Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

Điều kiện KKT mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức ..... MỞ ĐẦUVới các bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc, các điều kiện tối ưu Fritz John

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 4

1.1.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 4

1.1.2 Nghiệm hữu hiệu địa phương 5

1.1.3 Nón tiếp tuyến và nón radial dãy 7

1.1.4 Đạo hàm Dini – Đạo hàm Hadamard 7

1.1.5 Một số kết quả bổ trợ 9

1.2 CÁC ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN 11

1.3 ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU 18

1.4 ĐIỀU KIỆN CẦN KKT MẠNH CHO NGHIỆM HỮU HIỆU ĐỊA PHƯƠNG 23

Chương 2 ĐIỀU KIỆN KARUSH – KUHN - TUCKER MẠNH QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG 2.1 CÁC KHÁI NIỆM 28

2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN KKT MẠNH 36

2.2.1 Điều kiện cần 37

2.2.2 Điều kiện đủ 42

2.2.3 Một số điều kiện chính quy khác và mối quan hệ giữa các điều kiện

44

2.2.4 Điều kiện KKT mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức 49

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

Với các bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc, các điều kiện tối ưu Fritz John chỉ đảm bảo các nhân tử Lagrange không đồng thời bằng 0; các điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker đảm bảo nhân tử Lagrange tương ứng với hàm mục tiêu khác 0 Thành phần nào của nhân tử Lagrange tương ứng với hàm mục tiêu khác 0 thì thành phần tương ứng của hàm mục tiêu có mặt trong các điều kiện cần tối ưu Người ta mong muốn tất cả các thành phần của hàm mục tiêu đều có mặt trong điều kiện cần tối ưu, có nghĩa là tất cả các nhân tử Lagrange tương ứng với các thành phần của hàm mục tiêu là khác 0 Khi đó, điều kiện Karush – Kuhn – Tucker (KKT) được gọi là mạnh

T.Maeda ([6],1994) đã xét các điều kiện chính quy để nhận được các điều kiện KKT mạnh cho bài toán với các hàm khả vi Fréchet V Preda – I Chitescu ([7],1999) đã mở rộng các kết quả của Maeda cho bài toán với các hàm bán khả vi D.V Luu – N.M Hung ([5],2009) đã thiết lập các điều kiện KKT mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm khả vi Gâteaux M Golestani – S Nobakhtian ([3],2012) đã dẫn các điều kiện KKT mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng

Luận văn trình bày các điều kiện KKT mạnh của Luu – Hung [5] và của M Golestani – S Nobakhtian [3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày kết quả nghiên cứu của Luu – Hung [5] về các định

định, đó là sự tổng quát hóa của định lý luân phiên Tucker cổ điển Đồng thời, trong chương này, định lý Kuhn – Tucker cũng được phát triển đối với nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu trong không gian định chuẩn mà các nhân tử Lagrange tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu đều dương

Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của M Golestani – S Nobakhtian [3] Nội dung chương này đề cập các điều kiện chính quy và điều kiện cần tối ưu Kuhn – Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn có ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập Công cụ chính của chương này là khái niệm dưới vi phân suy rộng Trong chương này, tác giả cũng trình bày thêm một điều kiện đủ và mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy Mục 2.2.4 là kết quả mới của tác giả về điều kiện KKT mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập

Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, trường Đại học Thăng Long cùng các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa học Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Đỗ Văn Lưu đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Mai Thanh Văn

Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU

Chương 1 trình bày kết quả nghiên cứu của D.V.Luu – N.M.Hung ([5],2009) về các định lý luân phiên cho một hệ gồm các bất đẳng thức, đẳng thức và một tập xác định Đó là sự tổng quát hóa của định lý luân phiên Tucker cổ điển Đồng thời, trong chương này, định lý Kuhn – Tucker cũng được phát triển đối với nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu trong không gian định chuẩn mà các nhân tử Lagrange tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu đều dương

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

1.1.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu

Giả sử 𝑋 là không gian tuyến tính định chuẩn; 𝐶 là một tập con khác rỗng của 𝑋; 𝑓, 𝑔, ℎ là các ánh xạ từ 𝑋 vào 𝑹𝒑, 𝑹𝒒, 𝑹𝒓

Như vậy, 𝑓 = (𝑓1, … , 𝑓𝑝), 𝑔 = (𝑔1, … , 𝑔𝑞), ℎ = (ℎ1, … , ℎ𝑟),

trong đó 𝑓𝑘, 𝑔𝑗, ℎ𝑙: 𝑋 → 𝑹 (𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑗 = 1, … , 𝑞; 𝑙 = 1, … , 𝑟)

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu:

min 𝑓(𝑥), (𝑀𝑃) 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑞;

ℎ𝑙(𝑥) = 0, 𝑙 = 1, … , 𝑟;

𝑥 ∈ 𝐶

Ký hiệu 𝑀 =

{𝑥 ∈ 𝐶|𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑞; ℎ𝑙(𝑥) = 0, 𝑙 = 1, … , 𝑟}

Chú ý: Trường hợp 𝑝 = 1, ta có bài toán tối ưu đơn mục tiêu cho hàm

𝑥2

𝑥1

1.1.2 Nghiệm hữu hiệu địa phương

Định nghĩa 1.1: Điểm 𝑥̅ ∈ 𝑀 là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài

toán (𝑀𝑃) nếu tồn tại  > 0 sao cho với mọi 𝑥 ∈ 𝑀 ∩ 𝐵(𝑥̅,),

Đây là khái niệm cực tiểu địa phương thông thường

Tóm lại, 𝑥̅ là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán (𝑀𝑃) nếu tồn tại  >

𝑓𝑘(𝑥) ≤ 𝑓𝑘(𝑥̅), 𝑘 = 1, … , 𝑝

và 𝑓𝑖(𝑥) < 𝑓𝑖(𝑥̅) với 𝑖 nào đó thuộc {1, … , 𝑝}

1.1.3 Nón tiếp tuyến và nón radial dãy

Định nghĩa 1.2: Nón tiếp tuyến (hay còn gọi là nón tiếp liên) của tập 𝐶

tại 𝑥̅ ∈ 𝐶 là tập sau đây:

𝑇(𝐶, 𝑥̅) = {𝑣 ∈ 𝑋|∃𝑣𝑛 → 𝑣, 𝑡𝑛 ↓ 0 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑥̅ + 𝑡𝑛𝑣𝑛 ∈ 𝐶, ∀𝑛}

Định nghĩa 1.3: Nón các phương tuyến tính dãy (hay còn gọi là nón

radial dãy) của 𝐶 tại 𝑥̅ là tập sau đây:

1.1.4 Đạo hàm Dini – Đạo hàm Hadamard

Định nghĩa 1.4:

i) Đạo hàm Dini dưới của 𝑓 tại 𝑥̅ ∈ 𝑋 theo phương 𝑣 ∈ 𝑋 được định

nghĩa như sau:

𝐷𝑓(𝑥̅, 𝑣) = lim

𝑡↓0 inf𝑓(𝑥̅ + 𝑡𝑣) − 𝑓(𝑥̅)

ii) Đạo hàm Dini trên của 𝑓 tại 𝑥̅ ∈ 𝑋 theo phương 𝑣 ∈ 𝑋 được định

nghĩa như sau:

𝐷̅𝑓(𝑥̅, 𝑣) = lim

𝑡↓0 sup𝑓(𝑥̅ + 𝑡𝑣) − 𝑓(𝑥̅)

Định nghĩa 1.5:

i) Đạo hàm Hadamard dưới của 𝑓 tại 𝑥̅ ∈ 𝑋 theo phương 𝑣 ∈ 𝑋 được

định nghĩa như sau:

𝑑𝑓(𝑥̅, 𝑣) = lim

(𝑡,𝑢)→(0 + ,𝑣)inf𝑓(𝑥̅ + 𝑡𝑢) − 𝑓(𝑥̅)

ii) Đạo hàm Hadamard trên của 𝑓 tại 𝑥̅ ∈ 𝑋 theo phương 𝑣 ∈ 𝑋 được

định nghĩa như sau:

Do đó, tại 𝑥̅ = 0, đạo hàm Dini tồn tại và 𝐷𝑓(0, 𝑣) = 0

Dễ thấy 𝐷𝑓(0, 𝑣) là ánh xạ tuyến tính liên tục theo 𝑣 nên 𝑓 khả vi Gâteaux tại

1.1.5 Một số kết quả bổ trợ

Đặt 𝐼(𝑥̅) = {𝑗 ∈ {1, … , 𝑞}|𝑔𝑗(𝑥̅) = 0};

𝑄 = {𝑥 ∈ 𝐶|𝑓𝑘(𝑥) ≤ 𝑓𝑘(𝑥̅), 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0, ℎ𝑙(𝑥) = 0,

𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑗 = 1, … , 𝑞; 𝑙 = 1, … , 𝑟} ;

𝑄𝑖 = {𝑥 ∈ 𝐶| 𝑓𝑘(𝑥) ≤ 𝑓𝑘(𝑥̅), 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0, ℎ𝑙(𝑥) = 0,

𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑘 ≠ 𝑖; 𝑗 = 1, … , 𝑞; 𝑙 = 1, … , 𝑟} (𝑖 = 1, … , 𝑝) Với mỗi 𝑣 ∈ 𝑍(𝐶, 𝑥̅), 𝐷ℎ𝑙(𝑥̅, 𝑣) (𝑙 = 1, … , 𝑟) tồn tại, ta đặt

Cho 𝐾 là một nón trong 𝑋 có đỉnh tại 0

Ký hiệu 𝐾∗ là nón đối ngẫu của 𝐾:

𝐾∗ = { ∈ 𝑋∗|〈, 𝑣〉 ≥ 0, ∀𝑣 ∈ 𝐾},

trong đó 𝑋∗ là không gian đối ngẫu tôpô của 𝑋

Khi đó, 𝐾∗ là nón lồi đóng yếu ∗

Một số kết quả sau đây trong [4] cần dùng để chứng minh các kết quả chính của chương này:

Mệnh đề 1.1: Giả sử 𝐾𝛼 (𝛼 ∈ 𝐼) là các nón lồi đóng yếu trong 𝑋,

Mệnh đề 1.2 (định lý Dubovitskii – Mylyutin): Giả sử

𝐾1, 𝐾2, … , 𝐾𝑛, 𝐾𝑛+1 là các nón lồi có đỉnh tại 0 trong 𝑋; 𝐾1, 𝐾2, … , 𝐾𝑛 mở Khi đó ⋂𝑛+1𝑖=1 𝐾𝑖 = ∅ nếu và chỉ nếu tồn tại 𝑖 ∈ 𝐾𝑖∗(𝑖 = 1, … , 𝑛 + 1) không

Mệnh đề 1.3 [2] (định lý Fakas – Minkowski): Giả sử:

𝐵𝑗 = {𝑣 ∈ 𝑋|〈𝑏𝑗, 𝑣〉 ≤ 0} (𝑗 = 1, … , 𝑞),

𝐶𝑙 = {𝑣 ∈ 𝑋|〈𝑐𝑙, 𝑣〉 = 0} (𝑙 = 1, … , 𝑟)

Chú ý:

 Các tập 𝐴𝑘 và 𝐵𝑗 (𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑘 ≠ 𝑖; 𝑗 = 1, … , 𝑞) là các nón lồi đóng có đỉnh tại 0

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑞

𝑗=1

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

𝑙=1

+ 𝐾∗

Khi đó, các phát biểu sau là tương đương :

(i) Với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, hệ sau không có nghiệm 𝑣 ∈ 𝑋:

〈𝑎𝑘, 𝑣〉 ≤ 0, 𝑘 = 1, … , 𝑝, 𝑘 ≠ 𝑖, (1.1) 〈𝑎𝑖, 𝑣〉 < 0, (1.2) 〈𝑏𝑗, 𝑣〉 ≤ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑞, (1.3) 〈𝑐𝑙, 𝑣〉 = 0, 𝑙 = 1, … , 𝑟, (1.4)

(i)  (ii): Ta chỉ cần xét trường hợp tất cả 𝑎𝑘 ≠ 0 (𝑘 = 1, … , 𝑝), bởi vì nếu ∃𝑎𝑘0 = 0 thì ta sẽ lấy ̅𝑘

𝐷𝑖∗ = ∑ 𝐴𝑘∗

𝑝

𝑘=1 𝑘≠𝑖

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑞

𝑗=1

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

𝑙=1

+ 𝐾∗ (1.8)

Mặt khác theo mệnh đề 1.4 về các nón đối ngẫu, ta có

𝐴𝑘∗ = {𝑎𝑘| ≤ 0} (𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑘 ≠ 𝑖),

+ ∑𝑖𝑗𝑏𝑗𝑞

𝑗=1

+ ∑𝑖𝑙𝑐𝑙𝑟

𝑗=1

+ ∑̅𝑖𝑙𝑐𝑙𝑟

(ii)  (i): Giả sử tồn tại ̅𝑘 > 0 (𝑘 = 1, … , 𝑝), ̅𝑗 ≥ 0 (𝑗 = 1, … , 𝑞),

̅𝑙 ∈ 𝑹 (𝑙 = 1, … , 𝑟) thỏa mãn (1.6) Nếu (i) sai thì tồn tại 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝} sao cho hệ (1.1) − (1.5) có nghiệm 𝑣0 ∈ 𝑋 Vì vậy,

∑̅𝑘〈𝑎𝑘, 𝑣0〉

𝑝

𝑘=1

+ ∑̅𝑗〈𝑏𝑗, 𝑣0〉𝑞

𝑗=1

+ ∑̅𝑙〈𝑐𝑙, 𝑣0〉𝑟

𝑝

𝑘=1

+ ∑̅𝑗𝑏𝑗𝑞

𝑗=1

+ ∑̅𝑙𝑐𝑙𝑟

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑞

𝑗=1

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

𝑙=1

+ 𝑇(𝐶, 𝑥̅)∗

Khi đó, hai phát biểu sau là tương đương :

(i) Với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝} , hệ (1.1) − (1.5) với 𝐾 được thay bởi 𝑇(𝐶, 𝑥̅) không có nghiệm 𝑣 ∈ 𝑋

Định lý 1.2: Giả sử 𝑑𝑖𝑚𝑋 < +∞, 𝐾 là một nón con lồi khác ∅ của

𝑇(𝐶, 𝑥̅) với đỉnh tại 0 và 𝐾 đóng; với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, tập 𝐸𝑖∗+ 𝐾∗ đóng Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(i) Với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, hệ (1.1) − (1.5) không có nghiệm 𝑣 ∈ 𝑋

(ii) Tồn tại ̅𝑘 > 0 (𝑘 = 1, … , 𝑝) , ̅𝑗 ≥ 0 (𝑗 = 1, … , 𝑞) , ̅𝑙 ∈

𝑹 (𝑙 = 1, … , 𝑟) sao cho (1.6) đúng

Chứng minh:

Bởi vì dim𝑋 < +∞, ta có dim𝑋 = dim𝑋∗ và các tôpô mạnh, yếu, yếu

∗ trong 𝑋∗ trùng nhau Theo mệnh đề 1.1, ta suy ra với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}:

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑞

𝑗=1

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑞

𝑗=1

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

𝑙=1

+ 𝐾∗

Do đó tập hợp này đóng yếu ∗ Như vậy các giả thiết của định lý 1.1 được

thỏa mãn Vì vậy ta suy ra điều phải chứng minh ∎

∑̅𝑘𝑎𝑘

𝑝

𝑘=1

+ ∑̅𝑗𝑏𝑗𝑞

𝑗=1

+ ∑̅𝑙𝑐𝑙𝑟

và 0 ∈ 𝐸𝑖∗ Vì vậy, 𝐸𝑖∗+𝑇(𝐶, 𝑥̅)∗ = 𝐸𝑖∗ Như vậy, 𝐸𝑖∗+𝑇(𝐶, 𝑥̅)∗đóng trong 𝑋∗

Áp dụng định lý 1.2 cho 𝐶 = 𝑋, ta suy ra (i) tương đương với

Tồn tại ̅𝑘 > 0 (𝑘 = 1, … , 𝑝), ̅𝑗 ≥ 0 (𝑗 = 1, … , 𝑞), ̅𝑙 ∈ 𝑹 (𝑙 = 1, … , 𝑟) sao cho

Bất đẳng thức này tương đương với (1.10) ∎

1.3 ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU

Chứng minh:

Ta chứng minh (1.11), còn (1.12) được chứng minh tương tự

Trước hết, ta chỉ ra rằng 𝑇(𝑄𝑖, 𝑥̅)  𝐶𝑑(𝑄𝑖, 𝑥̅)(𝑖 = 1, … , 𝑝) (1.13)trong đó

𝐶𝑑(𝑄𝑖, 𝑥̅) = {𝑣 ∈ 𝑇(𝐶, 𝑥̅)|𝑑𝑓𝑘(𝑥̅, 𝑣) ≤ 0, 𝑑𝑔𝑗(𝑥̅, 𝑣) ≤ 0, 𝑑ℎ𝑙(𝑥̅, 𝑣) = 0,

𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑘 ≠ 𝑖; 𝑗 ∈ 𝐼(𝑥̅); 𝑙 = 1, … , 𝑟 } Với 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, 𝑣 ∈ 𝑇(𝑄𝑖, 𝑥̅), tồn tại 𝑡𝑛 ↓ 0 và 𝑣𝑛 → 𝑣 sao cho 𝑥̅ + 𝑡𝑛𝑣𝑛 ∈

⋂ 𝑇(𝑄𝑖, 𝑥̅)

𝑝

𝑖=1

⋂ 𝐶𝑑(𝑄𝑖, 𝑥̅) =𝑝

Điều kiện chính quy kiểu Abadie :

Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP), ta đưa vào các điều kiện chính quy kiểu Abadie sau :

trong đó 𝑀 ký hiệu tập chấp nhận được của bài toán (𝑀𝑃)

Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu:

Định lý 1.3: Giả sử 𝑥̅ là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán

(𝑀𝑃), các hàm 𝑔𝑗 (𝑗  𝐼(𝑥̅)) liên tục tại 𝑥̅; với mỗi 𝑣 ∈ 𝑇(𝐶, 𝑥̅) tồn tại các

đạo hàm theo phương Hadamard 𝑑𝑓𝑘(𝑥̅, 𝑣) và 𝑑ℎ𝑙(𝑥̅, 𝑣) (𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑙 =

1, … , 𝑟) Hơn nữa, giả sử điều kiện chính quy (1.14) đúng tại 𝑥̅ Khi đó, với

Mặt khác, do 𝑥̅ là nghiệm hữu hiệu địa phương của (𝑀𝑃), tồn tại  > 0 sao cho ∄𝑥 ∈ 𝑀 ∩ 𝐵(𝑥̅,) thỏa mãn

𝑓𝑘(𝑥) ≤ 𝑓𝑘(𝑥̅), 𝑘 = 1, … , 𝑝,

𝑓𝑖(𝑥) < 𝑓𝑖(𝑥̅) với 𝑖 nào đó thuộc {1, … , 𝑝}

Từ chứng minh trên ta suy ra tồn tại số tự nhiên 𝑁 (𝑁 ≥ 𝑁1) sao cho

Điều này mâu thuẫn với (1.17)

Vậy, với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, (1.16) đúng ∎

Tương tự định lý 1.3, bây giờ nếu với mỗi 𝑣 ∈ 𝑍(𝐶, 𝑥̅) tồn tại các đạo hàm theo phương Dini 𝐷𝑓𝑘(𝑥̅, 𝑣) và 𝐷ℎ𝑙(𝑥̅, 𝑣) (𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑙 = 1, … , 𝑟) thì với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, ta đặt

𝐿𝑖𝐷(𝑓, 𝑥̅) = {𝑣 ∈ 𝑍(𝐶, 𝑥̅)|𝐷𝑓𝑖(𝑥̅, 𝑣) < 0, 𝐷𝑓𝑘(𝑥̅, 𝑣) ≤ 0, 𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑘 ≠ 𝑖},

𝐿𝐷(𝑀, 𝑥̅) = {𝑣 ∈ 𝑍(𝐶, 𝑥̅)|𝐷𝑔𝑗(𝑥̅, 𝑣) ≤ 0, 𝐷ℎ𝑙(𝑥̅, 𝑣) = 0, 𝑗 ∈ 𝐼(𝑥̅), 𝑙 = 1, … , 𝑟}

Định lý 1.4 : Giả sử 𝑥̅ là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán

(𝑀𝑃); các hàm 𝑔𝑗 (𝑗  𝐼(𝑥̅)) liên tục tại 𝑥̅; với mỗi 𝑣 ∈ 𝑍(𝐶, 𝑥̅), tồn tại các

đạo hàm theo phương Dini 𝐷𝑓𝑘(𝑥̅, 𝑣) và 𝐷ℎ𝑙(𝑥̅, 𝑣) (𝑘 = 1, … , 𝑝; 𝑙 =

1, … , 𝑟) Hơn nữa, giả sử điều kiện chính quy (1.15) đúng tại 𝑥̅ Khi đó, với

mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝},

𝐿𝑖𝐷(𝑓, 𝑥̅) ∩ 𝐿𝐷(𝑀, 𝑥̅) = ∅

Chứng minh: chứng minh tương tự định lý 1.3

1.4 ĐIỀU KIỆN CẦN KKT MẠNH CHO NGHIỆM HỮU HIỆU ĐỊA

Định lý 1.5: Giả sử 𝑥̅ là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán

(𝑀𝑃); 𝐾 là nón con lồi khác rỗng bất kỳ của 𝑇(𝐶, 𝑥̅) có đỉnh tại 0 và 𝐾 đóng

Giả sử rằng với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, tập hợp sau đây đóng yếu ∗ trong 𝑋∗:

∑ 𝐴∗𝑘

𝑝

𝑘=1 𝑘≠𝑖

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑗∈𝐼(𝑥̅)

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

Với 𝑗  𝐼(𝑥̅), ta lấy ̅𝑗 = 0 và nhận được (1.18).

Hơn nữa, ta cũng nhận được (1.19), vì với 𝑗 ∈ 𝐼(𝑥̅), ta có 𝑔𝑗(𝑥̅) = 0 và với

𝑗  𝐼(𝑥̅), ta có ̅𝑗 = 0 ∎

Chú ý: Các nhân tử Lagrange tương ứng với các thành phần của hàm

mục tiêu đều dương

Hệ quả 1.3: Giả sử 𝑥̅ là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán (𝑀𝑃), 𝐶 lồi Giả sử rằng với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, tập hợp sau đây đóng yếu ∗

trong 𝑋∗:

∑ 𝐴𝑘∗𝑝

𝑘=1 𝑘≠𝑖

+ ∑ 𝐵𝑗∗𝑗∈𝐼(𝑥̅)

+ ∑ 𝐶𝑙∗𝑟

𝑙=1

+ 𝑇(𝐶, 𝑥̅)∗

Giả sử điều kiện chính quy (1.14) đúng tại 𝑥̅ Khi đó, tồn tại ̅𝑘 >

0 (𝑘 = 1, … , 𝑝), ̅𝑗 ≥ 0 (𝑗 = 1, … , 𝑞), ̅𝑙 ∈ 𝑹 (𝑙 = 1, … , 𝑟) sao cho (1.18) và (1.19) đúng, trong đó 𝐾 được thay bằng 𝑇(𝐶, 𝑥̅)

Chứng minh:

Bởi vì 𝐶 khác ∅, lồi, 𝑇(𝐶, 𝑥̅) là nón lồi đóng khác ∅ của 𝑋 Áp dụng định lý 1.5 cho 𝐾 = 𝑇(𝐶, 𝑥̅), ta nhận được điều phải chứng minh ∎

Định lý 1.6 (cho số chiều hữu hạn): Giả sử 𝑑𝑖𝑚𝑋 < +∞, 𝑥̅ là nghiệm

hữu hiệu địa phương của bài toán (𝑀𝑃); K là nón con lồi khác rỗng bất kỳ

của 𝑇(𝐶, 𝑥̅) có đỉnh tại 0 và 𝐾 đóng Giả sử với mỗi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑝}, tập 𝐸𝑖∗+

𝐾∗ đóng, trong đó

𝐸𝑖 = (⋂ 𝐴𝑘

𝑝

𝑘=1 𝑘≠𝑖

Hệ quả 1.4 (khi 𝑪 = 𝑿): Giả sử 𝑑𝑖𝑚𝑋 < +∞, 𝐶 = 𝑋, 𝑥̅ là nghiệm hữu

hiệu địa phương của bài toán (𝑀𝑃) Giả sử điều kiện chính quy (1.14) đúng

tại 𝑥̅ Khi đó, tồn tại ̅𝑘 > 0 (𝑘 = 1, … , 𝑝) , ̅𝑗 ≥ 0 (𝑗 = 1, … , 𝑞) , ̅𝑙 ∈

𝑗=1

+ ∑̅𝑙𝛻𝐺ℎ𝑙(𝑥̅)𝑟

Từ đó suy ra

∑̅𝑘∇𝐺𝑓𝑘(𝑥̅)𝑝

𝑘=1

+ ∑̅𝑗∇𝐺𝑔𝑗(𝑥̅)𝑞

𝑗=1

+ ∑̅𝑙∇𝐺ℎ𝑙(𝑥̅)𝑟

𝑙=1

= 0

Đó là điều phải chứng minh ∎

Nhận xét: Nếu thay nón 𝑇(𝐶, 𝑥̅) bằng nón 𝑍(𝐶, 𝑥̅), các định lý 1.5 và 1.6 vẫn đúng

Chương 2 ĐIỀU KIỆN KARUSH – KUHN - TUCKER MẠNH QUA

DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG

Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của M Golestani – S Nobakhtian ([3],2012) Nội dung chương này đề cập các điều kiện chính quy

và điều kiện cần tối ưu Kuhn – Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn Công cụ chính của chương này là khái niệm dưới vi phân suy rộng Ngoài ra, trong chương này, ta cũng trình bày thêm một điều kiện đủ và mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy

2.1 CÁC KHÁI NIỆM

Định nghĩa 2.1: Ký hiệu 𝑹𝒍 là không gian Euclide 𝑙 chiều thông

thường Cho 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑙) và 𝑦 = (𝑦1, … , 𝑦𝑙) là hai vectơ trong 𝑹𝒍 Khi

đó,

𝑥  𝑦  𝑥𝑖 ≤ 𝑦𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑙,

𝑥 ≤ 𝑦  𝑥𝑖 ≤ 𝑦𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑙 và 𝑥 ≠ 𝑦,

𝑥 < 𝑦  𝑥𝑖 < 𝑦𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑙

Định nghĩa 2.2: Cho 𝐶 là một tập con khác ∅ của 𝑹𝒍 Bao lồi của 𝐶,

bao đóng của 𝐶 và nón lồi (chứa gốc tọa độ của 𝑹𝒍) sinh bởi 𝐶 được ký hiệu

tương ứng là co𝐶, cl𝐶 và cone𝐶 Nón cực âm 𝐶− và nón cực âm chặt 𝐶𝑠

được xác định tương ứng như sau:

𝐶− = {𝑣 ∈ 𝑹𝒍 |〈𝑥, 𝑣〉 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐶},

𝐶𝑠 = {𝑣 ∈ 𝑹𝒍 |〈𝑥, 𝑣〉 < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐶}

Ví dụ 2.1: Cho 𝐶 = 𝐵(0,1)  𝑹2