Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)

Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGÔ DUY TOẢN

THUẬT TOÁN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LUÂN HƯỚNG TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGÔ DUY TOẢN

THUẬT TOÁN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LUÂN HƯỚNG TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

Chương 1 Không gian Hilbert và toán tử đơn điệu cực đại 3

1.1 Không gian Hilbert 3

1.2 Toán tử đơn điệu cực đại 8

Chương 2 Thuật toán tách Lions–Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại 16 2.1 Phương pháp tách 16

2.1.1 Mô tả phương pháp 16

2.1.2 Triển khai phương pháp 20

2.2 Mối quan hệ của phương pháp ngược từng phần 24

2.2.1 Giới thiệu 24

2.2.2 Mối quan hệ với thuật toán tách Lions–Mercier 26

2.3 Phương pháp luân hướng 27

2.3.1 Nguồn gốc của phương pháp luân hướng 27

2.3.2 Mối liên hệ với phương pháp tách 28

Bảng ký hiệu

Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác địnhtrong bảng dưới đây:

R tập số thực

Rn, Rm không gian véc tơ n, m chiều tương ứng

H không gian Hilbert thực

H∗ không gian liên hợp của H

C[a, b] tập các hàm thực lien tục trên [a, b]

conv C bao lồi của tập C

conv C bao lồi đóng của tập C

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

A toán tử mở rộng của toán tử A

dom A miền xác định của toán tử A

gra A đồ thị của toán tử A

domf miền hữu hiệu của hàm f

epif tập trên đồ thị của hàm f

zer(A) tập tất cả không điểm của A, A−1(0)

Jr,T toán tử giải của toán tử T

NC hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C

∅ tập rỗng

δC(.) hàm chỉ trên C

V⊥ bù vuông góc của không gian con V

Mở đầu

Cho A và B là hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

H, C := A + B Nội dung của đề tài luận văn nghiên cứu bài toán tìmkhông điểm của toán tử C trên cơ sở kết quả của J Eckstein [4]

Để giải bài toán này, J Eckstein [4] đưa vào toán tử đơn điệu cực đại

Sλ,A,B mà tập không điểm của nó xấp xỉ tập không điểm của A + B Trongtrường hợp B là nón chuẩn tắc của một không gian con tuyến tính thì

Sλ,A,B trùng với ngược từng phần của toán tử Spingarn (xem [12], [13]).Ngoài ra, khi r = 1 thì toán tử giải (I + rSλ,A,B)−1 của Sλ,A,B là toán tửG(λ) của Lions–Mercier [6] Vì vậy, thuật toán Lions–Mercier thực sự làthuật toán điểm gần kề ứng dụng cho toán tử Sλ,A,B Ngoài ra, J Eckstein[4] cũng chỉ ra rằng kỹ thuật của Spingarn cho cực tiểu phiếm hàm lồi trênkhông gian con tuyến tính thực chất là một trường hợp riêng trong cáchtiếp cận của Lions–Mercier Đồng thời thuật toán Lions–Mercier mở rộngthuật toán luân hướng trong qui hoạch lồi đã được chỉ ra bởi Gabay [5] vàthuật toán luân hướng cũng là một ví dụ của thuật toán điểm gần kề.Mục đích của đề tài luận văn là trình bày lại kết quả của J Eckstein [4]

về mối quan hệ giữa một số thuật toán tìm không điểm của toán tử đơnđiệu cực đại: thuật toán điểm gần kề được đưa ra bởi Martinet [7], sau

đó được phát triển bởi Rockafellar [10]; phương pháp Lions–Mercier tìmkhông điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại [6]; phương pháp ngượctừng phần của Spingarn cho toán tử đơn điệu cực đại [12], [13]

Nội dung của đề tài luận văn được viết trong hai chương:

Chương 1: "Không gian Hilbert và toán tử đơn điệu cực đại" Chươngnày giới thiệu về không gian Hilbert trên trường số thực và một số kiến

thức cơ bản về giải tích lồi Tiếp theo là giới thiệu về toán tử đơn điệu cựcđại và định nghĩa bài toán tìm không điểm của toán tử.

Chương 2: "Thuật toán tách Lions–Mercier và phương pháp luân hướngtìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại" Chương này nghiêncứu một số phương pháp tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệucực đại, chỉ ra phương pháp Lion–Mercier thực chất là trường hợp đặc biệtcủa thuật toán điểm gần kề, đồng thời nêu nguồn gốc của phương phápluân hướng và đưa ra mối quan hệ với thuật toán tách

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TS Nguyễn Bường, tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã người dành nhiềuthời gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học –Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng toàn thể cácthầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm rấtnhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân Tácgiả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn độngviên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình họctập, nghiên cứu và làm luận văn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016

Học viên

Ngô Duy Toản

1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian tuyến tính xác định trên trường

số thực R Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ h·, ·i : H × H → Rthỏa mãn các tính chất sau:

Chứng minh Với y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nhận xét 1.1.3 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tínhđịnh chuẩn, với chuẩn được xác định:

kxk = phx, xi, x ∈ H

Bất đẳng thức Schwarz được viết lại:

|hx, yi| ≤ kxk.kyk

Định nghĩa 1.1.4 Cho X là không gian định chuẩn, dãy {xn} ⊂ X gọi

là dãy cơ bản nếu:

lim

m,n→∞kxn− xmk = 0

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là kxn− xmk → 0 kéo theo

sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 thì X được gọi là không gian đủ.Định nghĩa 1.1.5 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gianHilbert

Ví dụ 1.1.6 Trong Rn, x = (x1, x2 , xn) , y = (y1, y2 , yn) ∈ Rn, ta đưavào tích vô hướng hx, yi = Pn

k=1

xkyk

Khi đó Rn là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.1.7 Trong không gian C[a, b] tập tất cả các hàm thực liên tụctrên [a, b] Xét tích vô hướng:

i Không gian C[a,b] với chuẩn kxk = max

a6t6b|x(t)| là không gian Banachnên C[a, b] là không gian Hilbert;

ii Không gian C[a,b] với chuẩn kxk = Rb

a

|x(t)|2dt

!1/2

không là khônggian Banach do đó C[a, b] không là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.8 Tập A ⊂ H gọi là tập lồi nếu ∀x1, x2 ∈ A và mọi sốthực t ∈ [0, 1] ta đều có

tx1 + (1 − t)x2 ∈ A

Nhận xét 1.1.9 Theo định nghĩa, tập ∅ là tập lồi

Ví dụ 1.1.10 Các tập sau đây đều là tập lồi: Rn, ∅, {x} ,hình cầu đóng, hìnhcầu mở, các nửa không gian đóng, nửa không gian mở

Định nghĩa 1.1.11 Cho C ⊂ H Bao lồi của C là giao của tất cả các tậpcon lồi của H chứa C, ký hiệu là conv C Bao lồi đóng của C là tập conlồi đóng nhỏ nhất của H chứa C, ký hiệu là conv C

Định nghĩa 1.1.12 Tập A ⊆ Rn được gọi là nón có đỉnh tại gốc O nếu:

∀x ∈ A, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ A

A ⊆ Rn được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu A − x0 có đỉnh tại O Nón Agọi là nón lồi nếu tập A là lồi.

Định nghĩa 1.1.13 Cho tập lồi S ⊆ Rn, hàm f : S → (−∞, +∞) đượcgọi là:

i Hàm lồi trên S nếu với mọi số thực 0 ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, ta có:

iv Hàm f được gọi là tuyến tính afin trên S nếu f vừa lồi vừa lõm trên

S Một hàm afin trên Rn có dạng f(x) = ha, xi + α với a ∈ Rn, nhưvậy ∀x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ [0, 1] ta có:

f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y)

Tuy nhiên, hàm afin không lồi chặt hay lõm chặt

Nếu H là không gian Hilbert thì H cũng là không gian định chuẩn, khônggian liên hợp của H là H∗ = L(H, K) Định lý sau đây nêu lên đặc trưngcủa phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H

Định lý 1.1.14 Với mỗi véctơ a cố định thuộc không gian Hilbert H, hệthức:

f (x) = hx, ai, ∀x ∈ H (1.1)xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian Hilbert

H với

kf (x)k = kak (1.2)

Ngược lại với bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên khônggian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng(1.1), trong đó a là một véctơ của H thỏa mãn (1.2)

Định lý 1.1.14 cho phép thiết lập tương ứng một - một giữa các phiếm hàmtuyến tính liên tục f trên H và các véctơ a ∈ H tương ứng đó là phépđẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với véctơ asinh ra nó thì không gian Hilbert H có thể đồng nhất được với không gianliên hợp H∗ của nó

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H, với mỗi

y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm x∗ : H → R xác định như sau:

x∗(x) = hAx, yi, ∀x ∈ H

Dễ thấy x∗ là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên H nên theo Định lý1.1.14 về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duynhất y∗ ∈ H để:

hAx, yi = hx, y∗i, ∀x ∈ H

Định nghĩa 1.1.15 Cho A là toán tử trong không gian Hilbert H, ánh

xạ A∗ : H → H được xác định như sau:

A∗y = y∗, ∀y ∈ H

trong đó

hAx, yi = hx, y∗i = hx, A∗yi

Được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

Nhận xét 1.1.16 Toán tử liên hợp A∗ nếu tồn tại là duy nhất

Định nghĩa 1.1.17 Dãy (xn)n ∈ H được gọi là:

i Hội tụ mạnh đến x0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là:

epif = {(x, α) ∈ S × R : f(x) ≤ α} gọi là tập trên đồ thị của hàm f.Hàm f là lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi

Định nghĩa 1.1.20 Hàm f được gọi là chính thường (proper), nếu domf 6=

∅ và f(x) > −∞, ∀x ∈ S

Cho C ⊂ Rn là tập lồi, C 6= ∅ Ta có một số ví dụ về hàm lồi như sau:

i Hàm chuẩn Euclid : kxk = phx, xi, x ∈ Rn;

ii Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn tới C : dC(x) = inf

y∈Ckx − yk

Định nghĩa 1.1.21 Cho H là không gian Hilbert, X là tập con khác rỗngcủa H Khi đó X được gọi là tập compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ H đều chứadãy con hội tụ đến một điểm x0 ∈ X nào đó

1.2 Toán tử đơn điệu cực đại

Cho hai tập hợp X, Y ta có một số định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.1 Cho X, Y là hai tập con bất kì của không gian Hilbert

H, ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu ứng vớimỗi phần tử x ∈ X, xác định duy nhất một phần tử F (x) = y ∈ Y và ta

kí hiệu là:

F : X → Y

Ánh xạ F là đa trị từ không gian X vào không gian Y nếu ứng với mỗiphần tử x ∈ X, thì F (x) là một tập con của không gian Y (có thể là tậprỗng) và ta kí hiệu là:

F : X → 2Y.Nhận xét 1.2.2 Ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đatrị

Quy tắc cho tương ứng mỗi điểm a ∈ Rn với tập nghiệm của phương trìnhtrên, ký hiệu là F (a) cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn → 2C.

Định nghĩa 1.2.5 Nếu Y là không gian véctơ thực, ta có một số các kháiniệm sau:

Định nghĩa 1.2.8 Cho toán tử đa trị A : H → 2H Khi đó:

dom A = {x ∈ H|Ax 6= ∅} là miền xác định của A,gra A = {(x, u) ∈ H × H|u ∈ Ax} là đồ thị của A

Toán tử A là đơn điệu nếu:

hx − y, u − vi > 0, ∀(x, u), (y, v) ∈ gra A

Ví dụ 1.2.9 Cho toán tử đơn trị A xác định trên tập số thực R như sau:

Ví dụ 1.2.11 Xét toán tử Ti : R → 2R, i = 1, 2 cho bởi công thức:

T1(x) =

(

1 nếu x ≥ 0

∅ nếu x < 0và

T2(x) = 1, ∀x ∈ R

Dễ thấy T1, T2 đều là các toán tử đơn điệu Nhưng T1 không phải là toán

tử đơn điệu cực đại vì gra T1 chứa thực sự trong gra T2

Mệnh đề 1.2.12 Cho toán tử đơn điệu A : H → 2H Khi đó, A là toán

tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi ∀(a, b) ∈ H × H, nếu:

Ngược lại, giả sử b ∈ A(a) Xét toán tử đơn điệu bất kì A′

Nếu A, B là đơn điệu thì A + B là đơn điệu Tuy nhiên nếu A, B là đơnđiệu cực đại thì A + B không phải lúc nào cũng đơn điệu cực đại Điềukiện để A + B là đơn điệu cực đại là

ri(dom A) ∩ ri(dom B) 6= ∅

Bổ đề 1.2.13 Cho toán tử đơn điệu A trên H, A là đơn điệu cực đại khi

và chỉ khi im(I + A)= H

Bổ đề 1.2.14 Cho số thực r > 0, A là toán tử trên H Khi đó zer(A) =zer(rA), và A là đơn điệu (cực đại) khi và chỉ khi rA là đơn điệu (cựcđại)

Sau đây là mối tương ứng giữa họ các toán tử đơn điệu cực đại và mộtlớp toán tử không giãn chặt có miền xác định trên H

Định nghĩa 1.2.15 Toán tử K trên H được gọi là không giãn nếu

kx′ − xk >k y′− y k ∀(x, y), (x′, y′) ∈ K

Bổ đề 1.2.16 Mọi toán tử không giãn là đơn trị

Chứng minh Cho (x, y1), (x, y2) ∈ K, 0 =k x − x k>k y1 − y2 k, suy ra

Một khái niệm tương đương về toán tử không giãn chặt được đưa ranhư sau:

Một lược đồ tự nhiên là phép lặp xk+1 = ⋄Kxk, xuất phát từ điểm x0

nào đó thuộc H Nếu w là điểm bất động bất kì của K, thì từ Bổ đề 1.2.18

ta có

k xk+1− w k2 6 k xk− w k2− k xk+1− xk k2 ∀k > 0

Suy ra khoảng cách giữa xk và những điểm bất động là không tăng, và

k xk+1− xk k −→ 0 Vì vậy, nếu tồn tại điểm bất động thì dãy xk phải làgiới nội Từ đó, phụ thuộc vào các điều kiện của bài toán đặt ra người ta

có thể sử dụng kết luận trên để suy ra tính hội tụ của dãy xk đến điểmbất động của K, thông thường trong tôpô yếu Trong không gian hữu hạnchiều, sự hội tụ được đảm bảo

Định nghĩa 1.2.20 Cho toán tử đơn điệu cực đại T và số thực r > 0, tađịnh nghĩa toán tử giải Jr,T của T là (I + rT )−1

Mệnh đề 1.2.21 Toán tử T trên H là đơn điệu khi và chỉ khi J1,T =(I + T )−1 là không giãn chặt T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi (I + T )−1

là không giãn chặt và có miền xác định đầy đủ

(x, y) ∈ T ⇔ (x + y, x) ∈ (I + T )−1

hx′− x, y′− yi > 0 ⇔ hx′− x + y′ − y, x′ − xi > k x′ − x k2

Suy ra kết luận thứ nhất.

Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.13, T là cực đại khi và chỉ khi im(I + T ) = H.Điều này đúng khi và chỉ khi toán tử (I + T )−1 có miền xác định đầy đủ.Điều này xác minh cho kết luận thứ 2 

Hệ quả 1.2.22 Toán tử K là không giãn chặt khi và chỉ khi K−1− I làđơn điệu K là không giãn chặt với miền xác định đầy đủ khi và chỉ khi

K−1− I là đơn điệu cực đại

Hệ quả 1.2.23 Hàm số từ T 7−→ (I + T )−1 là song ánh giữa họ M(H)các toán tử đơn điệu cực đại trên H và họ F (H) các toán tử không giãnchặt trên H

Hệ quả 1.2.24 Cho T là toán tử đơn điệu cực đại bất kì và số thực r > 0,toán tử giải Jr,T = (I + rT )−1 là không giãn chặt (do đó là đơn trị) và cómiền xác định đầy đủ

Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.14, rT là đơn điệu cực đại do đó (I + rT )−1

là không giãn chặt và có miền xác định đầy đủ 

Bổ đề 1.2.25 Cho toán tử đơn điệu cực đại T , số thực r > 0, và x ∈

xk+1 = Jrk ,T(xk) = (I + rkT )−1xk.Mệnh đề 1.2.26 Cho T là toán tử đơn điệu cực đại Nếu zer(T ) 6= ∅, thìdãy {xk} sinh ra bởi thuật toán điểm gần kề là giới nội và hội tụ yếu đếnkhông điểm của T Nếu zer(T ) = ∅ thì {xk} không giới nội.

Điều quan trọng cần lưu ý rằng thuật toán bất kì tạo bởi dãy lặp xk+1 =

Kxk, ở đây K là toán tử không giãn chặt với miền xác định đầy đủ, có thểxem xét như là một phần ứng dụng của thuật toán điểm gần kề với toán

tử đơn điệu cực đại K−1− I, và {rk} cố định bằng 1

Bài toán cơ bản ta xét trong chương sau là tìm không điểm của toán tửđơn điệu A + B, ở đây A và B là toán tử đơn điệu cực đại

Chương 2

Thuật toán tách Lions–Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại

Chương này trình bày thuật toán tách Lions–Mercier và phương phápluân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Mục2.1 mô tả phương pháp tách và cách triển khai phương pháp này Mục 2.2giới thiệu phương pháp ngược từng phần và mối liên hệ với phương pháptách Lions–Mercier Mục 2.3 trình bày về phương pháp luân hướng và nêumối liên hệ với phương pháp tách Các kiến thức của chương được tổnghợp từ các tài liệu [2]–[13]

2.1 Phương pháp tách

2.1.1 Mô tả phương pháp

Xét bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại A và

B trong không gian Hilbert H Trong trường hợp đặc biệt A + B là toán

tử đơn điệu cực đại, người ta cũng có thể sử dụng thuật toán điểm gần

kề cho A + B Tuy nhiên điểm cần lưu ý trong trường hợp này là Jr,A+Bkhó tính toán, cho nên cách tiếp cận này là không thực tế Thay vào đó

ta dùng cách tiếp cận tách ra Jλ,A và Jλ,B, trong đó λ > 0 là một số thực