Các định lý kiểu Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng_unprotected

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THĂNG LONGTRẦN THÚY QUỲNH - C00281 CÁC ĐỊNH LÝ KIỂU MASON ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyê

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THĂNG LONG

TRẦN THÚY QUỲNH - C00281

CÁC ĐỊNH LÝ KIỂU MASON ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ

KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60460113

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ HOÀI AN

Hà Nội - Năm 2016

Trang 3

Mục lục

3 Định lý Mason đối với n đa thức trên trường đóng đại số,

Footer Page 3 of 166.

Trang 4

3.1 Định lý Mason đối với n đa thức trên trường đóng đại số,đặc số không 253.2 Sự tương tự giữa Định lý Mason với hàm số biến số thực và

số nguyên 33

Trang 5

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơcấp với đề tài "Các định lý kiểu Mason đối với đa thức trên trườngđóng đại số, đặc số không và ứng dụng" là của tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn của TS Vũ Hoài An Mọi tham khảo dùng trong luận văn đềuđược trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm côngbố

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với luận văn của mình

Tác giả

Trần Thúy Quỳnh

Trang 6

Lời cảm ơn

Sau thời gian nghiên cứu, được sự động viên, giúp đỡ và hướngdẫn nhiệt tình của TS Vũ Hoài An, luận văn "Các Định lý kiểuMason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không vàứng dụng" của tôi đã được hoàn thành

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Ts.Vũ Hoài

An - người thầy đã tận tình chỉ dẫn, tạo điều kiện để tôi có thêmkiến thức, tổng hợp tài liệu hoàn thành luận văn Đồng thời, tôicũng xin trân trọng cảm ơn các nhà Toán học, các thầy cô trườngĐại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trongquá trình học tập tại trường cũng như thời gian hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin dành những lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè vàcác thành viên trong lớp cao học Toán K3 (Hải Phòng) đã quantâm, tạo điều kiện, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiệnluận văn

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Tác giảTrần Thúy Quỳnh

Trang 8

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong [2], Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán Cơ sở

lý thuyết & Tính toán thực hành, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội,

2003 đã đề cập đến Định lý Mason đối với đa thức trên trường số phức và

sự tương tự của nó với số nguyên:

Định lý A Giả sử a(t), b(t), c(t) là các đa thức với hệ số phức, nguyên

tố cùng nhau từng cặp, không phải tất cả là hằng và thỏa mãn hệ thức

a(t) + b(t) = c(t) Khi đó, nếu kí hiệu qua n0(f ) số nghiệm phân biệt củamột đa thức f, thì ta có

max {deg a, deg b, deg c} ≤ n0(abc) − 1.Trong [2], Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển cũng đề cập đến Định lýDavenport sau đây đối với đa thức trên trường số phức:

Định lý Davenport Giả sửf, g là các đa thức trên C sao chof3 6= g2, f3

và g2 không có không điểm chung Khi đó

1

2 deg f ≤ deg(f

3 − g2) − 1

Định lý Davenport chưa được chứng minh trong [2]

Trong [6],Bayat và Teimoori đã tổng quát định lý Mason cho bốn đa thức.Trong [4], Pinter đã dùng định lý Mason để nghiên cứu không điểm củatổng đa thức

Trong [5], H.N.Shapiro and G.H.Sparer đã mở rộng Định lý A như sau:Định lý B Cho n ≥ 3 và f1, , fn là các đa thức với hệ số phức, nguyên

tố cùng nhau từng cặp, không phải tất cả là hằng sao chof1+ + fn = 0.Khi đó

Trang 9

1≤m≤ndegfm ≤ (n − 2)(n0(f1 fn) − 1).Phương pháp chứng minh Định lý B là thiết lập mối quan hệ giữa các bậccủa các fi, i = 1, n và Wronskian của f1; f2; ; fn Mặt khác, các định lýkiểu Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không sẽ cóứng dụng trong toán học phổ thông Theo hướng nghiên cứu này, chúngtôi xem xét vấn đề:

Các định lý kiểu Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số,

đặc số không và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu2.1 Tổng hợp, trình bày các Định lý kiểu Mason đối với đa thức trêntrường đóng đại số, đặc số không

2.2 Đưa ra các ví dụ trong toán học phổ thông thể hiện sự tương tự củacác định lý kiểu Mason đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc sốkhông với hàm số thực và số nguyên

3 Kết quả nghiên cứu3.1 Tổng hợp và trình bày Định lý Mason đối với ba đa thức trên trườngđóng đại số, đặc số không (Định lý 1.21) với hai cách chứng minh:

- Cách thứ nhất: Dùng hai định lý chính của hàm hữu tỷ trên trường đóngđại số, đặc số không

- Cách thứ hai: Thiết lập hàm phụ gồm các đa thức và đạo hàm của nó,qua đó thiết lập mối liên hệ giữa không điểm của đa thức và bậc của nó.3.2 Trình bày Định lý Mason đối với bốn đa thức [6], và không điểm củatổng đa thức [4] ở chương 2 Kết quả chính của chương 2 là Định lý 2.1,Định lý 2.4 và Định lý 2.5

3.3 Trình bày Định lý Mason cho n đa thức Kết quả là Định lý 3.1, Định

lý 3.5 Từ Định lý 3.5 suy ra Định lý Davenport

3.4 Trình bày 10 ví dụ về sự tương tự giữa Định lý Mason đối với đa thứctrên trường đóng đại số, đặc số không với số nguyên

Trang 10

4 Bố cục của luận vănChương 1 Định lý Mason đối với ba đa thức trên trường đóng đại số, đặc

2.2 Không điểm của tổng đa thức

Chương 3 Định lý Mason đối với n đa thức trên trường đóng đại số, đặc

số không

3.1 Định lý Mason đối với n đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không3.2 Sự tương tự giữa Định lý Mason với hàm số biến số thực và số nguyên

Trang 11

Trường số phức C là trường đóng đại số.

Trường số thực Q không phải là trường đóng đại số vì đa thứcQ(x) = x2+1

không có nghiệm thực mặc dù các hệ số của đa thức đều là số thực.Khái niệm đặc số của trường: Cho trường K với đơn vị là 1, nếu đẳng thức

Trang 12

n1 = 0 xảy ra với một số nguyên dương n thì số nhỏ nhất trong các số đógọi là đặc số của trường K Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậythì ta nói đặc số của trường K bằng 0.

Trường số thực Q có đặc số 0

Trường thặng dư modul nguyên tố p có đặc số p

Từ đây, ta kí hiệu K là trường đóng đại số, đặc số không

Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f.Khi đó ta có

f = (z − a)mp(z)với p(a) 6= 0 Gọi m là bội của không điểm a của f Giả sử d ∈ K và l là

số nguyên dương, kí hiệu:

n(f ) là số các không điểm của f tính cả bội;

n(f, d) = n(f − d);

nl(f ) =

qPi=1

Trang 13

Ta có các không điểm của f là 1; 4; 5; 9

và (g1, g2, , gn+1) là tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K∗

sao cho gi = cfi với mọi i = 1, n + 1

Kí hiệu ef = (f1 : : fn+1) là một biểu diễn của f Khi đó:

f :K →Pn(K)

z 7→ f (z) = (fe 1(z) : : fn+1(z))

Giả sử f và g là hai đường cong hữu tỷ từ K vào Pn(K) với hai biểudiễn ef = (f1 : : fn+1) và g = (ge 1 : : gn+1) tương ứng Ta nói f đồngnhất g và viết f ≡ g khi tồn tại c ∈ K∗ sao cho fi = cgi, ∀i = 1, n + 1

Trang 14

Định nghĩa 1.6 Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn(K) với biểudiễn ef = (f1 : f2 : : fn+1) được xác định bởi:

T (f ) = max

1≤i≤n+1deg fivới deg fi là bậc của đa thức fi(i = 1; n + 1)

Nhận xét 1.7 Độ cao của đường cong hữu tỷ f được xác định duy nhất.Thật vậy, nếu f là đường cong hữu tỷ với ef = (f1 : : fn+1) và

e

g = (g1 : : gn+1) là hai biểu diễn củaf thì fi = cgi,c ∈ K∗, i = 1, n + 1.Khi đó:

deg fi = deg gi, i = 1, n + 1.và

max

1≤i≤n+1deg fi = max

1≤i≤n+1deg gi

Tức là T (f ) được xác định duy nhất

Giả sử X=(a1 : a2) thuộc P1(K) và f là đường cong hữu tỷ từ K vào P1(K)

với biểu diễn ef = (f1 : f2) sao cho ảnh của f không chứa trong X Đặt

F = a1f1 + a2f2; n(f, X) = n(F );

T (f, X) = n(f, X) + m(f, X);

m(f, X) = max

1≤i≤2(degfi − degF )

Giả thiết tính đóng đại số của trường K là cần thiết để định nghĩa độ caocủa đường cong hữu tỷ K vào Pn(K)

Thật vậy, xét trường số thực R và các đa thức:

f1 = x8, f2 = x8 + 1, , fn+1 = x8 + n;

g1 = x8(x8 + n), g2 = (x8 + 1)(x8 + n), , gn+1 = (x8 + n)2.Xét hai đường cong hữu tỷ f và g từ R vào Pn(R) được xác định bởi haibiểu diễn sau đây:

e

f = (f: : fn+1);eg = (g1 : : gn+1)

Trang 15

8 + x6 + x4 + x2 + 1)(x14+ 1)(x12+ 1)(x14 + 1)

Ta có f (x) = g(x), T (f ) = 12, T (g) = 26

Ta có T (f ) < T (g) mặc dù f (x) = g(x) Điều mâu thuẫn này xuất phát

từ R không phải là trường đóng đại số

Trang 16

Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là mộtđiểm nào của Pn(K).

Xét đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn(K) với biểu diễn rút gọn

Đa thức P (x) có vô số nghiệm nên a1 = a2 = = an+1 = 0

Vậy f không suy biến tuyến tính

Ví dụ 1.11 Xét đường cong hữu tỷ f từ K vào P1(K) với biểu diễn rútgọn là ef = (x : x + 1) Ta có f khác hằng

Ví dụ 1.12 Xét đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn(K) với biểu diễn rútgọn là ef = (1 : 2 : : n + 1) Ta có f là hằng

Bổ đề 1.13 Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P1(K)

với biểu diễn là ef (z) = (f1 : f2) Khi đó Wronskian

W = W (f1; f2) =

f1 f2

f10 f20

g(α) h(α) k(α)

g0(α) h0(α) k0(α)

g00(α) h00(α) k00(α)

= g(α).h(α).k(α)

... data-page="21">

1.2 Định lý Mason ba đa thức trường đóng đại< /p>

Định lý 1.21 (Định lý Mason cho ba đa thức) Giả sử a(t), b(t), c(t) l? ?các đa thức với hệ số phức, nguyên tố cặp, tất

cả thỏa mãn hệ thức. .. data-page="24">

Phương pháp chứng minh [4] sử dụng Định lý Mason cho ba đathức dùng đạo hàm.

2.1 Định lý Mason bốn đa thức trường đóng đại

số, đặc số không

Trước tiên cần vài kiến thức chuẩn... 1)

Định lý sau hệ trực tiếp Định lý đại số

Định lý 1.18 (Định lý thứ nhất) Cho f đa thức khơng đồng nhấtkhơng K Khi

T (f ) = n(f ) .Định lý 1.19 (Định lý thứ hai hàm

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	605,24 KB