Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)

Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)Bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (LV thạc sĩ)

HOÀNG THỊ CÚC

BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ

LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ

LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1.1 Khái niệm cơ bản về đồ thị 4

1.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 4

1.1.2 Đồ thị đẳng cấu 7

1.1.3 Đồ thị liên thông 8

1.1.4 Đường và chu trình trong đồ thị 8

1.1.5 Một số dạng đồ thị đặc biệt 9

1.2 Mạng và luồng 12

1.3 Một số bài toán tối ưu trên đồ thị 13

1.3.1 Ghép cặp, phủ cạnh, phủ đỉnh, tập ổn định và clique 13

1.3.2 Bài toán phủ đỉnh, phủ cạnh và ghép cặp 14

1.4 Kết luận Chương 1 15

Chương 2 Bài toán luồng lớn nhất trên mạng 17 2.1 Nội dung bài toán 17

2.1.1 Mạng và luồng 17

2.3.1 Khả năng của một mạng 25

2.3.2 Thiết diện nhỏ nhất 27

2.4 Kết luận Chương 2 29

Chương 3 Bài toán luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng 30 3.1 Phát biểu bài toán 30

3.2 Tiêu chuẩn tối ưu 31

3.3 Thuật toán thu hẹp chính tắc 35

3.4 Trường hợp tổng quát (d(u) 6= +∞) 40

3.5 Kết luận Chương 3 41

Danh sách kí hiệu

G= G(V, E) đồ thị vô hướng với tập đỉnh V , tập cạnh E

G= (A,U, d(u)) mạng với tập đỉnh A, tập cung U, khả năng các

cung d(u)

X = {x(u)} luồng trên mạng

u= (i, j) cạnh (cung) đi từ đỉnh i đến đỉnh j

c(u), di j khả năng thông qua của cạnh (cung) u = (i, j)d(u), di j khả năng thông qua của cạnh (cung) u = (i, j)x(u) cường độ của luồng trên cạnh (cung) u

Kn đồ thị hai phần đầy đủ n đỉnh

Km,n đồ thị hai phần đầy đủ, mỗi phần m và n đỉnh

pi yêu cầu của đỉnh i (đỉnh i là trạm phát khi pi< 0,

đỉnh i là trạm thu khi pi> 0)

αi= αi(X ) thông lượng của luồng tại đỉnh i

Ui− tập hợp các cung đi tới đỉnh i

Ui+ tập hợp các cung đi khỏi đỉnh i

σ (X ) trị số của luồng X

f(X ) hàm cước phí của luồng X

µ dây chuyền hay chu trình trên mạng

1.1 Sơ đồ khu phố 4

1.2 Sơ đồ mạch điện 4

1.3 Đồ thị đại diện 5

1.4 Cạnh kép và đa đồ thị 6

1.5 Khuyên trong đa đồ thị 6

1.6 Đồ thị có hướng 6

1.7 Bậc của đỉnh trong đồ thị 7

1.8 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị ở Hình 1.3 7

1.9 Đồ thị G1, G2và hợp G1∪ G2 8

1.10 Đồ thị không liên thông 8

1.11 Ví dụ về rừng và cây 10

1.12 Đồ thị đầy đủ K4 và K5 11

1.13 Đồ thị hai phần 11

1.14 Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3, K2,3, K3,3, K4,3 11

1.15 Phủ đỉnh, phủ cạnh và ghép cặp 15

2.1 Thông lượng ở đỉnh (αi= 18 − 9 = 7) 18

2.2 Dây chuyền chưa bão hòa 20

2.3 Luồng lớn nhất trong mạng dạng cây 25

3.2 Rút gọn đường nhánh 393.3 Luồng tối ưu: x(u) ghi ở cung u 39

Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạch điện hay sơ đồ tổ chức của một cơ quan,trường học đã khá quen thuộc với nhiều người Đó là những hình ảnh sinh động và

cụ thể của một khái niệm toán học trừu tượng - khái niệm đồ thị (graph)

Có thể hiểu đơn giản "đồ thị" là một cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu

tố chính là đỉnh và cạnh cùng với mối quan hệ giữa chúng Nếu trên các cạnh của

đồ thị có xét tới sự di chuyển của lượng vật chất (nước, xăng dầu, hàng hóa ) thì

đồ thị còn được gọi là một mạng (network) Đồ thị và mạng là mô hình toán họccho nhiều vấn đề lý thuyết và thực tiễn đa dạng

Lý thuyết đồ thị và mạng đề cập tới nhiều bài toán đa dạng và có ý nghĩa thựctiễn thiết thực, cùng nhiều phương pháp xử lý và thuật toán giải độc đáo và hiệuquả, giúp ích cho sự phát triển tư duy toán học nói chung và khả năng vận dụngtrong cuộc sống thường ngày nói riêng Trong số đó đáng chú ý là hai bài toán sauđây: bài toán luồng lớn nhất và bài toán luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng

Bài toán thứ nhất là tìm cách vận chuyển được nhiều hàng nhất từ một (haynhiều) đỉnh nguồn tới một (hay nhiều) đỉnh đích trên một mạng cho trước Bài toánthứ hai thực chất là bài toán vận tải trên mạng làm sao vận chuyển được hàng hóa

từ các điểm cung cấp tới các điểm tiêu thụ với chi phí nhỏ nhất Các bài toán này

đã được nhiều nhà toán học nổi tiếng quan tâm, nghiên cứu như Ford-Fulkerson,Hoàng Tụy và đã có lý thuyết đẹp về luồng trên mạng

Luận văn “Luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng” có mục đích

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo hiện có [1]-[5].

Nội dung luận văn gồm ba chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị nhắc lại một số khái niêm cơ bản về đồ thị:đỉnh và cạnh, đường và chu trình, đồ thị đặc biệt (rừng và cây, đồ thị đầy đủ,

đồ thị hai phần), khái niệm mạng và luồng trên mạng Giới thiệu một số bàitoán tối ưu trên đồ thị: tìm phủ đỉnh, phủ cạnh nhỏ nhất, tìm ghép cặp lớnnhất

• Chương 2 Bài toán luồng lớn nhất trên mạng trình bày nội dung bài toánluồng lớn nhất trên mạng, một dạng mở rộng của bài toán luồn lớn nhất trênmạng giao thông Ford -Fulkerson, nêu điều kiện cần và đủ để có luồng lớnnhất và thuật toán tìm luồng lớn nhất trên mạng Cuối chương giới thiệu định

lý quan trọng cho biết trị số của luồng lớn nhất bằng khả năng của thiết diệnnhỏ nhất

• Chương 3 Bài toán luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng đề cập tới bài toánvận tải trên mạng và trình bày "thuật toán thu hẹp chính tắc" giải bài toán

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Toánhọc - Viện Hàn lâm Khoa học & Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin được bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đápnhững thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên tham giagiảng dạy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất có thể để tác giả học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Hoàng Thị Cúc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở về lý thuyết đồ thị, chủ yếu nhắc lạivắn tắt một số định nghĩa và khái niệm dùng trong lý thuyết đồ thị và mạng, giớithiệu một số bài toán tối ưu và bài toán luồng lớn nhất trên mạng Trong chươngdẫn ra nhiều ví dụ minh họa Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ cáctài liệu [1], [2], [4] và [5]

1.1 Khái niệm cơ bản về đồ thị

1.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

Trong thực tế ta thường gặp các sơ đồ giao thông (Hình 1.1 ) hay sơ đồ mạchđiện (Hình 1.2) Các sơ đồ này được khái quát thành sơ đồ ở Hình 1.3 Từ đó ta đi

Hình 1.1: Sơ đồ khu phố Hình 1.2: Sơ đồ mạch điện

tới định nghĩa sau: Đồ thị là một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các điểm, gọi là các đỉnh hay nút, và một tập hợp các đường (thẳng hay cong) nối liền một số cặp điểm này, gọi là các cạnh của đồ thị (số cạnh có thể bằng 0).

Hình 1.3: Đồ thị đại diện

Mỗi đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng một chữ cái (a, b, c, hay A,

B, C, ) hoặc chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối liền đỉnh v với đỉnh w được ký hiệu

là (v,w) hay đơn giản là vw (v và w có thể là các chữ số) Một cạnh có dạng (a,a),

nối đỉnh a với chính nó, gọi là một khuyên.

Nếu đồ thị G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E ⊆ V ×V thì để cho gọn, ta viết

G= (V, E) Ta cũng dùng ký hiệu V (G) để chỉ tập đỉnh và E(G) để chỉ tập cạnhcủa đồ thị G Ký hiệu n = |V (G)| là số đỉnh và m = |E(G)| là số cạnh của đồ thịG

Để dễ hình dung, mỗi đồ thị thường được biểu diễn bởi một hình vẽ trên mặtphẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn một đồ thị có 5 đỉnh: P, Q, R, S, T và 8cạnh (mỗi cạnh là một đoạn thẳng nối hai đỉnh) Chú ý rằng điểm cắt nhau của haicạnh PS và QT trong hình vẽ không phải là một đỉnh của đồ thị

Đỉnh v gọi là kề đỉnh w nếu có một cạnh của đồ thị nối v với w Nếu ký hiệu

cạnh này là e thì ta viết e = (v,w) và nói cạnh e liên thuộc v, w hay v, w là hai đầu

mútcủa e Cạnh e và e0 gọi là kề nhau nếu e, e0có chung đỉnh

Hai cạnh e và e0 cùng nối một cặp đỉnh gọi là cạnh kép Đồ thị không có cạnh kép gọi là một đơn đồ thị Trái lại, gọi là một đa đồ thị Hình 1.4 và 1.5 minh họa

cạnh kép và khuyên trong đa đồ thị

Một cạnh của đồ thị gọi là cạnh có hướng nếu qui định rõ một đầu mút của cạnh là đỉnh đầu, mút kia là đỉnh cuối Cạnh có hướng còn được gọi là một cung Một đồ thị gồm toàn các cạnh gọi là đồ thị vô hướng, đồ thị gồm toàn các cung

Hình 1.4: Cạnh kép và đa đồ thị Hình 1.5: Khuyên trong đa đồ thị

gọi là đồ thị có hướng Một đồ thị vừa có cạnh vừa có cung gọi là đồ thị hỗn hợp.

Bằng cách thay một cạnh bởi hai cung có hướng ngược chiều nhau, ta có thể quimọi đồ thị về đồ thị có hướng Hình 1.6 mô tả một đồ thị có hướng

Hình 1.6: Đồ thị có hướng

Bậccủa đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc nó, ký hiệu là ρ(v)

Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cô lập, đỉnh có bậc 1 gọi là đỉnh treo Tương tự, trong đồ thị có hướng ta gọi bậc ra (bậc vào) của đỉnh v là số cung đi khỏi v (số cung đi tới

v), ký hiệu tương ứng là ρ+(v)và ρ−(v) Qui ước: khuyên tại một đỉnh được tính

2 lần Ví dụ trong đồ thị vẽ ở Hình 1.7 ta có ρ(P) = ρ(S) = ρ(U) = ρ(V ) = 2;

ρ (Q) = ρ (R) = 3và ρ(T ) = 4 (có khuyên ở T )

Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau đây về bậc của đỉnh trong đồ thị:

(1) Trong một đồ thị vô hướng, tổng số bậc của mọi đỉnh bằng hai lần số cạnhcủa đồ thị và số đỉnh có bậc lẻ bao giờ cũng là một số chẵn

Hình 1.7: Bậc của đỉnh trong đồ thị

(2) Trong một đồ thị có hướng, tổng các bậc vào của mọi đỉnh bằng tổng cácbậc ra của mọi đỉnh và bằng tổng số cung trong đồ thị

Nhiều tính chất của đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng các cung trong

đồ thị Vì thế, khi bỏ qua hướng trên các cung (đổi cung thành cạnh) ta sẽ nhận

được một đồ thị vô hướng, gọi là đồ thị nền của đồ thị có hướng đã cho.

1.1.2 Đồ thị đẳng cấu

Hai đồ thị G1và G2gọi là đẳng cấu nếu chúng có số đỉnh và số cạnh như nhau

và có phép "tương ứng một-một" giữa tập đỉnh của G1và G2 sao cho hai đỉnh đượcnối với nhau bởi một cạnh trong đồ thị này khi và chỉ khi hai đỉnh tương ứng trong

đồ thị kia cũng được nối với nhau bởi một cạnh và ngược lại Hình 1.8 vẽ các đồthị đẳng cấu với đồ thị vẽ ở Hình 1.3 Các cạnh của hai đồ thị ở Hình 1.9 chỉ gặp

nhau ở đỉnh Các đồ thị đẳng cấu được xem là tương đương.

Hình 1.8: Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị ở Hình 1.3

1.1.3 Đồ thị liên thông

Có thể ghép hai đồ thị để lập nên một đồ thị lớn hơn Cho G1= (V (G1), E(G1)),

G2 = (V (G2), E(G2)) với V (G1) ∩ V (G2) = /0 Khi đó, hợp G1∪ G2 là đồ thị cótập đỉnh là V (G1) ∪V (G2)và tập cạnh là E(G1) ∪ E(G2)(Hình 1.9)

Hình 1.9: Đồ thị G1, G2 và hợp G1∪ G2

Hầu hết các đồ thị thường gặp là đồ thị ghép Một đồ thị được gọi là liên thông

nếu nó không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai hay nhiều đồ thị Trái lại, đồ

thị gọi là không liên thông Rõ ràng là bất cứ một đồ thị không liên thông G nào

cũng biểu diễn được dưới dạng hợp của các đồ thị liên thông, mỗi đồ thị liên thônggọi là một thành phần liên thông của G Chẳng hạn, một đồ thị gồm ba thành phầnliên thông được vẽ ở Hình 1.10

Hình 1.10: Đồ thị không liên thông

1.1.4 Đường và chu trình trong đồ thị

Đường P từ đỉnh v tới đỉnh w là một dãy liên tiếp các cạnh có dạng

(a0, a1), (a1, a2), , (ak−1, ak)

Ví dụ với đồ thị vẽ ở Hình 1.9 một đường nối đỉnh P và đỉnh R là (P,T ), (T,Q),(Q, R)hay đơn giản là P, T , Q, R Hai đường khác từ P tới R là P, T , S, R và P, Q,

Rhay P, S, R Đồ thị này có các chu trình sau: (P,Q),(Q,R),(R,S),(S,T ),(T,P);(Q, S), (S, T ), (T, Q), v.v

Đường và chu trình trong đồ thị có hướng được định nghĩa tương tự (cung thaycho cạnh) Để phân biệt, đôi khi ta gọi đó là đường (chu trình) định hướng Đồ thị

có hướng ở Hình 1.3 có các đường định hướng từ đỉnh 1 tới đỉnh 6 là: 1, 3, 6; 1, 3,

4, 6; 1, 3, 5, 6; 1, 2, 4, 6 Đồ thị đó không có chu trình định hướng

1.1.5 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Mục này trình bày một số dạng đồ thị đặc biệt, đáng chú ý và hay được dùng

Ta cần thêm một số khái niệm: Đồ thị con H của một đồ thị G là đồ thị nhận được

từ G bằng cách bỏ đi một số đỉnh và một số cạnh của nó Đồ thị con H của G gọi là

đồ thị con bao trùmnếu V (H) = V (G) Một đồ thị có đỉnh, nhưng không có cạnh

nào gọi là một đồ thị rỗng.

Rừng và cây Có thể hiểu đồ thị liên thông theo nghĩa tương đương như sau Một

đồ thị vô hướng gọi là liên thông nếu có đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị Trái lại, đồ thị gọi là không liên thông Đồ thị không liên thông sẽ bị tách thành

một số đồ thị con liên thông, đôi một không có đỉnh chung Mỗi đồ thị con liên

thông như thế là một thành phần liên thông Ví dụ, mỗi đồ thị vẽ ở Hình 1.9 là

liên thông, còn đồ thị vẽ ở Hình 1.11 là không liên thông (gồm ba thành phần liênthông)

gọi là một cây, tức cây là một đồ thị liên thông và không có chu trình Ví dụ phả

hệ của một họ tộc là một cây (cây phả hệ) Rừng có thể gồm nhiều thành phần liênthông khác nhau, mỗi thành phần liên thông là một cây Như vậy, rừng gồm nhiều

cây Đỉnh có bậc 1 trong cây gọi là một lá Đồ thị hình sao là một cây có duy nhất

một đỉnh không phải là lá

(a) Rừng (không liên thông) (b) Cây (liên thông) (c) Đồ thị hình sao

Hình 1.11: Ví dụ về rừng và cây

Một đồ thị con, không chứa chu trình của đồ thị G gọi là một cây của G Một

đồ thị con bao trùm của G mà là một cây được gọi là một cây bao chùm của G.

Một số tính chất đặc trưng của cây: cây n đỉnh có đúng n − 1 cạnh, trong một cây,bao giờ cũng có một đường đi duy nhất nối một cặp đỉnh bất kỳ của cây, khi thêmvào cây một cạnh bất kỳ khác sẽ tạo nên một chu trình duy nhất

Đồ thị đầy đủ Một đơn đồ thị trong đó mọi cặp đỉnh (khác nhau) đều kề nhau,

gọi là một đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh ký hiệu là Kn Số cạnh của Kn bằngn(n − 1)/2 Đồ thị K4 và K5 được vẽ ở Hình 1.12

Đồ thị hai phần Nếu tập đỉnh của một đồ thị G có thể được chia tách ra thành

hai tập rời nhau A và B sao cho mỗi cạnh của G nối một đỉnh thuộc A với một đỉnh

thuộc B, thì G được gọi là một đồ thị hai phần (Hình 1.13).

Đồ thị phẳng Một đồ thị (hay đa đồ thị) G gọi là đồ thị phẳng khi G có thể biểu

diễn được trên một mặt phẳng sao cho ứng với mỗi đỉnh là một điểm và ứng vớimỗi cạnh là một đoạn thẳng hay cong và bất kỳ hai cạnh nào cũng không có điểmchung khác với các đầu mút của chúng Đồ thị đã vẽ ở Hình 1.4 và Hình 1.4 là các

đồ thị phẳng

Khi đó, mỗi miền mặt phẳng hạn định bởi các cạnh và không chứa đỉnh hoặc

cạnh ở bên trong nó, gọi là một diện của đồ thị phẳng G Biên của một diện là chu trình tạo nên bởi các cạnh hạn định nó Hai diện gọi là kề nhau khi nào biên của

chúng có ít nhất một cạnh chung Rõ ràng mỗi đồ thị phẳng liên thông đều có một

diện vô hạn duy nhất, còn mọi diện khác đều là diện hữu hạn.

Lưu ý, đồ thị K5 (Hình 1.12) và K3,3 (Hình 1.14) là hai đồ thị không phẳng vàngười ta chứng minh được rằng một đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa

đồ thị con nào thuộc kiểu K5 hay K3,3 (Định lý Kuratowski)

1.2 Mạng và luồng

Trong nhiều ứng dụng ta thường quan tâm tới các mạng, tức là các đồ thị màtrên các cạnh hay cung của nó có các lượng vật chất di chuyển Chẳng hạn, mạnglưới giao thông, mạng thông tin liên lạc, mạng phân phối điện, mạng ống dẫn dầu,mạng cấp nước thành phố

Có thể hiểu mạng là một đồ thị liên thông (vô hướng hay có hướng) mà trên

mỗi cạnh hay cung của đồ thị có gắn một số không âm, gọi là năng lực lưu thôngcủa cạnh hay cung đó Năng lực lưu thông của cạnh hay cung cho biết lượng vậtchất tối đa có thể di chuyển trên cạnh hay cung đó (tấn/giờ đối với mạng ống dẫndầu, m3/phút đối với mạng cấp nước thành phố, xung/giây đối với mạng thông tinliên lạc, số xe/giờ đối với mạng giao thông thành phố)

Các đỉnh trong mạng có thể biểu diễn các kho chứa hàng, các đài tiếp âm, cácnút giao thông hay các trạm bơm

Nếu cho phép di chuyển theo cả hai chiều giữa một cặp đỉnh (như đường haichiều trong thành phố) thì các đỉnh này được nối liền bằng hai cung, mỗi cung đitheo một hướng và mỗi cung có một năng lực lưu thông riêng (có thể khác nhau).Như vậy, một cạnh vô hướng có thể xem như hai cung ngược chiều nhau (giốngnhư đường hai chiều được xem như đường một chiều có dải phân cách ở giữa).

1.3 Một số bài toán tối ưu trên đồ thị

1.3.1 Ghép cặp, phủ cạnh, phủ đỉnh, tập ổn định và clique

◦ Một ghép cặp trong đơn đồ thị vô hướng G là tập cạnh M ⊆ E(G) sao cho

từng đôi một rời nhau (không có đỉnh chung), nghĩa là tất cả các đầu mút của

chúng đều khác nhau Ghép cặp gọi là cực đại nếu nó có nhiều cạnh nhất và gọi là hoàn hảo nếu nó phủ hết mọi đỉnh của đồ thị.

◦ Một phủ cạnh trong đồ thị G là tập cạnh F ⊆ E(G) sao cho mỗi đỉnh của G

liên thuộc ít nhất một cạnh trong F, nghĩa là mỗi đỉnh là đầu mút của cạnhnào đó trong F (thực ra phủ cạnh là dùng cạnh để phủ đỉnh)

◦ Một phủ đỉnh trong đồ thị G là tập đỉnh S ⊆ V (G) sao cho mỗi cạnh của G

liên thuộc ít nhất một đỉnh trong S, nghĩa là mỗi cạnh có ít nhất một đầu mútthuộc S (thực ra nên hiểu phủ đỉnh là dùng đỉnh để phủ cạnh)

◦ Tập ổn địnhtrong G là một tập đỉnh mà từng đôi một không kề nhau

◦ Cliquelà một tập đỉnh mà từng đôi một kề nhau (ngược với tập ổn định)

G+ Hlà đồ thị đầy đủ, tức là V (H) = V (G) và e ∈ E(H) ⇔ e /∈ E(G)) Mối quan

hệ giữa các khái niệm nêu trên được thể hiện một phần trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.1 Cho đồ thị G và X ⊆ V(G) Ba điều sau tương đương:

(1) X là một phủ đỉnh trong G;

(2) V (G) \ X là tập ổn định trong G;

(3) V (G) \ X là một clique trong đồ thị bù của G.

1.3.2 Bài toán phủ đỉnh, phủ cạnh và ghép cặp

Bài toán phủ đỉnh Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) với tập đỉnh V và tập cạnh

E ⊆ V × V Hãy chọn ra từ V , tập đỉnh nhỏ nhất (gồm ít đỉnh nhất) sao cho tậpđỉnh này phủ được mọi cạnh, nghĩa là mỗi cạnh của đồ thị đều có ít nhất một đầumút thuộc tập đỉnh đã chọn

Bài toán phủ cạnh Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) với tập đỉnh V và tập cạnh

E ⊂ V × V Hãy tìm tập cạnh nhỏ nhất (số cạnh ít nhất) F ⊂ E sao cho mỗi đỉnhcủa đồ thị G đều là đầu mút của ít nhất một cạnh thuộc tập F đã chọn

Bài toán ghép cặp cực đại Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) với tập đỉnh V và

tập cạnh E ⊂ V ×V Hãy tìm tập cạnh lớn nhất (số cạnh nhiều nhất) M ⊆ E sao

cho hai cạnh bất kỳ trong M không có đỉnh chung Bài toán ghép cặp hoàn hảo là

tìm ghép cặp phủ hết mọi đỉnh của đồ thị

Đồ thị vẽ ở Hình 1.15 gồm 7 đỉnh (đánh số từ 1 đến 7) Một phủ đỉnh nhỏ nhấtgồm bốn đỉnh {3,4,5,6} Ba đỉnh còn lại {1,2,7} tạo nên một tập ổn định lớnnhất (Hình 1.15a) Phủ cạnh nhỏ nhất gồm bốn cạnh tô đậm (Hình 1.15b) và ghépcặp cực dại gồm ba cạnh tô đậm (Hình 1.15c)

(a) Phủ đỉnh nhỏ nhất (b) Phủ cạnh nhỏ nhất (c) Ghép cặp cực đại

Hình 1.15: Phủ đỉnh, phủ cạnh và ghép cặpCác bài toán này có những ứng dụng thiết thực trong thực tiễn Xét các ví dụ

Ví dụ 1.3.2 Một khu vực có một số vị trí 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Hình 1.15a)) Một tháp

canh đặt ở vị trí nào thì có thể kiểm soát tất cả các con đường kề nó: chẳng hạnnếu đặt tháp canh ở 1 thì có thể kiểm soát hai đoạn đường (1,3) và (1.6), Cầnđặt ít nhất bao nhiêu tháp canh và đặt ở đâu để kiểm soát được toàn khu vực?

Lời giải Vấn đề qui về tìm một phủ đỉnh nhỏ nhất của đồ thị ở Hình 1.15a Trong

trường hợp đơn giản này ta thấy ngay một lời giải: cần phải đặt ít nhất bốn thápcanh và đặt ở các vị trí 3, 4, 5, 6

Ví dụ 1.3.3 Trong một tòa nhà cần mắc một số đèn để soi sáng các chỗ đông

người ra vào 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Hình 1.15b) Một ngọn đèn mắc ở hành lang (1,3)thì có thể soi sáng được hai nơi 1 và 3, v.v Cần mắc ít nhất bao nhiêu đèn vàmắc ở đâu để soi sáng được mọi nơi đông người ra vào?

Lời giải Vấn đề qui về tìm một phủ cạnh nhỏ nhất của đồ thị ở Hình 1.15b: ta thấy

ngay rằng cần phải mắc ít nhất 4 đèn ở các hành lang vẽ bằng nét đậm

1.4 Kết luận Chương 1

Chương này đã đề cập tới các khái niệm cơ bản về đồ thị Cụ thể đã trình bày

và giải thích bằng ví dụ các khái niệm về đồ thị (vô hướng, có hướng) và mạng,

không liên thông Miêu tả nhiều dạng đồ thị khác nhau: đồ thị con, đồ thị con baotrùm của một đồ thị và các dạng đồ thị đặc biệt: rừng và cây, đồ thị hình sao, đồthị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị bù Các vấn đề ghép cặp,phủ cạnh, phủ đỉnh và các bài toán tối ưu có liên quan (tìm ghép cặp cực đại, ghépcặp hoàn hảo, tìm phủ cạnh, phủ đỉnh nhỏ nhất) đã được giới thiệu.

Bài toán luồng lớn nhất trên mạng

Chương này đề cập tới bài toán luồng lớn nhất trên mạng, điều kiện cần và

đủ để luồng là lớn nhất và trình bày thuật toán tìm luồng lớn nhất, cuối cùng giớithiệu định lý về trị số của luồng lớn nhất bằng khả năng của thiết diện nhỏ nhất.Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4] và [5]

2.1 Nội dung bài toán

2.1.1 Mạng và luồng

Giả sử có một loại hàng (xi măng chẳng hạn) được vận chuyển (từ các kho tớicác nơi tiêu thụ) trên một sơ đồ các đường giao thông của một khu vực nào đó Cóthể xem sơ đồ giao thông như một đồ thị có hướng G = (A,U) liên thông, không

có khuyên, gồm n đỉnh, đánh số từ 1 tới n, tức là A = {1,2, ,n}, và mỗi cung

u∈ U có một số nguyên d(u) ≥ 0, biểu thị lượng hàng tối đa có thể vận chuyển

trên u trong một đơn vị thời gian, gọi là khả năng thông qua của cung u Ở mỗi

đỉnh i có một số nguyên pi (dương, âm hay bằng 0), biểu thị số lượng hàng có ởđỉnh i, nếu pi< 0 (đỉnh i là kho hàng), hoặc lượng hàng cần ở đỉnh i, nếu pi≥ 0

(đỉnh i là nơi tiêu thụ hàng) Khi đó G gọi là một mạng (trong lý thuyết đồ thị).

Đôi khi để phân biệt với đồ thị, ta viết mạng G = (A,U,d(u))

Một luồng trên mạng G là một hàm số X = {x(u) : u ∈ U} với x(u) xác định

độcủa luồng trên cung u, và số nguyên

αi= αi(X ) = ∑

u∈Ui−

x(u) − ∑

u∈Ui+x(u)

gọi là thông lượng của luồng tại đỉnh i (αi có thể dương, âm hay bằng không).(Trong công thức trên, U−

i chỉ tập hợp các cung đi tới đỉnh i và U+

i chỉ tập hợpcác cung đi khỏi đỉnh i Tổng thứ nhất ở vế phải có nghĩa là tổng mọi x(u) ứng vớicác cung u ∈ U−

i - tổng các cường độ trên các cung đi tới đỉnh i, và tổng thứ hai làtổng các cường độ trên các cung đi khỏi đỉnh i)

Về ý nghĩa thực tế, một mạng là khái quát một sơ đồ giao thông, một luồng là

một phương án vận chuyển hàng hóa chỉ rõ số lượng hàng hóa được vận chuyển

trên mỗi tuyến đường, thông lượng của luồng tại một đỉnh chẳng qua là tổng số

hàng hóa được đưa tới nó (nếu thông lượng không âm), hoặc tổng số hàng hóa đưa

đi khỏi nơi đó (nếu thông lượng âm)

Hình 2.1: Thông lượng ở đỉnh (αi= 18 − 9 = 7)

Cường độ x(u) của một luồng trên một cung u gọi là chấp nhận được nếu

0 ≤ x(u) ≤ d(u) Luồng X = {x(u)} gọi là chấp nhận được khi nào cường độ của

nó trên mọi cung u đều là chấp nhận được