mối liên hệ giữa toán học và thế giới quan duy vật trong quá trình hình thành và phát triển

Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật ...12 CHƯƠNG III – VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC...16 1.. Do đó, không có gì quá p

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I – THẾ GIỚI QUAN VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 4

1 Thế giới quan và các hình thức cơ bản của thế giới quan 4

1.1 Khái niệm “Thế giới quan” 4

1.2 Những hình thức cơ bản của thế giới quan 4

2 Thế giới quan duy vật và lịch sử phát triển thế giới quan duy vật 6

2.1 Thế giới quan duy vật 6

2.2 Lịch sử phát triển của thế giới quan duy vật 7

CHƯƠNG II - VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 10

1 Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học 10

2 Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật .12

CHƯƠNG III – VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC 16

1 Tác động của thế giới quan duy vật đến sự phát triển của toán học 16

2 Chủ nghĩa duy vật nói chung và chủ nghĩa duy vật biện chứng nói riêng là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán học 16

2.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến 16

2.2 Nguyên lý về sự phát triển 17

2.3 Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học 17

2.4 Cái chung - cái riêng; phủ định của phủ định là cơ sở các phát minh toán học 18

2.5 Thực tiễn và vấn đề chính xác hoá toán học 20

CHƯƠNG IV – MỐI LIÊN MINH GIỮA TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT BIỆN CHỨNG 22

1 Sự cần thiết của mối liên minh giữa toán học và thế giới quan duy vật biện chứng 22

1.1 Toán học phải vận dụng tư duy lý luận 22

1.2 Thế giới quan duy vật luôn luôn chi phối các nhà toán học 22

1.3 Sự liên minh giữa các nhà toán học và các nhà triết học duy vật biện chứng là một yêu cầu cấp bách đồng thời là một tất yếu lịch sử của thời đại 23

2 Đòi hỏi áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu, dạy và học toán học 23

CHƯƠNG V – VẬN DỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO NGHIÊN CỨU VÀ GIẢNG DẠY

TOÁN HỌC 25

1 Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán học 25

1.1 Trong công tác nghiên cứu toán học 25

1.2 Trong công tác giảng dạy toán học 25

2 Vấn đề mở rộng toán học trong giảng dạy 26

3 Vận dụng nội dung và hình thức vào nghiên cứu và giảng dạy toán học 26

4 Thực tiễn và vấn đề chính xác hoá toán học trong nghiên cứu và giảng dạy .26

4.1 Trong nghiên cứu 26

4.2 Trong công tác giảng dạy 26

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian vàcác phép biến đổi Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấutrúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và kýhiệu toán học Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học đượcmệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ" Chủ nghĩa duy vật biện chứng với tư cách là hạtnhân lý luận của thế giới quan duy vật biện chứng được hình thành và phát triển dựatrên thành tựu của các ngành khoa học tự nhiên Mà các ngành khoa học tự nhiên khácđều dùng toán học làm công cụ phục vụ trong quá trình tìm hiểu và mô tả bản chất thếgiới, mối quan hệ giữa các đối tượng Do đó, không có gì quá phô trương khi nói rằngtoán học đã gây dựng một nền tảng để các ngành khoa học tự nhiên khác phát triển, vàtrên thành quả của sự phát triển đó thế giới quan duy vật, đặc biệt là thế giới quan duyvật biện chứng, đã hình thành và phát triển

Cả toán học và thế giới quan duy vật đều có chung nguồn gốc hình thành, chúngxuất phát từ nhu cầu hoạt động thực tiễn của con người, cùng trải qua các bước thăngtrầm của lịch sử xã hội loài người Sự gắn kết giữa toán học và thế giới quan duy vậtkhông chỉ thể hiện ở thời kỳ đầu khi các nhà triết học nghiên cứu tất cả các lĩnh vựccủa cuộc sống, trong đó có toán học, mà còn thể hiện trong suốt quá trình phát triểncủa hai lĩnh vực này Trong mối quan hệ biện chứng với nhau, toán học và thế giớiquan duy vật luôn luôn tác động qua lại, bổ sung cho nhau

Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của khoahọc và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng của toánhọc cũng không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độthấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao hơn Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồngốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toánhọc trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉđối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội

Đó là lý do em chọn đề tài: “mối liên hệ giữa toán học và thế giới quan duy vật trong quá trình hình thành và phát triển”.

Đây không phải là sự khám phá mới mẻ về mối quan hệ giữa toán học và thế giớiquan duy vật, về vị trí và vai trò của chúng trong mối quan hệ Mà chỉ là sự chắt lọcnhững nội dung kiến thức đã được học, được trình bày trong giáo trình Triết học vàqua sự tìm hiểu thêm trên cách phương tiện thông tin Do tiểu luận được trình bày theo

ý hiểu chủ quan nên không thể tránh khỏi sai sót, khiếm khuyết

Rất mong thầy nhận xét, đánh giá và chỉ ra các thiếu xót để em hoàn thiện

Em xin chân thành cảm ơn

CHƯƠNG I – THẾ GIỚI QUAN VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY

VẬT

1 Thế giới quan và các hình thức cơ bản của thế giới quan

1.1 Khái niệm “Thế giới quan”

Là sản phẩm và là một bộ phận của thế giới, con người có nhu cầu phải nhậnthức về thế giới cũng như phải nhận thức về bản thân mình trong mối quan hệ với thếgiới để điều chỉnh hoạt động của mình, đảm bảo cho sự tồn tại và phát triển Kết quảcủa quá trình nhận thức ấy tạo nên thế giới quan

Như vậy, thế giới quan là những quan điểm, quan niệm của con người về thế giớixung quanh, về bản thân và về cuộc sống của con người, về vị trí, vai trò của conngười trong thế giới ấy

Về nguồn gốc, thế giới quan ra đời từ cuộc sống Nó là kết quả trực tiếp của quátrình nhận thức song suy cho đến cùng nó là kết quả của cả những yếu tố chủ quan vànhững yếu tố khách quan, của cả hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn

Hình thành thế giới quan là một quá trình tất yếu mà chủ thể của nó có thể là cánhân hay cộng đồng xã hội

Về nội dung, thế giới quan phản ánh thế giới ở ba góc độ: 1) Các đối tượng bênngoài chủ thể; 2) Bản thân chủ thể và 3) Mối quan hệ giữa chủ thể với các đối tượngbên ngoài chủ thể Ba góc độ này vừa thể hiện ý thức con người về thế giới, vừa thểhiện ý thức của con người về chính bản thân mình

Về hình thức, thế giới quan có thể biểu hiện dưới dạng các quan điểm, quan niệmrời rạc, cũng có thể hiểu hiện dưới dạng hệ thống lý luận chặt chẽ

Về cấu trúc, là hiện tượng tinh thần, thế giới quan có cấu trúc phức tạp và đượctiếp cận từ nhiều góc độ khác nhau, song hai yếu tố cơ bản của thế giới quan là tri thức

và niềm tin Tri thức là cơ sở trực tiếp cho sự hình thành thế giới quan, song tri thứcchỉ gia nhập vào thế giới quan khi nó đã trở thành niềm tin để hình thành lý tưởng,động cơ thôi thúc con người Như vậy, một thế giới quan nhất quán là một thế giớiquan có tri thức và niềm tin thống nhất với nhau tạo nên cơ sở vững chác cho conngười tiếp tục tìm hiểu thế giới, cho con người xác định thái độ, cách thức hoạt động,cách thức sống nói riêng và xác lập nhân sinh quan nói chung

Chính vai trò là cơ sở để con người xác định những vấn đề then chốt của cuộcsống, thế giới quan có các chức năng như: chức năng nhận thức, chức năng xác lập giátrị, chức năng bình xét, đánh giá, chức năng điều chỉnh hành vi, v.v khái quát lại, chứcnăng bao trùm của thế giới quan là chức năng định hướng cho toàn bộ hoạt động sốngcủa con người

1.2 Những hình thức cơ bản của thế giới quan

Là kết quả trực tiếp của quá trình nhận thức, thế giới quan phát triển theo sự pháttriển nhận thức của con người Cho đến nay, sự phát triển của thế giới quan đã được

thể hiện dưới ba hình thức cơ bản: Thế giới quan huyền thoại, thế giới quan tôn giáo

và thế giới quan triết học

- Thế giới quan huyền thoại:

Thế giới quan huyền thoại là thế giới quan có nội dung pha trộn một cách không

tự giác giữa thực và ảo

Thế giới quan huyền thoại đặc trưng cho “tư duy nguyên thuỷ”, được thể hiện rõnét qua các chuyện thần thoại, nó chủ yếu phản ánh nhận thức về thế giới của conngười trong xã hội công xã nguyên thuỷ

Thế giới quan huyền hoại mang nặng dấu ấn của thời đại đã sản sinh ra nó – thờiđại mà con người tính mông muội chưa bị đẩy lùi trong cả đời sống vật chất lẫn đờisống tinh thần, trong cả hoạt động nhận thức lẫn hoạt động thực tiễn

Thế giới quan huyền thoại chủ yếu là sản phẩm của nhận thức cảm tính thể hiệnqua những đối tượng mà con người có thể trực tiếp quan sát được nên những gì trừutượng thường được con người hình dung dưới những dạng sự vật cụ thể Chẳng hạn:

“Thiện” và “ác” Đây là khái niệm thể hiện sự đánh giá về mặt giá trị của xã hội songtrong thần thoại, thiện - ác được mô tả là những vật có hình dáng, có kích thước và có

cả nơi cất giữ, bảo quản Thế giới quan huyền thoại thể hiện đậm nét trí tưởng tượngcủa “tư duy nguyên thuỷ” – tư duy chứa đựng sự pha trộn một cách không tự giác giữathực và ảo, giữa người và thần Sự pha trộn này, như Ph.Ăngghen nhận định, là kếtquả tất yếu của trình độ nhận thức thấp, khi con người chưa hiểu về nguồn gốc,nguyên nhân, bản chất của các sự vật, hiện tượng trong thế giới nên họ đã nhân cáchhoá, nhân hình hoá, nhân tính hoá chúng thành các vị thần hoặc bán thần trong thầnthoại Thần Sông Akêlôx, Thần Đất Gaia, v.v trong thần thoại Hy Lạp; Thần GióNgẫu Cường, Thần Mặt Trời Viêm Đế v.v trong thần thoại Trung Quốc; Thần LửaAgri, Thần Không Trung Varuna, v.v trong thần thoại Ấn Độ; v.v là kết quả của sựnhân cách hoá, nhân hình hoá, nhân tính hoá ấy

Mặt khác, trong xã hội công xã nguyên thuỷ, cuộc sống cộng đồng với tất cảnhững nhu cầu của nó đã làm nảy sinh ý thức tìm về cội nguồn của người nguyên thuỷ

Họ biết hơn những gì mà tổ tiên của họ đã tạo ra và mong mỏi tổ tiên sẽ tiếp thêm sứcmạnh, giúp họ chiến thắng trong cuộc chiến chống thiên tai, chống thú dữ và chốngnhững cộng đồng người khác Hình ảnh của các thế hệ trước được truyền miệng từngười này sang người khác, từ đời này sang đời khác qua trí tưởng tượng, qua suy luậntưởng tượng của người kể tạo ra những sự biến đổi không tự giác làm những conngười của thị tộc ngày càng anh hùng hơn, kỳ vĩ hơn và cũng thần thánh hơn.Hêraclex, Hector, Ôđixê, Thiếu Hạo, Chuyên Húc, v.v là những con người như thế

Có thể nói, ở thế giới quan huyền thoại, “Bất cứ một câu chuyện thần thoại nàocũng đều khắc phục, khống chế và hình thành các lực lượng của tự nhiên trong tưởngtượng và nhờ trí tưởng tượng”; cũng đều truy tìm nguồn gốc thị tộc – những thị tộc đã

có trước thần thoại do chính bản thân thị tộc sáng tạo ra với những vị thần và bán thần;cũng đều chỉ là cái thực tế đã qua phản ánh hoang tưởng vào những câu chuyện củangười nguyên thuỷ”

- Thế giới quan tôn giáo

Thế giới quan tôn giáo là thế giới quan có niềm tin mãnh liệt vào sức mạnh của lực lượng siêu nhiên đối với thế giới, đối với con người; được thể hiện qua các hoạt động có tổ chức để suy tôn, sùng bái lực lượng siêu nhiên ấy

Thế giới quan tôn giáo ra đời khi trình độ nhận thức và khả năng hoạt động thựctiễn của con người còn rất thấp, Những hình thức sơ khai của thế giới quan này nhưBái vật giáo, Tôtem giáo, Ma thuật giáo, Linh vật giáo, Saman giáo thể hiện sự yếuđuối, bất lực, sợ hãi của con người trước những lực lượng tự nhiên, cũng như nhữnglực lượng xã hội đã dẫn đến việc con người thần thánh hoá chúng, quy chúng về nhữngsức mạnh tự nhiên và đi đến tôn thờ chúng Theo Ph.Ăngghen “Tất cả các tôn giáochẳng qua chỉ là sự phản ánh hư ảo – vào đầu óc con người – những lực lượng ở bênngoài chi phối cuộc sống hàng ngày của họ Chỉ là sự phản ánh trong đó những lựclượng ở trần thế đã mang hình thức những lực lượng siêu trần thế”

Đặc trưng chỉ yếu của thế giới quan tôn giáo là niềm tin cao hơn lý trí, trong đóniềm tin vào một thế giới khác hoàn thiện, hoàn mỹ mà con người sẽ đến sau khi chết

giữ vai trò chủ đạo V.I.Lênin cho rằng: “Sự bất lực của giai cấp bị bóc lột trong cuộcđấu tranh chống bọn bóc lột tất nhiên đẻ ra lòng tin vào một cuộc đời tốt đẹp hơn ở thếgiới bên kia, cũng giống như sự bất lực của con người dã man trong cuộc đấu tranhchống thiên nhiên đẻ ra lòng tin vào thần thánh, ma quỷ, vào những phép màu, v.v.”.

Ở niềm tin này, thế giới quan tôn giáo vừa biểu hiện sự nghèo nàn của hiện thực, vừa

là sự phản kháng chống lại sự nghèo nàn ấy Nó như tiếng thở dài của chúng sinh, như

“thuốc phiện” làm giảm nỗi đau trước những mất mát của những người cùng khổ, lànhu cầu tinh thần của một bộ phận quần chúng trong cuộc sống

- Thế giới quan triết học

Thế giới quan triết học là hệ thống quan điểm lý luận chung nhất của con người

về thế giới xung quanh, về bản thân và về cuộc sống của con người, về vị trí của con người trong thế giới ấy

Thế giới quan triết học chỉ hình thành khi triết học ra đời – khi nhận thức của conngười đã đạt đến trình độ cao của sự khái quát hoá, trừu tượng hoá và khi các lựclượng xã hội đã ý thức được sự cần thiết phải có định hướng về tư tưởng để chỉ đạocuộc sống

Thế giới quan triết học và triết học không đồng nhất Triết học là hạt nhân củathế giới quan, là một bộ phận quan trọng nhất vì nó chi phối tất cả những quan điểm,quan niệm còn lại của thế giới quan như những quan điểm về đạo đức, thẩm mỹ, kinh

tế, chính trị, văn hoá, v.v

Đặc trưng quan trọng nhất của thế giới quan triết học là việc đề cao vai trò của lýtrí; nó phản ánh thế giới bằng lý luận thông qua hệ thống các khái niệm, các phạm trùkhông ngừng điều chỉnh, bổ sung, hoàn thiện chúng trong quá trình nhận thức

Phân biệt sự khác nhau giữa những người có thế giới quan triết học với nhữngngười có thế giới quan khác, C.Mác viết: “ các vị hướng về tình cảm, triết học hướng

về lý trí; các vị nguyền rủa, than vãn, triết học dạy bảo; các vị hứa hẹn toàn bộ thiênđường và thế giới, triết học không hứa hẹn gì cả ngoài chân lý; các vị đòi hỏi tin tưởngtín ngưỡng của các vị, triết học không đòi hỏi tin tưởng vào các kết luận của nó, nó đòihỏi kiểm nghiệm những điều hoài nghi; các vị doạ nạt, triết học an ủi Và, thật thế, triếthọc biết cuộc sống khá đầy đủ để hiểu rằng những kết luận của nó không bao dung sựkhao khát hưởng lạc và lòng vị kỷ – của cả thiên giới lẫn thế giới trần tục

Ba hình thức cơ bản của thế giới quan có thể chia thành hai loại: Thế giới quankhoa học và thế giới quan phản khoa học, trong đó, thế giới quan khoa học là thế giớiphản ánh thế giới và định hướng cho hoạt động của con người trên cơ sở tổng kếtnhững thành tựu của quá trình nghiên cứu khoa học, thực nghiệm khoa học và dự báokhoa học Ở thế giới quan khoa học, các quan điểm, quan niệm của con người về thếgiới, về bản thân con người, về vị trí, vai trò của con người trong thế giới không ngừngđược bổ sung, hoàn thiện theo sự phát triển của khoa học và cùng với sự bổ sung, hoànthiện ấy, vai trò cải tạo thế giới thông qua hoạt động thực tiễn của thế giới quan khoahọc ngày càng được nâng cao

2 Thế giới quan duy vật và lịch sử phát triển thế giới quan duy vật

2.1 Thế giới quan duy vật

Thế giới quan duy vật là thế giới quan thừa nhận bản chất của thế giới là vật chất,thừa nhận vai trò quyết định của vật chất đối với các biểu hiện của đời sống tinh thần

và thừa nhận vị trí, vai trò của con người trong cuộc sống hiện thực

Theo thế giới quan duy vật thì chỉ có một thế giới duy nhất là thế giới vật chất.Thế giới vật chất không sinh ra, không bị mất đi, nó tồn tại vĩnh viễn, vô hạn, vô tận

Thế giới quan duy vật cũng thừa nhận sự tồn tại của các hiện tượng tinh thầnsong mọi biểu hiện của tinh thần đều có nguồn gốc từ vật chất Vì vậy, trong mối qua

hệ giữa vật chất và tinh thần thì vật chất là cái có trước, tinh thần có sau và bị vật chấtquyết định

Thế giới quan duy vật khẳng định sự tồn tại hiện thực của con người và cùng vớiviệc thừa nhận vai trò quyết định cuả hoàn cảnh vật chất, thế giới duy vật nhấn mạnhtính năng động, tính tích cực của con người trong cuộc sống

Phân biệt giữa thế giới quan duy vật và thế giới quan duy tâm, V.I.Lênin chorằng: “Không trừ một trường hợp nào, đằng sau một đống thuật ngữ tinh vi, đằng saucái mớ lộn xộn những nghị luận uyên thâm kinh viện, là hai đường lối cơ bản, haikhuynh hướng cơ bản Những người duy vật cho rằng giới tự nhiên là cái có trước,tinh thần là cái có sau; nó đặt tồn tại lên hàng đầu và tư duy vào hàng thứ hai Cònnhững người duy tâm thì ngược lại”1

Như vậy, theo V.I.Lênin, cơ sở quan trọng nhất để xác định một thế giới quannào đó thuộc duy vật hay duy tâm – cho dù duy tâm dưới bất kỳ hình thức nào (thô sơ,chất phác, tôn giáo hay văn minh, triết học) – là xem thế giới quan đó quan niệm nhưthế nào về vị trí, vai trò của vật chất, của ý thức trong mối quan hệ giữa chúng

2.2 Lịch sử phát triển của thế giới quan duy vật

Kể từ khi triết học ra đời, sự phát triển của thế giới quan duy vật gắn liền với sựphát triển của chủ nghĩa duy vật Tương ứng với ba hình thức cơ bản của chủ nghĩaduy vật là Chủ nghĩa duy vật chất phác, Chủ nghĩa duy vật siêu hình, Chủ nghĩa duy

vật biện chứng là ba hình thức cơ bản của thế giới quan: Thế giới quan duy vật chất

phác, Thế giới quan duy vật siêu hình và Thế giới quan duy vật biện chứng

- Thế giới quan duy vật chất phác:

Thế giới quan duy vật chất phác là thế giới quan thể hiện trình độ nhận thức ngâythơ, chất phác của những nhà duy vật

Thế giới quan duy vật chất phác thể hện rõ nét ở thời cổ đại Đây là thời kỳ conngười đã thoát khỏi trạng thái mông muội nhưng mọi mặt của đời sống xã hội còn ởtrình độ rất thấp Lao động đã từng bước được phân thành lao động trí óc và lao độngchân tay song sản xuất vật chất vẫn là hoạt động cơ bắp còn hoạt động tinh thần củanhững người lao động trí óc mới chỉ tạo nên phôi thai của khoa học nên trong khi thừanhận bản chất của thế giới là vật chất, các nhà duy vật đã quan niệm vật chất là mộthay một số chất đầu tiên sản sinh ra vũ trụ

Ở phương Đông, phái Ngũ hành coi những chất đầu tiên ấy là Kim – Mộc – Thuỷ– Hoả - Thổ; phái Nyaya – Vai’sêsika: những hạt không đồng nhất, bất biến, khácnhau về hình dáng và khối lượng mà họ gọi là Anu; phái Lokayata: đất, nước, lửa,không khí; v.v

Ở phương Tây, phái Milê cho rằng chất đầu tiên ấy đơn thuần là nước (quanđiểm của Talét), apeirôn (quan điểm của Anaximan) hay không khí (quan điểm củaAnaximen); Hêraclit bảo đấy là lửa; Lơxip và Đêmôcrit khẳng định là nguyên tử; v.v Những vấn đề về con người cũng được các nhà duy vật giải thích xuất phát từnhững chất mà họ coi là vật chất ấy: Con người là hiện thân của ngũ hành, là sản phẩmcủa khí, là sự tương tác giữa âm – dương, là sự kết hợp các nguyên tử, v.v

Với quan niệm về thế giới, về con người như vậy, nhìn chung thế giới quan duyvật chất phác thời cổ đại có những bước tiến đáng kể so với các thế giới quan kháccùng tồn tại ở xã hội đương thời song do hạn chế về lịch sử, thế giới quan duy vật chấtphác còn nhiều hạn chế, trong đó:

+ Nhận thức của các nhà duy vật mang nặng tính trực quan, phỏng đoán chứchưa có được những căn cứ khoa học vững chắc

+ Quan niệm vật chất là một hay một số chất đầu tiên sản sinh ra vạn vật chứng

tỏ các nhà duy vật thời kỳ này đã đồng nhất vật chất với vật thể – một số dạng cụ thểcủa vật chất

+ Việc đồng nhất vật chất với vật thể là một trong những nguyên nhân dẫn đếnnhiều hạn chế trong những lĩnh vực khác, như: Không hiểu được bản chất của các hiệntượng tinh thần cũng như mối quan hệ giữa tinh thần với vật chất; không có cơ sở xácđịnh những biểu hiện của vật chất trong đời sống xã hội nên cũng không có cơ sở đểđứng trên quan điểm duy vật khi giải quyết những vấn đề về xã hội Điều đó tất yếudẫn đến duy vật không triệt để: khi giải quyết những vấn đề về tự nhiên họ đứng trênquan điểm duy vật, còn khi giải quyết những vấn đề về xã hội họ đã “trượt” sang quanđiểm duy tâm”; v.v

+ Thế giới quan duy vật thời cổ đại chỉ dừng lại ở việc giải thích thế giới chứchưa đóng được vai trò cải tạo thế giới

Tuy còn nhiều hạn chế cả về trình độ nhận thức cũng như nội dung phản ánhnhưng thế giới quan duy vật chất phác thời cổ đại đã có những đóng góp lớn lao vàoquá trình phát triển nhận thức Điều ấy thể hiện: Sự ra đời của thế giới quan duy vậtthời cổ đại đã đánh dấu bước chuyển hoá từ giải thích thế giới dựa trên thần linh sanggiải thích thế giới dựa vào giới tự nhiên, nó định hướng cho con người nhận thức thếgiới phải xuất phát từ chính bản thân thế giới và nó đã đặt ra nhiều vấn đề - từ đó thếgiới quan duy vật ở các giai đoạn sau tiếp tục phát triển, hoàn thiện

- Thế giới quan duy vật siêu hình

Thế giới quan duy vật siêu hình là thế giới quan duy vật được hình thành và phát triển bằng phương pháp tư duy siêu hình

Thế giới quan duy vật siêu hình biểu hiện rõ nét vào thời cận đại, vào thế kỷ thứXVII – XVIII ở các nước Tây Âu Thời kỳ này phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa

đã được xác lập ở nhiều nước Sự ra đời của phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩađòi hỏi khoa học tự nhiên phải có những bước phát triển mới nhưng vào thế kỷ thứXVII – XVIII hoá học còn ở trong hình thức ấu trĩ, chủ yếu theo thuyết phlôgixtôn;sinh vật học ở trình độ phôi thai, cơ thể của động, thực vật mới chỉ được nghiên cứurất thô sơ và được giải thích bằng những nghiên cứu thuần tuý máy móc; lịch sử pháttriển của trái đất hoàn toàn chưa được biết đến v.v Trong tất cả các khoa học tự nhiên,chỉ có cơ học là về cơ bản đã đạt đến mức độ hoàn bị nên những định luật cơ học đượccoi là duy nhất đúng đối với mọi hoạt động nhận thức Điều này dẫn đến sự thống trịcủa phương pháp tư duy siêu hình mà hầu hết các nhà duy vật ở Tây Âu đều chịu ảnhhưởng Những yếu tố biên chứng có xuất hiện trong học thuyết của các nhà duy vậtsong nhìn chung thế giới quan của họ là thế giới quan duy vật siêu hình Tiêu biểu chothế giới quan duy vật siêu hình thế kỷ thứ XVII – XVIII là thế giới quan của Bêcơn,Hốpxơ, Lốccơ, Xpinôda, Đềcáctơ, La Metri, Điđrô, Hônbách, v.v

Các nhà duy vật siêu hình trong khi phủ nhận vai trò của Đấng Sáng tạo, thừanhận bản chất của thế giới là vật chất đã phát triển tư tưởng coi vật chất là chất đầutiên tạo ra vũ trụ của các nhà duy vật thời cổ đại: Bêcơn, Đềcáctơ coi vật chất là “hạt”;Hốpxơ, La Metri, Điđrô coi là “các vật thể riêng lẻ”, v.v Nhìn chung, thế giới trongquan niệm của các nhà duy vật siêu hình là vô số những sự vật cụ thể tồn tại cạnh nhautrong một không gian trống rỗng, vĩ đại

Các nhà duy vật siêu hình đề cao con người, đề cao các giá trị của con ngườisong quan niệm con người cũng chỉ như một cỗ máy: Hốpxơ hiểu trái tim của con

người như chiếc lò xo, thần kinh như những sợi chỉ còn các khớp xương như nhữngbánh xe; Bêcơn coi ý thức của con người là “linh hồn biết cảm giác” tồn tại trong óc

và luôn chảy theo các dây thần kinh và mạch máu; v.v Không hiểu đúng về conngười, tất yếu các nhà duy vật siêu hình cũng không thể hiểu đúng về vị trí, vai trò củacon người trong thế giới mà con người đang sống

Thế giới quan duy vật siêu hình thời cận đại tuy góp phần chống thế giới quanduy tâm, góp phần giúp con người đạt được một số hiệu quả trong nhận thức từng lĩnhvực hẹp song vì phát triển tư tưởng về vật chất của các nhà duy vật thời cổ đại vàphương pháp nhận thức là phương pháp siêu hình nên ngoài những hạn chế mà các nhàduy vật thời cổ đại đã mắc phải, các nhà duy vật thời cận đại còn mang nặng tư duymáy móc, không hiểu thế giới là một quá trình với tính cách là lịch sử phát triển củavật chất trong các mối liên hệ đa dạng, phức tạp và trong trạng thái vận động khôngngừng, vĩnh viễn

- Thế giới quan duy vật biện chứng:

Thế giới quan duy vật biện chứng là thế giới quan duy vật được hình thành và phát triển bằng phương pháp tư duy biện chứng

Thế giới quan này được C.Mác và Ph.Ăngghen xây dựng vào giữa thế kỷ thứXIX, V.I.Lênin và những người kế tục ông phát triển

Sự ra đời của thế giới quan duy vật biện chứng là kết quả kế thừa tinh hoa cácquan điểm về thế giới trước đó, trực tiếp là những quan điểm duy vật của L.Phơbách

và phép biện chứng của F.Hêghen; là kết quả sử dụng tối ưu thành tựu của khoa học,trước hết là thành tựu của Vật lý học và Sinh học Ph.Ăngghen nhận định: Thời giannày (giữa thế kỷ thứ XIX) khoa học tự nhiên đã phát triển và đạt được những kết quảrực rỡ, đã cung cấp những tài liệu mới với số lượng chưa từng có, đến mức làm chongười ta không những có thể khắc phục hoàn toàn tính siêu hình máy móc của thế kỷXVIII, mà ngay bản thân khoa học tự nhiên, nhờ chứng minh được những mối liên hệtồn tại trong bản thân giới tự nhiên mà đã biến từ khoa học kinh nghiệm chủ nghĩathành khoa học lý luận và nhờ tổng hợp những kết quả đã đạt được mà đã trở thànhmột hệ thống nhận thức duy vật về thế giới trong sự vận động, biến đổi không ngừngcủa nó

Sự ra đời của thế giới quan duy vật biện chứng còn là kết quả tổng kết sự kiệnlịch sử diễn ra ở các nước Tây Âu, khi phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa đã hìnhthành và đã bộc lộ cả những mặt mạnh cũng như những mặt hạn chế của nó

Nội dung, bản chất của chủ nghĩa duy vật biện chứng đem lại cho con ngườikhông chỉ một bức tranh trung thực về thế giới mà còn đem lại cho con người mộtđịnh hướng, một phương pháp tư duy khoa học để con người tiếp tục nhận thức và cảitạo thế giới

CHƯƠNG II - VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT

1 Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học

Như chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khingười ấn Độ đưa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ được hệ thống tínhtừng cấp và phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt của nó trong tính toán

đã được hàng trăm triệu người trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng ngày Đồng thời,khi nhà khoa học nổi tiếng người Đức là Lépnít đưa ra ký hiệu vi phân và tích phân thìtoán học đã thực sự đổi mới Thật vậy, nếu như trước đây lời giải của nhiều bài toán vềtính diện tích, thể tích, cơ học, thiên văn học… đòi hỏi những nỗ lực to lớn mà chỉnhững nhà toán học lỗi lạc mới có thể giải được, thì khi các ký hiệu của Lépnít xuấthiện, nhìn chung chúng đã được giải quyết, mặc dù đó là sự giải quyết một cách máymóc Như vậy, với những ký hiệu toán học, chúng ta có thể giải quyết được nhữngnhiệm vụ gắn liền với thực tiễn Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan đíchthực Ở đây, vấn đề là ở chỗ, nội dung ấy được thể hiện như thế nào trong quá trìnhnghiên cứu khoa học của chúng ta

Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sửdụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học Chẳng hạn, trong số học các số

tự nhiên, các ký hiệu 1, 2,3, biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối tượng chứamột, hai, ba,… đối tượng Các ký hiệu > , = , < biểu diễn những sự tương quan, chẳnghạn 1< 2 (1 bé hơn 2) Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số họcnhư: + , , , :  để biểu thị những mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên Tất cả các

ký hiệu nói trên cho phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của

số học các số tự nhiên Ví dụ, ký hiệu (4 6) 10 = 7 2   biểu diễn một mệnh đề số học.Trong toán học, vai trò của các ký hiệu rất giống với vai trò của tiếng nói thôngthường trong xã hội Điều này được thể hiện ở chỗ, tiếng nói của các ký hiệu toán họccho phép các nhà toán học trao đổi với nhau và trao đổi với những người khác về chân

lý toán học, về việc tổ chức nghiên cứu khoa học Nhà toán học nổi tiếng người Nga Lôbasépxki đã nhận định rằng, cũng như tiếng nói thông thường có khả năng làm cho

-sự hiểu biết của chúng ta thêm phong phú nhờ lĩnh hội được ý kiến của những ngườikhác, tiếng nói của các ký hiệu toán học là một phương tiện hoàn hảo hơn, chính xác

và sáng sủa hơn để người này truyền cho người kia những khái niệm mà họ lĩnh hộiđược, những chân lý mà họ tìm thấy Nhưng ở đây, cần phải thấy một điều đặc biệtquan trọng là, tiếng nói của các ký hiệu toán học không thể tồn tại được nếu không cótiếng nói thông thường Tiếng nói thông thường có nội dung phong phú hơn tiếng nóicủa các ký hiệu toán học Tất cả những mệnh đề toán học được diễn tả bằng tiếng nóicủa ký hiệu đều có thể diễn tả bằng tiếng nói thông thường Nhưng điều ngược lại thìkhông đúng, mọi mệnh đề được diễn tả bằng tiếng nói thông thường không phải lúcnào cũng có thể diễn tả bằng tiếng nói của các ký hiệu toán học Tiếng nói của các kýhiệu toán học chỉ là một công cụ bổ sung cho tiếng nói thông thường, nó được sử dụngtrong toán học và một phần trong các ngành khoa học khác mà ở đó, có ứng dụng toánhọc Việc ký hiệu hoá toán học không đơn thuần là một vấn đề hình thức, một cáchviết tắt thuận lợi, mặc dù không bao giờ được xem thường khía cạnh đó Ngôn ngữtoán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà nếu diễn tả bằng ngôn ngữ thôngthường sẽ rất dài đòng, phức tạp

Trong các tập Bản thảo toán học, Mác đã nghiên cứu riêng toán học và để lạinhiều tư tưởng quý giá về các vấn đề mà chúng ta quan tâm Trong đó, những tư tưởngcủa Mác về cái gọi là "cuộc cách mạng trong phương pháp" có ý nghĩa đặc biệt quantrọng về mặt phương pháp luận Trong khi phân tích những quan niệm khác nhau về

cơ sở của phép tính vi phân, Mác đã khẳng định rằng, việc sử dụng các ký hiệu trởthành bí ẩn và khó hiểu nếu ngay từ đầu chúng được coi là cái đã cho, đã có sẵn Điềukhẳng định của Mác đã xảy ra đối với các nhà sáng lập phép tính vi phân - Niutơn vàLépnít cùng những người kế tục gần gũi các ông Trong khi tìm các đạo hàm và viphân của hàm số, ngay từ đầu, họ đã coi số gia của đối số như là các vi phân Khi lấy

vi phân một hàm số xác định y = f(x), một bộ phận nào đó được bỏ đi coi như vô cùngnhỏ, nhưng nếu số hạng bỏ đi khác 0 thì việc bỏ nó là một phép toán không hợp pháp;nếu có (dx) = 0 thì khi đó, cả (dy) cũng bằng 0 và đẳng thức của chúng ta biến thànhđồng nhất thức 0 = 0 Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và không là 0 Lẽđương nhiên là ở đây, không có phép biện chứng nào cả Trái lại, chính điều này đã điđến chỗ gán cho các vi phân những tính chất bí ẩn đặc biệt nào đó, khác với các tínhchất của các đại lượng thông thường Vin vào đó, nhà triết học duy tâm Béccơly đã lấy

cớ để gọi chúng một cách châm biếm và hài hước là "bóng ma của những đại lượngchết"

Để vứt bỏ tấm màn bí ẩn ở các khái niệm và ký hiệu của phép tính vi phân, theoMác, cần phải làm cho ký hiệu đặc trưng đối với phép tính vi phân không xuất hiệnnhư là điểm xuất phát, mà như là kết quả của quá trình hoạt động thực tế không chứamột chút gì là ký hiệu Mác cho rằng, điểm xuất phát phải nằm trong giới hạn của đại

số thông thường mà chưa yêu cầu những thuật toán đặc biệt của phép tính vi phân vàcác ký hiệu của nó Ở đây, điều mà chúng ta cần lưu ý là ở chỗ, Mác đã chỉ rõ nhữngviệc cần phải làm để tìm ra đạo hàm của một hàm số xác định y = f (xi) Trước hết,Mác lập các số gia hữu hạn Δx và Δy Trong khi một số nhà triết học duy tâm, chẳngx và Δx và Δy Trong khi một số nhà triết học duy tâm, chẳngy Trong khi một số nhà triết học duy tâm, chẳnghạn như Alembécxơ, coi các số gia đó như những cái đã tồn tại từ trước, bất luận sựbiến đổi nào của các biến số, thì Mác, trái lại, coi chúng như là kết quả biến đổi củacác biến số

Mác coi việc khử các số gia là công đoạn diễn ra do kết quả biến đổi ngược củacác biến số x và y, còn việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán bao gồm cả côngđoạn tính và khử các số gia hữu hạn Mác viết: "Lúc đầu là việc tính các số gia và sau

đó là việc khử chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có gì hết Tất cả những khó khăntrong việc hiểu phép vi phân (cũng như trong việc hiểu phủ định của phủ định nóichung) chính là ở chỗ, làm sao thấy được ở điểm nào, nó khác với thủ tục đơn giảnnhư thế và vì vậy, nó dẫn đến kết quả thực tế nào"

Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta nhận thấyrằng, trong toán học, người ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu chính là dođặc điểm về đối tượng nghiên cứu của nó Cụ thể là, toán học nghiên cứu những hìnhdạng và quan hệ của các đối tượng trong thế giới hiện thực mà trong những giới hạn đãbiết, chúng không phụ thuộc vào nội dung thực tế của đối tượng Ngày nay, trong toánhọc, nhất thiết chúng ta phải dùng đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có thểghi lại một cách ngắn gọn và rõ ràng các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toánhọe Đồng thời, việc sử dụng các ký hiệu còn cho phép phát triển được cả những phéptính và những thuật toán, tức là những cái cất lõi để xây dựng nên các phương pháp vàcác mệnh đề toán học Như vậy, về thực chất, việc sử dụng các ký hiệu toán học là mộtthí nghiệm đã được lý tưởng hoá, chúng mô tả dưới dạng thuần tuý những điều đãđược thực hiện hay có thể thực hiện được một cách gần đúng hoặc chính xác trong

thực tế Chính vì vậy mà việc sử dụng các ký hiệu toán học có khả năng phát hiện racác chân lý toán học mới Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng, tất cả những điều nóitrên chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp hệ thống ký hiệu toán học đó thể hiệnđúng đắn các tính chất và tương quan cơ bản, xác định của thế giới hiện thực Toánhọc nghiên cứu các quan hệ về lượng và hình dạng không gian của các đối tượng trongthế giới đang tồn tại, có nghĩa là nó nghiên cứu những cái không phụ thuộc vào nộidung vật chất của chúng

Trên cơ sở đó, các đối tượng mà chúng ta đang nghiên cứu trong toán học, như

số học, đại số, hình học… và các liên hệ như cộng, trừ, nhân, chia… có thể thay thếđược bằng những ký hiệu mà ý nghĩa của chúng không hề bị xuyên tạc và thu hẹp lại.Điều này đã được nhiều nhà toán học khẳng định, trong số đó có cả những nhà toánhọc duy tâm Chẳng hạn, Lépnít đã nhận xét rằng, cần phải quan tâm đến vấn đề làmcho những ký hiệu trở nên thuận tiện hơn cho việc phát minh Điều này thường xảy rakhi các ký hiệu diễn tả một cách ngắn gọn và phản ánh một cách sâu sắc nhất thực chấtcủa sự vật, khi đó việc làm của tư duy sẽ giảm đến mức kỳ diệu

2 Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật

Nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chia lịch sử của nó làm ba thời

kỳ lớn: thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học về các đại lượng bất biến (từ thế

kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷ XVII), thời kỳ cổ điển hay toán học về các đạilượng biến đổi (từ thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX), thời kỳ hiện đại hay toán học vềcác vấn đề cấu trúc (từ cuối thế kỷ XIX đến nay) Sự kế tiếp của mỗi thời kỳ tuân theomột logic nhất định phản ánh tiến trình phát triển nội tại của toán học và của nhữngnhân tố bên ngoài, trong đó có các quan điểm thế giới quan khác nhau, tác động vào

nó Cũng như các tri thức khác, sự phát triển của tri thức toán học mang tính biệnchứng sâu sắc Nó là quá trình vừa kế thừa vừa đổi mới về chất giữa các thời kỳ Vìvậy các tri thức toán học ở thời kỳ sau chung hơn, sâu sắc hơn, đa dạng hơn thời kỳtrước và bao quát nó như trường hợp riêng Vậy trong từng thời kỳ, toán học đã gópphần hình thành luận chứng cho các thế giới quan duy vật nói chung và triết học biệnchứng nói riêng như thế nào?

Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượnglấy những giá trị cố định Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở củalôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ Điều đó góp phần hình

thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học Thí dụ từ quan hệ a=b, b=c suy ra a=c.

Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định

Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên vănhọc là tương đối phát triển Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vàocuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm Sự phát triển củamột thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏiphải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học vềcác đại lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển) Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của

cơ học Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới xungquanh Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực

để tính toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ nghĩaduy vật siêu hình máy móc Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc

đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học

tự nhiên Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đãtạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ đại

Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn Như vậy ởthời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu

tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cốthế giới quan chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc Do sự phát triển của thực tiễn vànhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi

Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng

về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở các khoa

học tự nhiên thực nghiệm khác F Enghen đã đánh giá:“Đại lượng biến đổi của Đềcác

đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.”

Thật vậy, trong lập luận của giải tính toán và phép tính vi phân, người ta đã dùngcác khái niệm như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng,toán học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quantrọng Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học đã góp phần thayđổi về chất tư duy khoa học Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niutonchịu sự chi phối của các khái niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp Với

tư tưởng vận động, liên hệ của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đốivới các hình thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hìnhthức nói riêng Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong làgiới hạn của những đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ của toán học làmột trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng Nó góp phần hình thành bước đầu

cơ sở khoa học của logic biện chứng Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao?

Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêuhình máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởngvận động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình

“mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên” Thậtvậy, sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích toán học đã tạo cho các nhà khoa họcmột phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật, quá trình trong tựnhiên Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quyluật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII Sự ra đời thuyết tương đối củaAnhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình học phi Ơclít Nhưvậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào cuộc cách mạng thế giới quan,thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm làkhối lượng bất biến, không gian và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vậtbiện chứng mà sự ra đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa họchiện đại khác là ví dụ (với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian không táchrời nhau)

Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của tư tưởngthống kê – xác suất Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại khách quancủa cái ngẫu nhiên Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà có cả những cáingẫu nhiên Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho nhau Tư tưởngthống kê- xác suất cho ta một quan niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụthuộc lẫn nhau, giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình Nó vượt hơn hẳn quan điểmquyết định luận chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ

và tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổsung vào bức tranh khoa học chung về thế giới

Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hìnhthành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật

biện chứng Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng mang những hạn chế nhất định Nóchưa đáp ứng được những nhu cầu của nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền sảnxuất tự động hoá, của sự phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sangkhoa học liên ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn toánhọc tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán.Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởngcấu trúc Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng vàkhái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy luật chung củachúng Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấugiữa các lĩnh vực có bản chất khác nhau Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là mộttrong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán,điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn,trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vôsinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động, hoạtđộng theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.

Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trònền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc củatoánd học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới Sự thống nhất củatoán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơbản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính cóthể nhận thức được của thế giới đó Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã cónhững đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này Có thể nóirằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng

có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thếgiới Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sựsinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc củatoán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sựtổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc.Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duyvật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới

Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng củatoán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với nhữngngành tiếp cận thế giới vi mô Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát hiện ramối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác nhau Đặc biệt,trên cơ sở những lý thuyết hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện

ra những hạt mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm Điển hình là việcphát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình zcăn bậc hai Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự đoán ngoài electron còn tồntại một hạt khác có một số tính chất vừa giống điện tử nhưng lại vừa khác điện tử vềdấu của điện tích Đó là pozitron Dự đoán này đã trở thành hiện thực Về sau các phảnhạt của phần lớn các hạt cũng được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron Khả năngvượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của chủnghĩa duy vật về điện tử là vô cùng vô tận Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoáhọc lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử đều dựa vàonhững thành tựu của toán học hiện đại Đối với khoa học nhân văn, khả năng hìnhthành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội sẽ góp phần củng cố thế giới quan duyvật biện chứng trong nhận thức nhân văn và xã hội