Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ thông_unprotected

Trong không gian xạ ảnh 2 P R , tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng với giá là điểm đó.. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2  P R hình gồm bốn đường thẳn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

-

TRẦN CHÂU NGUYÊN

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

Trần Châu Nguyên – C00451

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH Sĩ Đức Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, các Thầy Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học và các phòng ban liên quan trong Trường Đại học Thăng Long đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học của mình

là PGS.TSKH Sĩ Đức Quang đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn Đồng thời tôi xin được gửi lời cảm

ơn đến toàn thể gia đình, người thân và các bạn lớp cao học Toán K3 Trường Đại học Thăng Long đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Vì điều kiện công tác và thời gian có hạn cùng với khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong các Thầy,

Cô cùng các bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH 6

1.1 Không gian xạ ảnh 6

1.2 Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa 8

1.3 Ánh xạ xạ ảnh 13

1.3.1 Định nghĩa 12

1.3.2 Tính chất của ánh xạ xạ ảnh 14

1.4 Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh 2  P R 16

1.4.1 Định nghĩa 16

1.4.2 Giao của đường bậc hai với đường thẳng 17

1.4.3 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 18

1.5 Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong 2  P R 19

1.6 Nguyên tắc đối ngẫu 23

1.7 Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh 24

1.8 Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: 30

1.8.1 Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: 30

1.8.2 Một số nhận xét: 31

1.8.3 Một số khái niệm đối ngẫu trong P 2: 32

Chương 2: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT 35

2.1 Phép nghịch đảo 35

2.2 Đường tròn trực giao 36

2.3 Cực và đối cực 36

Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG 39

3.1 Các bài toán về quan hệ vuông góc, song song: 39

3.2 Các bài toán về tính đồng quy, thẳng hàng: 43

KẾT LUẬN 53

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

Cực và đối cực là một công cụ mạnh và thú vị để nghiên cứu hình học phổ thông Với khái niệm cực và đối cực, chúng ta có thể đưa ra cách nhìn khá nhất quán đối với một số dạng toán đặc trưng (quan hệ vuông góc, thẳng hàng, đồng quy, ) Ở bậc THPT, chúng ta xem xét khái niệm cực và đối cực đối với đường tròn, đối với 3 đường cô-níc hoặc với cặp đường thẳng Tuy nhiên hiện nay, việc vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu

và giải quyết các bài toán hình học phổ thông chưa được quan tâm và khai thác trong chương trình sách giáo khoa, nhưng nó lại nằm trong phạm vi kiến thức của các đề thi học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT Vì vậy tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ thông”

Mục đích của chúng tôi trong luận văn nhằm trình bày phương pháp sử dụng cực và đối cực để giải quyết bài toán hình học phổ thông Chúng tôi sẽ đưa ra hướng giải quyết một số dạng bài toán hình học sơ cấp bằng cách sử dụng kiến thức về cực và đối cực mà các phương pháp thông thường mất nhiều công sức mới giải quyết được Với mong muốn như vậy, tôi hy vọng luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho các học sinh phổ thông và các đồng nghiệp giáo viên Toán THPT và THCS để tiếp cận các bài toán hình học

sơ cấp theo một hướng mới

Luận văn được chia ra làm 3 chương Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức về cực và đối cực trong mặt phẳng xạ ảnh Chúng tôi sẽ dành Chương 2 để trình bày cực và đối cực trong mặt phẳng Euclid Chương

3 là chương cuối của luận văn sẽ dành để trình bày hệ thống một số dạng bài tập hình học sơ cấp được giải bằng phương pháp sử dụng cực, đối cực

P V được gọi là không gian xạ ảnh n chiều trên trường K, liên kết với

K– không gian véc-tơ n+1

V bởi song ánh p

Để đơn giản, ta kí hiệu  , ,p n+1

P V bởi P, đồng thời để chỉ rõ nó có số chiều bằng n, ta kí hiệu nó là n

P Mỗi phần tử của n

P được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh n

P Gọi u

là véc-tơ khác 0 của n+1

V và  u là không gian véc-tơ con một chiều sinh bởi véc-tơ u, thì p u   U là một điểm nào đó của n

P Khi đó ta nói rằng véc-tơ

u là đại diện của điểm U

Hai véc-tơ u và u' (khác 0) cùng đại diện cho một điểm khi và chỉ khi chúng phụ thuộc tuyến tính, tức là uku', với kK\ 0 

Không gian xạ ảnh trên trường số thực R liên kết với không gian véc tơ ¡ n

được gọi là không gian xạ ảnh thực n chiều, kí hiệu là n 

P R Trong luận văn

này, chúng ta xét đến không gian xạ ảnh thực 2 chiều 2 

P R

Định nghĩa 1.1.2 (Phẳng trong không gian xạ ảnh 2

P ) Cho không gian xạ

Định nghĩa 1.1.3 (Hệ điểm độc lập của 2

P ) Hệ r điểm ( r 1) của không gian xạ ảnh 2

P được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ r véc-tơ đại diện cho chúng là hệ véc-tơ độc lập tuyến tính trong 3

R Hệ điểm không độc lập gọi là

hệ điểm phụ thuộc

Theo định nghĩa đó, trong 2

P hệ chỉ có một điểm là hệ độc lập, hệ gồm hai điểm là hệ độc lập nếu hai điểm đó phân biệt, hệ gồm ba điểm độc lập nếu ba điểm đó không thẳng hàng Hệ gồm 4 điểm trở lên luôn luôn là hệ điểm phụ thuộc

Định nghĩa 1.1.4 (Mục tiêu xạ ảnh) Một tập hợp có thứ tự gồm 4 điểm của

2

P là S S S E0, 1, 2;  được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì 3 điểm trong 4

điểm đó đều độc lập

Các điểm S i(với i 0,1, 2) gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm E gọi

là điểm đơn vị Các đường thẳng S S i j với i j và i j,  0,1, 2, gọi là các trục tọa độ Với mỗi mục tiêu xạ ảnh S S S E0, 1, 2; , luôn tìm được một cơ sở

e e e0 , , 1 2 của 3

R sao cho véc-tơ e i là đại diện của đỉnh S i(với i 0,1, 2) và véc-tơ e  e0 e1 e2 là đại diện của điểm E Cơ sở đó được gọi là cơ sở đại diện của mục tiêu xạ ảnh đã cho

Định nghĩa 1.1.5 (Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh) Trong không

gian xạ ảnh 2 

P R cho mục tiêu xạ ảnh S S S E0, 1, 2; có cơ sở đại diện là

e e e0 , , 1 2 của 3

R Với mỗi điểm X bất kì của 2

P ta lấy véc-tơ x đại diện cho

X Khi đó tọa độx x x0; ;1 2 của véc-tơ x đối với cơ sở e e e0 , , 1 2 cũng được gọi

là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu S S S E0 , 1 , 2 ;  và viết X  ( ; ;x x x0 1 2)

1.2 Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa

Trong không gian xạ ảnh 2 

P R cho 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , trong đó ba điểm A B C, , đôi một không trùng nhau Ta gọi a b c d, , , là các véc-tơ lần lượt đại diện cho các điểm A B C D, , , thì các véc-tơ đó thuộc một không gian véc-tơ

2 chiều, trong đó a b, độc lập tuyến tính Khi đó có các số k1, l1 và k2, l2 sao cho

Định lý 1.2.2 (Một số tính chất của tỉ số kép) Nếu 4 điểm A B C D, , , thẳng hàng và phân biệt thì:

i) Khi hoán vị 2 điểm đầu với nhau, hoặc 2 điểm cuối với nhau thì tỉ số kép trở thành số nghịch đảo

ii) Khi hoán vị đồng thời 2 điểm đầu với nhau và 2 điểm cuối với nhau, tỉ số kép không thay đổi

iii) Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép không thay đổi iv) Khi hoán vị 2 điểm ở giữa với nhau, hoặc hoán vị điểm đầu và điểm cuối với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ

v) Nếu A,B,C,D,E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì

Định nghĩa 1.2.4 (Chùm đường thẳng) Trong không gian xạ ảnh 2 

P R , tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng với giá là điểm đó

Một chùm đường thẳng được xác định khi cho giá của nó, hoặc cho hai đường thẳng nào đó của chùm

Định lý 1.2.5 (Tỉ số kép của bốn đường thẳng thuộc một chùm) Cho 4 đường

thẳng U V W Z, , , thuộc một chùm trong đó U V W, , đôi một phân biệt Nếu d là đường thẳng cắt 4 đường thẳng đó lần lượt tại A B C D, , , (không cắt giá của chùm) thì tỉ số kép của 4 điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng

d Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng, kí hiệu

còn các điểm A B C D, , , có ma trận tọa độ cột tương ứng là        A , B , C , D

Điểm A U B , V nên ta có    U t A  0,   V t B  0, ngoài ra điểm A B,

là phân biệt nên ta cũng có    U t B  0,   V t A  0 Điểm C nằm trên đường thẳng AB nên phải có  C k A1   l B1 , mặt khác C cũng nằm trên W nên

   W t C  0 hay p U1 q V1   k1   A l B1  0. Điều này suy ra

Tương tự như vậy ta có  D k2   A l2 B với:

Vậy tỉ số kép nói trên không phụ thuộc d Định lý được chứng minh

Chú ý: Từ cách chứng minh định lí trên ta suy ra cách tìm tỉ số kép của chùm

4 đường thẳng khi biết tọa độ của chúng đối với một mục tiêu nào đó như sau: nếu các đường thẳng U V W Z, , , có ma trận cột tọa độ lần lượt là

U V W Z của một chùm được gọi là chùm 4 đường thẳng điều hòa nếu

U V W Z, , ,   1 Khi đó ta còn nói cặp đường thẳng U V, chia điều hòa cặp đường thẳng W Z,

Định nghĩa 1.2.7 (Hình bốn cạnh toàn phần) Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 

P R

hình gồm bốn đường thẳng trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy được gọi là hình bốn cạnh toàn phần; mỗi đường thẳng đó gọi là một cạnh; giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh; hai đỉnh không nằm trên cùng một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; đường thẳng nối 2 đỉnh đối diện được gọi

là đường chéo; giao của hai đường chéo gọi là điểm chéo

Định lí 1.2.8 (Định lý hình bốn cạnh toàn phần) Trong hình bốn cạnh toàn

phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba

Chứng minh (hình vẽ)

Giả sử a b c d, , , là bốn cạnh của hình bốn cạnh toàn phần Các đỉnh của nó

là : P a b Q c,  d R,  a d S,  b c U,  a c V,  b d. Các điểm chéo là: I PQRS J, RSUV K, UV PQ. Như vậy ta cần chứng minh cặp

đường thẳng IJ IK, chia điều hòa cặp đường thẳng IU IV, Tức là

J K U V, , ,   1. Xét hình bốn đỉnh toàn phần PQRS thì kết quả trên là hiển nhiên

1.3 Ánh xạ xạ ảnh

Cho các Kkhông gian xạ ảnh P, , Vp  và P',p', V'

1.3.1 Định nghĩa (Ánh xạ xạ ảnh) Một ánh xạ f :PP' được gọi là ánh xạ

xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính  :VV' sao cho nếu véc-tơ xV là đại diện cho điểm XP thì vec-tơ  ( )x V' là đại diện cho điểm f x P' Nghĩa

là, nếu p x X thì p'  x  f X  Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính

là  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f

1.3.2 Tính chất của ánh xạ xạ ảnh Cho ánh xạ xạ ảnh f :PP' , có đại diện là ánh xạ tuyến tính :VV' Khi đó:

a Ánh xạ tuyến tính  là đơn cấu Thật vậy, nếu vec-tơ xV\ 0  là đại diện cho điểm XP,thì vec-tơ  x đại diện cho điểm f  X nên

 

\ 0

( )x

b Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P

mà f A  f B  Khi đó, nếu gọi a và b là các vec-tơ đại diện của A và B

thì ( )a và  b cùng đại diện cho một điểm f A  f B  nên

 a k    b kb k, 0

     Vì  đơn cấu nên suy ra akb, tức là A và B

trùng nhau

c Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm

(do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc tuyến

tính của hệ vec-tơ) Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm:

mphẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng

4 điểm và của chùm bốn siêu phẳng

d Mỗi đơn cấu tuyến tính :VV' là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy nhất f :PP' Hai đơn cấu tuyến tính :VV' và ' :VV' cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f :PP' khi và chỉ khi có số kK\ 0  sao cho

x thì f M  có đại diện là  x Nếu ' :VV'cũng là đại diện cho ánh

xạ xạ ảnh f thì với mọi vec-tơ xV, các vec-tơ  x và ' x  cùng đại diện cho một điểm của P' nên  x k x' x Do  và ' đều là đơn cấu tuyến tính nên ta suy ra k x không phụ thuộc vào x

Định nghĩa 1.3.3 (Phép biến đổi xạ ảnh) Ánh xạ xạ ảnh f :PP' là song ánh khi và chỉ khi P và P' có cùng số chiều Khi đó, f được gọi là đẳng cấu

xạ ảnh, hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu

Từ các kết quả về đại số tuyến tính, ta có được các tính chất sau:

a) Ánh xạ tuyến tính đại diện cho đẳng cấu xạ ảnh là phép đẳng cấu tuyến tính

b) Một đẳng cấu xạ ảnh f :PP của không gian xạ ảnh P lên chính nó được

gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh) của P Tập hợp các biến đổi xạ ảnh của P làm thành một nhóm, nó được gọi là nhóm xạ ảnh của không gian xạ ảnh P Nhóm xạ ảnh của P đẳng cấu với nhóm thương

 / 0

GL V kId kV  , với V là không gian vec-tơ liên kết với P

c) Nếu trong không gian xạ ảnh 2

P cho hai mục tiêu xạ ảnh S S S E0 , 1 , 2 ;  và

P được gọi là một hình Hình H được gọi là tương đương xạ ảnh với hình H'nếu có một phép biến đổi xạ ảnh f biến H thành

P P là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm

và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh trong 2

P

1.4 Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh 2 

1.4.1 Định nghĩa Xét phương trình bậc hai thuần nhất của 3 biến x x x0, ,1 2

trên trường số thực R, tức là phương trình có dạng

2

ij , 0

Ta kí hiệu ma trận A a ij , ,i j 0,1, 2 thì A là một ma trận vuông đối xứng cấp 3 có hạng ít nhất bằng 1 Ta lại kí hiệu x là ma trận 1 cột 3 dòng:

Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng là

0

t

x Ax , (2) trong đó t

x là ma trận chuyển vị của ma trận x, còn 0 là kí hiệu cho ma trận gồm 1 dòng 1 cột gồm 1 số 0

Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai  S đối với mục tiêu đã cho Nếu detA 0 tức ma trận A không suy biến thì siêu mặt bậc hai  S được gọi là không suy biến Ngược lại, nếu detA 0 thì siêu mặt bậc hai  S được gọi là suy biến

Ta thường gọi siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh 2 

P R là đường bậc hai Hai đường bậc hai  S và  S' với các ma trận A và A' tương ứng được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số thực k 0 sao cho AkA' Khái niệm đường bậc hai là một khái niệm xạ ảnh

1.4.2 Giao của đường bậc hai với đường thẳng Trong không gian xạ ảnh

 

2

P R cho đường bậc hai  S và đường thẳng Q Ta chọn mục tiêu xạ ảnh

S S S E0 , 1 , 2 ;  sao cho 2 điểm S S0, 1 nằm trên Q Khi đó phương trình Q là

2 2

ij , 0

- Nếu các số đó không đồng thời bằng 0 thì  S' là một siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh 1 chiều Q Như vậy giao đó hoặc là một điểm hoặc

là hai điểm phân biệt

1.4.3 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực

P , và như ta đi đến định lý sau

Định lý 1.4.4 Với mỗi siêu mặt bậc hai  S trong không gian xạ ảnh thực

(có p dấu  và q dấu +), trong đó 1  p q 3 và q p 0

Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một phương trình chuẩn tắc Siêu mặt bậc hai

 S trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số p q,  Ta có định lý phân loại siêu mặt bậc hai như sau

Định lý 1.4.5 Hai siêu mặt bậc hai  S1 và S2 trong không gian xạ ảnh thực

là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau

Như vậy trong 2 

P R ta có 5 loại đường bậc hai sau đây:

2 2 2

0 1 2 1) x x x  0 (đường ô van ảo),

2 2 2

0 1 2 2) x x x  0 (đường ô van, hay đường cô nic),

2 2

0 1 3) x x  0 (cặp đường thẳng ảo liên hợp),

2 2

0 1 4) x x  0 (cặp đường thẳng thực phân biệt)

2 0 5) x  0 (cặp đường thẳng trùng nhau)

1.5 Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong P 2 R

Trong P 2 R với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai  S có phương trình t 0

x Ax , và hai điểm Y  (y0:y1:y2) và Z  (z0:z1:z2)

Định nghĩa 1.5.1 (Điểm liên hợp) Điểm Y được gọi là liên hợp với điểm Z

đối với  S nếu y Az t  0, trong đó y và z lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm Y và điểm Z

Khi đó ta cũng có z Ay t  0, nên điểm Z cũng liên hợp với điểm Y đối với

 S Như vậy ta nói hai điểm Y và Z liên hợp với nhau đối với  S Đặc biệt điểm Y liên hợp với chính nó đối với  S khi và chỉ khi Y nằm trên S

Định lí 1.5.2 Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai  S trong không gian xạ ảnh 2 

P R Khi đó :

- Nếu đường thẳng Y Z, cắt  S tại hai điểm phân biệt M N, thì

Y Z M N, , ,   1,

- Nếu Y Z, cắt  S tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y hoặc Z

Chứng minh Giả sử  S có phương trình t 0

k l1 2 k l2 1   M t A N  0

Vì M N, là hai điểm phân biệt của  S nên    M t A N  0, (vì nếu

0 ) ( ) (M t A N  thì cả đường thẳng MNsẽ nằm trên S) suy ra k l1 2k l2 1 0 Vậy

P R cho siêu mặt bậc hai  S và điểm Y Tập hợp tất

cả những điểm liên hợp với Y đối với  S hoặc là một đường thẳng trong

Y  y y y Điểm X  (x0 :x x1 : 2 ) liên hợp với Y đối với siêu mặt bậc hai

 S khi và chỉ khi y Ax t  0, hay

2

ij , 0

- Nếu hệ số của x j trong phương trình (1) không đồng thời bằng 0, hay ma

trận y t A có các số hạng không đồng thời bằng 0 thì phương trình (1) cho ta

một đường thẳng trong 2 

P R Đường thẳng đó có ma trận cột tọa độ là Ay

- Nếu các hệ số đó đều bằng 0 hay ma trận y t A gồm toàn số 0 thì mọi điểm X

của 2 

P R đều có tọa độ thỏa mãn phương trình (1)

Định nghĩa 1.5.4 (Cực và đối cực qua siêu mặt bậc hai) Nếu tập hợp các

điểm liên hợp đối với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S) là một đường thẳng thì đường thẳng đó được gọi là đường thẳng đối cực của điểm Y và kí hiệu là

Y * Ngược lại, điểm Y được gọi là điểm đối cực của đường thẳng Y *

Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với

mọi điểm của P 2 R đối với (S) Như vậy điểm kì dị của (S) phải nằm trên (S)

vì điểm kì dị liên hợp với chính nó Hơn nữa chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến mới có điểm kì dị Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương trình

2

ij 0

0, 0,1, 2

i i

Bây giờ, ta chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi

đường thẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất Thật vậy, giả sử  S có phương trình x Ax t  0 với detA 0 Với đường thẳng U, điểm X là đối cực

của nó khi và chỉ khi (X) t A=(U) t hay A(X)=(U), do đó (X)=A -1 (U) được xác

định duy nhất

Định nghĩa 1.5.6 (Đường thẳng liên hợp) Hai đường thẳng U và V được gọi

là liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau qua (S)

Các tính chất :

a) Hai đường thẳng liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua điểm đối cực của đường thẳng kia

Thật vậy, cho hai đường thẳng U,V có điểm đối cực đối với (S) lần lượt là U *

và V * Khi đó U liên hợp với V qua (S) khi và chỉ khi U * và V * là hai điểm liên

hợp qua S Vì U gồm những điểm liên hợp với U * nên U đi qua V * Tương tự

1.6 Nguyên tắc đối ngẫu

Ta định nghĩa về phép đối xạ trong 2

P như sau: Kí hiệu  2 là tập hợp tất cả các điểm, đường thẳng (0 – phẳng và 1 – phẳng trong 2

Hai cái phẳng U và V trong mặt phẳng xạ ảnh 2

P gọi là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia Tức là UV hoặc V U Khi đó ta nói U thuộc V , hoặc V thuộc U Chẳng hạn, nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì ta nói: “điểm A thuộc đường thẳng a”, hoặc nói: “đường thẳng a thuộc điểm A” Như vậy, từ “ thuộc” đồng nghĩa với một trong các

từ “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”

Với cách hiểu như vậy, ta có thể nói rằng: Phép đối xạ giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa các phẳng, có nghĩa là nếu U thuộc V thì  U thuộc  V

Định nghĩa 1.6.1 (Mệnh đề đối ngẫu) Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong mặt phẳng xạ ảnh 2

P nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng Nếu trong mệnh đề đó các từ “0 – phẳng” được thay bằng các từ

“1– phẳng” và ngược lại, các từ khác giữ nguyên thì được mệnh đề mới *

M

gọi là mệnh đề đối ngẫu

Từ tính chất của phép đối xạ, ta có kết quả sau đây gọi là nguyên tắc đối ngẫu

Định lý 1.6.2 (Nguyên tắc đối ngẫu) Trong mặt phẳng xạ ảnh cặp mệnh đề

đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai

Ví dụ Ta xét mệnh đề sau trong 2

P : “ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước” Ta phát biểu lại dưới dạng: “ Có một và chỉ một 1 – phẳng thuộc hai 0 – phẳng phân biệt cho trước” Khi đó, mệnh đề đối ngẫu của nó sẽ là: “Có một và chỉ một 0 – phẳng thuộc hai 1 – phẳng phân biệt cho trước”, hay phát biểu cách khác : “ Hai đường thẳng phân biệt luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất” Cặp mệnh đề đối ngẫu trên đây đều đúng

1 2

A A và A A4 5, A A2 3 và A A5 6, A A3 4 và A A6 1 gọi là các cặp cạnh đối diện

Định lý 1.7.2 (Định lý Pascal) Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một

đường ôvan (còn gọi là hình sáu đỉnh nội tiếp đường ôvan) thì giao điểm của các cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng

Chứng minh (hình vẽ)

A A A A A A A A1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 6  M A A R, 3 , 4 , , A A A A A A A A5 2 , 5 3 , 5 4 , 5 6  A A N Q2 , 3 , , 

Vì vậy ta có:

M A A R, 3 , 4 ,   A A N Q2 , 3 , ,  Điều đó chứng tỏ rằng, có phép ánh xạ xạ ảnh f A A: 3 4 A A2 3 mà

f M A f A  A f A N f R Q, hơn thế, f là phép chiếu xuyên tâm

vì A3 là điểm tự ứng Do vậy các đường thẳng MA A N QR2, 4 , đồng quy Nói cách khác P Q R, , thẳng hàng

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal

Ta có thể định nghĩa hình năm đỉnh, hình bốn đỉnh, hình ba đỉnh tương

tự như định nghĩa hình sáu đỉnh Hãy xét một hình năm đỉnh A A A A A1 2 3 4 5 nội tiếp đường ôvan  S Ta xem hình năm đỉnh đó như là một trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh khi hai đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó

là hình sáu đỉnh A A A A A A1 2 3 4 5 5 Khi đó lập luận trong chứng minh của định lí Pascal vẫn đúng nếu cạnh A A5 6 được thay bằng tiếp tuyến của ôvan tại đỉnh

5

A Vậy ta có kết quả sau đây:

Hệ quả 1.7.3 Nếu hình năm đỉnh A A A A A1 2 3 4 5 nội tiếp đường ôvan S thì ba giao điểm của : cạnh A A1 2 với cạnh A A4 5, cạnh A A2 3 với tiếp tuyến của S tại

(Hình 3)

Cũng với hình bốn đỉnh ABCD nói trên, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABCCD hoặc ABBCDD thì sẽ được kết quả sau:

Hệ quả 1.7.4 Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường ôvan thì

giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng (Các cặp cạnh đối diện là : AB và CD, AD và BC, các cặp đỉnh đối diện là A và C,

B và D)

(Hình 4)

Đối với hình ba đỉnh ABC nội tiếp một đường ôvan, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCC thì được kết quả sau đây:

Hệ quả 1.7.5 Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm

của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng

(Hình 5)

Định nghĩa 1.7.6 (Hình sáu cạnh) Hình sáu cạnh là tập hợp có thứ tự gồm

sáu đường thẳng a a a a a a1, 2, 3, 4, 5, 6 Nó được ký hiệu a a a a a a1 2 3 4 5 6 Các đường thẳng a i được gọi là cạnh của hình sáu cạnh đó Các giao điểm

5 5

1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 , 6 , 6 1

a a a a a a a a a a a a được gọi là các đỉnh của hình sáu