Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông_unprotected

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp với đề tài “Các phương pháp và dạ

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

NGUYỄN VĂN KHÁI – C00447

CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ DẠNG TOÁN CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ Ở PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ĐÌNH NAM

Hà Nội – Năm 2016

MỤC LỤC

Trang phụ bìa 01

Mục lục 02

Lời cam đoan 04

Tóm tắt luận văn 05

Mở đầu 06

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ DÃY SỐ 1.1 DÃY SỐ 08

1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 08

1.3 DÃY TUẦN HOÀN 08

1.4 DÃY CON 09

1.5 MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT 09

1.5.1 Cấp số cộng 09

1.5.2 Cấp số nhân 09

1.5.3 Dãy Fibonacci 10

1.5.4 Dãy Lucas 11

Chương 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 12

2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ 13

2.2.1 Xét sự hội tụ của dãy số 13

2.2.2 Tìm giới hạn của dãy số 22

2.3 BÀI TẬP 26

2.4 HƯỚNG DẪN GIẢI 27

Chương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 3.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 31

3.1.1 Sai phân 31

3

3.1.2 Phương trình sai phân 33

3.1.3 Bài tập 37

3.1.4 Hướng dẫn giải 37

3.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 40

3.2.1 Hàm sinh và số hạng tổng quát của dãy số 40

3.2.2 Bài tập 46

3.2.3 Hướng dẫn giải 46

3.3 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC VÀ QUY NẠP 49

3.3.1 Nội dung phương pháp 49

3.3.2 Bài tập 53

3.3.3 Hướng dẫn giải 54

3.4 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA HỆ THỨC TRUY HỒI 56

3.4.1 Quy trình tuyến tính hóa một hệ thức truy hồi không tuyến tính 56

3.4.2 Bài tập 62

3.4.3 Hướng dẫn giải 63

Chương 4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 4.1 CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ DÃY SỐ NGUYÊN 65

4.2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT 76

4.3 DÃY SỐ CHÍNH PHƯƠNG 80

4.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN 86

4.5 DÃY SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ 89

4.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ FIBONACCI 92

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 98

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS

Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp

với đề tài “Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông”

là công trình nghiên cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu

tại trường Đại học Thăng Long

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và

phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Khái

5

TÓM TẮT LUẬN VĂN PHẦN 1 Mở đầu

PHẦN 2 Nội dung

Phần này gồm bốn chương

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ DÃY SỐ

1.1 DÃY SỐ

1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

1.3 DÃY TUẦN HOÀN

3.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

3.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH

3.3 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC VÀ QUY NẠP

3.4 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA HỆ THỨC TRUY HỒI

Chương 4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC

4.1 CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ DÃY SỐ NGUYÊN

4.2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT

MỞ ĐẦU

Dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học nó cũng

là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng, các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó Vì thế, dãy số thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng tư duy của học sinh

Hơn nữa cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số Tuy nhiên nó chưa được hệ thống đầy đủ theo dạng toán cũng như phương pháp giải tương ứng trong

chương trình toán phổ thông Vì lí do trên tôi đi thực hiện đề tài "Các phương

pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông" chủ yếu để bồi dưỡng học

sinh giỏi Toán và nhằm tìm hiểu sâu hơn về các nội dung liên quan đến dãy

số

Luận văn gồm bốn chương:

Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản như khái niệm dãy số, dãy

số tăng, dãy số giảm, dãy số tuần hoàn, dãy con, và một số dãy số đặc biệt đồng thời cũng trình bày mối liên hệ cơ bản giữa các dãy đặc biệt

Chương 2: Trình bày các vấn đề về giới hạn dãy số đồng thời cũng

phân loại một số dạng toán thường gặp về giới hạn dãy số như xét sự hội tụ của dãy số, tìm giới hạn của các dãy cho bởi dạng phân thức, vô tỉ, dùng định

lí giới hạn kẹp giữa, dãy con để khảo sát sự hội tụ của dãy số

Chương 3: Trình bày một số phương pháp xác định số hạng tổng quát

của dãy số như phương pháp sai phân, phương pháp hàm sinh, phương pháp lượng giác và quy nạp, phương pháp tuyến tính hóa hệ thức truy hồi

7

Chương 4: Trình bày một số dạng toán hay liên quan tới dãy số nguyên

như chứng minh một dãy là dãy số nguyên, bài toán chia hết, dãy số chính phương, các bài toán về phần nguyên, dãy số và số nguyên tố cũng như một

số bài toán về dãy số Fibonacci

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Đình Nam, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội là người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán Trường Đại Học Thăng Long, phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3 khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long cũng như các đồng nghiệp nơi tôi công tác đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

và thực hiện luận văn này

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng song do thời gian có hạn và trình

độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn !

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Khái

Ký hiệu:  u n n0 hoặc đơn giản là  u n

Định nghĩa 1.1.2 Số hạng tổng quát của dãy số  u n là biểu thức f n của  biến duy nhất n sao cho u n  f n( ), với mọi số tự nhiên n

1.2 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu u n u n1, với mọi n

Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu u n u n1, với mọi n

Dãy số tăng hay dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

1.3 DÃY TUẦN HOÀN

1.3.1 Dãy tuần hoàn cộng tính

Dãy  u n được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi tồn tại số l

nguyên dương sao cho u l n u n, với mọi số tự nhiên n.

Số l nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy  u n

Đặc biệt:  u n tuần hoàn cộng tính, chu kì l 1 là dãy hằng

9

1.3.2 Dãy tuần hoàn nhân tính

Dãy  u n được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi tồn tại số l

l 1 nguyên dương sao cho u l n. u n, với mọi số tự nhiên n.

Số l nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy

Định nghĩa 1.5.1.1 Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng

thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi d

Tính chất 1.5.1.2 Cho  u n là cấp số cộng có số hạng đầu u1, công sai d, ta có

Định nghĩa 1.5.2.1 Dãy được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng

thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó nhân với số không đổi

q

Tính chất 1.5.2.2 Cho dãy số  u n là cấp số nhân có số hạng đầu u1,công bội

là ,q ta có:

a) Công thức số hạng tổng quát: u n u q1 n1,  n  *.b) u n21u u n n2 với mọi n thuộc vào *

c) Tổng của n số hạng đầu tiên:

b) Nếu n chia hết cho m thì F n chia hết cho F m

c) Nếu F n chia hết cho F m thì n chia hết cho m với m2

d) F F n, mF d với d m n, 

11

e) Nếu n5 và F n là số nguyên tố thì n là số nguyên tố

f) Dãy Fibonacci  F chứa tập hợp vô hạn những số đôi một nguyên n

tố cùng nhau

g) F5n 5F q n n với q n không chia hết cho 5

h) F n5k n k i) F n có tận cùng là 0 khi và chỉ khi n15

k) F n có tận cùng là hai chữ số 0 khi và chỉ khi n150

Chương 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa 2.1.1 Ta nói dãy số  u n có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi  0,

nhỏ tùy ý, đều tồn tại số tự nhiên N0 sao cho với mọi n N0 ta đều có

Tính chất 2.1.2 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất

Tính chất 2.1.3 (Phép toán các dãy hội tụ) Nếu    u n , v là các dãy hội tụ n

và có giới hạn tương ứng là a b, thì các dãy số u n v n, u n v n, u v n ,n n

n

u v

hợp dãy số thương, ta giả sử v n 0 và b0)

Định nghĩa 2.1.4 Ta nói dãy số  u n dần đến dương vô cực nếu với mọi số

thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số u n và

M ) sao cho với mọi n  N0, ta có u n M

limu n    M 0, N0:  n N0 ta có u n M

Tương tự

limu n     P 0, N0:  n N0 ta có u n P

13

Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ Dãy số không có giới hạn hữu hạn hoặc dần đến vô cực ( hoặc ) gọi là dãy phân kì

Tính chất 2.1.5 (Tính chất của dãy số có giới hạn vô cực)

i) Nếu lim u n   thì lim 1 0

n

ii) Nếu limu n  , limv n   thì limu v n n  

iii) Nếu limu n  , limv n  L 0 thì limu v n n  

Nếu limu n  L 0, limv n 0 và  v n có dấu xác định kể từ một số

hạng nào đó trở đi thì lim n

n

u

v  

iv) Nếu limu n  , limv n L thì limu n v n 

Tính chất 2.1.6 Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn

dưới thì hội tụ

Tính chất 2.1.7

i) Nếu dãy  u n tăng và có giới hạn là L thì ta có u n  Lvới mọi n

ii) Nếu dãy  u n giảm và có giới hạn là L thì ta có u n  Lvới mọi n

Tính chất 2.1.8 Nếu dãy  u n hội tụ về a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ

về a.

Hệ quả 2.1.9 Để  u n hội tụ đến a điều kiện cần và đủ là hai dãy con  u 2n

và u2n1 cùng hội tụ về a.

2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

2.2.1 Xét sự hội tụ của dãy số

2.2.1.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để xét sự hội tụ của dãy số

a) Chứng minh rằng dãy số bị chặn trên

b) Chứng minh rằng dãy số tăng

Chứng minh Ta dự đoán dãy số bị chặn trên bởi số thích hợp nhất Xuất phát

từ yêu cầu thứ hai, từ giả thiết ta có:

1

01

15

1

1 1

2

11

1

11

11

n

n n

n n

u

n u





     do đó dãy số đã cho là dãy số tăng

Ta đi chứng minh dãy số này bị chặn

Ta có u n e, *

n

  do đó dãy số bị chặn

Vậy dãy số đã cho hội tụ

2.2.1.2 Dùng dãy con để khảo sát sự hội tụ của dãy số

Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thường sử dụng các định lý về tính đơn điệu và bị chặn Tuy nhiên có những dãy số phức tạp, tăng giảm bất

thường, trong trường hợp như thể ta thường xây dựng các dãy số phụ đơn

điệu, chứng minh các dãy số phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban

đầu có cùng giới hạn, các dãy số phụ phải được xây dựng từ dãy số chính

Ta đã biết: Nếu limu2n limu2n1 a thì limu n a

Một cách tổng quát ta có

Cho số nguyên m2 nếu limu mn i a,  i 0,1, 2, ,m1 thì limu n a.

Ví dụ 1 Dãy số (u n) được xác định bởi công thức:

Chứng minh Xét dãy số  a được xác định bởi n a0 1, 1 2

3

n n

a

a  

Ta thấy  a giảm dần về 0 n

Ta chứng tỏ maxu2n,u2n1a n,n (*) Thật vậy, (*) đúng với n0 và n1

Giả sử (*) đúng với n và do  a là dãy giảm nên n

5u n u n 2u n 3a n u n a n

và 5u2n2 u2n12u2n2 a n 2a n13a n u2n3a n1

17

Nhƣ vậy (*) đúng với n1 hay (*) đúng n0,1,2,3,

Dễ thấy u n  0, n và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limu2n limu2n1 0 suy ra limu n 0

Nhận xét: Việc đƣa vào dãy phụ  a có tác dụng chặn cả hai dãy con n  u 2n

Dễ thấy dãy số  a giảm dần về n 0

Ta chứng tỏ maxu3n,u3n1,u3n2a n, với mọi số tự nhiên n (*) Thật vậy, (*) đúng với n0,1, 2,

Giả sử (1) đúng với n và do  a là dãy giảm nên ta có: n

Nhƣ vậy, (*) đúng với n1, theo nguyên lý quy nạp, (*) đƣợc chứng minh

Dễ thấy u n 0 Từ đó theo nguyên lý kẹp giữa ta có

3limu n i 0, i0,1,2 do đó limu n 0

Từ các cách chọn dãy số phụ như trên ta có các dãy số sau đều hội tụ về 0 với u u u u0, ,1 2, 3 đều thuộc  0;1

Từ đó, dẫn đến limu3n limu3n1limu3n2 2 suy ra limu n 2

Ví dụ 4 Cho dãy (u n) được xác định như sau:

u0, u1, u2 là các số dương cho trước

u   u   u  u  với mọi n Chứng minh rằng dãy  u n hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Chứng minh

Ta xây dựng hai dãy  a và n  b như sau: n

Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng với mọi số tự nhiên n

Từ đó theo định lý kẹp ta có limu3n limu3n1 limu3n2 lima n limb n 9.Nên limu n 9

Dưới đây là một số bài toán tìm giới hạn dãy số dạng u n1 f u( n) (dãy

số xác định như vậy gọi là cho dưới dạng lặp) Đây là dạng toán thường gặp nhất trong các bài toán về tìm giới hạn dãy số, dãy số hoàn toàn được xác

định khi biết f và giá trị ban đầu u0 Do vậy sự hội tụ của dãy số phụ thuộc vào tính chất của f u n và u0 Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a là nghiệm của phương trình

 

u f u

Ví dụ 5 Cho dãy số  u n được xác định như sau:

với *

n Thật vậy, giả sử có u2n1 u2n1 thì f u 2n1 f u 2n1 nên u2n u2n2 vì vậy

 2n  2n 2

f u  f u  suy ra u2n1u2n3

Tương tự, giả sử có u2n u2n2 thì f u 2n  f u 2n2 suy ra u2n1u2n3 vì vậy f u 2n1 f u 2n3 suy ra u2n2 u2n4

Vậy dãy u2n1 là dãy tăng và dãy  u 2n là dãy giảm và đều thuộc  0;1 nên

có giới hạn hữu hạn: limu2n a, limf u 2n1b

Và a  limu2n2 lim (f u2n1)lim ( (f f u2n)) f f a( ( ))

Nên

1 27127

a

Tương tự ta cũng tìm được 1

3

b

f x    xác định trên  Với mỗi n, ta có u n4  f u n2 f f u  n  hay u n4 g u n , trong đó

g  nên từ (2) ta đƣợc a k 1 với mọi k1;2;3;4  Từ đây, vì dãy  u n

là hợp của bốn dãy con u 4n k  nên dãy  u n hội tụ và limu n 1

Ví dụ 7 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước thì phương

trình x2n1 x 1 có đúng một nghiệm thực Gọi nghiệm đó là x n Tính

f     nên phương trình này có nghiệm x n

thuộc  1,2 Theo lý luận trên, nghiệm này là duy nhất

Xét   2 3

1

n n

1x n x n Dãy  x giảm và bị chặn dưới bởi n 1, suy ra dãy  x có giới n

hạn hữu hạn a, hơn nữa a1 Ta chứng minh a1.

Thật vậy, giả sử a1 Khi đó x n a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: x n2n1a2n13 Trong khi đó ta có x n    1 x1 1 3

Mâu thuẫn vì f n x n 0

2.2.2 Tìm giới hạn của dãy số

2.2.2.1 Giới hạn của dãy số ( ),

( )



n

P n u

Q n với P n  , Q n là các đa thức  

Ví dụ 1 Tìm giới hạn dãy số

n n

n

   

2

20111

Dãy  u n giảm có giới hạn dưới là 3 nên dãy hội tụ

Vậy  u n có giới hạn hữu hạn

1 !

k u

Ta đi chứng minh (*) có nghiệm duy nhất

n n

31

Chương 3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

3.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

3.1.1 Sai phân Cho dãy số  u n0 trên trường số K Khi đó tương ứng có

2) Sai phân mọi cấp của dãy số là một toán tử tuyến tính

3) Sai phân mọi cấp của hằng số đều bằng 0

4) Sai phân cấp k của một đa thức bậc m là một đa thức bậc m k nếu

Ví dụ 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1, 3, 9, 19, 33,

Ta thấy 2

n u

3

n u

Ta thấy 3

n u

 là hằng số nên đặt u n an3 bn2 cnd, cho n0,1,2,3 ta có

hệ phương trình:

3.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 3.1.2.1 Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính

chứa sai phân cấp k

Hàm số u n biến n thỏa mãn (2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2)

Phương pháp giải 3.1.2.2 Phương trình a u0 n k a u1 n k 1  a u k n  f n  

được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k

 Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

+ Nếu (*) có k nghiệm thực khác nhau là  1, 2, ,k thì nghiệm tổng quát là



1 1n 2 2n n

u c c  c  (1) Trong đó c c c1, , , ,2 3 c k là các hằng số tùy ý

+ Nếu trong (*) có nghiệm thực j bội s thì nghiệm tổng quát là

+ u n là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k

+ un là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

+ *

n

u là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Ví dụ 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Lời giải Ta giải phương trình sai phân: u n12u n n (*)

Đây là phương trình sai phân không thuần nhất bậc nhất Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng là: u n12u n 0

Ta giải phương trình đặc trưng:  2 0   2 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: u n c.2 n

Ta đi tìm nghiệm riêng, *

2

n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy: u n 2n 3 n

2) Ta có u n2 4u n15u n 20 (1) không là phương trình sai phân thuần nhất Đặt u n  v n c Khi đó:

Do f n 1 nên ta chọn nghiệm riêng u n Bn3.

Thay vào phương trình đã cho rồi so sánh các hệ số ta suy ra được: 1

1.6

    2 

2

n n

11

3.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH

3.2.1 Hàm sinh và số hạng tổng quát của dãy số

Định nghĩa 3.2.1.1 Cho dãy số: u u0, , ,1 u n, Chuỗi lũy thừa hình thức:

Cf x là hàm sinh của dãy Cu n n 0 với mọi hằng số thực C

b) (Quy tắc cộng) Nếu f x , g x lần lượt là hàm sinh của dãy    u n n0,0

( )v n n thì q x  f x   g x là hàm sinh của dãy (w n n) 0 với w n u n v n,

d) (Quy tắc lấy đạo hàm) Nếu f x là hàm sinh của dãy    u n n0 thì đạo hàm

của f x theo biến   x: df x 

dx là hàm sinh của dãy ( )v n n0 với