Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản bằng phương pháp hình học_unprotected

Chính vì hiểu được bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình phổ thông và học tốt bất đẳng thức sẽ thúc đẩy tư duy toán học của học sinh phát triển mạnh mẽ nên tác giả đã m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THI ̣ MINH TRANG

CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

CƠ BẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THI ̣ MINH TRANG - MÃ HỌC VIÊN: C00271

CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

CƠ BẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS VŨ THẾ KHÔI

HÀ NỘI - NĂM 2016

1

LỜI CẢM ƠN

Luâ ̣n văn này được hoàn thành ta ̣i trường Đa ̣i ho ̣c Thăng Long Hà

Nô ̣i với sự hướng dẫn và chỉ bảo tâ ̣n tình của PGS- TS Vũ Thế Khôi Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS- TS Vũ Thế Khôi người thầy đã đô ̣ng viên, hướng dẫn nhiê ̣t tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luâ ̣n văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong BGH, Phòng đào ta ̣o – Khoa sau đa ̣i ho ̣c trường đa ̣i ho ̣c Thăng Long Hà Nô ̣i đã ta ̣o điều kiê ̣n cho tác giả ho ̣c tâ ̣p, rèn luyê ̣n và hoàn thành khóa ho ̣c tha ̣c sỹ Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trực tiếp đứng lớp giảng da ̣y và hướng dẫn khoa ho ̣c lớp cao ho ̣c toán A3 đã nhiê ̣t tình trong từng bài giảng, trang bi ̣ từng nấc thang kiến thức để tác giả vững tin nghiên cứu và hoàn thiê ̣n luâ ̣n văn này

Tuy nhiên do sự hiểu biết của tác giả còn nhiều ha ̣n chế nên trong quá trình nghiên cứu và làm luâ ̣n văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình, những đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và các đô ̣c giả quan tâm tới mảng kiến thức được nghiên cứu trong luâ ̣n văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thi ̣ Minh Trang

3

MỞ ĐẦU

Các bài toán về bất đẳng thức nói chung là các bài toán khó đối với

ho ̣c sinh phổ thông Đa ̣i đa số ho ̣c sinh phổ thông tiếp câ ̣n các bài toán bất đẳng thức theo phương pháp đa ̣i số dễ dàng hơn so với viê ̣c tiếp câ ̣n các bài toán bất đẳng thức theo phương pháp hình ho ̣c Lý do: Một là phương pháp hình ho ̣c chưa được phổ biến rô ̣ng rãi, hai là phương pháp này đòi hỏi các em phải chắc kiến thức, vững kĩ năng, biết vận dụng linh hoạt trong việc kết hợp giữa đại số và hình học vào bài toán sao cho phù hợp Mặt khác tâm lý chung các em học sinh đều rất sợ giải các bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức và nếu có giải thì đôi khi cũng chỉ thừa nhận những công thức cũng như lời giải có sẵn mô ̣t cách thu ̣ đô ̣ng mà không hiểu bản chất vấn đề Chính vì hiểu được bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình phổ thông và học tốt bất đẳng thức sẽ thúc đẩy tư duy toán học của học sinh phát triển mạnh mẽ nên tác giả đã ma ̣nh

da ̣n tìm hiểu, nghiên cứu và cho ̣n đề tài “Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản bằng phương pháp hình học” cho luận văn của mình nhằm

mục đích phát huy tính tích cực, tư duy, sáng ta ̣o của các em đối với mảng kiến thức này Từ đó các em có thể vững tin khám phá cách giải mới này vào các bài chứng minh bất đẳng thức khó, cũng như chinh phục các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các đề thi đại học hàng năm

Tóm lại thông qua luận văn này, tác giả muốn:

- Tăng thêm vốn kiến thức cho các em học sinh

- Khơi dậy niềm đam mê toán học của các em

- Tạo cho các em thói quen tự rèn luyện cho mình có một khả năng tư duy toán học khoa học

GIỚI THIỆU

Luâ ̣n văn “Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản bằng phương pháp

hình học ” gồm có

- Mở đầu

- Ba chương nội dung

Chương I Phương pháp biểu diễn số dương bằng độ dài đoạn thẳng

Chương này dựa theo Chương I của tài liệu tham khảo [1] và các tài liệu

tham khảo [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12], [13], [14] Chương này trình

bày chứng minh các bất đẳng thức bằng cách so sánh độ dài của các đoạn

thẳng và sử dụng một trong các phương pháp dưới đây để thiết lập bất

đẳng thức AM-GM cho hai số dương và một số các bất đẳng thức khác

1 Nguyên ly ́ bao hàm

2 Nguyên ly ́ trắc đi ̣a

3 So sánh Pythagore

4 Bất đẳng thức tam giác (đa giác)

5 So sánh đồ thị của các hàm số

Chương II Phương pháp biểu diễn số dương bằng diện tích hoặc thể tích

Chương này dựa theo Chương II của tài liệu tham khảo [1] và các tài liệu

tham khảo [2], [3], [6], [11], [15] Chương này trình bày chứng minh các

bất đẳng thức bằng cách sử dụng các số dương biểu thi ̣ cho số đo diện tích

hoặc thể tích của một vật thể theo phương pháp nguyên lý bao hàm, dùng

nguyên lý bao hàm để thiết lập bất đẳng thức AM- GM và một số bất

đẳng thức khác có liên quan

Chương III Một số bài tập áp dụng

Chương này lấy từ tài liệu tham khảo [1] và phần lớn do tác giả tự giải

Chương này trình bày một số các bài tập chứng minh bất đẳng thức cơ

bản theo các phương pháp được nêu ở chương I và chương II

- Kết luận và tài liê ̣u tham khảo

1 Nguyên ly ́ bao hàm Chứng minh một đoạn thẳng là một tập con

của một đoạn thẳng khác Chúng ta sẽ tổng quát phương pháp này trong chương tiếp theo khi coi các số dương là biểu thị cho số đo của diện tích

và thể tích Các bất đẳng thức sẽ được chứng minh thông qua các mối quan hệ tập hợp con

2 Nguyên ly ́ trắc đi ̣a Thực tế là con đường ngắn nhất nối hai điểm

là đoạn thẳng nối hai điểm đó

3 So sánh Pythagore Mệnh đề I.19 trong cuốn sa ́ ch cơ sở của

Euclid “Trong bất kì hình tam giác nào cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” Do đó trong một tam giác vuông cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất Vì vậy để so sánh hai đoạn thẳng ta coi một đoạn thẳng ứng với cạnh bên và đoạn còn lại ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông

4 Bất đẳng thức tam giác (đa giác) Mệnh đề I.20 trong cuốn sa ́ ch

cơ sở phát biểu rằng “Trong một tam giác, tổng của hai cạnh bất kì luôn

lớn hơn cạnh thứ ba” Do đó khi ba đường thẳng tạo thành một tam giác thì độ dài của một cạnh bất kì trong tam giác luôn bé hơn hoặc bằng tổng

độ dài hai cạnh còn lại (tương tự cho các đa giác) Và bất đẳng thức tam giác là một trường hợp đặc biệt của nguyên lý trắc địa

5 So sánh đồ thị của các hàm số Nếu đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

nằm phía trên đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) trong một khoảng giá trị 𝑥 thì

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) trong khoảng giá trị đó Và vì đoạn thẳng nối từ điểm

(𝑥; 𝑓(𝑥)) tới điểm (𝑥; 𝑔(𝑥)) có độ dài lớn hơn hoặc bằng không nên bất

đẳng thức 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) được thiết lập

Hình 1.1

Trong hình 1.1 phía trên ta khẳng định rằng có thể kết hợp các số dương

với chiều dài của các đoạn thẳng

1.1 Bất đẳng thức liên quan tới hình tam giác

Theo nguyên lý trắc đi ̣a, nếu ba số dương 𝑎, 𝑏 và 𝑐 là độ dài các cạnh của

tam giác ABC thì 𝑎 + 𝑏 > 𝑐, 𝑏 + 𝑐 > 𝑎, 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 Ngược lại phát biểu

này cũng đúng với nguyên lý bao hàm Không mất tính tổng quát ta có thể

giả sử 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 Khi đó với bất đẳng thức 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 được minh họa

trong hình 1.2, ta thấy đoạn thẳng có đô ̣ dài 𝑐 được bao phủ bởi hai đoạn

thẳng có đô ̣ dài 𝑎 và 𝑏 Thực tế, đây cũng là quá trình mà bất cứ người

nào cũng cần dùng để dựng một hình tam giác với độ dài các cạnh cho

trước bằng thước kẻ và compa

7

Hình 1.2

Kết quả đơn giản này có một số hệ quả hữu ích, đặc biệt khi tam giác đã cho là tam giác vuông

Ví dụ Cho 𝑎, 𝑏 ≥ 0 Xét tam giác vuông có chiều dài các ca ̣nh bên là

√𝑎 , √𝑏, và chiều dài ca ̣nh huyền là √𝑎 + 𝑏

Khi đó, nhìn vào hình 1.3 ta thấy rằng a  b  a b 

Nếu ta cho 𝑎 = 0 hoă ̣c 𝑏 = 0 thì √𝑎 + 𝑏 ≤ √𝑎 + √𝑏

bình khác là căn bậc hai của trung bình bình phương, căn bậc hai của

trung bình bình phương đối với hai số 𝑎 và 𝑏 là √(𝑎2+𝑏2 2)

Căn bậc hai của trung bình bình phương thường xuất hiện trong vật lý, kĩ thuật điện và người ta sử dụng nó để đo độ lớn của những đa ̣i lươ ̣ng nhâ ̣n cả giá tri ̣ dương lẫn âm, chẳng hạn như sóng

Trong hình 1.4 chúng ta sử dụng hai lần bất đẳng thức tam giác để chỉ ra

rằng đối với hai số dương 𝑎 và 𝑏, căn bậc hai của trung bình bình phương

ở giữa trung bình cô ̣ng và √2 lần trung bình cô ̣ng [5], tức là

Có thể thấy từ hình 1.5 bên trái [5], bất đẳng thức này dẫn đến chă ̣n cho

tổng chiều dài các cạnh của một tam giác được tạo nên từ ba đường chéo

Hình 1.6

Từ đó ta có thể mở rộng cho 𝑛 biến số và thu được trường hợp đặc

biệt Bất đẳng thức của Minkowski (Hermann Minkowski, 1864-1909) đối

với các số dương 𝑎𝑖và 𝑏𝑖 [14]:

𝑛 𝑖=1)

2+ (∑ 𝑏𝑖

𝑛 𝑖=1)

2

≤ ∑ √𝑎𝑖2 + 𝑏𝑖2𝑛

𝑖=1

Hình 1.7

1.3 n-giác trong m-giác

Một 𝑛-giác là một đa giác 𝑛 cạnh Nếu ta vẽ một đa giác ở bên trong một

đa giác khác (minh họa hình 1.8) Hiển nhiên ta có bất đẳng thức diện tích

nhưng liê ̣u có xảy ra bất đẳng thức chu vi? Nhìn chung câu trả lời là

không vì ta luôn có thể vẽ đươ ̣c bên trong đa giác này một đa giác khác có

chu vi lớn bất kì

Nhưng nếu ta chỉ xét các đa giác lồi thì câu trả lời là có Vâ ̣y mô ̣t

hình 𝑛- giác là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì (nằm trên hoặc nằm

trong) của 𝑛- giác thì nằm trong 𝑛- giác đó

gọi 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑚 biểu thị các đỉnh của 𝑚- giác với 𝐵0 = 𝐵𝑚 Gọi 𝐶𝑖 là

giao điểm của cạnh 𝐴𝑖−𝑖𝐴𝑖 với một cạnh nào đó của 𝑚- giác (với 𝑖 chạy từ

1 đến 𝑛), áp dụng bất đẳng thức đa giác cho miền đa giác có các đỉnh

𝐴𝑖−1, 𝐴𝑖, 𝐶𝑖, đỉnh 𝐵𝑖′ của 𝑚- giác (với 𝐵𝑖′ luôn nằm giữa 𝐶𝑖và 𝐶𝑖−1) và

𝐶𝑖−1 Sử dụng kí hiệu giá tri ̣ tuyê ̣t đối biểu thi ̣ độ dài các cạnh của đa giác,

ta có

|𝐴𝑖−1 𝐴𝑖| + |𝐶𝑖 𝐴𝑖| ≤ |𝐶𝑖𝐵𝑖′| + ⋯ + |𝐶𝑖−1 𝐴𝑖−1 | (∗)

|𝐴𝑖−1 𝐴𝑖| + |𝐶𝑖 𝐴𝑖| ≤ |𝐶𝑖𝐵𝑖′| + ⋯ + |𝐶𝑖−1 𝐴𝑖−1 | ………

|𝐴𝑛𝐴1| + |𝐴1 𝐶1| ≤ |𝐶1B1| + |𝐵1𝐵𝑚| + ⋯ + |𝐶𝑛−1 𝐴𝑛−1 | Cộng vế với vế ta có

|𝐴1𝐴2| + |𝐴2𝐶2| + |𝐴2𝐴3| + |𝐴3𝐶3| + ⋯ + |𝐴𝑖−1𝐴𝑖| + |𝐶𝑖𝐴𝑖| + ⋯

+ |𝐴𝑛𝐴1| + |𝐴1 𝐶1|

≤ |𝐶2𝐵2| + |𝐵2𝐶1| + |𝐶1𝐴1| + |𝐶3𝐵3| + |𝐵3𝐶2| + |𝐶2𝐴2| + ⋯ + |𝐶𝑖𝐵𝑖′| + ⋯ + |𝐶𝑖−1 𝐴𝑖−1 | + ⋯ + |𝐶1B1| + |𝐵1𝐵𝑚| + ⋯ + |𝐶𝑛−1 𝐴𝑛−1 |

⇔ |𝐴1𝐴2| + |𝐴2𝐴3| + ⋯ + |𝐴𝑖−1𝐴𝑖| + ⋯ + |𝐴𝑛𝐴1| ≤

≤ |𝐵1𝐵2| + |𝐵2𝐵3| + ⋯ + |𝐵𝑖 ′𝐵𝑖+1′ | + ⋯ + |𝐵𝑚−1𝐵𝑚| + |𝐵𝑚𝐵1|

Suy ra chu vi của 𝑛- giác lồi nhỏ hơn hoặc bằng chu vi của 𝑚- giác lồi Vậy nếu một 𝑚- giác lồi chứa trong một 𝑛- giác lồi thì ta luôn có chu vi của 𝑛- giác nhỏ hơn hoă ̣c bằng chu vi của 𝑚-giác

Cách làm này rất có ích trong viê ̣c thiết lâ ̣p bất đẳng thức chu vi của

đa giác lồi và đây cũng chính là chìa khóa dẫn đến khái niê ̣m về phép tính gần đúng số 𝜋 của Archimedes (287-212 trước công nguyên)

Bất đẳng thức Archimedes

Trong cuốn sách nói về phương pháp đo đường tròn, Archimedes đã tính

xấp xỉ tỉ lệ giữa chu vi một đường tròn với đường kính của nó bằng việc

sử dụng các đa giác ngoại tiếp và nội tiếp một đường tròn Khi tính xấp xỉ

chu vi của đường tròn với chu vi các hình đa giác 96 cạnh ông đã phát

hiện ra

310

71 = 3 284

1 4

2018740

< 3 284

1 4

2017740

<<3667

1 2

467312

<3667

1 2

467212

= 317

Điều này một lần nữa khẳng định rằng số 𝜋 ≈ 31

7

1.4 Bất đẳng thức giữa trung bình cô ̣ng – trung bình nhân (AM-

GM)

Tiếp theo sau trung bình cô ̣ng thì trung bình quan trọng thứ hai là trung

bình nhân Cho hai số dương 𝑎 và 𝑏, trung bình nhân của 𝑎 và 𝑏 là √𝑎𝑏

Ví dụ

Nếu một khoản đầu tư 𝑋 được tăng 25% trong năm đầu tiên (Tức là

𝑋 được tăng lên bằng 𝑋 𝑎 với hê ̣ số 𝑎 = 1.25) và 80% trong năm thứ hai

(vớ i hê ̣ số 𝑏 = 1,8) Khi đó lãi trung bình thu về hàng năm kí hiệu 𝑟 là

√𝑎𝑏 = 1,5 hoặc 50% vì 𝑎𝑏𝑋 = 𝑟2𝑋 Nếu ta sử dụng trung bình cộng thay

thế ta sẽ có thể tính nhầm rằng tỉ lệ lãi trung bình hàng năm là 52,5%, vì

trung bình cô ̣ng của 1,25 và 1,8 là 1,525 Từ ví dụ này ta suy ra trung

bình cô ̣ng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân

Từ đó bất đẳng thức nổi tiếng 𝑎+𝑏2 ≥ √𝑎𝑏 áp du ̣ng cho các số dương

𝑎, 𝑏 được go ̣i là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân,

đẳng thức xảy ra khi 𝑎 = 𝑏 Từ nay về sau bất đẳng thức này được viết tắt

là bất đẳng thức AM- GM

Để hiểu rõ hơn về tầm quan trọng của bất đẳng thức AM-GM ta

cùng tham khảo câu chuyện với tiêu đề “ Thưa giáo sư Ostrowski, theo

ngài bất đẳng thức nào là quan trọng nhất?”

Nhà toán học Alexander M Ostrowski (1893-1986) đã có nhiều đóng góp quan trọng cho lý thuyết của bất đẳng thức Ostrowski thường xuyên tham

dự các cuộc thảo luận về bất đẳng thức được tổ chức tại Oberwolfach của Đức Trong cuộc thảo luận này một đồng nghiệp đã kể lại việc ông nghe thấy một nhà toán học trẻ tuổi đã hỏi giáo sư: “Thưa giáo sư, theo ông bất đẳng thức nào là quan trọng nhất” Nhà toán học trẻ tuổi này cũng đã biết rất nhiều về những đóng góp của ông Ostrowski trong lĩnh vực này và anh

ấy đã rất ngạc nhiên bởi câu trả lời của ông Ostrowski: “Tất nhiên là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân”

Bài toán 1.4.1 Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp được trong một

đường tròn bán kính 𝑅, hình vuông có diện tích lớn nhất

Đẳng thức xảy ra khi 𝑥 = 𝑦 Từ đó ta có hình chữ nhật nội tiếp được trong

một đường tròn có diện tích lớn nhất là hình vuông (□)

Bài toán 1.4.2 Bài toán của Dido

Dido là một công chúa đến từ Phoenician của thành phố Tyre (hiện nay là thành phố Lebanon) Dido rời thành phố khi anh trai của bà giết

chồng của mình và bà đến Châu Phi vào khoảng 900 năm trước công

nguyên gần vịnh Tunis Dido quyết định mua mảnh đất từ ông chủ của

một địa phương tên là King Jarbas của vương quốc thuộc tây nam Châu

Phi Vì vậy bà và những người tùy tùng của bà có thể định cư ở đó Bà đã

trả Jarbas một số tiền nhiều bằng mảnh đất bà có thể rào quanh bằng một

tấm da của một con bò Để có được càng nhiều đất càng tốt Dido đã cắt

miếng da bò thành những dải mỏng và buộc chúng với nhau Mảnh đất

này sau đó trở thành thành phố Carthage Điều này dẫn đến bài toán của

15

Dido: Làm thế nào để bà ấy có thể đặt được những dải da bò trên đất để rào quanh được càng nhiều đất càng tốt? Nếu chúng ta giả định rằng mặt đất bằng phẳng và bờ địa trung hải thẳng thì giải pháp tối ưu chính là đặt dải da bò trong hình bán nguyệt [12] Điều mà truyền thuyết đã kể lại cho chúng ta đúng như những gì Dido đã làm Bây giờ chúng ta giải quyết một bài toán có liên quan: Hình dạng của hình chữ nhật có diê ̣n tích lớn nhất trong hình 1.11 là gì?

Hình 1.11

Nếu 𝑥 và 𝑦 biểu thị độ dài các cạnh của hình chữ nhật và 𝐿 là chiều dài của dải da bò thì 2𝑥 + 𝑦 = 𝐿 Tìm 𝑥, 𝑦 sao cho diện tích 𝐴 = 𝑥𝑦 đa ̣t giá tri ̣ lớn nhất?

Bài toán 1.4.3 Bài toán cực đại của Regiomontanus

Vào năm 1471 Johannes Muller (1436- 1476) đã lấy tên Regiomontanus đặt cho nơi sinh của ông, Königsberg và ông đã viết một bức thư cho ông Christian Roder nói về bài toán tạo góc như sau: Đứng ở

vi ̣ trí nào trên trái đất mà có thể nhìn được thanh treo theo phương thẳng đứng với góc nhìn lớn nhất?

Trong tác phẩm kinh điển của ông 100 bài toán quan trọng của

toán học cơ bản [4] Heinrich Dörrie viết rằng “Bài toán này đáng phải để

ý hàng đầu đặc biệt như bài toán quan trọng nhất phải đối mặt trong lịch

sử toán học từ thời cổ xưa” Lời giải dưới đây được dựa theo [8]

Hình 1.12

Từ hình 1.12 ta thấy cái thanh được treo bên trên phần mắt của người quan sát Khoảng cách từ đỉnh và đáy của thanh treo đến đường kẻ

từ mắt người quan sát (song song với mă ̣t đất) lần lượt là 𝑎 và 𝑏, 𝑥 là

khoảng cách từ vị trí người quan sát đến thanh treo, 𝜃 là giới hạn góc nhìn

của người quan sát từ đỉnh đến đáy của thanh treo Tìm 𝑥 để góc 𝜃 đạt giá

trị cực đại

Lời giải

Cho 𝛼 và 𝛽 biểu thị góc mà giới hạn của mắt nhìn thấy được đến đỉnh và

đáy của thanh treo theo tầm mắt của người quan sát Khi đó

cot 𝜃 = cot(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑡𝛼𝑐𝑜𝑡 + 1

𝑐𝑜𝑡 − 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

(x/a)(x/b) + 1(x/b) – (x/a)

a − b+

𝑎𝑏(a − b)x

Vì 𝑐𝑜𝑡𝜃 là hàm nghịch biến trong cung phần tư thứ nhất nên góc nhìn 𝜃 đạt cực đại khi 𝑐𝑜𝑡 𝜃 đạt giá trị cực tiểu Áp dụng bất đẳng thức

AM-GM ta được kết quả sau

17

cot θ = 𝑥

a − b+

𝑎𝑏(a − b)x≥ 2√

x

a − b.

ab(a − b)x =

2√𝑎𝑏

a − b

Đẳng thức xảy ra khi 𝑥

cần phải đứng ở một khoảng cách bằng trung bình nhân giữa chiều cao của đỉnh và đáy của thanh treo

1.5 Ca ́ c bất đẳng thức trung bình khác

Cho hai số dương 𝑎 và 𝑏, ta luôn có

Thật dễ để chỉ ra rằng trung bình điều hòa của hai số dương 𝑎 và

𝑏 nhỏ hơn hoặc bằng trung bình nhân (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

cho hai số 1

𝑎, 1

𝑏 để chứng minh). Vì vậy bốn giá trị trung bình phải thỏa mãn

Bài toán 1.5 Bất đẳng thức Mengoli và sự phân kì của chuỗi điều hòa

Pietro Mengoli (1625- 1686) đã thiết lập bất đẳng thức: Cho bất kì 𝑥 > 1,

cô ̣ng cho hai số dương 1

𝑥−1 và 1

𝑥+1, ta có 1

𝑥−1+𝑥+1 2

<

1 𝑥−1+ 1

Mengoli sử dụng bất đẳng thức của mình để đưa ra bằng chứng ban đầu

về sự phân kì trong chuỗi điều hòa 1 +1

2+13+14+ ⋯Giả sử chuỗi hội tụ là một số thực 𝐻, khi đó 𝐻 được viết là

Suy ra 𝐻 là chuỗi phân kì

Các bất đẳng thức trong bốn giá trị trung bình của (1.1) được minh họa trong hình 1.13 [9] Sử du ̣ng so sánh Pythagore ta có

|𝐻𝑀| ≤ |𝐺𝑀| ≤ |𝐴𝑀| ≤ |𝑅𝑀|

19

Hình 1.13

Nhiều giá trị trung bình khác có thể được đưa vào giữa 𝑚𝑖𝑛(𝑎, 𝑏)

và 𝑚𝑎𝑥(𝑎, 𝑏), ví dụ như trung bình phản điều hòa 𝑎𝑎+𝑏2+𝑏2, trung bi ̀nh

Heron (𝑎+√𝑎𝑏 +𝑏)

3 và trung bình logarit (b

b /aa)

1 b−a

𝑒

1.6 Đổi biến Ravi

Xét mô ̣t tam giác có đô ̣ dài các ca ̣nh lần lượt là 𝑎, 𝑏, 𝑐 và ngoa ̣i tiếp đường tròn được minh họa trong hình 1.14𝑎 Nối tâm của đường tròn với các đỉnh của tam giác và các điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh của tam giác ta đươ ̣c ba cặp tam giác vuông đồng dạng trong hình 1.14𝑏 Khi

đó tồn ta ̣i ba số dương 𝑥, 𝑦 và 𝑧 sao cho 𝑎 = 𝑥 + 𝑦, 𝑏 = 𝑦 + 𝑧, 𝑐 = 𝑧 + 𝑥

Sự biến đổi này được gọi là đổi biến Ravi

𝑠 − 𝑎 = 𝑧, 𝑠 − 𝑏 = 𝑥 và 𝑠 − 𝑐 = 𝑦

Bài toán 1.6.1 Bất đẳng thức của Padoa

Bất đẳng thức [13], do Alessandro Padoa (1868- 1937) phát biểu rằng: Nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các cạnh của một tam giác thì

Với ba số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

căn bậc hai của trung bình bình phương cho √𝑥 và √𝑦 (xem ở mục 1.1

hoặc 1.5), ta có √𝑥+𝑦

2

Kết quả trên cũng được rút ra từ đẳng thứ c AM- GM khi áp dụng cho hai số dương 𝑥 và 1𝑥

Tương tự ta cũng có hàm 𝑓 ≤ 𝑔 trên một tập S nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

với mọi 𝑥 thuộc 𝑆

Hình 1.15

Ý tưởng tương tự trên được áp dụng để thiết lập Bất đẳng thức của

Jordan (Camille Jordan,1832-1922): Cho 𝑥 ∈ [0;𝜋

2], 2𝑥

𝜋 ≤ sin 𝑥 ≤ 𝑥 Trong hình 1.16 chúng ta có một phần đồ thị của hàm 𝑠𝑖𝑛 tiếp xúc với tiếp tuyến 𝑦 = 𝑥 tại gốc tọa độ và cắt đường 𝑦 = 2𝑥

𝜋 tại hai điểm là gốc tọa độ và điểm (𝜋

2; 1) Vì vậy đồ thị của hàm 𝑠𝑖𝑛 là lõm trên [0;𝜋

2]

suy ra hàm số sin nằm phía trên đường 𝑦 =2𝑥𝜋 và nằm phía dưới đường

𝑦 = 𝑥, từ đó ta có bất đẳng thức

|𝑥| ≤ 𝜋/2 Nhưng đồ thị không nói cho chúng ta tại sao bất đẳng thức có

thể áp dụng và nó không giống vị trí như hình 1.15 và 1.16, ở đây tính

lõm hoặc lồi của hàm được thay thế cho lập luận của bất đẳng thức mà

chúng ta nhìn thấy trong đồ thị

23

Hình 1.17

Hướng tốt nhất để thiết lập cos 𝑥 ≥ 1 −𝑥2

2 là ước tính độ dài đoạn thẳng và khoảng cách giữa các điểm (cos 𝑥 ; sin 𝑥) và (1, 0) trên đường tròn lươ ̣ng giác như hình 1.18 và làm đơn giản hóa bài toán

√(cos 𝑥 − 1)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≤ |𝑥| ⇔ 2 − 2 cos 𝑥 ≤ 𝑥2

⇔ cos 𝑥 ≥ 1 −𝑥

22

Hình 1.18

CHƯƠNG II

PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN SỐ DƯƠNG BẰNG DIỆN

TÍCH HOẶC THỂ TÍCH

Bây giờ chúng ta mở rộng nguyên lý bao hàm ở chương I bằng cách coi

các số dương biểu thi ̣ cho số đo của diện tích hoặc thể tích của một vật thể

mà vật thể này có thể được chứa trong một vật thể khác Chúng ta bắt đầu

với diện tích là đại diện của các số, trước hết là các số biểu thị cho diện

tích của các hình chữ nhâ ̣t và hình tam giác

Nguyên lý bao hàm được áp dụng trong hai cách: Giả sử ta muốn thiết lập bất đẳng thức 𝑥 ≤ 𝑦

- Cách 1: Ta tìm một miền 𝐴 có diện tích 𝑥 và miền 𝐵 có diện tích

𝑦, khi đó 𝑥 ≤ 𝑦 nếu mỗi mảnh ghép(𝑎) của 𝐴 vừa khít bên trong 𝐵

- Cách 2: Lắp từ ng mảnh ghép(𝑏) của 𝐵 phủ kín lên 𝐴 cùng với các phần gối lên nhau của một số mảnh ghép

Trong hình 2.1 ta minh họa cả hai cách trên bởi việc thiết lập bất đẳng thức AM- GM cho các số dương 𝑎 và 𝑏

Từ hình 2.2 ta thấy rằng hai hình chữ nhật có cùng cạnh đáy là 𝑏𝑑

và có các cạnh bên lần lượt là 𝑎/𝑏 và 𝑐/𝑑 có diện tích theo thứ tự đó là

𝑎𝑑 và 𝑏𝑐 khi đó, diện tích 𝑎𝑑 của hình chữ nhật bên trái nhỏ hơn hoặc

bằng diện tích 𝑏𝑐 của hình chữ nhật bên phải và hai hình chữ nhật trên trùng khít lên nhau khi hai cạnh 𝑎/𝑏 và 𝑐/𝑑 bằng nhau

Ví dụ 2.1.2 Bất đẳng thức AM-GM có thể được minh họa bằng cách sử

dụng các tam giác vuông cân có diện tích là các số dương 𝑎 và 𝑏:

Hình 2.3

Phép tính sấp sỉ các căn bậc hai của Heron

Trong cuốn sách Metrika của ông Heron (Nửa thứ hai của thế kỉ thứ nhất)

đã đưa ra một phương pháp về phép tính sấp xỉ căn bậc hai √𝑛 của một số

nguyên n: Nếu 𝑛 = 𝑎𝑏 thì √𝑛 sấp sỉ (𝑎+𝑏)2 và phép tích xấp sỉ này chính

xác nhất khi a gần bằng b vì √𝑛 = √𝑎𝑏 ≤ (𝑎+𝑏2 ) Trong thực tế nếu 𝑥1 là

một giá trị sấp sỉ của √𝑛 thì 𝑥2 = [𝑥1+(

𝑛 𝑥1)]

2 là số gần vớ i √𝑛 hơn

𝑥1…Phương pháp của Newton dựa trên ý tưởng này

Ví dụ 2.1.3 Đối với bốn số dương bất kỳ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 với 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑑, ta

có

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ≤ 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑

Hình 2.4

Bất đẳng thức cũng đúng nếu 𝑎 ≥ 𝑏 và 𝑐 ≥ 𝑑 Đẳng thức xảy ra khi

𝑎 = 𝑏 hoặc 𝑐 = 𝑑 Nếu 𝑎 = 𝑐 = √𝑥 và 𝑏 = 𝑑 = √𝑦 thì chúng ta có thêm

bằng chứng khác về bất đẳng thức AM- GM Nếu đặt 𝑐 = 𝑎2 và 𝑑 = 𝑏2

thì ta có 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 ≤ 𝑎3+ 𝑏3 Bất đẳng thức này cho ta hình ảnh không

gian ba chiều của mô ̣t hình lập phương Trong hình 2.5 chúng ta nhận

27

thấy rằng 𝑎 ≤ 𝑏 dẫn đến 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 ≤ 𝑎3 + 𝑏3 Từ đó ta có thể mở rộng ý tưởng trong hình 2.4 bằng việc sử dụng thể tích của hình hộp

Hình 2.5

2.2 Bất đẳng thức Chebyshev

Kết quả của ví dụ 2.1.3 được sử dụng để thiết lập bất đẳng thức

Chebyshev (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894):

Định lý 2.2 Cho 𝑛 ≥ 2 và 0 < 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛, khi đo ́

(i) Nếu 0 < 𝑦1 ≤ 𝑦2 ≤ ⋯ ≤ 𝑦𝑛, thi ̀ ∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖∑𝑛𝑖=1𝑦𝑖 ≤ 𝑛 ∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖 (2.2𝑎)

(ii) Nếu 𝑦1 ≥ 𝑦2 ≥ ⋯ ≥ 𝑦𝑛 > 0, thì ∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖∑𝑛𝑖=1𝑦𝑖 ≥ 𝑛 ∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖(2.2𝑏)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 hoặc 𝑦1 = 𝑦2 = ⋯ = 𝑦𝑛.

Chứng minh.

+ TH (𝑖), sử dụng kết quả trong ví dụ 2.1.3 với 𝑎 = 𝑥𝑖, 𝑏 = 𝑥𝑗, 𝑐 =

𝑦𝑖, 𝑑 = 𝑦𝑗 ta được 𝑥𝑖𝑦𝑗 + 𝑥𝑗𝑦𝑖 ≤ 𝑥𝑖𝑦𝑖 + 𝑥𝑗𝑦𝑗..Khi đó như minh họa trong hình 2.6, mỗi cặp hình chữ nhật có phần che khuất có diê ̣n tích nhỏ hơn hoă ̣c bằng diê ̣n tích của mô ̣t că ̣p hình chữ nhâ ̣t có tổng diê ̣n tích

𝑥𝑖𝑦𝑖 + 𝑥𝑗𝑦𝑗 và do đó

(𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛)(𝑦1+ 𝑦2+ ⋯ + 𝑦𝑛) ≤ 𝑛(𝑥1𝑦1+ 𝑥2𝑦2+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑦𝑛)

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛

Bài toán 2.2.1 Bất đẳng thức Nesbitt [11]

Một chủ đề trong các cuô ̣c thi toán đã đưa ra bài toán: Nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là

các số dương thì

Chứng minh

Áp dụng (2.2𝑐) cho ba số 𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑐 + 𝑎:

Vậy bất đẳng thức Nesbitt đã được chứng minh

Bài toán 2.2.2 Bất đẳng thức Voicu [15]

Cho 𝛼, 𝛽, 𝛾 biểu thi ̣ các góc được ta ̣o bởi đường chéo với các ca ̣nh gồm chiều dài, rô ̣ng và chiều cao của hình hô ̣p chữ nhâ ̣t như minh ho ̣a trong hình 2.7 Chứng minh rằng

tan 𝛼 tan 𝛽 tan 𝛾 ≥ 2√2

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu hình hộp là một hình lập phương

Hi ̀nh 2.7

Chứng minh

Biến đổi vế trái, ta có

𝑉𝑇 = tan 𝛼 tan 𝛽 tan 𝛾 =√𝑏

𝑎 √2𝑎𝑐

𝑏 √2𝑎𝑏

𝑐 = 2√2𝑎𝑏𝑐

𝑎𝑏𝑐 = 2√2

Đẳng thức xảy ra khi 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 suy ra

tan 𝛼 = tan 𝛽 = tan 𝛾 = √2

Hay hình hộp chữ nhật đã cho là hình lập phương Vậy bất đẳng thức

Voicu đã được chứng minh

- Từ hình 2.7, ta cũng có

Suy ra tan 𝛼 = tan 𝛽 = tan 𝛾 = √2 Nghĩa là hình hô ̣p đã cho ở trên là

hình lâ ̣p phương

2.3 Các bất đẳng thức AM-GM cho ba số

Thiết lâ ̣p bất đẳng thức AM- GM √𝑥𝑦𝑧 3 ≤ 𝑥+𝑦+𝑧

3 cho các số dương

𝑥, 𝑦, 𝑧 Khi đó đặt 𝑥 = 𝑎3, 𝑦 = 𝑏3, 𝑧 = 𝑐3, ta có bất đẳng thức trên tương

đương với bất đẳng thức 3𝑎𝑏𝑐 ≤ 𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 và từ hình 2.8

ta thấy diện tích 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 của ba hình chữ nhật bên trái nhỏ hơn hoặc bằng diện tích 𝑎2+ 𝑏2 + 𝑐2 của ba hình vuông bên phải và chúng trùng khít lên nhau khi ba kích thước 𝑎, 𝑏, 𝑐 đôi một bằng nhau (□)

Ngoài ra bất đẳng thức ở Bổ đề 2.3.a cũng có thể được chứng minh

bằng việc áp dụng bất đẳng thức AM- GM cho các cặp số: 𝑎2 và 𝑏2; 𝑏2 và

𝑐2; 𝑐2 và 𝑎2

Bài toán 2.3.1 Bất đẳng thức của Guba [6]

Cho a, b, c biểu thị chiều dài, chiều rô ̣ng, chiều cao của mô ̣t hình

hô ̣p chữ nhâ ̣t khi đó go ̣i 𝐾1 = 𝑎𝑏, 𝐾2 = 𝑏𝑐, 𝐾3 = 𝑎𝑐 là diê ̣n tích các mă ̣t bên, 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 là thể tích và 𝑑 = √𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 là đường chéo của khối

hô ̣p Khi đó bất đẳng thức Guba chỉ ra rằng

Và do đó

((𝐾12+ 𝐾22+ 𝐾32)2 ≥ 3(𝐾12𝐾22+ 𝐾22𝐾32+ 𝐾32𝐾12)

= 3𝑎2𝑏2𝑐2(𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2) = 3𝑉2𝑑2 Hay 𝐾12+ 𝐾22+ 𝐾32 ≥ √3𝑉𝑑 Đẳng thức xảy ra khi 𝑎 = 𝑏 = 𝑐

Vâ ̣y bất đẳng thức Guba đã được chứng minh

Định lý 2.3.b Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0, 3𝑎𝑏𝑐 ≤ 𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3

Hình 2.9

Chứng minh [2] Trong hình 2.9 riêng các hình chữ nhâ ̣t màu trắng

ở bên trái có diện tích khác với diện tích các hình chữ nhật màu trắng ở

bên phải Còn các hình chữ nhật còn lại ở cả hai hình được tô màu giống

nhau và kẻ đường chéo giống nhau thì có diê ̣n tích giống nhau, theo bổ đề

2.3.𝑎 ta có chiều cao của hình chữ nhâ ̣t bên trái nhỏ hơn hoă ̣c bằng chiều

cao củ a hình chữ nhâ ̣t bên phải và ba hình chữ nhâ ̣t màu trắng ở bên trái

có diê ̣n tích là 3𝑎𝑏𝑐 nhỏ hơn hoă ̣c bằng diê ̣n tích 𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3của ba

hình chữ nhâ ̣t màu trắng ở bên phải và hai hình chữ nhật trùng khít lên

nhau khi và chỉ khi ba kích thước 𝑎, 𝑏, 𝑐 đôi một bằng nhau Vậy định lý

2.3 𝑏 đã được chứng minh

Từ đó ta có bất đẳng thức AM-GM cho ba số không

âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 tương đương với bất đẳng thức trong định lí 2.3.𝑏 Ngoài ra ta

là 𝑎, 𝑏, 𝑐 và chiều cao của ba chóp theo thứ tự đó cũng là 𝑎, 𝑏, 𝑐 Ba hình chóp nói trên được lắp vào một hình lập phương cạnh bằng a (minh ho ̣a hình 2.10) Do đó

≤(𝑠 − 𝑎) + (𝑠 − 𝑏) + (𝑠 − 𝑐)

𝑠

3

Hay (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) ≤ 𝑠3/27 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài toán 2.3.3 Tìm chiều cao và thể tích của hình trụ nội tiếp được trong

một hình nón co ́ bán kính đáy 𝑅 và chiều cao 𝐻

Lời giải

Go ̣i 𝑟 và ℎ biểu thi ̣ tương ứng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ Nếu ta gắn hình nón vào mă ̣t phẳng to ̣a đô ̣ sao cho tâm của mă ̣t đáy

trùng với gốc to ̣a đô ̣, chiều cao của nón nằm trên tru ̣c (𝑜𝑦) và bán kính

của nón nằm trên tru ̣c (𝑜𝑥), khi đó điểm (𝑟, ℎ) nằm trên đường thẳng 𝑥𝑅+