Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)

Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ và logarit 3

1.1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ 3

1.1.2 Tính chất cơ bản của hàm logarit 4

1.2 Các đặc trưng của hàm số mũ và hàm số logarit 7

1.3 Các định lý bổ trợ 8

2 Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp hàm mũ 16 2.1 Các dạng bất đẳng thức cơ bản liên quan tới hàm mũ 16

2.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản 16

2.1.2 Biểu diễn hàm mũ 19

2.2 Các ứng dụng 20

2.2.1 Ứng dụng các bất đẳng thức cơ bản tìm cực trị trong lớp hàm mũ 20

2.2.2 Phương pháp đổi biến trong tìm cực trị hàm mũ 23 2.2.3 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm mũ 26

2.3.1 Xây dựng bất đẳng thức và cực trị hàm mũ bằng

đẳng thức đã biết 29

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH.Nguyễn văn Mậu Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Giáo

sư, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Nguyễn văn Mậu,người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn emtrong suốt quá trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnThầy

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạothuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điềukiện tốt nhất để em được theo học lớp học Đồng thời tôi xin gửi lời cảm

ơn tới tập thể lớp Cao học Toán D khóa 1/2014 - 1/2016 đã động viêngiúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, BanGiám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Cẩm Giàng - Cẩm Giàng -Hải Dương, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoànthành kế hoạch học tập

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2015

Nguyễn Khắc Hiến

Lời nói đầu

Tuy nhiên, kiến thức về cực trị và bất đẳng thức lại vô cùng rộng Đã

có rất nhiều giáo trình, tài liệu, đề tài đề cập đến vấn đề này Đặc biệt

là các bài toán cực trị và bất đẳng thức có liên quan đến hàm mũ vàlogarit

Việc giải các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiếnthức cơ bản về các lớp hàm này đồng thời nắm được các kiến thức liênquan và phải biết vận dụng một cách sáng tạo, logic

Chính vì lý do trên mà tôi chọn đề tài "Các bài toán cực trị trong lớphàm mũ và logarit" nhằm hệ thống một số phương pháp tìm cực trịtrong các lớp hàm này

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa các dạng bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit

cùng với phương pháp giải tương ứng.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit, đồng thời giải quyếtmột số bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình mũ và logarit

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo, phân tích, hệ thống hóa các tài liệu, chuyên đề nhằm rút

ra các kết luận có tính khái quát

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài tạo nên một tư liệu lý thú về lớp hàm mũ và logarit, phù hợp choviệc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm ba chương và phần mở đầu, kết luận

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả trìnhbày về các tính chất cơ bản của hàm mũ và logarit, các đặc trưng cơ bảncủa các lớp hàm này đồng thời trình bày về một số bất đẳng thức, cácđịnh lý cơ bản của đại số và giải tích

Chương 2 Trình bày về ứng dụng của các bất đẳng thức trong tìm cựctrị các lớp hàm mũ , sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của các lớp hàmnày, cùng với đó là các bất đẳng thức, các cực trị có liên quan Chương

3 Trình bày các ứng dụng của các định lý đến các bài toán cực trị hàmlogarit, việc sử dụng đạo hàm để tìm cực trị Ngoài ra là các vấn đề cóliên quan đến hàm logarit

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 11 năm 2015

Học viên: Nguyễn Khắc Hiến

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ và logarit

được gọi là hàm số mũ cơ số a

5 Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1

Hàm số nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1

6 Giới hạn và liên tục

(a) Hàm số y = ax liên tục tại mọi điểm mà nó xác định, tức là ∀x ∈ R,lim

x→x ax = ax0

(b) Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J (một khoảng của tập

u0(x)au(x)ln a nói riêng ta có (eu(x))0 = u0(x)eu(x)

Số ln x được gọi là logarit tự nhiên hoặc logarit nêpe của số dương x

Từ định nghĩa suy ra ngay ln 1 = 0

Định lý 1.1 Hàm số ln : (0, +∞) 7→ R có đạo hàm, tăng nghiêm ngặttrên (0, +∞), nhận mọi giá trị trong R và có các tính chất sau

(d) ln xr = r ln x, với mọi x > 0, r ∈ Q.

1

x > 0 với mọi x > 0 Do đó hàm lntăng nghiêm ngặt trên khoảng (0, +∞)

a) Hiển nhiên hàm số x 7→ ln |x| xác định với mọi x 6= 0

Nếu x > 0 thì (ln |x|)0 = (ln x)0 = 1

x.Nếu x < 0 thì (ln |x|)0 = (ln(−x))0 = 1

1

x.Vậy (ln |x|)0 =

(d) logaxr = r logax, với mọi x > 0, r ∈ Q.

Trong tính toán người ta thường dùng logarit với cơ số a = 10 logarit cơ

số 10 được gọi là logarit thập phân và kí hiệu là lg Như vậy, với x > 0,

lg x = log10x

Nhận xét 1.1 Hàm số mũ và hàm số logarit là hai hàm ngược củanhau, nghĩa là y = logax ⇔ x = ay

1.2 Các đặc trưng của hàm số mũ và hàm số logarit

Đối với các hàm số mũ và hàm số logarit, ta có các đặc trưng sau

Bài toán 1.1 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định các hàm

f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện sau

Giải Dễ thấy f ≡ 0 là một nghiệm của phương trình 1.1

Xét trường hợp f 6= 0, khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f(x0) 6= 0

Theo 1.1 thì f (x0) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) 6= 0, ∀x ∈ R.Suy ra, f (x) 6= 0, ∀x ∈ R, mặt khác

Bài toán 1.2 (Phương trình hàm Cauchy dạng logarit) Xác định các

Giải Do x, y ∈ R+ nên đặt x = eu, y = ev với u, v ∈ R Khi đó, phươngtrình 1.2 có dạng

f (eu+v) = f (eu) + f (ev)Đặt g(t) = f (et), ta có

x1 + x2 + · · · + xn ≥ n√n

x1x2 xn

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Hiện tại có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức này.Tuy nhiên, chúng tôi trình bày cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức

cơ bản của hàm mũ

Bổ đề 1.1 Với mọi số thực x, ta có

ex ≥ 1 + x

Dấu đẳng thức có khi x = 0

minh được bất đẳng thức trên

Hệ quả 1.1 Với mọi số thực x ta có

ex−1 ≥ x

Dấu đẳng thức có khi x = 1

Từ hệ quả 1.1 ta chứng minh được định lí 1.3

1, , n) Giả sử xj ≥ 0, ∀xj, khi đó ta có

x1

An ≤ eAnx1−1

.

xn

An ≤ eAnxn−1

.Suy ra

x1.x2 xn

An n

≤ ex1+x2+···+xnAn −n = en−n = e0 = 1

Hay

x1x2 xn ≤ AnnSuy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Một mở rộng tự nhiên của định lí 1.3 giữa trung bình cộng và trungbình nhân có trọng là định lí sau đây:

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức AH suy rộng) Giả sử cho trước hai cặpdãy số dương x1, x2, , xn và p1, p2, , pn Khi đó

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz, xem [3]) Cho hai cặp dãy

số bất kỳ a1, a2, , an và b1, b2, , bn Khi đó

(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n)(b21 + b22 + · · · + b2n)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xảy tồn tại số thực k sao cho ai = kbivới i = 1, 2, , n

Chứng minh Xét tam thức bậc hai

f (x) = (a21+a22+· · ·+a2n)x2−2(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)x+(b21+b22+· · ·+b2n)

Nếu a21 + a22 + · · · + a2n = 0 ⇔ a1 = a2 = · · · = an = 0, khi đó bất đẳngthức hiển nhiên đúng

Nếu a21 + a22 + · · · + a2n > 0 thì f (x) được viết lại như sau:

anx − bn = 0

hay khi và chỉ khi

tồn tại số thực k sao cho ai = kbi với i = 1, 2, , n

Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli, xem [3]) Cho x > −1, khi đó

Chứng minh Xét các trường hợp sau

• Khi α = 0 hoặc α = 1 thì bất đẳng thức đúng

• Khi α < 0 hoặc α > 1, xét hàm số f (x) = (1 + x)α− 1 − αx với x > −1

Ta có f0(x) = α(1 + x)α−1 − α = α[(1 + x)α−1− 1], f0(x) = 0 ⇔ x = 0.Bảng biến thiên

Chứng minh Giả sử hàm số đạt cực đại tại x0 Khi đó với |∆x| 6= 0

đủ nhỏ, ta có

f (x0 + ∆x) − f (x0) < 0Với ∆x > 0, ta có

Từ giả thiết f0(x0) tồn tại suy ra f0(x+0) = f0(x−0 ) = f0(x0) = 0

Định lý 1.9 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số f (x) xác định và liên tụctrên đoạn [a, b], có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) saocho

Rõ ràng g(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trênkhoảng (a, b) và g(a) = g(b) Theo định lý Rolle, tồn tại c ∈ (a, b) saocho g0(c) = 0 hay f0(c) =

f (b) − f (a)

Hệ quả 1.2 Nếu hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], cóđạo hàm trên khoảng (a, b) và f0(x) đạt giá trị nhỏ nhất m, giá trị lớnnhất M trên (a, b), khi đó

m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a)

Chương 2

Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp hàm mũ

2.1 Các dạng bất đẳng thức cơ bản liên quan tới

Nếu a > 1 thì au > m ⇔ u > logam, au ≥ m ⇔ u ≥ logam

Nếu 0 < a < 1 thì au > m ⇔ u < logam, au ≥ m ⇔ u ≤ logam

• Với các bất đẳng thức au < m, au ≤ m.

với mọi u ∈ R

Trường hợp 2 Nếu m > 0 thì

Nếu a > 1 thì au < m ⇔ u < logam, au ≤ m ⇔ u ≤ logam

Nếu 0 < a < 1 thì au < m ⇔ u > logam, au ≤ m ⇔ u ≥ logam

Nhận xét 2.1 Từ các bất đẳng thức cơ bản, ta có thể giải được cácbài toán cực trị hàm mũ đơn giản hoặc các bài toán biện luận tham số

b) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt nếu

1

5 < m

4 − m2 + 1 < 1 ↔

−1 < m < 1

M (maxDf (x) ≥ M ) Tuy nhiên nếu chỉ coi af (x) > 0 là chưa đủ, ta cần

tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f (x) cùng với tính đơn điệu của nó

1

2|x−1| = 3m − 1

Từ [3] ta có các kết quả sau đây

Định lý 2.1 Với mọi số tự nhiên n, ta đều có

Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange

Định lý 2.3 Hàm số f có đạo hàm đến cấp n+1 trên khoảng (a,b) chứa

n+1, c là điểm nằm giữa x và x0, là phần

dư Lagrange

Công thức trên còn gọi là khai triển Taylor tại lân cận x0

Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano

Định lý 2.4 Hàm số f có đạo hàm đến cấp n trên khoảng (a,b) chứa

Công thức trên gọi là khai triển Maclaurin nếu x0 = 0.

Cho hàm f (x) = ex, khi đó ta có khai triển Maclaurin có dạng:

x22! + · · · +

xnn! + o(x

Bài toán 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Ta có yCT = f (4) = −18

t = 4 ⇔ (2 +

√3)x+ (2 −

√3)x = 4 ⇔ (2 +

√3)2x− 4(2 +√3)x+ 1 = 0





x = 1

x = −1Nhận xét 2.2 Từ bài toán 2.1 ta có ngay các bài toán sau đây:

Bài toán này có hai nghiệm là x = 1 và x = −1

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm:

(7 + 4√

3)x+ (7 − 4√

3)x− 8((2 +√3)x+ (2 −√

3)x) + m = 0

Kết quả: Với m ≤ 18 thì phương trình có nghiệm

nhất của T = 4x+y−1+ 3.42y−1

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

T = 4x+y−1 + 3.42y−1 ≥ 2√4x+y−1.3.42y−1 =

√32

Giải Tập xác định D = R.

Ta có | sin x| ≥ sin2x, | cos x| ≥ cos2x, ∀x ∈ R

Do đó 4| sin x| + 2| cos x| ≥ 4sin2x+ 2cos2x = 22 sin2x+ 2cos2x−1+ 2cos2x−1

Theo bất đẳng thức AM, ta có

22 sin2x+ 2cos2x−1+ 2cos2x−1 ≥ 3p3 22 sin2x+cos 2 x−1+cos 2 x−1 = 3

Vậy y ≥ 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔

Bài toán 2.5 Chứng minh rằng x ∈ (0,

⇔ 2sin x+tan x > 22x ⇔ sin x + tan x > 2x

Xét f (x) = sin x + tan x − 2x với x ∈ (0,

π

2).

Ta có f0(x) = cos x +

1cos2x− 2 Do x ∈ (0,

Vậy f (x) đồng biến ∀x ∈ (0,

π

2), suy ra f (x) > f (0) = 0.

Bằng phương pháp tương tự, ta chứng minh được bài toán sau:

Bài toán 2.6 Chứng minh rằng x ∈ (0,

π

2) thì 2

2 sin x+ 2tan x > 23x2 +1

Bằng cách thay thế một biểu thức chứa hàm mũ bởi một ẩn phụ phùhợp để chuyển bài toán cực trị hàm mũ về cực trị của một hàm số đơngiản hơn Cùng với việc đó (nếu có thể được) ta tìm khoảng xác địnhcho ẩn phụ

− 8, x ∈ R

Giải Ta nhận thấy hàm số có dạng y = 2.(4x)2− 16.4x− 8 Bằng cáchđặt t = 4x, t > 0

Ví dụ 2.4 Tìm cực trị của hàm số: y = 4cos 2x+1− 4cos 2 x+1

+ 3, x ∈ R.Giải Hàm số được viết lại thành y = 42 cos2x− 4.4cos 2 x+ 3

Đặt t = 4cos2x, 1 ≤ t ≤ 4 Khi đó hàm số trở thành f (t) = 4t2 − 4t + 3.Hàm số này đạt cực tiểu tại t = 2 ⇔ 22 cos2x = 2

π

π2Nhận xét 2.3 Ta có dạng tổng quát của các bài toán trên là: Tìm cực trịcủa hàm số y = F (af (x)) Với dạng này ta đặt t = af (x), t ∈ (a, b), t > 0

và ta chuyển về bài toán: Tìm cực trị của hàm y(t) = F (t), t ∈ (a, b)

Từ bài toán này dẫn ta tới các bài toán có liên quan như các bài toánbiện luận tham số của phương trình, bất phương trình mũ

Trong một số trường hợp như ở các ví dụ trên, bài toán có dạng tổngquát như sau:

Tìm cực trị hàm số y = m.af (x) + n.bf (x) + p, trong đó a.b = 1 Trong

trường hợp này, đặt t = af (x), t ∈ (a, b), t > 0 thì bf (x) =

1

t ta cũngchuyển được từ bài toán dạng mũ về dạng đại số đơn giản hơn

Đối với các bài toán biện luận tham số để phương trình, bất phươngtrình có nghiệm hoặc có một số nghiệm nhất định Khi đó, phương pháp

cô lập tham số và tìm cực trị hàm mũ, từ đó dẫn tới điều kiện cho tham

Ví dụ 2.6 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm

32x− m.3x+

√ x+4− 9.9

√ x+4 < 0

√ x+4, ta được

3x−

√ x+4− 9.3−x+

√ x+4− m < 0 ⇔ f (t) = t − 9

t < mtrong đó t = 3x−

√ x+4

− 174

Bài toán 2.7 Tìm m để các bất phương trình, phương trình sau cónghiệm

1)4x+ 5.2x+ m = 0

2)9x+ m.3x+ 1 ≤ 0

4)4x− m.2x+1 + 3 − 2m ≤ 0

Bài toán 2.8 Tìm m để bất phương trình m.92x2−x− (2m + 1)62x2−x+

2.

Hầu hết các bài toán tìm cực trị có liên quan đến hàm số mũ có dạng

bài toán này được thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm y0, rồi giải phương trình y0 = 0, giả sử có nghiệm

x0

Bước 3: Có hai khả năng:

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1, +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞, −1)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu là yCT = −1

e.

hàm số f (x) = aαx + bα + a

Đối với việc tìm cực trị của lớp hàm y = (ax2 + bx + c)eαx, ta thấyngay y0 = (2aαx + b + α(ax2 + bx + c))eαx Việc xét dấu của y0 quy về

Tổng quát: Việc tìm cực trị của lớp hàm y = Pn(x)eαx, trong đó Pn(x)

là đa thức bậc n Khi đó, ta có y0 = (Pn0(x) + αPn(x))eαx Nên xét dấucủa y0 quy về xét dấu hàm f (x) = Pn0(x) + αPn(x)

Bài toán 2.9 Tìm cực trị của các hàm số sau

1)y = (2x2 − x)e2x

2)y = (x2 − mx)e2x

Bằng cách đổi biến số, tìm cực trị hàm số sau:

sin x))2 + 2, x ∈ R

Bằng cách đặt t = ln(1 + sin x)

Hàm số này đạt cực đại t = 0, đạt cực tiểu tại t = 2

Do đó, hàm số đã cho đạt cực đại khi sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z, đạtcực tiểu khi sin x = 1 ⇔ x =

Từ bài toán này dẫn ta tới các bài toán có liên quan như các bài toánbiện luận tham số của phương trình, bất phương trình mũ.

thức đã biết

Trong mục này, ta xây dựng các bất đẳng thức và cực trị hàm mũ từcác bất đẳng thức cơ bản và đã được chứng minh, bằng các đổi biến phùhợp

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.11 Chứng minh rằng

Giải Sử dụng ví dụ 2.9, đặt a = 2x−1, b = 2y−1, c = 2z−1 ta có ngayđiều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = zBài toán 2.12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

2sinA + 2sinB + 2sinC ≤ 2 2

Ví dụ 2.10 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

a + b + c

12+

a + b + c

12+

T =h1.

a + b

a + b + c

12+ 1.

b + c

a + b + c

12+ 1.

c + a

a + b + c

12i.Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

a + b + c

12+

Giải Áp dụng ví dụ 2.10, đặt a1 = a2x, b1 = 2axby, c1 = b2y, ta có điềuphải chứng minh.

Ví dụ 2.11 [MO USA] Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện abc=1 Tìmgiá trị nhỏ nhất của

Bằng cách đổi biến hợp lý khác, ta có bài toán sau:

Bài toán 2.15 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Pmin =

3

2 khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x = 1.

Ví dụ 2.12 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện abc = 1 Ta đều có

2

= (ab + bc + ca)2

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.13 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện abc = 1 Tìm giá trịnhỏ nhất của