Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)

Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ KIM CHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ĐẾM ĐƯỢC

CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

THÁI NGUYÊN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ KIM CHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ĐẾM ĐƯỢC

Mục lục

1 Bất đẳng thức biến phân với toán tử J -đơn điệu 4

1.1 Không gian Banach 4

1.1.1 Không gian Banach trơn đều 4

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu 5

1.1.3 Ánh xạ không giãn 7

1.2 Toán tử đơn điệu 7

1.2.1 Toán tử đơn điệu 7

1.2.2 Toán tử J -đơn điệu 10

1.2.3 Giới hạn Banach 13

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 15

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 15 1.3.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 16 2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn 18 2.1 Bất đẳng thức biến phân với toán tử đồng bức J -đơn điệu 18 2.1.1 Định lý hội tụ yếu 18

2.1.2 Định lý hội tụ mạnh 21

2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử J -đơn điệu mạnh 25

2.2.1 Mô tả phương pháp 25

2.2.2 Sự hội tụ 26

Tài liệu tham khảo 32

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu đầu tiên bởi Stampacchia[6], [7] và là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toánứng dụng như bài toán cân bằng kinh tế, tài chính, vận tải v.v vì vậy

nó đã trở thành vấn đề thời sự thu hút rất nhiều nhà khoa học quantâm nghiên cứu

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thứcbiến phân là việc xây dựng phương pháp giải Dựa trên tính chất kiểuđơn điệu, đã có rất nhiều phương pháp hiệu quả được các nhà khoa họcđưa ra, trong đó tiêu biểu là phương pháp điểm gần kề của B Martinet,phương pháp nguyên lý bài toán phụ của G Cohen, phương pháp laiđường dốc nhất của Yamada v.v Hiện nay đang có nhiều công trình

mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vôhạn các ánh xạ không giãn

Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp lặp giải bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ đếm được các ánh

xạ không giãn trong không gian Banach

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dungcủa luận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: "Bất đẳng thức biến phân với toán tử J -đơn điệu" trìnhbày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach, toán tử đơn điệu,toán tử J -đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân trong hai khônggian Hilbert và Banach

Chương 2: "Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh

xạ không giãn" trình bày phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến

phân với toán tử đồng bức J -đơn điệu và toán tử J -đơn điệu mạnh trongkhông gian Banach Các kiến thức trình bày trong luận văn được tổnghợp từ hai bài báo trong [2] và [3].

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn ThịThu Thủy và PGS.TS Phạm Ngọc Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc tới thầy cô, người đã tận tâm giảng dạy và chỉbảo tác giả trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, KhoaToán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập

BẢNG KÝ HIỆU

R trường số thực

∅ tập rỗng

Rn không gian Euclide n-chiều

|x| giá trị tuyệt đối của x

||x|| chuẩn của véctơ x

PC phép chiếu mêtric từ H lên C

QC phép co rút không giãn theo tia từ E lên C

hx, yi tích vô hướng của hai phần tử x và y

D(A) miền xác định của ánh xạ A

E∗ không gian đối ngẫu của E

xn → x sự hội tụ mạnh của {xn} vào x ∈ E

xn * x sự hội tụ yếu của {xn} vào x ∈ E

Fix(T ) tập các điểm bất động của T

VI(C, A) tập các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

trong không gian Hilbert

S(C, A) tập các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

trong không gian Banach

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian Banach trơn đều

Cho E là không gian Banach thực với chuẩn k.k Ký hiệu E∗ là khônggian đối ngẫu của E và giá trị của f ∈ E∗ tại x ∈ E là n}

là một dãy trong E Ký hiệu sự hội tụ mạnh của {xn} đến x ∈ E là

xn → x và sự hội tụ yếu là xn * x Gọi U = {x ∈ E : kxk = 1}

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi là lồi đều nếu với mỗi

 ∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U

kx − yk ≥  thỏa mãn x + y

2 ≤ 1 − δ (1.1)

Ta thấy, không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ và lồi chặt

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu giới hạn

lim

t→0

kx + tyk − kxk

tồn tại với mọi x, y ∈ U Nó được gọi là trơn đều nếu giới hạn (1.2) đạtđược đều với x, y ∈ U

Ta thấy không gian E trơn đều nếu và chỉ nếu limτ →0ρ(τ )/τ = 0.Định nghĩa 1.4 Cho số thực q cố định, với 1 < q ≤ 2 Không gianBanach E gọi là q-trơn đều nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρ(τ ) ≤ cτqvới mọi τ > 0

Bổ đề 1.1 Cho số thực q với 1 < q ≤ 2 và E là không gian Banach.Khi đó E là q-trơn đều nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số K ≥ 1 sao cho

12



kx + ykq + kx − ykq



≤ kxkq+ kKykq (1.4)với mọi x, y ∈ E

Hằng số K trong Bổ đề 1.1 được gọi là hằng số q-trơn đều của E

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu

Định nghĩa 1.5 Cho số thực q > 1 Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq từ

E vào 2E∗ được định nghĩa như sau

Jq(x) =

n

x∗ ∈ E∗ : ∗ = kxkq

, kx∗k = kxkq−1o (1.5)với mọi x ∈ E Ánh xạ J = J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc,và

Jq(x) = kxkq−2J (x) với mọi x ∈ E (1.6)

Ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát, chuẩn tắc đơn trị tương ứng là

jq và j Nếu E là không gian Hilbert H thì J = I-toán tử đơn vị trong

H Ta thấy, với mọi x, y ∈ E và f ∈ J (y),

kxk2 − kyk2 ≥ 2 (1.7)Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có các tính chất sau

(1) Nếu E là không gian lồi chặt, thì J là ánh xạ 1 − 1 và

hx − y, x∗ − y∗i > 0 với (x, x∗), (y, y∗) ∈ J, x 6= y;

(2) Nếu E là không gian phản xạ, thì J là toàn ánh;

(3) Nếu E là không gian trơn đều, thì J là liên tục đều theo chuẩn trênmỗi tập con bị chặn của E

Ngoài ra,

q x ≤ kykq − kxkq, (1.8)với mọi x, y ∈ E và jx ∈ Jq(x) Hơn nữa ta có kết quả sau

Bổ đề 1.2 Cho số thực q thỏa mãn 1 < q ≤ 2 và E là không gianBanach q-trơn đều Khi đó

kx + ykq ≤ kxkq+ q q(x) + 2kKykq (1.9)với mọi x, y ∈ E, trong đó Jq là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E và K

là hằng số q-trơn đều của E

Chứng minh Cho x, y ∈ E tùy ý Từ (1.8) ta có

q q(x) ≥ kxkq − kx − ykq.Kết hợp với Bổ đề 1.1 ta nhận được

1.1.3 Ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.6 Cho E là không gian Banach và C là một tập con của

E Khi đó ánh xạ T từ C vào chính nó được gọi là không giãn nếu

là đường kính của D

Dễ thấy, tập con lồi, đóng của không gian Banach lồi đều có cấu trúcchuẩn tắc và tập con lồi, compact của không gian Banach cũng có cấutrúc chuẩn tắc Định lý sau đây liên quan đến sự tồn tại của các điểmbất động của một ánh xạ không giãn

Định lý 1.1 Cho E là không gian Banach phản xạ và D là tập con lồi,đóng, khác rỗng của E có cấu trúc chuẩn tắc Cho T là ánh xạ khônggiãn từ D vào chính nó Khi đó tập Fix(T ) khác rỗng

Định lý 1.2 Cho D là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianBanach lồi đều E và T là ánh xạ không giãn từ D vào chính nó Nếu{uj} là một dãy của D thỏa mãn

uj * u0 và lim

j→∞kuj − T ujk = 0thì u0 là điểm bất động của ánh xạ T

1.2 Toán tử đơn điệu

1.2.1 Toán tử đơn điệu

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H

Định nghĩa 1.8 Toán tử A : C → H được gọi là

(i) đơn điệu nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A);

(ii) η-đơn điệu mạnh nếu tồn tại η > 0 sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkx − yk2 ∀x, y ∈ D(A);

(iii) L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ D(A)

Nếu 0 ≤ L < 1 thì toán tử A được gọi là toán tử co Nếu L = 1 thì toán

tử A là toán tử không giãn

Định nghĩa 1.9 Toán tử A từ C vào H gọi là đồng bức đơn điệu nếutồn tại số thực dương α sao cho

hx − y, Ax − Ayi ≥ αkAx − Ayk2 (1.12)với mọi x, y ∈ C Trong trường hợp này, A gọi là α-đồng bức đơn điệu

Cho T là ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, khi đó A = I − T làánh xạ 1/2-đồng bức đơn điệu

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ T từ C vào chính nó gọi là giả co chặt nếutồn tại hằng số k với 0 ≤ k < 1 thỏa mãn

kT x − T yk2 ≤ kx − yk2+ kk(I − T )x − (I − T )yk2 (1.13)với mọi x, y ∈ C Trong trường hợp này, T gọi là k-giả co chặt

Định nghĩa 1.11 Ánh xạ QC : E → C được gọi là phép co rút khônggiãn theo tia từ E lên C nếu QC thỏa mãn

(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC;

(ii) QC là ánh xạ không giãn;

(iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞,

(i) QC là ánh xạ không giãn theo tia;

(ii) hx − QCx, j(y − QCx)i ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C

Bổ đề 1.5 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian Banach

E lồi đều và trơn đều và T là ánh xạ không giãn trên C với Fix(T ) 6= ∅.Khi đó tập Fix(T ) là tập co rút không giãn theo tia của C

Cho E là không gian Banach trơn, C là một tập con của E và J làánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E Ký hiệu

S(C, A) = {u ∈ C :

Bổ đề 1.6 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banachtrơn E Cho QC là phép co rút không giãn theo tia từ E vào C và A làtoán tử J -đơn điệu từ C vào chính nó Khi đó với mọi λ > 0,

S(C, A) = Fix(QC(I − λA)) (1.14)Chứng minh Từ Bổ đề 1.4 ta có u ∈ Fix(QC(I − λA)) nếu và chỉ nếu

(1.15)

với mọi y ∈ C và λ > 0 Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳngthức

2

Chú ý 1.1 Khi E là không gian Hilbert H, ánh xạ QC chính là phépchiếu mêtric PC từ H lên C.

1.2.2 Toán tử J -đơn điệu

Định nghĩa 1.12 Cho E là không gian Banach và C là tập con lồi,đóng, khác rỗng của E Toán tử A từ C vào E gọi là

(i) J -đơn điệu nếu tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) với mỗi x, y ∈ D(A) saocho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0; (1.16)

(ii) J -đơn điệu đều nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y)

và một hàm tăng ngặt ψ : R+ := [0, ∞) → R+, ψ(0) = 0 sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ψ(kx − yk); (1.17)

(iii) η-J -đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho (1.17)thỏa mãn với ψ(t) = ηt2

Định nghĩa 1.13 Ánh xạ T : C → C được gọi là γ-giả co chặt nếu vớimọi x, y ∈ C tồn tại số γ > 0 và jq(x − y) ∈ Jq(x − y) sao cho

hT x − T y, jq(x − y)i ≤ kx − ykq− γk(I − T )x − (I − T )ykq

hay tương đương với

h(I − T )x − (I − T )y, jq(x − y)i ≥ γk(I − T )x − (I − T )ykq,

ở đây, I là ánh xạ đơn vị của không gian E

Theo định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ γ-giả co chặt đều là liên tục Lipschitz

(1+γ)/γ-Bổ đề 1.7 Giả sử E là không gian Banach thực, trơn Cho F : E → E

là ánh xạ η-J -đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1 Khi đó,với mọi λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co rút với hệ số co 1 − λτ , ở đây

τ = 1 −p(1 − η)/γ ∈ (0, 1)

Bổ đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach2-trơn đều E Cho α > 0 và A là toán tử α-J -đơn điệu mạnh từ C vào

E Nếu 0 < λ ≤ α/K2, thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào E,trong đó K là hằng số 2-trơn đều của E

Bây giờ, ta định nghĩa toán tử α-đồng bức J -đơn điệu mạnh (1.12)trong không gian Banach

Định nghĩa 1.14 Cho C là tập con của không gian Banach trơn E.Cho α > 0, toán tử A từ C vào E gọi là α-đồng bức J -đơn điệu nếu

2 (1.18)

với mọi x, y ∈ C

Hiển nhiên, định nghĩa của toán tử α-đồng bức J -đơn điệu dựa trên

cơ sở của toán tử đồng bức đơn điệu Từ (1.18) ta có

kAx − Ayk ≤ 1

αkx − yk (1.19)với mọi x, y ∈ C Cho số thực q tùy ý q ≥ 2 Từ (1.6), (1.18), (1.19) tacó

với mọi dãy x, y ∈ C

Sau đây là một số tính chất của toán tử α-đồng bức J -đơn điệu trongkhông gian Banach 2-trơn đều

Bổ đề 1.9 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach2-trơn đều E Cho α > 0 và A là toán tử α-đồng bức J -đơn điệu từ Cvào E Nếu 0 < λ ≤ α/K2, thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào

E, trong đó K là hằng số 2-trơn đều của E

Chứng minh Từ Bổ đề 1.2, với mọi x, y ∈ C ta có

k(I − λA)x − (I − λA)yk2 = k(x − y) − λ(Ax − Ay)k2

≤ kx − yk2 − 2λ+ 2K2λ2kAx − Ayk2

≤ kx − yk2 − 2λαkAx − Ayk2+ 2K2λ2kAx − Ayk2

≤ kx − yk2 + 2λ(K2λ − α)kAx − Ayk2

(1.21)

Vậy, nếu 0 < λ ≤ α/K2, thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào E

2Nhận xét 1.1 Nếu q ≥ 2 từ (1.20) với mọi x, y ∈ C ta có

k(I − λA)x − (I − λA)ykq ≤ kx − ykq

Định lý 1.3 Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian nach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet Cho {T1, T2, } là một dãy củaánh xạ không giãn từ C vào chính nó với T∞

1.2.3 Giới hạn Banach

Cho ∼µ xác định trên tập số nguyên dương N, tức là, một hàm tuyếntính liên tục µ trên l∼ ∞ thỏa mãn kµ k = 1 =∼ µ (1) Hàm∼ ∼µ xác định trên

N khi và chỉ khi

inf{an : n ∈ N} ≤ µ (a) ≤ sup{a∼ n : n ∈ N}

với mỗi a = (a1, a2, ) ∈ l∞ Ta sẽ viết µ∼n(a) thay cho µ(a).∼ ∼µ trên Nđược gọi là giới hạn Banach nếu

∼

µn(a) = µ∼n(an+1)với mỗi a = (a1, a2, ) ∈ l∞ Sử dụng định lý Hann–Banach, ta có thểchứng minh sự tồn tại của giới hạn Banach Ta biết rằng nếu µ là giới∼hạn Banach thì

Bổ đề 1.11 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian nach X với một chuẩn khả vi Gâteaux đều Giả sử {xn} là một dãy con

Ba-bị chặn trong X, x∗ là một phần tử của C và µ là giới hạn Banach Khiđó,

µkxn− x∗k2 = min

x∈C µkxn− xk2nếu và chỉ nếu

µhx − x∗, J (xn − x∗)i ≤ 0 với mọi x ∈ C

Bổ đề 1.12 Cho E là không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteauxđều Cho {xn} bị chặn trong E Cho f là ánh xạ từ (0, 1) vào E Giả

sử limt→0f (t) = z và {f (t) : t ∈ (0, 1)} bị chặn Cho x ∈ E và µ là giớihạn Banach Nếu, với mỗi  > 0, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho

µn n− f (t)) < với mọi t ∈ (0, t0), thì

| n− f (t)) n− f (t))| < 

3với mọi t ∈ (0, t2) và n ∈ N Khi đó

µn n− z) = µn n− z) n− f (t))

+ µn n− f (t))

− n− f (t))
+ µn n− f (t))

Gâteaux đều, ta thu được

lim

n→∞

hx − z, J(xn+1− z)i − hx − z, J(xn− z)i

= 0

Từ Bổ đề 1.10, ta thu được lim supn→∞hx − z, J(xn− z)i ≤ 0

21.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Bài toán 1.1 Cho H là không gian Hilbert thực với chuẩn k.k và tích

vô hướng (., ), C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và A là mộttoán tử đơn điệu từ C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân đượcphát biểu như sau:

Tìm phần tử u ∈ C thỏa mãn : (v − u, Au) ≥ 0, ∀v ∈ C (1.24)

Phần tử u ∈ C thỏa mãn (1.24) được gọi là một nghiệm của bài toán.Tập các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.24) được kýhiệu là VI(C, A) Trong trường hợp C = H, VI(H, A) = A−10, trong

đó A−10 = {u ∈ H : Au = 0} Mỗi phần tử của A−10 được gọi là mộtkhông điểm của toán tử A Cho T là ánh xạ không giãn từ C vào chính

nó, khi đó A = I − T là toán tử 1/2-đồng bức đơn điệu và

Fix(T ) = VI(C, A), trong đó I là ánh xạ đồng nhất của H và Fix(T ) làtập các điểm bất động của T Trong trường hợp C = H = RN, ta cóđịnh lý sau về tìm không điểm của toán tử ngược đơn điệu mạnh

Định lý 1.4 Cho RN là không gian Euclid N chiều và A là toán tử đồng bức đơn điệu từ RN vào chính nó với A−10 6= ∅ Cho dãy {xn}được định nghĩa như sau:

α-x1 = x ∈ RN, xn+1 = xn− λnAxn, n = 1, 2, , (1.25)trong đó {λn} là dãy thuộc [0, 2α] Nếu dãy {λn} được chọn sao cho

λn ∈ [a, b] với a, b thỏa mãn 0 < a < b < 2α, thì dãy {xn} hội tụ tới mộtphần tử của A−10

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert

Bài tốn 1.1 Cho H không gian Hilbert thực với chuẩn k.k tích

vơ hướng (., ), C tập lồi,... A−10 gọi mộtkhông điểm toán tử A Cho T ánh xạ khơng giãn từ C vào

nó, A = I − T toán tử 1/2-đồng đơn điệu

Fix(T ) = VI(C, A), I ánh xạ đồng H Fix(T ) l? ?tập điểm bất động T Trong... k.k tích

vơ hướng (., ), C tập lồi, đóng, khác rỗng H A mộttoán tử đơn điệu từ C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân đượcphát biểu sau:

Tìm phần tử u ∈ C thỏa mãn : (v − u, Au)