈ K Do z∗ ∈ −K, ta có

Nếu C có một cơ sở B đóng bị chặn, theo bổ đề 1.1, ta có

intC∗ = CM(B ) Hơn nữa, theo mệnh đề 2 [4], x ∈ A là một nghiệm siêuhữu hiệu của VEPC nếu và chỉ nếu x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henigcủa VEPC Vì vậy, theo định lí 1.2, ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1.

Giả sử giả thiết (A) thỏa mãn và C có một cơ sở đóng bị chặn B Khi

đó x ∈ A là một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại

y∗ ∈ intC∗, z∗ ∈ −K∗ sao cho z∗(g(x)) = 0 và

y∗ F (x, x)
+ z∗ g(x)
= min

y∈X y∗ F (x, y)
+ z∗ g(y)
,

trong đó ∈ intC∗ là phần trong của C∗ theo tôpô β(Y∗, Y ).

M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y0 ∈ X0 sao cho y − F (x, y0

) ∈ intH ,g(y0) − z ∈ intK

Rõ ràng là M 6= ∅ Do tính C - lồi của F theo biến thứ hai, tính K - lõm của

g và C\{0} ⊂ intH , ta có M là một tập lồi Rõ ràng M là một tập mở Takhẳng định rằng (0, 0) /∈ M Nếu không, sẽ tồn tại y0 ∈ X0 sao cho

0 − F (x, y0) ∈ intH , g(y0) − 0 ∈ intK Khi đó F (x, y0) ∈ −intH và y0 ∈ A Bởi vì H là một nón nhọn, F (x, y0) 6=

0 Điều này mâu thuẫn với (1.18) Như vậy (0, 0) /∈ M Theo định lí táchcác tập lồi, tồn tại (0, 0) 6= (y∗, z∗) ∈ (Y × Z)∗ = Y∗ × Z∗ sao cho

0 < y∗(y) + z∗(z) với mọi (y, z) ∈ M (1.19)

Lấy (y, z) ∈ M Khi đó tồn tại y0 ∈ X0 sao cho y − F (x, y0) ∈ intH ,g(y0) − z ∈ intK Vì vậy, với mọi c ∈ intH , k ∈ intK , t > 0 , t0 > 0, ta có

F (x, x) + tc, g(x) − tk
∈ M, với mọi c ∈ intH , z ∈ intK , t > 0

Từ (1.19) và giả thiết (A), ta có

0 < y∗(F (x, x) + tc) + z∗(g(x) − tk) = ty∗(c) + z∗(g(x)) − tz∗(k).Cho t → 0, ta có được 0 6 z∗(g(x)) Lưu ý rằng x ∈ A, và z∗ ∈ −K∗, ta có

z∗ g(x)
= 0

y∗ F (x, x)
+ z∗ g(x)
= min

y∈X0y∗ F (x, y)
+ z∗ g(y)
(1.23)

Ta sẽ chỉ ra rằng x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC, có nghĩa làtồn tại một nón lồi nhọn H sao cho C\ {0} ⊂ intH và

F (x, A) ∩ − H\ {0}
= ∅ (1.24)Giả sử ngược lại với bất kì nón lồi nhọn H với C\ {0} ⊂ intH , ta có

F (x, A) ∩ − H\ {0}
6= ∅ (1.25)Với y∗ ∈ C], ta đặt

1.3 Áp dụng

Trong phần này, trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu,nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệucủa bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ và bài toán tối ưu véctơ

Cho X0 là tập con lồi khác rỗng của X, g : X0 → Z Giả sử

A = x ∈ X0 : g(x) ∈ K

Định lí 1.4.

Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K- lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho

g(x0) ∈ intK , intC 6= ∅ và T : A → L(X, Y ) Khi đó x ∈ A là nghiệm

hữu hiệu yếu của VVIC nếu và chỉ nếu tồn tại y∗ ∈ C∗\ {0}, z∗ ∈ −K∗ sao cho z∗ g(x)
= 0 và

y∗ hT x, x − xi
+ z∗ g(x)
= min

y∈X 0

y∗(hT x, y − xi) + z∗ g(y)

Chứng minh.

Giả sử F (x, y) = hT x, y − xi, x, y ∈ A Rõ ràng là với mỗi x ∈ X0,

F (x, x) = 0 và F (x, y) là C - lồi theo y Theo giả thiết, điều kiện của định

lí 1.1 thỏa mãn Kết hợp với định nghĩa 1.4 ta có x ∈ A là một nghiệm hữuhiệu yếu của VVIC nếu và chỉ nếu tồn tại y∗ ∈ C∗\ {0}, z∗ ∈ −K∗ sao cho

Định lí 1.5.

Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K- lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho

g(x0) ∈ intK , C có một cơ sở là B và T : A → L(X, Y ) Khi đó x ∈ A là

một nghiệm hữu hiệu Henig của VVIC nếu và chỉ nếu tồn tại y∗ ∈ CM(B),

y∈X0{y∗(hT x, y − xi) + z∗(g(y))} ,

trong đó intC∗ là phần trong của C∗ theo tôpô β(Y∗, Y ).

Định lí 1.6.

Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K - lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho

g(x0) ∈ intK , C có một cơ sở là B và T : A → L(X, Y ) Khi đó x ∈ A là

một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VVIC nếu và chỉ nếu tồn tại y∗ ∈ C],

Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K - lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0) ∈

intK , intC 6= ∅ và f : A → Y là ánh xạ C - lồi Khi đó x ∈ A là một nghiệm