Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TRUNG THÔNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGS.TS NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Một số ví dụ 6

1.1.3 Một số tính chất 7

1.2 Hàm lồi và dưới vi phân 8

1.2.1 Tập lồi Hàm lồi 8

1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi 10

1.3 Toán tử trong không gian Hilbert 10

1.3.1 Toán tử đơn điệu 10

1.3.2 Toán tử tuyến tính 12

1.4 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 13

1.4.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động 13

1.4.2 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 15

Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert 17 2.1 Bài toán chấp nhận tách 17

2.1.1 Phát biểu bài toán 17

2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ 18

2.2 Phương pháp giải bài toán chấp nhận tách 22

2.2.1 Giới thiệu 22

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp 27

2.2.3 Một ví dụ áp dụng 36

hx, yi tích vô hướng của hai véctơ x và y

xn → x xn hội tụ mạnh đến x

xn * x xn hội tụ yếu x

T toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

P phép chiếu mêtric từ H lên T−10

lim supn→∞xn giới hạn trên của dãy số {xn}

lim infn→∞xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

Mở đầu

Bài toán chấp nhận tách tổng quát đóng vai trò đặc biệt quan trọngtrong việc mô hình hóa nhiều bài toán ngược xuất hiện trong thực tế nhưbài toán nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khôi phụcảnh Một trong những phương pháp đã và đang được nhiều tác giả sửdụng để giải bài toán chấp nhận tách là phương pháp chiếu trong đó cầnphải thực hiện phép chiếu mêtric lên các tập con lồi đóng của không gianHilbert Tuy nhiên, việc tính ảnh của ánh xạ chiếu mêtric trên một tập lồiđóng bất kỳ cũng không dễ thực thi Do vậy, việc xây dựng các phươngpháp xấp xỉ điểm bất động để giải bài toán chấp nhận tách là hướngnghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm Nhiều kết quả công bốgần đây về phương pháp giải cho lớp bài toán này thường đòi hỏi tính liêntục Lipschitz và hệ số Lipschitz của ánh xạ Tuy nhiên trong thực hànhtính toán, việc tính hệ số Lipschitz thường khá phức tạp và tốn kém, dẫnđến việc cần thiết phải cải tiến và loại bỏ điều kiện này để xây dựng cácphương pháp giải hiệu quả hơn

Đề tài của luận văn là phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận táchtổng quát trong không gian Hilbert Đây là một đề tài vừa có ý nghĩa vềmặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung của bảnluận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: giới thiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một

số tính chất quan trọng của không gian Hilbert thực

Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổngquát trong không gian Hilbert, trình bày một số định lý hội tụ, các kếtquả cơ bản và áp dụng

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã tận tìnhhướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu vàviết bản luận văn này.

Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, cô giáo Nguyễn ThịThu Thủy cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp

đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa2014–2016), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, góp ý và chotác giả những nhận xét quý báu

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Tác giả luận văn

Hoàng Trung Thông

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức được sử dụng trongchương sau Đó là nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert,các tính chất quan trọng của không gian Hilbert và giải tích lồi, trình bày

về dưới vi phân Bên cạnh đó ta cũng sẽ nhắc lại một số toán tử trongkhông gian Hilbert và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động củaánh xạ không giãn Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tàiliệu [1]–[6]

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian véctơ X trên trường số thực R Tích

vô hướng xác định trong X là một ánh xạ

h., i :X × X → R(x, y) 7→ hx, yithỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ X, hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

(ii) hy, xi = hx, yi, với mọi x, y ∈ X;

(iii) hx + x0, yi = hx, yi + hx0, yi với mọi x, x0, y ∈ X;

(iv) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ X, λ ∈ R

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x, y trong X

Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy ra với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ R:

Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian tuyếntính định chuẩn, với chuẩn xác định bởi công thức

Định nghĩa 1.1.5 Nếu X là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đốivới chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.1) thì X được gọi làkhông gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1.6 Cho H là không gian Hilbert Dãy {xn} được gọi làhội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu kxn − xk → 0 khi

n → ∞

Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn} trong không gian Hilbert H được gọi là hội

tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu hxn, yi → hx, yi khi n → ∞với mọi y ∈ H

(a) Tập đóng nếu mọi dãy {xn} ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, tađều có x ∈ C;

(b) Tập đóng yếu nếu mọi dãy {xn} ⊂ C thỏa mãn xn * x khi n → ∞,

(a) Nếu C là tập lồi, đóng thì C là tập đóng yếu;

(b) Nếu C là tập bị chặn thì C là tập compact tương đối yếu

Định nghĩa 1.1.12 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của khônggian Hilbert thực H Ta biết rằng với mỗi x ∈ H, đều tồn tại duy nhấtmột phần tử PC(x) ∈ C thỏa mãn

kx − PC(x)k = inf

y∈Ckx − ykPhần tử PC(x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x lên

C và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC(x) được gọi

là phép chiếu mêtric từ H lên C

Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.1.13 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu mêtric từ Hlên C khi và chỉ khi

hx − PC(x), y − PC(x)i ≥ 0 với mọi y ∈ C

Nhận xét 1.1.14 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi α

là góc tạo bởi các véc tơ x − PC(x) và y − PC(x), thì α ≤ π

2.1.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1.1.15 Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

là không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi =

∞

P

n=1

xnyn và chuẩn cảmsinh

kxk =

vuut

Vì dãy {xn}n hội tụ trong X nên tồn tại M > 0 sao cho kxnk ≤ M vớimọi n ∈ N Khi đó ta có bất đẳng thức

|hxn, yni − ha, bi| ≤ M kxnk.kyn − bk + kxn− ak.kbk

kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2+ kyk2+ hx, yi + hy, xi,

kx − yk2 = hx − y, x − yi = kxk2 + kyk2 − hx, yi − hy, xi

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức (1.3)

Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véctơ x − y và x − z ta có

C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa

là ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 thì λx + µy ∈ C

Định nghĩa 1.2.3 Cho C 6= ∅ là tập lồi trong H và x ∈ C Nón pháptuyến ngoài của C tại x ∈ C, nón đối cực và nón đối ngẫu của C là cáctập hợp lần lượt được kí hiệu và xác định bởi:

Định nghĩa 1.2.6 Hàm f được gọi là

(i) Lồi trên C nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1].(ii) Lồi ngặt trên C nếu

f (λx+(1−λ)y) < λf (x)+(1−λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0; 1).(iii) Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1) ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − 1

2λ(1 − λ)αkx − yk

2

(iv) Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.

Nhận xét 1.2.7

(1) Nếu f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh trên C thì f là hàm lồi trên C.(2) f là hàm lồi trên C nếu epif là tập lồi trong H × R

(3) f là hàm lồi suy ra domf là tập lồi

1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử f là hàm lồi trên không gian Hilbert H

(i) Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ Hnếu

hx∗, x − xi ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ H

(ii) Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân củahàm f tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có

∂f (x) := {x∗ ∈ H∗ : hx∗, x − xi ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ H}.(iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) 6= ∅

1.3 Toán tử trong không gian Hilbert

1.3.1 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một không gian Hilbert Toán tử đơn trị

T : H → H, được gọi là toán tử đơn điệu nếu

Định nghĩa 1.3.3 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơnđiệu nếu

hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y) (1.4)

Ví dụ 1.3.4 Cho f : H → R ∪ {∞} là hàm lồi, chính thường Ánh xạdưới vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ).Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom(∂f ), u ∈ ∂f (x), v ∈ ∂f (y) ta có

u ∈ ∂f (x) ⇔ hu, y − xi ≤ f (y) − f (x), ∀y ∈ H,

v ∈ ∂f (y) ⇔ hv, x − yi ≤ f (x) − f (y), ∀x ∈ H

Cộng vế với vế ta được

hv, x − yi − hu, x − yi ≤ 0

⇔ hv − u, x − yi ≤ 0 ⇔ hu − v, x − yi ≥ 0

Vậy ∂f là toán tử đơn điệu đa trị

Định nghĩa 1.3.5 Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu

đồ thị Gr(T ) của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì mộttoán tử đơn điệu nào khác

Ví dụ 1.3.6 Toán tử đa trị T : R → 2R cho bởi công thức

−x2 nếu x < 0

là toán tử đơn điệu cực đại

Thật vậy, với mọi điểm M (x, y) /∈ Gr(T ) ta luôn tìm được điểm M0(x0, y0) ∈Gr(T ) sao cho góc giữa hai véctơ−−→

1.3.2 Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.3.7 Cho H1, H2 là các không gian Hilbert Một ánh xạ

A : H1 → H2 gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:1) A(x1+ x2) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ H1;

2) A(αx) = αAx với mọi x ∈ H1 và với mọi số α

Định nghĩa 1.3.8 Cho H1, H2 là các không gian Hilbert Một toán tử

A : H1 → H2 gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn luôn kéo theo Axn → Ax0.Định nghĩa 1.3.9 Toán tử tuyến tính A : H1 → H2 gọi là bị chặn (giớinội) nếu có một hằng số r > 0 để cho

Với mọi x 6= 0 ta có k x

kxkk = 1, cho nên

kAxkkxk ≤ r, do đó kAxk ≤ rkxk.Ngược lại, giả sử có hằng số r thỏa mãn công thức (1.5), và xn → x0

Ta có

kAxn− Ax0k = kA(xn− x0)k ≤ rkxn− x0k → 0

Số r ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.5) gọi là chuẩn của toán tử A

và được ký hiệu kAk Như vậy:

1) (∀x ∈ H1) kAxk ≤ kAk.kxk;

2) Nếu (∀x ∈ H1) kAxk ≤ rkxk thì kAk ≤ r

1.4 Điểm bất động của ánh xạ không giãn

1.4.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H, T : C → H là một ánh xạ

Định nghĩa 1.4.1 Ánh xạ T được gọi là

(i) Ánh xạ không giãn nếu

Bài toán 1.4.2 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn

Hãy tìm x∗ ∈ C : T (x∗) = x∗ (1.6)

Phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn (1.6) được gọi là một điểm bất động của ánh

xạ T Tập điểm bất động của T ký hiệu là Fix(T )

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gianHilbert được cho bởi định lý dưới đây

Định lý 1.4.3 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert

H và T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó, T có ít nhất mộtđiểm bất động

Nhận xét 1.4.4 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liêntục của ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) khácrỗng thì nó là tập lồi và đóng.

Vấn đề xấp xỉ điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn là đề tài cótính thời sự và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước Dưới đây, ta đề cập đến một số phương pháp xấp xỉtìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Chú ý 1.4.5 Nếu T : C → C là ánh xạ co, thì dãy lặp Picard xác địnhbởi x0 ∈ C và xn+1 = T (xn) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của

T Tuy nhiên điều này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn

Bổ đề 1.4.6 Giả sử T là ánh xạ không giãn trên tập con lồi, đóng, khácrỗng C của không gian Hilbert H Khi đó I − T là nửa đóng trên C, nghĩa

là nếu dãy {xn} ⊂ C hội tụ yếu tới x ∈ C và dãy {(I − T )xn} hội tụ mạnhtới y thì (I − T )x = y

Định nghĩa 1.4.7 Phép chiếu mêtric của H lên tập C, PC được xác địnhbởi

Bổ đề 1.4.8 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H

và cho T : C → H là một ánh xạ không giãn từ C vào H Nếu Fix(T ) 6= ∅,thì Fix(T ) = Fix(PCT )

Bổ đề 1.4.9 Cho T là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệumạnh trên không gian Hilbert H Khi đó, với µ ∈ (0, 2η/L2), λ ∈ (0, 1),thì ta luôn có

kTλx − Tλyk ≤ (1 − λτ )kx − yk,

trong đó τ = 1 −p1 − µ(2η − µL2) ∈ (0, 1) và Tλx = (I − λµT )x với mọi

x ∈ H

Bổ đề 1.4.10 Cho dãy {xn} và {zn} là các dãy bị chặn trong không gianHilbert H sao cho

xn+1 = (1 − βn)xn+ βnzn, n ≥ 1,trong đó {βn} ⊂ [0, 1] thỏa mãn

T Chú ý rằng nếu H là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.7)chỉ cho sự hội tụ yếu.

Chương 2

Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert

Chương này nghiên cứu bài toán chấp nhận tách tổng quát sinh bởiánh xạ lai ghép tổng quát và trình bày các phương pháp lặp để giải cácbài toán này Cụ thể, một số định lý về sự hội tụ yếu của phương pháp vớiviệc sử dụng các ánh xạ trung bình và toán tử giải của các toán tử đơnđiệu cực đại Phần cuối của chương nêu các áp dụng cho phương pháp lặpMann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và cho bài toán điểm cânbằng Các kiến thức của chương này được viết trên cơ sở tổng hợp từ cáctài liệu [7]–[13]

2.1 Bài toán chấp nhận tách

2.1.1 Phát biểu bài toán

Cho H là không gian Hilbert và C là một tập đóng lồi trong H Toán

tử U : C → H được gọi là ngược đơn điệu mạnh (ism) nếu tồn tại hằng

toán chấp nhận tách được phát biểu như sau:

Tìm điểm z ∈ H1 sao cho z ∈ D ∩ A−1Q (2.1)

Cho ánh xạ Ai : H1 → 2H 1, 1 ≤ i ≤ m và Bj : H2 → 2H 2, 1 ≤ j ≤ n tươngứng và toán tử tuyến tính bị chặn Tj : H1 → H2, 1 ≤ j ≤ n

Bài toán không điểm chung tách (xem [12]) được phát biểu như sau:

Tìm điểm z ∈ H1 sao cho z ∈ m∩

ở đây A−1i 0 và Bj−10 là các tập không điểm của Ai và Bj tương ứng.Đặt U = A∗(I − PQ)A trong bài toán chấp nhận tách (2.1), ta có

U : H1 → H1 là toán tử ngược đơn điệu mạnh, ở đây A∗ là toán tửđối ngẫu của A và PQ là phép chiếu mêtric từ H2 lên Q Tiếp theo, nếu

D ∩ A−1Q là khác rỗng, thì z ∈ D ∩ A−1Q là tương đương với phươngtrình sau:

2hx − y, u − vi = kx − vk2 + ky − uk2 − kx − uk2− ky − vk2 (2.5)với x, y, u, v ∈ H

Định nghĩa 2.1.2 (xem [9]) Một không gian Hilbert H được gọi là thỏa

mãn điều kiện Opial, nếu

lim inf

n→∞ kxn− uk < lim inf

n→∞ kxn− vkvới xn * u và u 6= v

Đối với toán tử đơn điệu cực đại B ta có thể xây dựng một toán tử Jrđược xác định như sau

Jr ≡ (I + rB)−1 : H → D(B),

ở đây r > 0 Ta cũng biết rằng nếu B là toán tử đơn điệu cực đại thì toán

tử giải Jr là không giãn chặt và Fix(Jr) = B−10 ≡ {x ∈ H : 0 ∈ Bx} vớimỗi r > 0

Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các kếtquả cơ bản ở mục sau

Bổ đề 2.1.3 ([11]; [12]) Cho H là một không gian Hilbert và B là mộttoán tử đơn điệu cực đại trên H Khi đó các đẳng thức sau đây là đúngvới mọi s, t > 0 và x ∈ H

Chứng minh Cho n → ∞ trong bất đẳng thức

hxn− PExn, ˜x − PExni ≤ 0,

ta nhận được

k˜x − zk2 = h˜x − z, ˜x − zi ≤ 0

Bổ đề 2.1.5 Cho H là không gian Hilbert và {xn} là dãy trong H Khi

đó tồn tại một tập lồi đóng khác rỗng E ⊂ H thỏa mãn các tính chất

(i) Với mỗi x∗ ∈ E, tồn tại lim

n→∞kxn − x∗k;

(ii) Nếu dãy con {xnj} ⊂ {xn} hội tụ yếu đến x∗, thì x∗ ∈ E

Khi đó tồn tại x0 ∈ E sao cho xn * x0

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và

f : C × C → R là một song hàm Xét bài toán cân bằng sau: Tìm z ∈ Csao cho

(A2) f đơn điệu, nghĩa là f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;

(A3) Với mọi x, y, z ∈ C, lim sup

t↓0

(tz + (1 − t)x, y) ≤ f (x, y);

(A4) f (x, ) là lồi và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ C

Bổ đề 2.1.6 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của H, f : C × C → R

là một song hàm thỏa mãn (A1)-(A4) , cho r > 0 và x ∈ H Khi đó

∃z ∈ C sao cho

f (z, y) + 1

rhy − z, z − xi ≥ 0với mọi y ∈ C

Bổ đề 2.1.7 Với r > 0, x ∈ H, xác định một toán tử giải Tr : H → Ccủa f xác định bởi

Trx = {z ∈ C : f (z, y) + 1

rhy − z, z − xi ≥ 0, ∀y ∈ C}, ∀x ∈ H