Số nguyên gauss và phương trình diophantus

Có rất nhiều nhàtoán học nghiên cứu về vấn đề này và có một số phương pháp sơ cấp đểgiải phương trình Diophantus đó là: Phương pháp phân tích thành nhân tử,phương pháp bất đẳng thức, phư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Một số định nghĩa cơ sở 3

1.2 Vành Z[i] các số nguyên Gauss 6

1.3 Vành các số nguyên của Q[√d] 16

2 Phương trình nghiệm nguyên 27 2.1 Luật thuận nghịch và phương trình Diophantus 27

2.2 Ước số có dạng đặc biệt và ứng dụng 30

2.2.1 Ước của a2 + b2 31

2.2.2 Ước của a2 + 2b2 35

2.2.3 Ước của a2 − 2b2 37

2.3 Bài tập áp dụng 38

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với GS.TS Hà HuyKhoái, đã trực tiếp hướng dẫn tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin, PhòngĐào tạo Khoa học, các bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiệnthuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đãluôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của cácthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Danh sách ký hiệu

ED miền Euclide

PID miền iđêan chính

UFD miền nhân tử hóa duy nhất

Mở đầu

Số nguyên Gauss là một số phức có phần thực và ảo là các số nguyên.Các số nguyên Gauss với phép cộng và nhân các số phức lập thành một miềnnguyên và kí hiệu là Z[i]

Phương trình Diophantus là phương trình có dạng

f (x1, x2, , xn) = 0, (*)trong đó f là một hàm n biến với n ≥ 2, và các nghiệm được tìm trong tậphợp số nguyên hoặc số hữu tỷ Nếu f là đa thức với các hệ số nguyên thì (*)

là một phương trình Diophantus đại số Bộ n phần tử (x0

1, x02, , x0n) ∈ Znthỏa mãn (*) được gọi là một nghiệm của phương trình (*)

Phương trình Diophantus là một chủ đề trong toán phổ thông và rất haygặp trong các đề thi học sinh giỏi, thi quốc gia và quốc tế Có rất nhiều nhàtoán học nghiên cứu về vấn đề này và có một số phương pháp sơ cấp đểgiải phương trình Diophantus đó là: Phương pháp phân tích thành nhân tử,phương pháp bất đẳng thức, phương pháp tham số, phương pháp modul sốhọc, phương pháp quy nạp Trong luận văn này chúng tôi trình bày vành

số nguyên Gauss và một số phương pháp nâng cao để giải phương trình phantus

Dio-Với những lý do trên, cùng với sự quan tâm và muốn đi sâu hơn về vấn đềnày, em chọn đề tài "Số nguyên Gauss và phương trình Diophantus" cho bàiluận văn cuối khóa của mình Do nhiều yếu tố chủ quan và khách quan, nội

dung của bài viết có thể còn nhiều khiếm khuyết, em rất mong nhận được ýkiến đóng góp của quý thầy cô.

Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1: Vành Z[i] Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách

sơ lược về vành Z[i] các số nguyên Gauss và vành các số Z[√d] mà sẽ được

sử dụng trong các chương tiếp theo

• Chương 2: Phương trình nghiệm nguyên Trong chương này chúng tôitrình bày luật thuận nghịch và phương trình Diophantus; các ước số có dạngđặc biệt và ứng dụng để giải phương trình nghiệm nguyên

Do khối lượng kiến thức lớn và thời gian nghiên cứu chưa đủ dài, chắcchắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong muốnnhận được sự góp ý của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Phan Thế Chiến

Email: phanchienmdc@gmail.com

Chương 1

Vành Z[i]

1.1 Một số định nghĩa cơ sở

Trường là một tập k được trang bị hai phép toán hai ngôi, giao hoán cộng

và nhân, sao cho

• (k, +) là một nhóm cộng Aben;

• Mọi phần tử khác không của k đều có phần tử nghịch đảo và (k∗, ) làmột nhóm nhân Aben, trong đó k∗ = k\{0k};

• 0k 6= 1k;

• tính chất phân phối xảy ra: (a + b)c = ac + bc với mọi a, b, c ∈ k

Vành giao hoán cũng giống như là một trường, nhưng không phải mọi phần

tử khác không đều có nghịch đảo của phép nhân Ví dụ vành giao hoán: Z, Zn

(tập các phần tử môđun n), k[x] (tập các đa thức với hệ số trong trường k).Một phần tử của vành R khả nghịch với phép nhân được gọi là đơn vị Tậpcác đơn vị của R, kí hiệu R∗ là một nhóm nhân với phép nhân của R Đối vớicác ví dụ đã nêu ở trên của vành giao hoán, ta có

Z∗ = {−1, 1}, Z∗n = {ˆa ∈ Zn : gcd(a, n) = 1}, k[x]∗ = k\{0F}

với k là một trường

Một ước của không của vành R là một phần tử khác không r ∈ R nếu có

s ∈ R nào đó khác không sao cho rs = 0 Một vành giao hoán không có ướccủa không được gọi là miền nguyên Ví dụ về vành với ước của không: Znvới

n không nguyên tố (ví dụ trong Z6, ˆ2.ˆ3 = ˆ0) Một ví dụ không giáo hoán làtrong M2(Q), trong đó

Phần tử bất kì là một đơn vị của vành sẽ không bao giờ là một ước của không

Ví dụ về miền nguyên: Z; k[x], trong đó k là một trường bất kì

Vành R được gọi là miền Euclide (ED) nếu tồn tại một hàm λ : R\{0} →

N0 với tính chất sau: Với hai số bất kì a, b ∈ R, b 6= 0 có thể tìm c, d ∈ R saocho a = cb + d và hoặc d = 0 hoặc λ(d) < λ(b)

Ví dụ, vành Z và k[x] (k là một trường) là 2 miền Euclide: lấy λ là giá trịtuyệt đối trong Z hoặc bậc của đa thức trong k[x]

Một iđêan I của vành R là một tập con của R đóng với phép cộng, trừ vàphép nhân bởi các phần tử của R: nếu x, y ∈ I và r ∈ R thì x+y, x−y, rx ∈

R Nói cách khác, I là một tập con của R, là một R− môđun, cũng gọi là R−môđun con Hơn nữa, một iđêan gọi là iđêan chính nếu nó sinh bởi một phần

tử như một R− môđun: với a ∈ I nào đó, I = {ra|r ∈ I} Ta viết I = (a).Trong miền Euclide R mọi iđêan là iđêan chính

Một vành R được gọi là miền iđêan chính (PID) nếu mọi iđêan là iđêanchính

Do đó, mỗi ED cũng là một PID

Cho vành R, a, b ∈ R được gọi là liên kết nếu a = ub với u ∈ R là đơn

vị Phần tử p ∈ R được gọi là bất khả quy nếu a|p thì a là đơn vị hoặc a liênkết với p Số không phải đơn vị p ∈ R là nguyên tố nếu p 6= 0 và p|ab thì p|ahoặc p|b

Chú ý rằng các phần tử bất khả quy và nguyên tố không luôn luôn trùngtrong các vành nhưng chúng trùng trong PID, trong đó các kí hiệu này có thể

dễ dàng dịch sang ngôn ngữ của iđêan

Tương tự, ta định nghĩa ước chung lớn nhất của hai hay nhiều phần tử của

R Điều sau đây không đúng trong vành tuỳ ý, nhưng đúng trong các PID:nếu a, b ∈ R thì gcd(a, b) là một phần tử d sao cho (a, b) = (d)

Cuối cùng, hai phần tử được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd(a, b) =

1 Trong PID điều này có nghĩa là a và b sinh ra vành R

Trong PID, các khái niệm phần tử nguyên tố và bất khả quy là tươngđương

Trong một PID R, dãy tăng bất kì của iđêan cuối cùng được ổn định Do

đó, cho p là một số nguyên tố bất kì và a ∈ R, a 6= 0 bất kì đều có một sốnguyên không âm duy nhất sao cho pn | a nhưng pn+1

- a

Số n được gọi là bậc của p trong a, kí hiệu là n = ordpa Chú ý rằng với

a, b 6= 0 bất kì thì ordP ab = ordpa + ordpb Sau đây là định lý chính củaphần này Lưu ý rằng một PID có thể được coi như là hợp rời của các tập concủa các phần tử liên kết Nếu một phần tử trong một tập con là nguyên tố thìtất cả các phần tử liên kết cũng nguyên tố Từ mỗi tập con như vậy bao gồmcác phần tử nguyên tố ta chọn một đại diện và kí hiệu tập các đại diện là S

Ta có kết quả quan trọng sau:

Định lí 1.1.1 Cho R là một PID và S tập các đại diện của các tập con của

các phần tử nguyên tố liên kết trong R Khi đó, với mọi a ∈ R, a 6= 0 ta có

Lưu ý rằng ED ⇒ PID ⇒ UFD nhưng ngược lại không đúng Rất khó tìmphản ví dụ cho vành là PID nhưng không là ED Tuy nhiên, ta hãy xét vành đathức bất kì trên trường k trong trường hợp nhiều hơn một biến: k[x, y] Đây rõràng là một UFD nhưng rõ ràng không là PID: iđêan sinh bởi hai biến (x, y)không là iđêan chính Hơn nữa, không nên có ý nghĩ sai lầm rằng mọi vànhđều là UFD.

1.2 Vành Z[i] các số nguyên Gauss

Một số nguyên Gauss là một số phức với hai phần thực và ảo là các sốnguyên Các số Gauss với phép cộng và nhân thông thường của số phức làmthành một miền nguyên, thường kí hiệu là Z[i] Miền này không thể biếnthành một vành sắp thứ tự vì nó chứa một căn bậc hai của −1 Về mặt hìnhthức, tập các số nguyên Gauss là

Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}

Cho α = a + bi trong Z[i], chuẩn của α là

N (α) = a2 + b2,

là một số nguyên không âm Chuẩn này là nhân tính: N(α.β) = N(α)N(β)

và nó cho một số đo kích thước của các phần tử Cho a ∈ Z là một số nguyên,chuẩn của nó chính là bình phương của nó: N(a) = a2 Đặc biệt N(1) = 1

Định lí 1.2.1 Đơn vị trong Z[i] là 1, −1, i và −i, cụ thể là các phần tử có

các số nguyên dương, do vậy cả N(u) và N(v) phải bằng 1 Viết u = a + bi,

ta có a2 + b2 = 1 Các nghiệm duy nhất trong tập các số nguyên này là(a, b) = (±1, 0)và (0, ±1), suy ra bốn số 1, −1, i và −i

Cách chung để viết các đơn vị trong Z[i] là ik, k = 0, 1, 2, 3

Giống như Z, có một định lý chia trong Z[i] Để đo kích thước của số dưcủa phép chia, ta sử dụng chuẩn:

Định lí 1.2.2 Với α, β là hai số bất kì trong Z[i], β 6= 0 ta có γ, ρ ∈ Z[i] sao

cho

α = βγ + ρ, N (ρ) ≤

1

2N (β) < N (β).

Chứng minh. Chuẩn trên Z[i] liên quan chặt chẽ với giá trị tuyệt đối trên

C : N (a + bi) = |a + bi|2 Giá trị tuyệt đối trên C là cách chúng ta đo khoảngcách trong C và ta sẽ tận dụng điều này

Trong C, số phức xa nhất có thể cách một phần tử của Z[i] là 1/√2, vì cáctâm của các hình vuông 1 × 1 với các đỉnh trong Z[i] có khoảng cách 1/√2đến các đỉnh Bây giờ ta xét tỉ số α/β như một số phức và đặt nó trong mộthình vuông 1 × 1 có các đỉnh trong Z[i] Giả sử γ ∈ Z[i] là các đỉnh của hìnhvuông mà gần nhất với α/β, do đó |α/β − γ| ≤ 1/√2 Nhân bất đẳng thứcnày với |β|, ta được |α − βγ| ≤ (1/√2)|β| Bình phương hai vế và nhớ lạirằng bình phương giá trị tuyệt đối số phức trên Z[i] là chuẩn, ta được

N (α − βγ) ≤

1

2N (β).

Bây giờ đặt ρ = α − βγ

Chú ý Không giống như trường hợp trong Z, thương và số dư trong Z[i] là

không duy nhất Ví dụ, lấy α = 37 + 2i và β = 11 + 2i Ta có thể kiểm trarằng

α = β.3 + (4 − 4i), α = β(3 − i) + (2 + 7i)

Ở đây cả hai số dư có chuẩn nhỏ hơn N(3) = 125 (thực tế nhỏ hơn 125/2).Chứng minh của định lý 1.1.2 giải thích một cách hình học tại sao thương và

số dư trong Z[i] là không duy nhất: α/β là gần với hai đỉnh trong hình vuông

1 × 1 chứa nó hơn độ dài của một nửa đường chéo của hình vuông

Sự thiếu tính duy nhất này trong thương và số dư không phải là một nhượcđiểm lớn, vì các hệ quả chính của định lý chia, như thuật toán Euclide và tínhduy nhất của phép phân tích thành nhân tử, không thực sự sử dụng tính duynhất Điều chính yếu là phần dư nhỏ hơn thương, và đó là kết quả quan trọngcủa định lý 1.1.2

Hệ quả 1.2.1 Vành Z[i] có phép phân tích duy nhất và là một miền iđêan

chính.

Chứng minh. Mọi miền có định lý chia đều là một PID và một UFD, bằngcách chứng minh như trong trường hợp Z

Đây là một vài ví dụ về các số nguyên tố trong Z[i]:

1 + i, 3, 1 + 2i, 1 − 2i, 7, 11, 2 + 3i, 2 − 3i

Chú ý 2 và 5 không nguyên tố trong Z[i] vì

2 = (1 + i)(1 − i) và 5 = (1 + 2i)(1 − 2i)

Ví dụ 1.2.1 Sử dụng các tính chất của vành Z[i] để tìm tất cả các bộ ba

Pythagore

Lời giải Ta sử dụng tính duy nhất của phép phân tích thành thừa số nguyên

tố trong Z[i]

Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của x2 + y2 = z2 với gcd(x, y) = 1

Khi đó một trong hai số x và y lẻ và do đó z lẻ Ta có thể viết x2+ y2 = z2trong Z[i] như

(x + iy)(x − iy) = z2 (1)

Ta chứng minh rằng gcd(x + iy)(x − iy) = 1 Thật vậy, giả sử d ∈ Z[i] làbất khả quy và d chia hết x + iy và x − iy Khi đó d | 2x và d | 2y Nếu d | 2điều này mâu thuẫn với giả thiết z lẻ Do đó d | x và d | y Lấy chuẩn ta suy

ra N(d) | x2 và N(d) | y2 Nhưng gcd(x, y) = 1 nên suy ra x + iy và x − iy

là nguyên tố cùng nhau trong Z[i] Do đó x + iy = u(a + ib)2 với u là đơn

vị và a, b ∈ Z Suy ra x + iy = u(a2 − b2 + 2abi) Bằng cách lấy các giá trịkhác nhau của u ta có các biểu thức tương tự cho x, y, z

Ngược lại x = a2 − b2, y = 2ab và z = a2 + b2 thỏa mãn x2 + y2 = z2với mọi a, b ∈ Z Do đó, ta đã tìm thấy tất cả các bộ ba Pythagore

Ví dụ 1.2.2 Giải phương trình

x2 + y2 = zntrong đó n là một số nguyên lớn hơn 1 và x, y là nguyên tố cùng nhau

Lời giải Cho n = 2 thì các nghiệm là bộ ba Pythagore đã xét ở ví dụ 1.2.1

trên Cho n ≥ 3 ta lại sử dụng tính duy nhất của phép phân tích thành tíchcác thừa số nguyên tố trong vành Z[i] Ta có thể giả sử rằng x và y nguyên tốcùng nhau và viết phương trình thành

(x + iy)(x − iy) = zn.Suy ra gcd(x+iy, x−iy) = 1 trong Z[i] Thật vậy, dễ thấy gcd(x+iy, x−iy)chia hết gcd(2x, 2y) = 2 Nhưng trong Z[i] số 2 = −i(1 + i)2 là bình phươngsai khác các đơn vị của số nguyên tố 1 + i và nếu 1 + i chia hết cả hai số hạngthì 2 | z và ta có một mâu thuẫn khi xét mod 8 Do đó x + iy = (a + ib)2 vớicác số nguyên a và b nào đó, với a2 + b2 = z Khi đó x = An và y = Bn,trong đó



an−2kb2k

5 a5 − 10a3b2 + 5ab4 5a4b − 10a2b3 + b5

6 a6 − 15a4b2 + 15a2b4 − b6 6a5b − 20a3b3 + 6ab5

7 a7 − 21a5b2 + 35a3b4 − 7ab6 7a6b − 35a4b3 + 21a2b5 − b7

8 a8 − 28a6b2 + 70a4b4 − 28a2b6 + b8 8a7b − 56a5b3 + 56a3b5 − 8ab7

Chú ý: (1) Các số nguyên u = a4− 6a2b2+ b4và v = a3b − ab3 không phải làbình phương của các số nguyên khác không Thật vậy, nếu u = s2 và v = t2

với t, s là các số nguyên khác không thì s4+ (2t)2 = u2+ (4v)2 = (a2+ b2)4,mâu thuẫn với định lý cuối cùng của Fermat

(2) Các số nguyên u = a6− 15a4b2+ 15a2b4− b6 và v = 6a5b − 20a3b3+6ab5 không phải là lập phương của các số nguyên khác không Thật vậy, nếu

u = s3 và v = t3 thì s6 + t6 = u2 + v2 = (a2 + b2)6, lại mâu thuẫn với định

lý cuối cùng của Fermat

(3) Tổng quát, với n = 2m thì các số nguyên An và Bn không phải là lũythừa bậc m của các số nguyên khác không

Ví dụ 1.2.3 Giải phương trình

x2 + 1 = yn,trong đó n là một số nguyên lớn hơn 1

Lời giải Nếu n chẵn thì phương trình chỉ có nghiệm 0, 1 và (0, −1) Với n

lẻ, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử n là số nguyên tố p ≥ 3 Thậtvậy, nếu n = q.k, trong đó q là một số nguyên tố lẻ, ta có phương trình kiểu:

z = gcd(1 + ix, 1 − ix), z = a + bi Ta có z | (1 + ix) + (1 − ix) = 2, do

đó z | 2 Suy ra z.z | 4, nghĩa là a2 + b2 | 4 Mặt khác z | 1 + ix, suy ra

z | 1 − ix, do vậy a2 + b2 | 1 + x2 Nhưng vì x chẵn nên a2 + b2 lẻ Do đó

a2 + b2 = 1, suy ra z là đơn vị trong Z[i]

Vì a + ix và a − ix là nguyên tố cùng nhau, từ (1 + ix)(1 − ix) = ypsuy

ra 1 + ix = a(u + iv)p, trong đó a là đơn vị và u, v có tính chẵn lẻ khác nhau

Vì p chẵn nên mọi đơn vị là một lũy thừa bậc p, suy ra ta có thể khử đơn vị ởđây Do vậy ta có thể giả sử 1 + ix = (u + iv)p Sử dụng khai triển nhị thức

và đồng nhất phần thực, ta có

1 = up−



p2



up−2v2 +



p4



up−4v4 − · · · ±



p

p − 1



uvp−1

Do đó u | 1, suy ra u = ±1 và do vậy v lẻ Ta thu được up ≡ 1( mod 4)và

từ p chẵn suy ra u = 1 Chia cho v2 6= 0, ta có



p2



 =



p4



v2 −



p6



v4 + · · · ±



p

p − 1



vp−3

Điều này mâu thuẫn vì số mũ của 2 ở vế trái nhở hơn số mũ của 2 ở vế phải.Thật vậy, với k = 1, 2, , ta có



p2k



v2k−2 =

p(p − 1)2





p − 22k − 2





2v2k−2(2k − 1)2k

Cuối cùng, với p ≥ 3 phương trình không có nghiệm khác ngoài nghiệm tầmthường (0, 1)

Ví dụ 1.2.4 Giải phương trình

x2 + 4 = y3

Lời giải Giả sử x một số lẻ Phương trình có thể viết là (2+ix)(2−ix) = y3

Ta sẽ chứng minh rằng 2 + ix và 2 − ix nguyên tố cùng nhau trong vành Z[i].Thật vậy, giả sử z = gcd(2 + ix, 2 − ix), z = c + di Khi đó z chia hết(2 + ix)(2 − ix) = 4, do đó z | 4 Suy ra z.z = c2 + d2 chia hết 16 Mặtkhác z | 2 + ix suy ra z | 2 − ix; do đó c2 + d2 | 4 + x2 Nhưng vì x lẻ nên

c2 + d2 = 1, suy ra z là đơn vị trong Z[i]

Vì 2 + ix và 2 − ix là nguyên tố cùng nhau, từ (2 + ix)(2 − ix) = y3 suy

ra 2 + ix = (a + bi)3 với a, b là các số nguyên Đồng nhất phần thực và phần

ảo, ta có a(a2 − 3b2) = 2và 3a2b − b3 = x Phương trình đầu suy ra a = ±1hoặc a = ±2, suy ra x = ±11 và y = 5

Nếu x chẵn thì y cũng chẵn Giả sử x = 2u và y = 2v Phương trình trởthành u2 + 1 = 2v3, nghĩa là (u + i)(u − i) = 2v3 Vì gcd(u + i, u − i) = 1

và 2 = (1 + i)(1 − i), lại sử dụng tính duy nhất của phép phân tích thành tíchcác thừa số nguyên tố trong Z[i], ta có

u + i = (1 + i)(a + bi)3,với a, b là các số nguyên

Ví dụ 1.2.5 Nếu a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a2 + b2 = cdthìtồn tại các số nguyên x, y, z, w, t sao cho

a = t(xz − yw), b = t(xw + yz), c = t(x2 + y2), d = t(z2 + w2)

Lời giải Giả sử t = gcd(a, b, c, d), a = ta1, b = tb1, c = tc1 và d = td1 Khiđó

a21 + b21 = c1d1,suy ra

(a1 + b1i)(a1 − b1i) = c1d1.Theo chú ý trên, tồn tại m, n, p, q ∈ Z[i] sao cho

đó x, y, z, w ∈ Z Khi đó, từ (1.1) suy ra

a1 = xz − yw, b1 = xw + yz, c1 = x2 + y2, d1 = z2 + w2

và do đó

a = t(xz − yw), b = t(xw + yz), c = t(x2 + y2), d = t(z2 + w2)

Ví dụ 1.2.6 Nếu a, b, c là các số nguyên dương sao cho ab = c2 + 1thì a và

bcó thể được viết là tổng của bình phương hai số nguyên

Lời giải Từ bài toán trên, tồn tại các số nguyên x, y, z, t sao cho

t(x2 + y2) = a, t(z2 + w2) = b, t(xz − yw) = c, t(xw + yz) = 1.Suy ra t = 1 Do đó a = x2 + y2, b = z2 + w2

Ví dụ 1.2.7 Tìm tất cả các bộ tứ (u, v, w, s) thỏa mãn phương trình Pythagore

tổng quát

r2 + u2 + v2 = s2

Lời giải Viết phương trình dưới dạng

u2 + v2 = s2 − r2,suy ra

1.3 Vành các số nguyên của Q[ √ d]

Ta xét trường

Q[

√d] =

n

m + n√

d : m, n ∈ Q

o,trong đó d là một số nguyên, chính phương khác 0 Phần tử ε ∈ Q[√d] đượcgọi là một đơn vị nếu tồn tại ε1 ∈ Q[√d] sao cho εε1 = ε1ε = 1

Cho µ ∈ Q[√d], µ = a + b√d Khi đó, ta kí hiệu µ = a − b√dvà gọi làliên hợp của µ

Kí hiệu hàm chuẩn N : Q[√d] → Z: nếu µ = a + b√d thì

µ1µ2 = (m1m2 + dn1n2) − (m1n2 + m2n1)

√d

N (ε)N (ε1) = 12 − d02 = 1

Vì N(ε) và N(ε1) là các số nguyên nên N(ε) = ±1 Ngược lại, nếu

N (ε) = ±1 thì N(ε) = εε suy ra εε = ±1 Nếu N(ε) = 1 thì εε = 1 và nếu

N (ε) = −1 thì ε(−ε) = 1 Cả hai trường hợp chứng tỏ rằng ε là một đơn vịtrong R

Một trong những bài toán chính là tìm tất cả các số d để vành Q[√d] làmột UFD Bài toán này đã được giải đầu tiên với d < 0 bởi Kurt Heegner vàđộc lập bởi Stark và A Baker năm 1996 Với d < 0 ta có kết quả sau

Định lí 1.3.2 Vành các số nguyên trong Q[√d] với d < 0 và không có ước

chính phương là một UFD khi

d ∈ {−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163}

Xét Z[−√5]là vành các số nguyên trong Q[√−5]bởi vì −5 ≡ 3 (mod 4)

Ta có 21 = 3.7 = (1 + 2√−5)(1 − 2√−5), hai nhân tử của 21 chứng tỏ rằngZ[

d là phần tử cực tiểu của Z[√d] với z1 > 1

và N (z1) = 1 thì mọi phần tử z ∈ Z[√d] với N (z) = 1 được cho bởi