CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Nếu ta cộng các xác suất theo hàng ta được các xác suất tương ứng với giá trị củaX.. Hãy lập bảng phân bố xác suất đồng thời củaX,Y.. Các kết quả đồng khả năng CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊ

Trang 1

3.1 KHÁI NIỆM VÉC TƠ NGẪU NHIÊN

3.1.1 Định nghĩa và phân loại

Một véc tơ ngẫu nhiênnchiều là một bộ có thứ tự X X1, 2, , Xn

với các thành phần là các biến ngẫu nhiên xác định

trong cùng một phép thử.1 2

, , , n

Ta ký hiệu véc tơ ngẫu nhiên hai chiều là(X, Y), trong đóXlà

biến ngẫu nhiên thành phần thứ nhất vàYlà biến ngẫu nhiên

thành phần thứ hai

Véc tơ ngẫu nhiênnchiều là rời rạc hoặc liên tục nếu tất cả các

biến ngẫu nhiên thành phần là rời rạc hoặc liên tục

3.1.2 Hàm phân bố xác suất đồng thời

Hàm phân bố xác suất của véc tơ ngẫu nhiên  X X1, 2, , Xn hay còn được gọi là hàm phân bố xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiênX X1, 2, , Xn

n

F x x x  P X  x X  x X  x

Các tính chất của hàm phân bố xác suất đồng thời

1

1 1

n

2

1 1

n k

  , với k nào đó thuộc  1, , n 

3

1 1

1 ( , , ) ( , , )

n n

  



4

1 ( , ,1 )

n

X1x X1, 2x2, ,X nx n là biến cố tích X1x1 X2x2  X nx n

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

5

1

Tương tự nếu lấy giới hạn của hàm phân bố xác suất đồng

thời của khi biến tiến đến vô cùng, vớiknào

đó thuộc{1, … , n}, thì được hàm phân bố xác suất đồng thời

củan  1biến ngẫu nhiên còn lại

1, 2, , n

1, , k 1, k 1, , n

Đặc biệt nếu là hàm phân bố xác suất của véc tơ

ngẫu nhiên hai chiều(X,Y)thì

( , )

XY

F x y

lim XY( , ) X( )

lim XY( , ) Y( )

( , ) ( , )

P x X x y Y y F x y F x y

F x y F x y

)

(

,

)

(x F y

F X Y gọi là hàm phân bố xác suất biên

Ví dụ 3.2: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y)có hàm phân bố xác suất

( , ) 0

XY

F x y

 

Do đó các hàm phân bố xác suất biên

x









y









P X  Y   F   e  e

Các xác suất

 1  X(1) 1

P X   F   e

 1  1  1  1 Y(1)

P Y    P Y    F  e

Áp dụng luật De Morgan ta có

 X  x Y   y    X  x    Y  y    X  x    Y  y 

  

P X x Y y    P X x   Y y   P X x   P Y y   P X x Y y  

F x F y F x y

(1 ex) (1 ey) (1 ex)(1 ey) 1 exey

Vậy

P X  x Y  y   P X  x Y  y  ee

Ví dụ 3.3: Hàm phân bố xác suất của véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) xác định như sau

1 2 3

XY

x a y b





 hoÆc

Có hai hàm phân bố xác suất biên

3

1

x

x a









2

1

y

y b







Trang 2

3.2 BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN

RỜI RẠC HAI CHIỀU

3.2.1 Hàm khối lượng xác suất đồng thời

Tương tự trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc, quy luật phân

bố xác suất của véc tơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều có thể

được xác định thông qua hàm khối lượng xác suất đồng thời

hoặc bảng phân bố xác suất đồng thời

p x y  P X  x Y  y

thỏa mãn điều kiện

1 1

( , ) 0, 1, , , 1, , ( , ) 1

XY i j

n m

XY i j

i j

p x y

 











 

i j

x x y y

 

3.2.2 Hàm khối lượng xác suất biên

Bảng phân bố xác suất biên

Từ bảng phân bố xác suất đồng thời của(X,Y), nếu ta cộng các

xác suất theo cột thì ta được các xác suất tương ứng với các giá

trị củaY.

Nếu ta cộng các xác suất theo hàng ta được các xác suất tương

ứng với giá trị củaX

Ví dụ 3.4: Gieo 3 đồng tiền cân đốiA,B,C GọiXlà số mặt ngửa xuất hiện của 2 đồng tiềnA,BvàYlà số mặt ngửa xuất hiện của cả 3 đồng tiềnA,B,C Hãy lập bảng phân bố xác suất đồng thời củaX,Y

Các kết quả đồng khả năng

Bảng phân bố xác suất đồng thời của Xvà Y

Bảng phân bố xác suất của hai biến ngẫu nhiên thành phần

Ví dụ 3.5: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi

Hộp I có 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3

Hộp II có 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi Gọi X, Ylần lượt là số ghi trên bi rút được từ hộp I và hộp II Bảng phân bố xác suất đồng thời của X, Y

Trang 3

3.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA VẫC TƠ NGẪU NHIấN LIấN TỤC

1 2 ( ,1 2, , ) 0

n

1 2

n

x

x x

  

là hàm mật độ xỏc suất của vộc tơ ngẫu nhiờn liờn tục  X X1, 2, , Xn

hoặc hàm mật độ xỏc suất đồng thời của cỏc biến ngẫu nhiờn

1, 2, , n

Tớnh chất của hàm mật độ xỏc suất

1 fXY( , ) x y  0 với mọi ( , ) x y và fXY( , ) x y dxdy 1

 

 



 

( , )

XY

x y A R

 

   với mọi A 32,

RXY là miền giỏ trị của ( , ) X Y

3

2

( , )

( , ) ( , )

0

XY XY

x y

F x y

f x y x y

 



nếu tồn tại đạo hàm tại nếu ngược lại

CHƯƠNG 3: VẫC TƠ NGẪU NHIấN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.3.2 Hàm mật độ xỏc suất biờn

Hàm mật độ xỏc suất của biến ngẫu nhiờn thành phần X

Hàm mật độ xỏc suất của biến ngẫu nhiờn thành phần Y

f x y dy f x









f x y dx f y









Vớ dụ 3.7: Cho vộc tơ ngẫu nhiờn (X,Y)cú hàm mật độ xỏc suất xỏc định như sau

( , ) 0

XY



nếu nếu ngược lại Miền giỏ trị của X, Y là tam giỏc RXY

1

2

XY

 

 

0

0 1

2 2 ( )

0

x

X

x

dy x







 







nếu

nếu ngược lại

1

0 1

2 2(1 ) ( )

0

y





 







nếu

nếu ngược lại

0 1/ 2; 0 1/ 2 ( , ) 2 1 1

z

XY R

P X Y  f x y dxdy  

 



Vớ dụ 3.8: Cho vộc tơ ngẫu nhiờn(X,Y)cú hàm mật độ xỏc suất

xỏc định như sau

( , )

0

XY

k



ế nếu ngược lại

x

y

1 1

 Miền D: x  y  1 đối xứng qua hai

trục toạ độ O x , O y Phần của D nằm

trong gúc phần tư thứ nhất là tam giỏc

vuụng cõn 0  x ,0  y x ;  y  1

Vậy D là hỡnh vuụng cú độ dài cạnh bằng 2, do đú

1

2

 

 

1

(1 )

1 1

1

1 ( ) 2

0 0

x

x x

f x



 













nếu nếu

Do tớnh chất đối xứng của X và Y nờn ta cũng cú

1 1

1 ( )

0

Y

y y

y



 

 



nếu nếu

Trang 4

3.4 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIấN

Cỏc dấu hiệu để nhận biết tớnh độc lập của hai biến ngẫu nhiờn

Hai biến ngẫu nhiờnX,Ylà độc lập nếuXnhận cỏc giỏ trị nào

đú khụng phụ thuộcYvà ngược lại Núi cỏch khỏc với mọi số

thựcx,yhai biến cố{X  x},{Y  y}là độc lập

Giả sửFXY(x,y) là hàm phõn bố xỏc suất của vộc tơ ngẫu

nhiờn(X,Y) Khi đúX,Y độc lập khi và chỉ khi

( , ) ( ) ( )

F x y  F x F y

Giả sử fXY(x,y)là hàm mật độ xỏc suất của vộc tơ ngẫu

nhiờn liờn tục(X,Y) Khi đúX,Y độc lập khi và chỉ khi

( , ) ( ) ( )

f x y  f x f y

Vộc tơ ngẫu nhiờn liờn tục (X,Y)cú hàm mật độ

0 1, 0 1

4 ( , ) 0

XY

xy



nếu nếu ngược lại

Cú hai hàm mật độ thành phần

0 1

2 ( ) 0

X

x x



nếu nếu ngượclại

0 1

2 ( ) 0

Y

y y



nếu nếu ngược lại

( , ) ( ) ( )

f x y  f x f y

Vậy Xvà Yđộc lập

Vộc tơ ngẫu nhiờn rời rạc hai chiều (X,Y)

p x y  p x p y   i n j  m

Một dấu hiệu để nhận biết hai biến ngẫu nhiờn rời rạc độc

lập là bảng phõn bố xỏc suất đồng thời cú tớnh chất:

Hai hàng bất kỳ tỉ lệ với nhau

Hai cột bất kỳ tỉ lệ với nhau

X nhận cỏc giỏ trị x1, … ,xn, Ynhận cỏc giỏ trị y1, …,ym

X,Ylà độc lập khi và chỉ khi

3.5 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA VẫC TƠ NGẪU NHIấN

3.5.1 Kỳ vọng và phương sai của cỏc biến ngẫu nhiờn thành phần

a Trường hợp X, Y rời rạc

 2

1 1

n m

i j

 

 2

1 1

m n

j i

 

b Trường hợp X, Y liờn tục

E X xfX( ) x dx xfXY( , ) x y dxdy

E Y yfY( ) y dy yfXY( , ) x y dxdy

 2

D X E X E X ; E X x fXY( , ) x y dxdy

 

 

 2

D Y E Y E Y ; E Y y fXY( , ) x y dxdy

 

 

3.5.2 Hiệp phương sai

Hiệp phương sai (hay cũn gọi là Covariance) của hai biến ngẫu nhiờnX,Y, ký hiệucov(X,Y), là kỳ vọng toỏn của tớch cỏc sai lệch của hai biến ngẫu nhiờn đú với kỳ vọng toỏn của chỳng

cov( , ) X Y  E X  E X Y  E Y

Khai triển vế phải và ỏp dụng tớnh chất của kỳ vọng ta được

  cov( , ) X Y  E XY  (E X )(E ) Y

Nếu X,Yrời rạc thỡ

Nếu X,Y liờn tục thỡ

 

1 1

m n

i j XY i j

j i

 

  

 

E XY xyfXY( , ) x y dxdy

 

 

  

Trang 5

Tính chất của hiệp phương sai

1 cov( , ) X Y  cov( , Y X )

2 cov( , X X )  D X

3 cov( aX  c bY ,  d )  ab cov( , Y X ) với mọi hằng số a b c d , , ,

4 Nếu X Y , độc lập thì cov( , ) X Y  0

nhưng ngược lại chưa chắc đúng

3.5.3 Ma trận hiệp phương sai

ij n n



 

  

Ma trận

cov( , ); , 1, ,

với

được gọi là ma trận hiệp phương sai (ma trận covariance) của véc tơ ngẫu nhiên X=(X1, X2, … , Xn)

Tính chất của ma trận hiệp phương sai

1 Ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng

2 Với mọi t t1, , ,2 t 3n n luôn có ij i j 0

j i

C t t 



3 Các định thức con chính của Mkhông âm

3.5.4 Hệ số tương quan

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X,Yký hiệu và

định nghĩa bởi công thức

,

cov( , )

X Y

Tính chất của hệ số tương quan

1   1 X Y,  1 với mọi X Y ,

2 Nếu X Y , độc lập thì X Y,  0điều ngược lại chưa chắc đúng

4 Y  aX  b a ,  0 khi và chỉ khi , 0

0

1 1

X Y

a a





 





nÕu nÕu

3 Với mọi hằng số a b c d , , , : , ,

,

0 0

X Y

aX c bY d

X Y

ab ab









 





nÕu nÕu

khi ( ) 0 ( ) 0

D X

D Y







X Y

Xét véc tơ ngẫu nhiên (X,Y)có bảng phân bố xác suất

Bảng phân bố xác suất biên

2

E 0.0 0.1 0.2.0 0.3.0 1.0.0 1.1 1.2 1.3.0 2.0.0

2.1.0 2.2 2.3 2

,

3

D D (1/ 2)(3/ 4)

X Y

1/ 2 3/ 4

M     

Xét kênh viễn thông nhị phân

Ký hiệu X là đầu vào và Ylà đầu ra của kênh

 0   1  0,5

P X   P X  

p  P Y  X  

Trang 6

Bảng phân bố xác suất thành phần Xvà Y

(X,Y)là véc tơ ngẫu nhiên có bảng phân bố xác suất đồng thời

Xvà Ykhông độc lập

E X  0,5, E X 2 0,5  D X  0,25

E Y  0, 45, E Y 2 0, 45  D Y  0, 2475 Hiệp phương sai

E XY  0, 4  cov( , ) X Y  0, 4  0,5 0, 45   0,175

Hệ số tương quan

,

0,704

X Y



Ma trận hiệp phương sai 0,25 0,175

0,175 0,2475

Ta thấy giá trị X,Y =0,704 khá xa 1, do đó Ykhông phụ thuộc tuyến tính đối với X

3.6 PHÂN BỐ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN

3.6.1 Phân bố và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho biến ngẫu nhiênXrời rạc vàBlà một biến cố trong cùng

phép thử vớiXcó xác suấtP(B) > 0

Biến ngẫu nhiênXđược xét trong điều kiện biết rằngBđã xảy

ra được gọi là biến ngẫu nhiên với điều kiệnB, ký hiệuX|B

Hàm khối lượng xác suất của X|B

|

( )

i

X B i

P B



Kỳ vọng của Xvới điều kiện B

| 1

n

i X B i i



Giả sử X, Ylà hai biến ngẫu nhiên rời rạc có tập các giá trị

{x1, x2, … , xn} và {y1, y2, … , yn}

Với mỗiyjRY, biến ngẫu nhiênXvới điều kiện biến cố{Y=yj}

có hàm khối lượng xác suất có điều kiện

|

( , )

( )

XY i j

X Y i j

Y j

p y

Tương tự, hàm khối lượng xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiênYvới điều kiện{X=xi}

|

( , )

( )

XY i j

Y X j i

X i

p x

Tính chất của hàm khối lượng xác suất có điều kiện

1 0  pX Y| ( xi| yj) 1 ;    i 1, , n   j 1, m

2 Với mỗi j: |

1

( | ) 1

n

X Y i j i





3 Nếu X, Yđộc lập thì

pX Y| ( xi| yj)  pX( ) xi và pY X| ( yj| xi)  pY( yj)

Kỳ vọng có điều kiện

| 1

n

i



| 1

m

j



Thống kê dân cư của một thành phố nọ ở độ tuổi trưởng thành về thu nhập hàng thángXvà lứa tuổiY, thu được kết quả trong bảng sau

Tìm thu nhập trung bình theo lứa tuổi

Trang 7

Với Y=30bảng phân bố xác suất điều kiện tương ứng

X Y

109

37

X Y

86

34

X Y

Vậy thu nhập trung bình ở độ tuổi 30 là 3.069.000đ/tháng,

độ tuổi 45 là 2.945.900đ/tháng

và độ tuổi 70 là 2.529.400 đ/tháng

3.7.2 Phân bố và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiênXvà biến cốBtrong cùng một phép thử

thỏa mãnP(B) > 0

Hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất củaXvới điều kiện

Bđược định nghĩa và ký hiệu như sau

( )

X B

P B

|

( | ) ( | ) X B

X B

dx



Giả sử fXY(x,y)là hàm mật độ xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên liên tụcX,Yvà fX(x)là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên thành phầnX

Hàm phân bố xác suất củaYvới điều kiện{X = x}được định nghĩa và ký hiệu như sau

( | )

( )

y XY

Y X

X

f x v

f x



  , nếu fX( ) x  0 Đạo hàm của hàm phân bố xác suất điều kiện được hàm mật

độ xác suất có điều kiện

( | )

( )

XY

Y X

X

f x y

f x

 với mọi y 3 và x thoả mãn fX( ) x  0

Tương tự ta có hàm phân bố xác suất và hàm mật độ xác suất

có điều kiện củaXvới{Y = y}

( | )

( )

x XY

X Y

Y

f u y

f y



  , nếu fY( ) y  0

( | )

( )

XY

X Y

Y

f x y

f y

 với mọi x 3 và y thoả mãn fY( ) y  0

Tính chất của mật độ có điều kiện

1 fX Y| ( | ) x y  0

2 Với mỗi y thỏa mãn fY( ) y  0 thì có fX Y| ( | ) x y dx 1









3 Nếu X, Yđộc lập thì

fX Y| ( | ) x y  fX( ) x và fY X| ( | ) y x  fY( ) y

Kỳ vọng với điều kiện

Kỳ vọng củaYvới điều kiện{X = x}được ký hiệu và định nghĩa theo công thức sau

E Y X x yfY X( | ) y x dy





E[Y|X = x]xác định là một hàm của biếnx, được gọi là hàm hồi qui củaYđối vớiX

E[X|Y = y]xác định là một hàm của biếny, được gọi là hàm hồi qui củaXđối vớiY

Trang 8

3/16/2015 43

Vớ dụ 3.20: Giả sử X, là hai biến ngẫu nhiờn liờn tục cú hàm mật

độ xỏc suất đồng thời đó cho trong vớ dụ 3.7

,

n u

( , ) 0

X Y

y x

f x y     

 ế nếu ngược lại

Tỡm hàm mật độ cú điều kiện f X Y| ( | )x y , f Y X| ( | )y x và kỳ vọng

điều kiện

Giải: Theo kết quả của vớ dụ 3.7 ta cú

n u 0 1 ( ) 2(1 )

n u 0 1

( ) 2

|

1 ( | )

Y X

x

 0  y  x  1,  x  1

|

1 ( | )

1

X Y

f x y

y



 0yx1, 0y1

Kỳ vọng của Y với điều kiện  X  x 

2

1

x x

Y X





 

 

Kỳ vọng của X với điều kiện  Y  y 

|

1 ( | )

Y X

x

 0  y  x  1,  x  1

|

1 ( | ) 1

X Y

f x y

y



 0yx1, 0y1

1

|

x

X Y





Với 0y1

3.7 LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH Lí GiỚI HẠN

3.7.1 Hội tụ theo xỏc suất và hội tụ theo phõn bố của dóy biến

ngẫu nhiờn

Xột dóy biến ngẫu nhiờn và biến ngẫu nhiờnXtrong

cựng một phộp thử

 Xn n1



Ta núi rằng dóy cỏc biến ngẫu nhiờn hội tụ theo xỏc

 Xn n1



P

n n





n



Như vậy dóy cỏc biến ngẫu nhiờn hội tụ theo xỏc suất

về biến ngẫu nhiờnXthỡ vớinđủ lớn, thực tế ta cú thể coi

rằng, khụng khỏc mấy so vớiX

 Xn n1



n

X

Dóy cỏc biến ngẫu nhiờn được gọi là hội tụ theo phõn

bố về biến ngẫu nhiờn Xnếu dóy cỏc hàm phõn bố xỏc suất

hội tụ về hàm phõn bố xỏc suất

 Xn n1



n



( )

X

Tức là với mọi x  lim X n( ) X( )

Trường hợp dóy cỏc biến ngẫu nhiờn rời rạc và biến ngẫu nhiờn rời rạcXcú cựng tập giỏ trị

 Xn n1

1, 2, 

R  c c

thỡ hội tụ theo phõn bố tương đương với điều kiện  ck R

3.7.2 LUẬT SỐ LỚN

3.7.2.1 Bất đẳng thức Markov

ChoYlà biến ngẫu nhiờn khụng õm cú kỳ vọng hữu hạn Khi

đú với mọia > 0ta cú

  EY

P Y a

a

E

y P Y y a P Y y aP Y a

a

Y yf y dy yf y dy yf y dy yf y dy a f y dy aP Y a

3.7.2.2 Bất đẳng thức Trờbưsộp

Giả sử Xlà biến ngẫu nhiờn cú kỳ vọng và phương sai hữu hạn, khi đú với mọi  > 0ta cú

P X  X   

 P X   E X      1 D2X



2 2

P X X   P Y     

được gọi là bất đẳng thức Trờbưsộp

Trang 9

3.7.2.3 Luật số lớn Trêbưsép

Định lý: Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập ,

có các kỳ vọng hữu hạn và phương sai đều bị chặn trên bởi

1, 2,

X X

D Xi C ;   i 1, 2,

n

P



Hệ quả 1: Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng kỳ vọng  và phương sai đều bị chặn trên bởi hằng số

1, 2,

X X

D Xi C ;   i 1, 2,

n





n





Hệ quả 2: Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng phân bố xác suất, có kỳ vọngvà phương sai Khi đó

1, 2,

X X

2



Định lý Trêbưsép chứng tỏ rằng trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình số học của kỳ vọng tương ứng của nó

Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng, song trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học của chúng với xác suất rất lớn

Định lý Trêbưsép được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực,

chẳng hạn nó chính là cơ sở cho phương pháp đo lường trong

vật lý

Để xác định giá trị của một đại lượng vật lý nào đó người ta

thường tiến hành đonlần độc lập và lấy trung bình số học của

các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo

Thật vậy, giả sử xem kết quả củanlần đo là giá trị nhận được

củancác biến ngẫu nhiên độc lập có cùng kỳ vọng bằng chính

giá trị thực của đại lượng vật lý (giả sử không có sai số hệ

thống), các phương sai của chúng đều bị chặn trên bởi bình

phương của độ chính xác của thiết bị đo

Do đó theo định lý Trêbưsép ta có thể cho rằng trung bình số

học của các kết quả đo sẽ sai lệch rất ít so với giá trị thực của

đại lượng vật lý với xác suất gần như bằng một

3.7.2.4 LUẬT SỐ LỚN BERNOULLI

Xét phép thử ngẫu nhiênCvàAlà một biến cố liên quan đến phép thử C Tiến hànhnlần độc lập phép thửC và gọiknlà tần số xuất hiện biến cốAtrongnphép thử đó

n n k f n

 được gọi là tần suất xuất hiện củaAtrongnphép thử Định lý: Tần suất fnhội tụ theo xác suất về xác suấtpcủa biến cốA

Nghĩa là với mọi > 0

n



   

3.7.3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Giả sửX1, X2, …là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng

phân bố, có kỳ vọng và phương sai2

1



 

1

2

 



1 1

n n

n

S

n





 





ES n 0, DS n 1

Khi đó dãy biến ngẫu nhiênSnhội tụ theo phân bố về phân

bố chuẩn tắcN(0; 1), nghĩa là:

   

 

Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, …có cùng phân bố Bernoulli tham số pta được định lý Moivre –Laplace

Giả sửX1, X2, …là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Bernoulli tham sốp, khi đó

Với mọi x:

1

n

npq





Trang 10

3.7.4 XẤP XỈ PHÂN BỐ NHỊ THỨC

3.7.4.1 Xấp xỉ phân bố nhị thức bằng phân bố chuẩn

Giả sửX1, X2, …,Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có

cùng phân bố Bernoulli tham sốp, khi đó

U  X  X    X B n p

Mặc dù ta đã biết công thức tính xác suất

!( )!

k n k n

n

k n k



 Tuy nhiên khinkhá lớn ta không thể áp dụng công thức này

để tính mà cần đến công thức xấp xỉ

Định lý giới hạn địa phương

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức B (n; p), khi đó

1

1 n k

k np

npq nqp

trong đó n k, C

n

  với C là hằng số

Do đó khi nđủ lớn ta có thể xấp xỉ

2

k np npq

k np



Áp dụng định lý Moivre-Laplace ta có công thức xấp xỉ giá trị

của hàm phân bố xác suất nhị thức

n

Người ta thấy rằng xấp xỉ là tốt khi npvà nqlớn hơn 5 hoặc khi

npqlớn hơn 20

Khia = b = k, với0 ≤ k ≤ n, vế trái của công thức trên sẽ là

P{Un=k}≠0, trong khi đó vế phải bằng 0

npq

Điều này xảy ra vì ta đã dùng hàm phân bố liên tục để xấp xỉ phân bố rời rạc, vì vậy để xấp xỉ tốt hơn người ta thường sử dụng công thức có dạng sau

3200!

1600!1600!

014 , 0 40

1 ) 0 ( 5 , 0 5 , 0 3200

1 )

5

,

0

;

1600

(











P

Ví dụ 4.4: Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối và đồng chất Gọi X là

số lần xuất hiện mặt sấp trong 3200 lần gieo đó

a) Tìm số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng nhất, tính xác suất tương ứng

b) Tính xác suất P1610 X1650

X

P X  P       

(1, 7678) (0, 3536) 0, 9616 0, 6406 0,321

Ví dụ: Giả sửUnlà một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham sốn = 36vàp = 0,5

Ta có các kết quả tính xác suất P{Un 21}

21

36 0

36!

!(36 )!

n k

P U







3

n

np

P U

npq

3

n

np

P U

npq

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	506,12 KB