Bài toán Sylvester và bài toán fermat - Torricelli cho các hình cầu Euclid

Dưới vi phân hàm max...23 Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID 2.1... Lý do chọn đề tài Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp

-

HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN

FERMAT – TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016

-

HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT– TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ : 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

Hà Nội – Năm 2016

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới

PGS.TS ĐỗVăn Lưu – Người Thầy đã luôn giúp đỡ và hướng dẫn em trong

suốt học tập và làm luận văn này

Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội Em xin cảm ơn tới các Giáo sư, Tiến sỹ và các Thầy, cô giáo trong bộ môn Toán đã giảng dạy cho em những kiến thức cơ bản, nền tảng quý báu trong thời gian học cao học

Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi

để em hoàn thành khóa luận này

Cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, đã luôn thân thiện và nhiệt tình

giúp đỡ tôi trong thời gian học tập vừa qua

Tôi cảm ơn những người thân yêu trong gia đình và các bạn bè luôn ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong suốt quá trình học tập và thời gian làm luận văn

Tác giả

Hoàng Thị Thùy Linh

Trang

Mở đầu 1

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI 1.1 Tập lồi và nón lồi 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Nón lồi 4

1.2 Hàm lồi 8

1.2.1 Hàm lồi 8

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi 14

1.3 Dưới vi phân hàm lồi 17

1.4 Dưới vi phân hàm max 23

Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID 2.1 Khái niệm và định nghĩa 25

2.2 Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid 26

2.2.1 Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu 26

2.2.2 Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu 32

2.3 Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid 49

2.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm tối ưu 49

2.3.2 Cấu trúc nghiệm 56

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

4

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi

và ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau về hàm liên hợp, Định

lý Moreau – Rockafellar về dưới vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi các đối tượng đẹp trong tối ưu hóa.Với các bài toán lồi ta có các điều kiện đặc trưng cho nghiệm của bài toán đó dưới ngôn ngữ dưới vi phân của hàm lồi

Trong toán sơ cấp nhiều bài toán được phát biểu với các hàm lồi Với các bài toán cực trị, hàm lồi đóng một vai trò rất quan trọng Cực trị địa phương của hàm lồi trên miền lồi cũng là cực tiểu toàn cục, cực đại của một hàm lồi trên một đa giác lồi đạt tại một trong các đỉnh của đa giác đó Nhiều bài toán sơ cấp hay được phát biểu theo hướng này Bài toán Sylvester cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ hữu hạn các hình cầu Euclid Tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các hình cầu của họ thứ nhất và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai” Bài toán Fermat – Torricelli cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ các hình cầu Euclid Hãy tìm một điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần nhất đến các hình cầu của họ thứ hai” Các bài toán đó được nghiên cứu

bằng công cụ giải tích lồi trong [3] Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID ”

2 Nội dung đề tài

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli của N M Nam, N Hoang và N T An đăng trên tạp chí J Optim Theory Appl 160 (2014) bằng phương pháp giải tích lồi

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: “Các kiến thức cơ bản vê hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi”

Trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và các phép toán về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân của hàm max

Chương 2: “ Bài toán Sylester và bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid”

Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải của Nam – Hoang – An (2014) cho bài toán Sylester với các hình cầu Euclid và bài toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu Euclid Trường hợp quan trọng của bài toán Sylester với ba hình cầu và mối quan hệ với bài toán Apollonius cũng được trình bày trong chương này

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và

các phép toán về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi phân của hàm max Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong [1], [2]

Các nửa không gian là các tập lồi Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

z = 1

2(x + y)  K

Do K là nón có đỉnh tại 0, ta lại có:

x + y = 2z  K b) Ngược lại, với x  K,   > 0 ta có x  K, vậy K là một nón có đỉnh tại

0 Với 0 <  < 1, x, y  K ta có (1 - )x  K, y  K và (1 - )x + y  K Chú ý với  = 0 hoặc 1 ta vẫn có (1 - )x + y  K Vậy K là nón lồi có đỉnh tại 0

Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính

dương của A Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.6

Tương giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm 0 là

Định nghĩa 1.7

Tương giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được

gọi là bao tuyến tính của tập A, ký hiệu là lin A

Nhận xét 1.2

lin A = KA - KA

Mệnh đề 1.7

a) K A = K convA , b) Nếu A là tập lồi thì :

trong đó convA là bao lồi của A

Giả sử X là không gian lồi địa phương, X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Định nghĩa 1.8

Vec tơ x *  X * được gọi là pháp tuyến của tập lồi A tại xA, nếu:

< x * , x - x >  0 ( x A )

N( x |A) = {x *  X * : < x * , x – x > 0,  x A }

Nhận xét 1.3

Nón pháp tuyến của tập lồi A tại xA là lồi đóng

Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính

Tập các vectơ d  X thỏa mãn (1.1) và vec tơ d = 0 được gọi là nón lùi

Định lý 1.3

Giả sử tập A  X lồi, khác  Khi đó, o + A là nón lồi chứa điểm 0 Đồng thời :

Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f, ký hiệu là dom f, được định

nghĩa như sau:

Hàm f được gọi là lồi trên D, nếu epif là tập lồi trong X  R Hàm f được gọi là lõm trên D, nếu –f là hàm lồi trên D

Nhận xét 1.5

Nếu f lồi  dom f lồi

Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epif : dom f = { x : f(x) < +} = {x :  r , (x, r)  epif }

Như vậy, dom f là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính Do đó, dom f lồi

Ví dụ 1.5

Hàm affine f(x) = < x* , x > + ( x*  X* ,   R)

là hàm lồi trên X, trong đó X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Ví dụ 1.6

Giả sử f là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lân trên tập lồi mở A  R n Khi

đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian :

Ví dụ 1.8

Hàm chỉ (indicator function )  ( |A) của tập lồi A  X là hàm lồi:

Chứng minh

a) Giả sử f là hàm lồi Không mất tính tổng quát có thể xem như  (0, 1) Không thể xảy ra trường hợp f(x) < , f(y) < , mà f (x +(1 - )y) = , bởi vì dom f lồi, với x, y  dom f thì [x, y] dom f Do   (0, 1), nên: f(x) =

  f(x) =  Nếu x hoặc y  dom f , thì f(x) =  hoặc f(y) =  và (1.2) đúng

Bởi vì epif lồi, (x, r)  epif , (y, s)  epif,    (0, 1), (x, r) + (1 - ) (y, s) = (x + (1 - )y, r + (1 - )s)  epif

 f(x + (1 - )y)  r + (1 - )s

 f(x + (1 - )y)  f(x) + (1 - )f(y) ( lấy r = f(x), s = f(y) )

b) Ngược lại, giả sử (1.2) đúng Lấy (x, r)  epif , (y, s)  epif ,   [0, 1]

ta phải chứng minh:

Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Do đó,

epif là một nón lồi Vậy f là hàm lồi

Vì vậy, epif đóng kéo theo tất cả các tập L f đóng

Ngược lại, giả sử tất cả các tập L f đóng Ta chứng minh epif đóng?

Thật vậy,

L f L f .

  

 (1.5) Giả sử x0 ,  0epif Để chứng minh epif đóng, ta chứng minh tồn tại lân cận V của x0 ,  0 sao cho:

epif  V Bởi vì x0 ,  0epif , cho nên

0

0

x L f Từ (1.5) suy ra    0:x0L f . Do đó tồn tại lân cận U của x0 : L f   U

Đặt:

V  x,  X R x: U,    .

Khi đó, V là lân cận của điểm x0 ,  0 trong X R

Nếu x, V thì x  ℒβf Do  < , x  ℒαf Vì vậy, f(x) > , nghĩa là (epif) V = 

Giả sử F là tập lồi trong X R và

f x inf  :x, F. (1.6) Khi đó f chính là hàm lồi trên X

i f



b) Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f, kí hiệu là convf và conv f, được xác

định tương ứng như sau:

   

,

epi convf conv epif epi conv f conv epif

1.3 DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

Giả sử f là hàm lồi trên X; X* là không gian liên hợp của X

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và xdomf. Khi đó:

Ví dụ 1.12

Cho hàm chỉ f x   .A trong đó A là tập lồi khác rỗng

Khi đó, với mỗi xA,

x   x A   x A   x A  x x ,    x , x X

x x,    x 0, x A

Điều đó có nghĩa là x là vecto pháp tuyến của A tại x

Như vậy,   ( | )x A là nón pháp tuyến của A tại x:

z x x z z

Định lý 1.14

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên không gian lồi địa phương

 1 , , n max i: 1, ,   ,  1 , , n  .

i

g u u  u i n h x  f x f x

Khi đó: f g h áp dụng định lí 2.5 [2], ta có:

Chú ý phép lấy bao đóng ở đây bỏ được

Vì g là hàm lồi, cho nên g chính quy tại h x  (định lí 2.3(ii) [2]) Khi đó (1.13)

có dấu bằng và f chính quy tại x

Chương 2

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN

FERMAT – TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu mới của N M Nam, N Hoang,

N T An ( [3], 2014 ) về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli với các hình cầu Euclid bằng công cụ dưới vi phân hàm lồi Trường hợp riêng quan trọng của bài toán Sylvester với ba hình cầu cũng được trình bày trong chương này Các kết quả trình bày trong chương này được tham khảo trong [3] – [6]

2.1 KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

Giả sử I và J là hai tập chỉ số hữu hạn sao cho |I| + |J| > 1, trong đó |I| là

số phần tử của I Giả sử 𝔹 là hình cầu đơn vị đóng, và i := 𝔹(ai; ri) (ri  0) với

i  I, j := 𝔹(bj; sj) (sj  0) với j  J, là hai tập họ các hình cầu đóng trong ℝnđược trang bị chuẩn || ||

Với một tập lồi đóng bị chặn Q, hàm khoảng cách xa nhất và hàm khoảng cách đến Q được cho bởi:

ℳ (x) := max {M (x; i) | i  I} và 𝒟 (x) := max{ D(x; j) | j  J} Tương tự, mô hình tối ưu toán học của bài toán Torricelli suy rộng là:

min ℋ(x) := ℳ1(x) + 𝒟1(x), x  ℝn, (2.2) trong đó

x là một nghiệm của hàm lồi  nếu và chỉ nếu 0   ( )x (2.3) Bởi vì hàm 𝒢 và ℋ trong (2.1) và (2.2) được trình bày dưới ngôn ngữ là hàm

“max” và “tổng” của một số hữu hạn hàm lồi, chúng ta sẽ sử dụng các qui tắc dưới vi phân trong giải tích lồi để sau đó nghiên cứu các bài toán này Nếu (x) := max { i(x) | i = 1, , k}, trong đó i : ℝn  ℝ với i = 1, , k là hàm lồi, thì ta có:

 ( )x = conv{i( )x | i  I(x)}, (2.4) trong đó I(x) := {i  {1, , k} | i( )x =  ( )x } là tập chỉ số tích cực tại x

Trong chương này chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau: bd và int

tương ứng là biên và phần trong của ; conv  là kí hiệu bao lồi của ; với a, b

 ℝ n và a  b,

[a, b] := {ta + (1 – t)b | t  [0 1]};

(a, b) := {ta + (1 – t)b | t  (0 1)};

L(a, b) := {ta + (1 – t)b | t  ℝ}

2.2 BÀI TOÁN SYLVESTER CHO HÌNH CẦU EUCLID

2.2.1 Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu

Trong chương này chúng ta nghiên cứu bài toán Sylvester suy rộng và

mối quan hệ của nó với bài toán Apollonius: Cho hai họ hữu hạn các hình cầu Euclid, hãy tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các hình cầu của họ thứ nhất

và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai Chúng ta cũng nghiên cứu bài toán Fermat – Torricelli suy rộng như sau: Cho hai họ hữu hạn các hình cầu Euclid, tìm một điểm làm cực tiểu tổng khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần nhất đến các hình cầu của họ thứ hai

Ta bắt đầu mục này với các công thức đơn giản để tính khoảng cách đến hình cầu Euclid trong ℝn cũng như dưới vi phân

Tập các chỉ số tích cực A(x) được cho bởi hợp rời nhau A(x) = K(x) ⊔ L(x) Rõ

Định lý sau đây thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính duy nhất của nghiệm tối ưu

Định lý 2.1

Bài toán tối ưu (2.1) luôn có một nghiệm tối ưu Hơn nữa, nghiệm là duy

Ta đã chỉ ra được (2.5) Chọn một hằng số l sao cho l > max{ sj | j  J} Từ (2.5)

ta suy ra x là một nghiệm tối ưu của (2.1) nếu và chỉ nếu nó là một nghiệm của bài toán tối ưu sau:

Min 𝒢̃(𝑥) , x  ℝn , (2.6) trong đó

𝒢̃(𝑥) := max{( ||x – ai|| + ri + l)2 , (||x – bj|| + l – sj)2 | i  I, j  J} = (𝒢(x) + l)2 Bởi vì fi(x) := (||x – ai|| + ri + l)2 và gj(x) := (||x – bj|| + l – sj)2 với i  I và j  J là các hàm lồi chặt, cho nên (2.6) có một nghiệm tối ưu duy nhất, và khi đó (2.1) cũng có một nghiệm tối ưu duy nhất

Giả sử rằng I =  và j J j chứa nhiều nhất một điểm Nếu j J jchứa đúng một điểm x0, thì 𝒢(x0) = 0 và x0 là nghiệm duy nhất Trong trường

j J  là nghiệm tối ưu của bài toán Vì vậy, ta đi đến một mâu thuẫn và định lý được chứng minh

Với bất kỳ điểm x  ℝ n, hình chiếu xa nhất và hình chiếu gần nhất từ x đến tập Q được cho, tương ứng, bởi:

𝒫(x; Q) := {q  Q | ||x – q || = M(x; Q)},

và

∏(x; Q) := {q  Q | ||x – q|| = D(x; Q)}

Nếu Q = 𝔹 (c; r), thì:

Định lý 2.2

Giả sử rằng I   với r i > 0 với mọi i  I Một phần tử x là nghiệm tối

ưu của (2.1) nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đây đúng:

x = ai và 𝒢(x) = r = M(x;i) = ri với mọi i  ℐ Vì thế tất cả các hình cầu i

với i  ℐ trùng nhau Hơn nữa,

ri = M(x;i)  M(x;j) = ||ai – aj|| + rj với i  ℐ và j  I \ ℐ,

và ri = M (x;i)  D(x; j)  ||ai – bj|| - sj với mọi i  ℐ và j  J Như vậy, 𝔹 (x; r) chứa các hình cầu trong {i | i  I \ ℐ} và cắt j với j  J

Xét trường hợp ℐ =  Khi đó M(x;i) là tập một điểm với mọi

i  K(x) Điều này kéo theo 𝒫(x; i) là tập một điểm với một i như vậy Với mọi j  L(x), bởi vì D(x; j)  M(x; i0) > 0 với một chỉ số cố định i0  I,

ta có x  j Khi đó (2.7) được viết tương đương như sau:

Chứng minh phần ngược lại suy ra từ qui tắc dưới vi phân Fermat bởi vì chúng ta

có thể kiểm tra rằng (2.7) thỏa mãn trong mỗi trường hợp Cuối cùng, sử dụng định lý Caratheodory và định lý 1.3.6 [4], ta có thể chứng minh mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 2.2