Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)

Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ MỴ

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH

VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ MỴ

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH

VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành :Toán ứng dụng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Thị Thu Thủy

TS Lâm Thùy Dương

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

Lời cảm ơn iii

Bảng ký hiệu 1 Lời nói đầu 2 Chương 1 Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 4

1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert 4

1.1.1 Không gian Banach 4

1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert 7

1.2 Toán tử tuyến tính liên tục 16

1.2.1 Định nghĩa 16

1.2.2 Ví dụ 17

1.3 Toán tử đơn điệu mạnh 18

1.3.1 Hàm lồi và dưới vi phân 18

1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh 22

Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 25 2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 25

2.1.1 Định nghĩa 25

2.1.2 Ví dụ 26

2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27

2.2.1 Phươngtrìnhhiệu chỉnh 27

2.2.2 Sựtồntạitoán tửtuyếntính đơn điệumạnh 28

2.2.3 Sựhộitụ củaphươngpháphiệu chỉnh 31

2.2.4 Phươngpháplặp 35

2.3 Vídụ 36

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệmKhoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng cácgiảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đãtạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình họctập, nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Mỵ

Bảng ký hiệu

Lời nói đầu

Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán đặt không

chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi

nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệmkhông phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do tính không ổn định này củabài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn Lý do là mộtsai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lờigiải

Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trìnhtoán tử

sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai số của các dữ kiện càngnhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuấtphát Năm 1963, A.N Tikhonov [5] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và

kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động

và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế Nội dung chủ yếu của phương pháp này

là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) trong không gian

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tử cho

đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov

Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăntrong trường hợp bài toán phi tuyến Đối với lớp bài toán phi tuyến với toán tử

hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F Browder đề xuất

hiệu chỉnh

Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định(phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình toán đơn điệu vớiviệc sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh trongbài báo "Regularization by linear operators" của Giáo sư Nguyễn Bường công

bố trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica

Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương Chương 1 giới thiệumột số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tửđơn điệu Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử vớitoán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Chương 1

Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Chương này trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của không gianBanach, không gian Hilbert thực; khái niệm và tính chất của toán tử tuyến tính;toán tử đơn điệu mạnh và một số ví dụ minh họa Các kiến thức của chương nàyđược tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]

1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert

Mục này giới thiệu khái niệm và một số tính chất của không gian Banach, khônggian Hilbert và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó

ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các

điều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.2 Không gian L(X,R)-tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên

tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu

Định lý 1.1.5 Cho X là một không gian Banach Khi đó, các khẳng định sau

là tương đương:

(i) X là không gian phản xạ;

(ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.

Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm

biệt trên mặt cầu đơn vị thì không nằm trên mặt cầu đơn vị Nói cách khác nếu

Ví dụ 1.1.7 Không gian X = R n với chuẩn kxk2 được xác định bởi

không phải là không gian lồi chặt

2

Chú ý 1.1.9 (i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều;

(ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa chắclồi đều

Định nghĩa 1.1.10 (i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi

lim

kx + tyk − kxk

đạo hàm Gâteaux của chuẩn

(ii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ S X, giới hạn

(iv) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều

bởi

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X Khi q = 2, ánh

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach Khẳng địnhnày được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lý Hahn–Banach

1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13 Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R.

Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào

trường R, ký hiệu là h.,.i, thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H.

(b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H.

(d) hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0.

Nhận xét 1.1.14 Từ Định nghĩa 1.1.13 ta suy ra

(2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H.

Định nghĩa 1.1.15 Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên

nó được gọi là một không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.16 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với

mọi x,y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau, được gọi là bất đẳng thức Schwarz:

Định lý 1.1.17 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định

chuẩn với chuẩn được xác định bởi

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Hàm số

là một chuẩn trên H.

Thật vậy, từ điều kiện (d) của Định nghĩa 1.1.13 ta có kxk > 0 nếu x 6= 0 và

||x|| = 0 nếu x = 0 với x ∈ H Từ điều kiện (a) và (c) của Định nghĩa 1.1.13 ta

(1.2) và cách định nghĩa chuẩn ta có

Từ đó

hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi

Định nghĩa 1.1.18 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối

với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.3) thì H được gọi là không

là không gian Hilbert với tích vô hướng

là không gian Hilbert với tích vô hướng

Ví dụ 1.1.21 Gọi C[a,b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn

[a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vô hướng

hx, yi =

a

Không gian C[a,b] với chuẩn

Thật vậy, cho [a,b] = [0,1] và xét dãy x n (t) như sau:

bản Dễ thấy rằng dãy cơ bản này không hội tụ

cho nên ta phải có

1 2

Nhưng rõ ràng

1 2

Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của x n (t) trong C[12, 1]; x(t) và 0 cùng là giới hạn

không thể có giới hạn nào cả trong không gian C[0,1]

điều ngược lại không đúng

Hilbert thực H lần lượt hội tụ mạnh đến x0, y0∈ H Khi đó,

Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả

sau

Hệ quả 1.1.28 Cho H là một không gian tiền Hilbert và x,y,z ∈ H Khi đó, ta

Định lý 1.1.30 Giả sử (H,||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó

đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x,y ∈ H Nếu đặt

4



thì h.,.i là một tích vô hướng trên H và ta có hx,xi = ||x||2

trong định nghĩa về tích vô hướng Thật vậy, các điều kiện (a) và (d) trong Định

nghĩa 1.1.13 hiển nhiên được thỏa mãn

Với mọi x,y,z ∈ H ta có

Định lý được chứng minh 

1.2 Toán tử tuyến tính liên tục

Mục này giới thiệu định nghĩa và đưa ra một số ví dụ về toán tử tuyến tính liêntục

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian véc tơ thực X và Y Một ánh xạ A : X → Y

được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:

Chú ý 1.2.2 (i) Ở đây ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong

ánh xạ A.

(ii) Từ định nghĩa ta có điều kiện tương đương như sau:

(iii) Nếu Y = X ta nói A là một toán tử trong X.

Khi đó ta nói A là ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy mỗi x ∈ X, A(x) là một tập con của Y (A(x) có thể là tập rỗng) Nếu mỗi x ∈ X, tập A(x) chỉ có một phần

tử thì ta nói A là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , và ký hiệu A : X → Y.

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử tuyến tính A : X −→ Y từ không gian tuyến tính định

nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.

Định nghĩa 1.2.5 Đồ thị của ánh xạ A : X → Y từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y là tập tất cả các phần tử (x,Ax) trong không gian tích

suy ra được Ax = y.

Một ánh xạ liên tục thì bao giờ cũng là đóng Ngược lại nói chung khôngđúng Nhưng đối với ánh xạ tuyến tính thì lại khác Ta có định lý sau đây

Định lý 1.2.6 Một toán tử tuyến tính đóng từ một không gian Banach X vào

không gian Banach Y bao giờ cũng liên tục.

Ký hiệu G(A) là đồ thị của toán tử A : X → Y , nghĩa là G(A) := {(a,Ax) :

con của X ×Y , nên bản thân G(A) cũng là không gian Banach Ta xét ánh xạ

(x, Ax) 7→ x.

Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục, 1 − 1 từ không gian Banach G(A) lên

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có

0

...

tử tuyến tính đơn điệu mạnh< /b>

Chương trình bày khái niệm ví dụ phương trình tốn tử đặt khơngchỉnh; phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh với thànhphần hiệu. .. hiệu chỉnh tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Các kiến thức chươngnày tham khảo từ tài liệu [1] báo [4]

2.1 Phương trình tốn tử đặt không chỉnh< /b>

Định nghĩa 2.1.1 Cho. ..

2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa trên

tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh< /b>

2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh< /b>